Berezkin_Alekseev_Finansovyi-menedjment

Глава 2. Основы финансовой математики

2.1.Принцип временной ценности денег

Впредыдущей главе 1, в разделе 1.3, были рассмотрены те исторические изменения, которые претерпели деньги за последние несколько столетий. Основная отличительная особенность современных денег, по сравнению со средневековыми металлическими, состоит в том, что их покупательная способность теперь не остаётся неизменной во времени. В соответствии с этим, И. Фишер ещё в 1898 г. в книге «Покупательная сила денег» [22] высказал гениальную идею определения стоимости любого, действующего в настоящее время денежного актива: стоимость денежного актива в любой настоя-

щий момент времени равняется сумме текущих стоимостей всех будущих поступлений денежного потока, порождаемого данным активом (рис. 6).

Рис. 6. Схематизация идеи И. Фишера

Эта идея И. Фишера затем была развита до принципа, который получил название «принцип временной ценности (стоимости) денег.

Его суть можно выразить тремя принципиальными тезисами:

1) покупательная способность (стоимость) денежных номиналов зависит от временного фактора «будущего» (один и тот же денеж-

ный номинал, например, 1 доллар или 1 млрд. долларов, взятый для разных временных моментов (периодов), будет иметь разную покупательную способность;

31

1$ ≠ 1$

t

Рис. 7. Графическое изображение первого тезиса

2) если не предпринимать специальных усилий по поддержанию покупательной способности сегодняшних (находящихся в обращении) денежных номиналов, последние неизбежно в будущем начнут

обесцениваться;

Рис. 8. Графическое изображение второго тезиса

3) чтобы сегодняшние денежные номиналы не обесценивались,

необходимо инвестировать в предпринимательские проекты та-

кую их часть, которая завтра дала бы прирост материальных ценностей, компенсирующий потреблённые блага.

Рис. 9. Графическое изображение третьего тезиса

Комментарий к рисункам 7, 8, 9:

32

–на рис. 7 показано, что сам по себе денежный номинал (один условный доллар) при переходе от сегодня к завтра остаётся тем же самым, однако его покупательная способность меняется: 1$ сегодня не равен по покупательной способности тому же 1$ завтра;

–на рис. 8 показан второй из сформулированных выше тезисов: тот же условный доллар завтра будет дешевле, потому что материальные ценности («треугольник» МЦ), которые стоят за долларом сегодня, завтра уменьшатся, поскольку будут потреблены (показан «усечённый треугольник» МЦ);

–чтобы сегодняшний денежный номинал завтра имел ту же покупательную способность, что и сегодня (и мы могли бы вместо знака

>написать =), необходимо часть сегодняшних денег инвестировать в предпринимательские проекты, которые завтра компенсируют потреблённую (от сегодня до завтра) часть материальных ценностей ΔМЦ (рис. 9).

Из принципа временной ценности денег вытекает два логических следствия:

–с разновременными (относящимися к разным моментам времени) денежными номиналами впрямую (непосредственно) оперировать нельзя (запрещено данным принципом);

–если денежные номиналы относятся к разным моментам времени (например, суммы денег, получаемые (выплачиваемые) в разные дни, разные месяцы, разные кварталы и т.п.), то их сначала необходимо привести (пересчитать) к одному моменту времени (к сегодняшнему или, наоборот, к какому-то будущему моменту) и только после этого их можно складывать, вычитать и т.д.

Исходя из данного принципа, Дж. Уильямс в 1938 г. построил математический аппарат «дисконтированных денежных потоков»,

получивший название «финансовая математика», и предназначенный для пересчётов стоимости денежных номиналов, относящихся к разным периодам (моментам) времени. В следующих разделах главы 2

33

последовательно (от простого к сложному) развернём формальные основы финансовой математики.

2.2. Первичная ситуация учёта временной ценности денег

Представим на графической модели (рис. 10) третий пункт принципа временной ценности денег в несколько упрощённом виде (без изображения проектов – их необходимость будем только подразумевать) и введём формальные обозначения:

НС – «настоящая стоимость» – денежные номиналы, относящиеся сегодняшнему моменту; в англоязычном варианте PV – present value;

БС – «будущая стоимость» – стоимость, которую мы должны иметь завтра (с учётом прироста материальных ценностей, необходимого для компенсации обесценения сегодняшних денежных номиналов); в англоязычном варианте FV – future value.

БС

НС

Рис. 10. Первичная ситуация учёта временного фактора То же самое запишем формально:

Введём формальный параметр r, которому придадим три смысловых плана (рис. 11).

34

Индекс

инфляции

r

Рис. 11. Смысловые планы параметра r

Это значит, что параметр r мы будем трактовать трояким образом, в зависимости от того, какую задачу решаем: то как индекс инфляции (темп обесценения денег), то как процент наращивания стоимости (для компенсации обесценения номиналов), то как требуемую доходность инвестора от вложений денег (с целью сохранения от инфляции). К примеру, если в данное время в данном месте инфляция составляет 10% (r = 10%), то для её компенсации нужно обеспечить прирост стоимости материальных ценностей на 10% (r = 10%) и инвестору, чтобы сохранить свои деньги от обесценения, необходимо их инвестировать с требуемой доходностью не ниже 10% (r = 10%).

Теперь представим , входящую в БС, несколько иначе: будем считать, что она является величиной, равной r ∙ НС, где r – процентная ставка наращивания настоящей стоимости в будущем, необходимая для сохранения сегодняшнего номинала (по стоимости) завтра, или:

Тогда мы можем написать:

Из соотношения (3) чисто формально получаем:

35

За соотношениями (3) и (4) стоят следующие содержательные посылки:

– денежные номиналы, относящиеся к двум разным моментам времени, впрямую не сопоставимы; их всякий раз необходимо приводить к одному моменту времени: к «будущему» − по формуле (3), или к «настоящему» – по формуле (4);

–выделяют два типа задач, связанных с указанными пересче-

тами:

I. Прямая задача – пересчёт «сегодняшних» номиналов в «завтрашние»; она называется «задачей наращивания (мультиплицирования) стоимости»;

II. Обратная задача – пересчёт ожидаемых будущих («завтрашних») номиналов в «сегодняшние»; она называется «задачей дисконтирования (приведения к настоящему моменту времени) стоимости»; тот и другой пересчёт предполагает сохранение баланса стоимостей (при изменении номиналов) во времени;

–параметр r – для прямой задачи трактуется как процентная ставка наращивания стоимости в будущем; для обратной задачи – как требуемая доходность инвестора.

t

II.Обратная задача

Рис. 12. Графическая модель первой ситуации

Таким образом, мы рассмотрели первую, простейшую теоретическую ситуацию, в которой рассматривали два момента времени («сегодня» и «завтра») и две единичные стоимости (НС и БС), кото-

36

рые должны быть эквивалентны в указанных двух моментах времени. Графически это можно представить так (рис. 12).

2.3. Пересчёт денежных номиналов для n интервалов времени

Если мы имеем несколько временных интервалов (в общем случае – n) и две единичной суммы денежных номиналов – НС на начало первого временного интервала и – на БСn конец последнего n-го временного интервала, то графическая модель этой (второй) ситуации будет выглядеть так (рис 13).

t

II.Обратная задача

Рис. 13. Графическая модель второй ситуации

На рис. 13 изображена ось времени, на ней – отсечки временных моментов: от 0 – настоящий момент – до n – последний, будущий момент времени, на который (прямая задача) или от которого (обратная задача) требуется сделать пересчёт денежных номиналов. Соответственно, символ будущей стоимости здесь должен иметь индекс последнего момента времени – БСn.

Наращивание (мультиплицирование) будущей стоимости может осуществляться двумя способами (по двум схемам расчётов):

1) простых процентов; 2) сложных процентов.

Схема простых процентов основана на неизменности базы для начисления процентов. Если даны n – периодов, в каждый из которых начисляют проценты, то в итоге (через n – периодов) будем иметь:

37

Примером применения этой схемы является ситуация банковского вклада, когда начисленные за год проценты каждый раз забираются вкладчиком.

Схема сложных процентов основана на меняющейся базе для начисления процентов (из-за того, что сами проценты капитализируются):

Рис. 14. Наращивание стоимости по схемам простых и сложных процентов

Примером применения схемы сложных процентов может быть ситуация банковского вклада, когда начисленные в предыдущий год проценты прибавляются к сумме вклада и эта общая сумма служит базой для начисления процентов для следующего периода.

Схема сложных процентов – базовая в финансовом менеджменте. Коэффициенты наращивания и дисконтирования стоимости, рассчитанные по данной схеме, табулированы. Это значит – рассчитаны для всех значений возможных процентных ставок (r) и временных моментов (t). Результаты расчётов внесены в специальные финансовые таблицы, которые есть в любом учебнике финансового менеджмента, в том числе в данном учебном пособии (см. Приложение 4).

38

В таблицу 3 Приложения 4 помещены «мультиплицирующие множители» – коэффициенты наращивания стоимости для разных процентных ставок (r) – первый параметр, и разных будущих моментов времени (t = 1, 2, 3, … n) – второй параметр:

Если рассматривается обратный процесс – дисконтирование (приведение к настоящему – нулевому – моменту) для разных процентных ставок r и моментов времени n, то в основе лежит та же схема сложных процентов, только формула выглядит иначе:

значения помещены в таблицу 1 Приложения 4.

Методика работы с финансовыми таблицами дана в Приложении 5.

2.4. Пересчёт денежных потоков общего вида

Следующим усложнением (третья ситуация) является переход к рассмотрению не единичной денежной суммы, а денежного потока – фундаментального понятия финансового менеджмента.

Денежный поток – это последовательность денежных поступлений (платежей) в течение нескольких периодов, осуществляемых через равные интервалы времени: С1, С2, С3, … Сn.

39

Вобщем случае, все Сt могут быть неравными друг другу и быть

сразными знаками: если с «+», то это трактуется как поступление денег, если с «–», то это – выплаты (инвестиции) денег.

При этом различают две разновидности денежных потоков:

а) пренумерандо; б) постнумерандо.

«Пренумерандо» – это денежный поток, платежи которого осуществляются в момент начала каждого временного интервала (периода). В содержательном плане – это поток авансов и предоплат (рис. 15):

Рис. 15. Графическая модель денежного потока пренумерандо» «Постнумерандо» – это денежный поток, платежи которого осуществляются в конце каждого временного интервала (периода). В содержательном плане – это процесс отдачи от вложений (инвести-

ций, труда) (рис.16):

t

Рис. 16. Графическая модель денежного потока «постнумерандо»

Оценка того и другого денежного потока (ДП) может осуществляться в рамках решения тех же двух задач:

Прямая задача – это оценка каждого из элементов денежного потока с позиции будущего, и затем суммирование элементов ДП,

40