22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение

Если каждому возможному значения случайной величины Хсоответствует одно возможное значение случайной величиныY, тоY– функция отX: Y=j(X).

Найдем закон распределения вероятностей функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.

1) Если X– дискретная величина. Найти распределениеY=X². Вероятности соответствующих значенийXи Yравны:

Х	2	3
Р	0,6	0,4

Y	4	9
Р	0,6	0,4

2) Пусть X– непрерывная случайная величина.

Пусть Y=j(X)и плотность распределенияf(x)известна, тогда, где– обратная функция для функцииу=j(х), которая должна быть дифференцируемой и строго возрастающей или убывающей функцией.

Математическое ожидание функции одного случайного аргумента

Пусть Y=j(X) – функция случайного аргументаХ. НайдемM(Y).

Пусть Хдискретная случайная величина:с вероятностью,Y– тоже дискретная случайная величина со значениями:с вероятностью. Тогда

Пусть X– непрерывная случайная величина, заданная плотностьюf(x).

а) можно найти g(y) – плотность распределения величиныYи , однако проще: .

22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин

До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом – одномерные. Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются 2, 3,…, nчислами. Такие величины называются двумерными, трехмерными, …,n-мерными.

Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величинX,Yназывают компонентами (составляющими); обе величиныXиY, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Пример: станок штампует плитки. Если контролировать длину Xи ширинуY– то имеем двухмерную случайную величину (X,Y).

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины – перечень возможных значений этой величины, т.е. пары чисел и их вероятностей .

	Х
			…		…
…
…

События (Х=,=) образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей, помещенных в таблице, равна 1. Можно найти законы распределения каждой составляющей. События (Х=,=), (Х=,=),…,(Х=,=) несовместны, поэтому- вероятность того, чтоХпримет значение равно сумме вероятностей «столбца ».– просуммировать вероятности «столбца ». Аналогично,равно сумме вероятности строки.

Функции распределения двумерной случайной величины

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют, определяющую вероятность того, чтоX<x, Y<y:F(x,y)=P(X<x, Y<y).

Свойства:

1. – вероятность.

2. – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е., если;если.

3. Предельные соотношения: ,,.

4. ,.

При функция распределения системыстановится функцией распределения составляющейХ; прифункция распределения системы становится функцией распределения составляющейY.