21.4. Геометрическая и статистическая вероятности

Классическое определение вероятности дает возможность рассматривать лишь события, которые распадаются на конечное число равновероятных случаев. Поэтому было построено понятие вероятности для случаев с бесконечным множеством исходов испытания.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L.На отрезокLнаудачу поставлена точка, которая может оказаться в любой точке отрезкаL. Кроме того, вероятность попадания токи на отрезокlпропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на отрезкеL. Тогда вероятность попадания точки на отрезокl :.

Пусть на плоскости есть область G, которая содержит областьg. Площадь областейSиS. В областьGбросается на удачу точка. Вероятность того, что точка окажется в областиg, принимается равной. Предполагается, что точка может попасть в любую точку областиG, а вероятность попадания точки в областьgпропорциональна ее площади и не зависит ни от ее расположения, ни от ее формы.

Аналогично определяется вероятность попадания точки в объем g, содержащийся в объемеG. Это – геометрическое определение вероятности.

Относительная частота (частость) – отношение числаm появлений данного событияАк общему числуn проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых точно появится или не появится данное событие: .

Опыт показывает, что если число испытаний в каждой серии невелико, то относительные частоты в серии могут существенно отличаются. Если же число опытов в сериях велико, то, как правило, относительные частоты отличаются мало. В различных опытах относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число – вероятность события.

При неограниченном увеличении числа опытов nотносительная частота событияА стремится к вероятности событияA.

В основу классического определения вероятности положено понятие равновероятности, которое не такое простое и очередное, как кажется. Например, если игральная кость – неправильный шестигранник из неоднородного металла, то предложение о равновероятности выпадения граней ошибочно. Эти проблемы решаются при статистическом определении вероятности.

Если о событии Аизвестно, что оно может наступить в определенных условиях, которые могут повторяться неограниченное число раз, а в результате достаточно большого числа наблюдений установлено, что его относительная частота колеблется около некоторой (вообще говоря, неизвестной) постоянной величиныp,тоP(А) =p. Это обобщение классического определения.

21.5. Теоремы умножения вероятностей

Произведением (или пересечением) событий АиВназывается событиеС, состоящее в осуществлении и событияА, и событияВ, т.е. С = А ^. В.

Вероятность события А, найденная в предположении, что событиеВнаступило, называется условной вероятностью событияА относительно событияВ: P.

Пример.В урне 4 белых и 3 черных шара. Вынимают последовательно 2 шара. Найти вероятность того, что 2 шар черный, при условии, что 1 шар черный.

Событие А– 1 шар черный, событиеВ– 2 шар черный.P(B) -?

Если произошло А, то осталось 6 шаров (4+2),

Теорема .Вероятность произведения событийАиВравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого относительно первого:

Доказательство. Пусть из общего числаnслучаев событиюАблагоприятствуютmслучаев,kслучаев благоприятствуют событиюВ. Пустьlслучаев благоприятствует и событиюА и событиюВ.Тогда, а условная вероятность событияВотносительно событияАесть Р,т.к. вместоnслучаев остается возможнымmслучаев (событиеА произошло). Тогда

Пример.Среди 25 лампочек 4 нестандартные. Найти вероятность того, что 2 взятые одновременно лампочки окажутся нестандартными.

Событие А – первая лампочка нестандартная, событиеВ– вторая лампочка нестандартная.

P(A) = . Тогда .

События АиВназываютсянезависимыми,если вероятность одного из них не изменяется при наступлении другого, т.е.P. Иначе –зависимыесобытия.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равно произведению их вероятностей.

Пример.Из двух орудий стреляют по цели. Вероятность попадания первого – 0,9, второго – 0,8. Из орудий делают одновременно по одному выстрелу. Найти вероятность того, что будет два попадания в цель.

Событие А– первое попало,В– второе попало.СобытияAиBнезависимые, поэтому