Задача 6

Имеются следующие результаты регрессионного анализа зависимости объема выпуска продукции (млн руб.) уот численности занятых на предприятии (чел.)х₁и среднегодовой стоимости основных фондов (млн руб.)х₂по 20 предприятиям отрасли:

Коэффициент детерминации	0,81
Множественный коэффициент корреляции	???
Уравнение регрессии	ln y = ??? + 0,48 lnx1 + 0,62 lnx2
Стандартные ошибки параметров	2 0,06 ???
t-критерий для параметров	1,5 ??? 5

Задания:

1. Напишите уравнение регрессии, характеризующее зависимость уотх₁их₂.

2. Восстановите пропущенные характеристики.

3. Оцените адекватность полученной модели.

Решение:

1. Для данного уравнения примели преобразование, которое приводит модель нелинейную относительно оцениваемых параметров , к линейной модели:.

Чтобы написать уравнение регрессии сначала восстановим значение параметра а. Воспользуемся формулой (20), в которой отношение обозначим через стандартную ошибку параметра. Тогда

. (39)

Значение параметра а=b₀будет равноа=b₀=t∙S_bj= 2 ∙ 1,5 = 3.

Уравнение будет записано в виде: lny= 3 + 0,48lnx₁+ 0,62lnx₂.

Проведем обратные преобразования и получим уравнение: .

2. Чтобы восстановить пропущенные значение стандартной ошибки коэффициента регрессии и t-критерия также воспользуемся формулой (38).

;

.

Так как коэффициент детерминации R²в линейных моделях равен квадрату множественного коэффициента корреляцииR, то.

Запишем исходные данные с восстановленными характеристиками:

Коэффициент детерминации	0,81
Множественный коэффициент корреляции	0,9
Уравнение регрессии
Стандартные ошибки параметров	2 0,06 0,124
t-критерий для параметров	1,5 8 5

3. Для оценки адекватность параметров регрессии воспользуемся значениями t_набл. По таблицамt-распределения прил. 1t_0,95;17= 2,11. Тогда,t₁= 8 >t_0,95;17= 2,11 – параметрb₁адекватен;t₂= 5 >t_0,95;17= 2,11 – параметрb₂адекватен.

Для оценки адекватность уравнения регрессии воспользуемся критерием Фишера. Для расчета F_наблвоспользуемся формулой

= 16,22.

По таблицам F-критерия прил. 1F_0,05;2;17= 3,59. Так какF>F_0,05;2;17, то уравнение регрессии значимо.

Задача 7

При изучении уровня потребления мяса (кг на душу населения) у в зависимости от дохода (руб. на одного члена семьи) х₁ и в соотношении с уровнем потребления рыбы (кг на душу населения) х₂ результаты оказались следующими (по 50 семьям):

Уравнение регрессии	= 180 + 0,2х1  0,4х2
Стандартные ошибки параметров	20 0,01 0,25
Множественный коэффициент корреляции	0,85

Задания:

1. Используя t-критерий Стьюдента, оцените значимость параметров уравнения.

2. Рассчитайте F-критерий Фишера.

3. Оцените по частным F-критериям Фишера целесообразность включения в модель:

а) фактора х₁ после фактора х₂;

б) фактора х₂ после фактора х₁.

Решение:

1. Чтобы найти t-критерий Стьюдента воспользуемся формулой (38).

= 9;= 20= 1,6

Для оценки адекватность параметров регрессии воспользуемся значениями t_набл. По таблицамt-распределения прил. 1t_0,95;47= 2,01. Тогда,

t₀= 9 >t_0,95;47= 2,01 – параметрb₀адекватен;

t₁= 20 >t_0,95;47= 2,01 – параметрb₁адекватен;

t₂= 1,6 <t_0,95;47= 2,01 – параметрb₂неадекватен.

2. Коэффициент детерминации R²в линейных моделях равен квадрату множественного коэффициента корреляцииR.

Отсюда R²= 0,85²= 0,72.

Для оценки адекватность уравнения регрессии воспользуемся критерием Фишера. Для расчета F_наблвоспользуемся формулой

= 21,86.

По таблицам F-критерия прил. 1F_0,05;2;47= 3,21. Так какF>F_0,05;2;47, то в целом уравнение регрессии значимо.

3. Чтобы оценить целесообразность включения в модель дополнительных переменных, необходимо найти частный F-критерий Фишера. Для линейных моделей частныйF-критерий Фишера связан сt-критерием Стьюдента следующим соотношением:

.

Для целесообразности включения фактора х₁после факторах₂рассчитаемF_x1:

= 20²= 400.

Так как F= 400 >F_0,05;2;47= 3,21, то включение в модель факторах₁после факторах₂статистически оправдано.

Для целесообразности включения фактора х₂после факторах₁рассчитаемF_x2:

= 1,6²= 2,56.

Так как F= 2,56 <F_0,05;2;47= 3,21, то включение в модель факторах₂после факторах₁статистически не оправдано.