Раздел VIII. Теория вероятностей

Глава 21. Случайные события

21.1. Понятие события

В практической деятельности мы часто встречаемся с явлениями, исход которых нельзя предсказать заранее, т.к. он зависит от случая. При стрельбе из орудия по цели наблюдается рассеивание снарядов; уклонение точки попадания снаряда от цели – случайно даже при соблюдении некоторых условий.

Необходимо научиться количественно оценивать случайные события, прогнозировать их течение. Решением возникающих при этом вопросов занимаются теория вероятностей и математическая статистика.

Под случайным событием будем понимать все то, что может произойти, а может и не произойти при осуществлении некоторой совокупности условий. Например, первый родившийся в семье ребенок – мальчик, завтра в Белгороде выпадут осадки, и т.д.

В дальнейшем вместо «совокупность условий осуществлена» будем говорить «произведено испытание», т.е. случайное событие – это результат испытания. Например, стрелок стреляет по мишени, разделенной на 10 областей. Выстрел – это испытание, попадание в определенную область – случайное событие.

Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита A,B,C,D,…. Зафиксируем некоторое испытание, и будем рассматривать некоторую системуSсобытийA,B,C. Укажем некоторые соотношения, которые могут существовать между событиями системыS.

1. Если в результате испытания при каждом появлении события Aнаступает событиеB, то говорят, чтоAявляется частным случаемB, и записывают этот факт в виде

2. Если и, тоА=В.СобытияA и Bназываются равносильными, если при каждом испытании они оба наступают либо не наступают.

3. Произведением событий A и B называется такое событиеAB, которое заключается в совместном наступлении этих событий.

4. Суммой событий A,B называется такое событиеA + B, которое заключается в наступлении, по крайней мере, одного из этих событий.

5. Событие Uназывается достоверным, если оноcнеобходимостью должно произойти при каждом испытании. Все достоверные события равносильны.

6. Событие V называется невозможным, если оно не происходит ни при каком испытании. Все невозможные события равносильны.

7. Событие называется противоположным событиюА (и наоборот), если для них одновременно выполняются равенства. Иначе, два события называются противоположными, если одно из них обязательно должно произойти, причем наступление одного исключает возможность появления другого.

8. События A и Bназываются несовместными, если их совместное наступление неосуществимо, т.е..

9. События образуют полную группу попарно несовместных событий, если событиянесовместны и хотя бы одно из событийнепременно должно произойти. Иными словами, полная группа попарно независимых событийудовлетворяет двум условиям:(полная группа) и(попарная несовместность). Иначе – событияобразуют полную группу, если они попарно несовместные и в результате испытания обязательно наступит одно и только одно событие.

Введенные операции над событиями удовлетворяют следующим правилам:

Одним из наглядных представлений случайных событий и операций над ними являются так называемые диаграммы Виена. Пусть внутри квад­рата, изображенного на рисунке, наудачу выбирается точка, не лежащая ни на одной из нарисованных окружностей. Обозначим через А и В соответст­вующий выбор точки в левом и правом кругах. Области, заштрихованные на рисунке, изображают соответственно события . Подиаграммам Виена легко проверяются правила сложения и умножения событий.