книги из ГПНТБ / Холщевников К.В. Некоторые вопросы теории и расчета ТРД

нимая те или иные упрощающие предположения. Так, например,

если принять, что температура топлива равна температуре То, то получим уравнение проф. В. В. Уварова 1

Принимая температуру топлива равной температуре воздуха и теплоемкость топлива равной теплоемкости воздуха, получим

И

^ + ^7-^7. = ^

Наконец, можно указать на применяемое уравнение следующего вида:

Z,тГ*Т * _ ртк*т *

6рг7г Срг 7 К

1\гНи

Это уравнение можно получить, если, кроме равенства

1 По лекциям проф. В. В. Уварова в МВТУ.

2 Т. М. Мелькумов, Теория быстроходного двигателя с самовоспламене­ нием, Оборонгиз, 1953.

20

принять

Фиг. 2. К определению q^.

Формула (1.36) дает отклонения, доходящие до З^/о. Из остальных формул, применяемых для определения расхода топли­ ва, небольшие отклонения (до 1,5°/») дает уравнение (1.35).

Принимая в качестве основной формулу (1.33), можно опре­ делить q аналитически или графически. Последнее наиболее удобно.

На фиг. 2 приведен график для определения q0 = 3600</ в диа­ пазоне температур газа от 900 до 1200° абс. Значения q подсчи­

21

таны по формуле (1.33) при использовании теплоемкостей по

данным Вукаловича М. П. пересчитанным на абсолютную шкалу. При подсчетах было также принято:

Я„= 10 250 кал/кг и т]г=0,97.

В случае другого значения т)г можно с высокой точностью при­ нимать

0,97

Qox Яо

где 7o.v соответствует ip д.

Аналогично производится пересчет и для другого значения Ни- Для аналитического исследования ТРД использование непосред-

Фнг. 3. К определению коэффициента В.

ственно величины <7о неудобно. В связи с этим ранее было пред­ ложено записать выражение для б/0 в виде

Здесь

5 = 3600--- q— . *ту — тк*

считывалась так же, как и для графика, приведенного на фиг. 2.

В случае изменения 1]г коэффициент В, как и q, можно пере­ считать по формуле

22

Раскрыв эту неопределенность обычным способом, принимая 77* = const, получим

где

Производные, входящие в уравнение (1.38), должны опреде­ ляться графическим дифференцированием кривых Cp=f(T). При этом производные dcprldTr* должны определяться по графикам теплоемкостей газа с постоянной температурой Тг* при перемен­ ных значениях Тк*, т. е. различных а.

На фиг. 3 приведены значения В, подсчитанные по уравнению

(1.38), при *Т —Тк=0* .

2. ОПТИМАЛЬНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ТРД

Общие сведения о термодинамических параметрах, обеспечивающих

минимальный удельный расход топлива

Если принять, что все переменные являются независимыми, то, как известно, минимум функций многих переменных в принципе должен достигаться лишь при тех значениях независимых пере­ менных, при которых частные производные от СR обращаются в нуль или не существуют. Если частные производные существуют, то, приравнивая их нулю, получим систему уравнений, из которой определяются те значения независимых переменных, при которых функция может достигать максимума или минимума.

Для полного решения вопроса необходимо еще провести иссле­ дование получаемых значений, для того чтобы проверить, действи­ тельно' ли функция достигает максимума или минимума при этих значениях независимых переменных.

Необходимо отметить, что зависимость CR от всех перечислен­ ных переменных является непрерывной, исключая некоторые гра­ ничные точки, и частные производные существуют.

ных условиях наименьший физически возможный удельный

расход топлива будет достигаться тогда, когда тот или иной

рассматриваемый коэффициент или. все коэффициенты будут равны единице.

23

Частные производные dCRjdlH и dCR:dTH также не обра­ щаются в нуль, так как с уменьшением и Тн величина CR монотонно уменьшается, что видно, например, из формулы (1.30).

Нижний предел для Анравен нулю, а для Тн — физически воз­ можная минимальная температура в высотных или земных усло­ виях.

Коэффициент В не может являться независимой переменной, поскольку теплоемкость зависит от температуры газа и темпера­ туры воздуха на входе в камеру сгорания или при зафиксирован­

которые в частном случае могут быть и предельными по величине.

Если в целях упрощения коэффициент В принимать постоянным,

емкости и постоянным значениям Н„ и тр, так как влияние раз­ ности Сг,г(Гг*—То) в знаменателе уравнения (1.33) невелико.

Каждое из уравнений системы (1.41) порознь в общем случае имеет решение. Совместное же решение этих уравнений, как по­ казано ниже, существует только при некоторых условиях.

Однако в идеальном двигателе (без тепловых и гидравличе­ ских потерь) частные производные от CR как по тгк,* так и йо Тг* не могут быть равны нулю, так как расход топлива будет моно­

тонно уменьшаться по мере уменьшения температуры газа при за­ фиксированном 7гк* или при увеличении тгй* в случае, когда Тт* =

=const.

Вреальном двигателе с уменьшением теплоподвода (за счет снижения Тг* при *7^ = con st или увеличения тгк* при 77* = const)

удельный расход топлива сначала снижается, имеет минимальное значение и затем возрастает. Такое изменение удельного расхода топлива является характерным свойством ТРД и объясняется тем,

24

что экономичность двигателя оценивается по расходу топлива,

отнесенному к тяге.

Если в ТРД расход топлива относить не к тяге, а к полезной работе цикла, как это принято в поршневых двигателях и в ТВД, то при уменьшении теплоподвода экономичность ТРД непрерывно бы ухудшалась.

Рассмотрим этот вопрос, принимая расход воздуха через дви­ гатель GB= 1 кг/сек, и пренебрегая различием между расходом воздуха и газа. Полезную работу цикла в этом случае будет опре­ делять располагаемая кинетическая энергия газа, т. е.

Удельный расход топлива

С* ^збОО 7.

£о

С другой стороны располагаемую кинетическую энергию можно записать следующим образом:

АЕ0 = qHu —ALr,

В QB входят все потери по: тракту двигателя, исключая потери от неполноты сгорания и механические потери.

По мере уменьшения теплоподвода qHa при постоянном зна­ чении Lr удельный расход топлива должен увеличиваться, что

Если qHa-^oo, то Се — 3600— и Т|е-»1,0.

Eu

Если рассмотреть при тех же условиях тяговый удельный рас

ход топлива, то будем иметь

С^ = 3600-/-.

Ауд

25

Введем величину Е, связанную с Ее зависимостью

V2

Е=Е0 + ¥

тогда

с=]/ ‘2gE, Ryi=±(y2gE-V).

оо/оо, также получим CR—oo. Следовательно, в промежутке меж­ ду указанными значениями q существует такое его значение, при котором dCR/dq = Q и удельный расход топлива имеет минимум.

Взяв производную от CR по q и приравняв ее нулю, получим

после преобразований простое уравнение для определения q, при котором удельный расход топлива имеет минимальное значе­ ние. Приведем краткий вывод этого уравнения.

После дифференцирования уравнения (1.44) получим

Обозначим

Тогда предыдущее уравнение примет вид

=0>

А

откуда, беря только положительное решение, имеем:

25

Следовательно,

После приведения подобных членов имеем

Возведя обе части этого уравнения в квадпат и произведя сокра­ щения, получим

Полученное уравнение для </опт отчетливо показывает, что усло; вия, при которых достигается минимальный расход топлива, опре­ деляются только соотношениями между потерями в цикле и теплоподводом с одной стороны и кинетической энергией, соответ­ ствующей скорости полета,— с другой стороны. В частности, це­ лесообразно отметить следующее.

1. С увеличением потерь возрастает и <70ПТ, т. е. должна увели­ чиваться оптимальная температура газа при заданной степени по­

вышения давления или уменьшаться оптимальное irK* при задан­ ном .*Гг

2. С увеличением скорости полета <70ПТ также возрастает и, следовательно, соответственно должны изменяться Гг.Опт или

27

л* . При заданном LR наименьшее значение qom получается при

У = 0.

Эффективный к. п. д., соответствующий qom и C^min, также

возрастает с увеличением скорости полета. Из уравнения (1.24)

при V—1 и 80Х1=1 после замены

с2 у2?Яц

получим

е \ qHu )

Подставляя вместо q выражение для qQm, получим

При И->оо ^=9опт-> 1,0.

Если V=0, то т1е1>=„ =0,5.

Весьма характерно, что при V=0 максимальный эффектив­ ный к. п. д. ТРД ^=0,5 независимо от абсолютных значений

Ниже будет показано, что максимальное значение т]е = 0,5, со­

ответствующее при V—Q оптимальному q, достигается при весьма высоких значениях степени повышения давления и температуры

газа. Известно, что для современных ТРД в стендовых условиях т)е = 0,254-0,35.

Если же учесть принципиальную возможность увеличения LR

из-за уменьшения чисел Рейнольдса с увеличением высоты, то значения <?опт и CR min могут даже возрасти. Может показаться, что это положение противоречит сказанному выше о влиянии Тн

на CR, а также общеизвестным данным, согласно которым вели­ чина min с увеличением высоты уменьшается.

Такое расхождение является следствием того, что обычно срав­

нение CRmla на различных высотах производится при постоянной степени повышения давления, постоянных значениях коэффици­ ентов полезного действия и коэффициентов давления. В этом слу­ чае с увеличением высоты уменьшается работа, затрачиваемая на компрессор, что приводит и к уменьшению величины потерь в компрессоре и турбине.

Если сравнение производить при одинаковой работе, затрачи­ ваемой на компрессор, и постоянном ,*т]к то с увеличением высоты

28

полета потери в цикле также будут уменьшаться вследствие роста степени повышения давления и, следовательно, в этом случае бу­ дут уменьшаться <70ПТ и СЛга.п.

Когда же накладывается условие LR=const, то уменьшение по­ терь за счет роста тгк* или уменьшения работы, затрачиваемой на компрессор, должно быть компенсировано ростом других потерь в цикле, вследствие чего высота полета не будет оказывать влия­ ния Ha СR miп•

Условия получения минимума CR как функции

о совместном решении системы уравнений (1.41) и, следовательно,

В связи со сложностью выражения для CR исследование с по­ мощью этих условий практически невозможно. Поэтому применим более простой способ, учитывающий физические процессы в дви­ гателе.

Как было показано выше, величина q является, в основном,

*7=/(; Л -/)•

Предположим, как это делалось и ранее, что LR — const и поэтому удельный расход топлива является функцией только q.

т. е. С^=/(<7); тогда

и

Поскольку при минимальном значении CR производная dCR __ 0, dq

получим

^=0 и ^ = 0.

дТт* дяк*

29