книги из ГПНТБ / Холщевников К.В. Некоторые вопросы теории и расчета ТРД
.pdfтяга меньше максимальной при данной скорости полета, так как только в этом случае имеется возможность варьировать темпера турой газа и степенью повышения давления.
Вывод и анализ уравнений для определения оптимальной
температуры газа и оптимальной степени повышения давления
Решение уравнений dCR/dTr* = O и dCRldnK* = 0 для опреде ления оптимальной температуры газа и оптимальной степени повышения давления связано с известными трудностями, вслед ствие чего до настоящего времени общего решения этих урав нений не существует.
Известно только решение уравнения dCRjdTr* = 0, полученное проф. И. И. Кулагиным1 при некоторых допущениях. Это реше ние рассмотрено ниже.
Если использовать для определения CR уравнение (1.30), то
задача нахождения оптимальной температуры газа и "к. Оптне'
сколько облегчается вследствие того, что в это уравнение входят не непосредственно сами переменные (Тг*, тгк,* г]Е* и т. д.), а их функции Ф(^); R(ttc) и т. д. Однако и при этом необходимо принимать ряд упрощающих предположений и, в частности, при нимать постоянными коэффициенты Виа, хотя они зависят от температуры газа и степени повышения давления, но эта зависи мость является сложной и аналитически не выражается.
Как показано ниже, предположение о постоянстве величины В
и теплоемкостей на линии сжатия и расширения, от которых, в ча стности, зависит а, вносит некоторые количественные, но не прин ципиальные отличия по сравнению с точными расчетами.
Принимая уравнение (1.30) исходным, целесообразно рас
сматривать минимум не CR, a CR п— CRjB У7'н* и в качестве независимой переменной принимать не Тг,* а отношение TT*jT H,*
что позволяет использовать решение для всех высот полета.
Возьмем частную производную от CRn по какому-либо из
независимых переменных и приравняем ее нулю. Тогда в урав нение войдут частные производные от Ф (<7); Ryc), которые для сокращения записи будем обозначать штрихом2,
- г i Н |
|
-Ф(?)[«РС |
R(О- 1 „] = 0. |
1 И. И. Кулагин, Теория авиационных газотурбинных двигателей Оборонгиз, 1955.
2 Принимается, что 80ХЛ = const.
40
Раскрыв скобки, получим
><Ре 1/ |
ф' (7)-l,87k^(9)-'^(?) 1/ |
К*) |
|
У 1Н |
|
V |
1 н |
|
-*?СФ(<7)/?К)(|/ |
=0. |
|
Разделив уравнение на
*?с]/ ^^К)Ф(^),
Г1Н'
получим
R' Ю |
Ф' (?) |
1.87А//Ф' (?) |
(1.52> |
|
R Ы |
ф (?) |
^с]/ ^W*(f) |
||
|
F 7 я
В таком виде уравнение (1.52) пригодно для определения как оптимальной температуры газа (или Тг/*Т н*), так и оптимальной
степени повышения давления в зависимости |
от того, по какому |
из этих параметров будут браться частные |
производные. Это |
уравнение пригодно также для случая с полным расширением и для суживающегося сопла при неполном расширении в зависимости от того, какое выражение будет приниматься для /?(тгс).
Когда производные берутся по ТГ1*Т Н,* для случая с полным расширением получим
получим уравнение для |
г.с А’, |
|
в виде |
|
|
|
|
|
||||
|
х2 — х — b -— aZ(V) |
|
= 0. |
|
|
|
|
|||||
■Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*г-> |
1-Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)*^(/^Т'г |
2 С/-/) |
|
(1.53) |
|||
|
С.ОПТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение (1.53) должно решаться графически. Для принятых |
||||||||||||
значений t]k.* т]т*, |
7(тгк)* |
необходимо |
задаться |
несколькими |
||||||||
значениями |
ТГ1*Т Н* и вычислить J, |
тгс, |
/?(-тгс),/. После |
этого |
вы |
|||||||
числяется ттс |
по формуле |
(1. 14). Построив графически оба значе |
||||||||||
ния тг„ в зависимости |
от |
Тг*,/Т„ |
получим |
в пересечении тгс |
опт и |
|||||||
()^*Тг. '/Тп |
существенно |
упрощается |
|
|
|
таблиц |
или |
|||||
Решение |
при |
наличии |
||||||||||
графиков функций Ф(<7), |
Тч1* |
н,* |
|
J, #(тга). |
|
|
|
|
|
|||
Более удобен другой |
способ решения уравнения (1.53). Сте |
|||||||||||
пень расширения в реактивном сопле можно записать в |
виде |
|
||||||||||
|
|
|
V-’ |
|
_А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Гт.аД—температура газа |
за |
турбиной |
при |
адиабатическом |
||||||||
расширении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7т.ад |
= 7~г* |
gZ(^) |
|
|
|
|
|
|||
Подставляя в уравнение |
(1.53) |
приведенное |
выше |
выраже |
||||||||
ние для -тгс и |
решая его относительно Ь, |
получим |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-54) |
|
Это уравнение также должно решаться графически относи
тельно коэффициента Ь, который входит и в правую часть уравне ния (в коэффициент f через 7?(-л-<,)).
Уравнение (1.54) упрощает расчет по сравнению с уравнением
(1.53) вследствие того, что при |
изменении b коэффициент J не |
||||
меняется |
и требуется |
определять |
только |
новое |
значение /?(тгс) |
и f. |
того, когда |
скорость' |
полета |
V=0 и, |
следовательно, |
Кроме |
|||||
/=0, то это уравнение позволяет непосредственно вычислять коэф фициент Ь.
42
Следует отметить, что когда Z("K)* = 0, т. е. -к* = 1,0, то
"г-1
(./ — /) также равно нулю и |
b=(^v) k? . |
При I (тск*) = 0(Гг*iTя)* опт определяется из уравнения J — / = 0. |
|
При всех других )*1(~ |
коэффициент b должен удовлетво |
рять условию J >/. |
|
Если при Ф(</)=0 принять, что /?УД=0, то предельное значение |
|
удельного расхода топлива |
будет выражаться отношением 0/0. |
Фиг. 8. Поле оптимальных значений Тн*!Тт*.
->1т*=0,9; »?с=0,975.
При этом коэффициент b должен иметь определенное значение, подчиняющееся уравнению
ь |
==_ |
________ 1________ ______ |
|
ЛРСД Т*н |
^-ад [j |
/ |
0,382Хя \2~ |
При этом необходимо иметь в виду, что значение С^=0/0 для реального цикла неосуществимо и в дальнейшем принимается
лишь в качестве некоторой условной границы, при приближении |
|
к которой отдельные коэффициенты (трА т|т,* |
и др.) могут иметь |
значения >1,0. |
показывают, что без |
Полученные уравнения (1.53) и (1.54) |
|
использования функций вида Ф(<у), /?(то) и |
ГТ,*Г ЯХ’,зависящих от |
основных переменных Тг* и тгк,* нельзя без |
дополнительных упро |
щений решить задачу об оптимальной температуре газа, так как эта температура в явном виде выражена быть не может. Как бу дет показано ниже, аналогичное решение получается и для опти мальной степени повышения давления. Задачу об оптимальной температуре газа можно решить в явном виде, приняв дополни тельные допущения.
На фиг. 8 и 9 |
показано подсчитанное с помощью уравне |
ния (1.54) поле |
оптимальных значений Тн',!/Тт* при постоянном |
43
к. п. д. турбины и постоянном произведении vqtc. В качестве пара |
||
метров приняты /(тгк)* и b= (8$ |
нг-1 |
что придает получен |
, |
||
ным результатам достаточно обобщенный |
характер, поскольку |
|
они показывают влияние на (ТН*1Т Г)ОП1 различных значений тгк,* г)к* и оЕ.
На этом же графике построены кривые постоянных значе ний Су?п, являющихся в каждой точке минимальными. Кривые на
фиг. 8 и 9 наглядно показывают отмеченную ранее неоднознач-
Л'/Гг'
10
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0,9
0.5
02
0,1
Фиг. 9. Поле оптимальных значений Тц[* |
т* при М/у=2,5, т;т=0,9* |
’ |
|||
|
|
ч?с = 0,975. |
|
|
|
ность понятия об |
оптимальном значении |
Тг/*Т н,* так как в зави |
|||
симости от к. п. д. |
и 8s |
можно при -гк* = const иметь различные по |
|||
величине оптимальные |
значения Тт*!Т н* |
|
и одно и то же значение |
||
(Тг*/Т н)* от и |
при различных степенях повышения давления. |
||||
Если принять, |
что на линии 6 = const |
степень повышения дав |
|||
ления, а следовательно, и 8s остаются постоянными1, то эта ли
ния будет показывать влияние на |
(Тн* /Тг*) от |
или (Тт*/Т н*) |
оат |
|||||
коэффициента полезного действия |
компрессора, |
который должен |
||||||
возрастать при увеличении Тя/*Т ги* |
может определяться по урав |
|||||||
нению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* “к* |
* |
|
|
|
|
|
|
|
—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т)*к =—------- |
• |
|
|
|
|
Так, |
|
|
/(V) |
|
|
6 = 2,0 |
|
|
например, |
если на фиг. 8 |
взять о2тек«==8,47, |
и |
|||||
~k* = 9,5(8s = 0,89), |
то при I (т:/) = 1,5, т]кй = 0,602 |
и при *)/(п, |
= |
|||||
= 1,0, т)к* = 0,904. |
|
Z(t:k") = 1,0 значения (7'zz/7* |
|
|
|
|||
При /(zK)* = l,5 |
и |
’r*) onT |
соответ |
|||||
ственно |
равны 0,2 |
и |
0,33. |
|
|
|
|
|
1 При |
= const |
|
= const; принимается также, что |
|
—- = const-0,25. |
|||
44
Дальнейшее уменьшение |
Z(r:K)* |
при тех же |
исходных |
дан |
||
ных может привести к т)к* > 1,0, так |
как величина |
CR min |
при |
|||
ближается к значению 0,0, которое в |
реальном |
цикле получено |
||||
быть не может. |
|
то линия b = const |
или 8£i;k* = |
|||
Если принять, что т]к* = const, |
||||||
= const будет показывать влияние о£, |
которое должно изменяться |
|||||
вдоль этой линии по уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
(W) |
|
|
|
|
|
|
ч==----------------- |
|
|
|
||
[1 |
+ |
|
|
|
|
|
Для о£кк* = 8,47(Ь = 2,0) |
при т]к* = 0,85 получим: если Z(^K)* = |
|||||
= 1,5, to &s=0,48 и ~к* = 17,6, и, |
когда Z(zK*) = l,0, |
то Ss=0,985 |
||||
а) |
S) |
Фиг. 10. а — Изменение CRn при C/?"min=const и
Мя=1,0.
д'— Изменение 8S и т1К* при CR min=
=const при М//=И,0.
и^к* = 8,6. Соответствующие значения (Тн.* Гг)* опт равны, как и ранее 0,2 и 0,33.
Приведенные примеры показывают, что получить низкую опти мальную температуру газа (или высокое значение Тн*/Т т)* воз можно только при небольших потерях в цикле. С увеличением по терь (в компрессоре или в других элементах) оптимальная тем пература газа возрастает, что было отмечено выше.
Если принять, |
что ~к* = const и т]к* = const, то влияние оБ на |
(ТН/*Т Г*) О!П. будет |
характеризоваться вертикальными отрезками |
изначения о£ могут определяться из пропорции
=/(7*ГД г*) 0
*1Тн ’Тг* ’
где величина с индексом «0» соответствует режиму, принятому за исходный.
45
При уменьшении к. п. д. компрессора или os по мере увели чения -к*, Ctfmin может оставаться постоянным и зависимость
CRa—f{Tr*tТн)* приобретает вид, показанный на фиг. 10, а. На этом графике показаны соответствующие значения оЕ==/(-гк*)
при 7jK*=const |
и значения i]K* = f (s)* |
ПРИ |
= const. |
Наконец, |
||
в случае увеличения к. п. |
д. и |
os по |
мере роста кк* можно |
|||
получить (Г/у/7* |
’г)* опт= const |
при |
всех |
значениях ^к* |
(фиг. И). |
|
При заданном к. п. д. компрессора |
и Зе |
любая температура |
||||
газа может быть, в конечном итоге, оптимальной в случае выбора
Фиг. 11. а — Изменение CR при (7'//*;'7’r*)onT=const и
Мя=1.
<У—Изменение 8S и %* при (7'//*/7'г*)опт= const при Мн?=1,0.
соответствующей степени повышения давления. Последнюю можно находить с помощью кривых, приведенных на фиг. 8 и 9, путем
графического решения уравнения
|
|
|
|
\ |
К ' |
|
|
V |
|
|
|
X |
’-- / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задаваясь |
рядом |
значений b |
и зная 8S, |
~v, т|к*/[находим |
по |
||||||||
уравнению (1.55) |
I (~к),* |
затем |
по |
кривым, |
показанным на фиг. 8 |
||||||||
и 9, определяем (Тн!*)Т |
от. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значение |
Z(^K*), |
при котором будет получено |
заданное отно |
||||||||||
шение ТН,*1Т |
будет являться |
искомым. |
|
|
|
|
|||||||
Так, например, если задано |
Тн*’*Т |
= 0,3 (*Т |
= 867° |
абс. |
при |
||||||||
7'я* = 260° абс.), т]к* = 0,83 |
и ох = 0,92, |
то |
для Х7/= 1,0 |
искомая |
|||||||||
степень |
повышения |
давления, |
при которой заданное |
Т/*.1Г г* |
|||||||||
является |
оптимальным, |
будет равна ~к* —9,2. |
|
|
|
||||||||
Если 7’я*'7 |
’г* = 0,25 |
=*(7/ |
1040° абс. |
при |
Тн*~ 260^ |
абс.), |
то |
||||||
■^к* = 20. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот пример показывает, что даже при относительно невысо |
|||||||||||||
кой температуре газа |
требуется |
высокая степень |
повышения дав- |
||||||||||
46
ления для того, чтобы эта температура являлась оптимальной. Для сравнения определим для тех же значений температуры газа оптимальную степень повышения давления.
Уравнение для определения оптимальной степени повышения давления можно получить из исходного уравнения (1.52). Для упрощения частные производные целесообразно брать не по сте пени повышения давления, а по /(тгк)*.
Тогда получим
Ф/ (?) =____ 1 . |
(/TWg)' _ а . |
|
Ф(?) |
ф(?) ’ |
/Тт*/г я* |
R' (Дс)
Частная производная от -лс |
|
по |
)Ц* ~к |
имеет вид |
|||
/г,,-1 |
|
|
|
|
|
|
|
k |
== — Ь |
а |
|
frr~1 |
|
|
|
д\ |
I |
- *г |
k?~ 1 |
k |
T>k* |
||
|
|
|
|
|
|
|
■ |
Обозначив |
Y|T |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
---------- 1- |
|
|
|
oф (?)
ииспользуя полученные значения для производных, получим
kr-\
для коэффициента b — (^K*^ v) *г следующее уравнение:
(1.56)
где через f обозначена та же функция, что и ранее (см. стр. 41).
Уравнение (1.56) также должно решаться графически.
На фиг. 12 и 13 показаны полученные по уравнению (1.56)
поля оптимальных |
значений ття*=}(Т н/Тг)* |
при нескольких зна |
чениях *т]к и 8s. К. |
п. д. турбины и произведение v(pc, как и ранее, |
|
приняты постоянными. Из фиг. 12 находим |
значения тгк. опт ПРИ |
|
Т* н1*Т —0,3 и при |
Т!Тт* = 0,25 соответственно 17,0 и ^34,0. |
|
47
Таким образом, оптимальная степень повышения давления су щественно выше полученных ранее значений ?гЕ.* Однако выигрыш в удельном расходе топлива при увеличении тгк* от 20 до 34 со ставляет не более 44-4,3% даже при сохранении к. п. д., что труд но реализовать.
Кроме того, такое увеличение степени повышения давления
.вызывает увеличение веса и габаритов двигателя.
Этот пример подтверждает высказанное ранее соображение о том, что наивысшей степенью повышения давле ния, целесообразной для применения, является такая, при которой заданная максимальная тем пература газа является оптимальной.
Наконец, если предположить, что достижение irE* = 34 будет возможно при удовлетворительном к. п. д; и приемлемых весовых
данных, то достаточно увеличить температуру газа с 1040° абс. до
1150° абс., чтобы получить при этом тгв* оптимальную температуру газа и дополнительно снизить удельный расход топлива на 2'%.
48
Таким образом, оптимальную по экономичности температуру газа следует считать основным параметром, который в числе дру
гих и должен учитываться при выборе степени повышения давле ния.
При увеличении скорости полета происходит существенное увеличение оптимальной температуры газа даже при одинаковых
як>* V; как показано на фиг. 14, где нанесено поле опти мальных 7* для двух скоростей Мя—1,0 и М/у = 2,5. При этом
ч<?с='
для удобства сравнения на оси ординат отложена абсолютная температура газа в предположении, что высота полета одинако
вая и равна 11 км.
Одновременно следует отметить, что при скорости полета М^ = 2,5 коэффициент давления os будет меньше и это повлечет
за собой дополнительное повышение 7’г.опт,
Вследствие1 роста оптимальной температуры газа при увеличе нии скорости полета, одна и та же температура газа будет в слу чае больших скоростей делаться оптимальной при меньших значе
ниях степени повышения давления..
Так, выше было показано, что при скорости полета, соответ ствующей Мя=1,0, температура газа 1150° абс. будет оптималь ной, если 15к=34* . При М//=2,5 эта же температура газа будет оптимальной при степени повышения давления "к* = 2,6,1 если
1 Если привести эту степень повышения давления к условиям полета при
14=1,0, то она будет равна пяти.
4 К. В. Холщевников. |
49 |