книги из ГПНТБ / Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений
.pdfперемещения проводников и на превышение выделения джоулева тепла над работой сторонних сил.
Приведенные в этом параграфе соотношения не учитывают лишь одного явления — магнитного гистерезиса. Поскольку этот вопрос носит специальный характер, мы не будем на нем останавливаться.
П р и м е р . Энергия, запасенная в магнитном поле катушки (пример т
стр. 378), будет |
|
|
L / 2 |
1 9-10 —3-О I 2 |
|
Wu = bL^1* |
' " 2 |
=0,95.10-« Д ж - |
Плотность энергии |
|
|
^м=Моіі^=4д- ю - М . |
=0,63 Дж/м3 . |
|
Разумеется, тот же результат можно получить, поделив полную энергию магнит ного поля на объем катушки: wa=WJSl.
§ 117. Электрические колебания
Фундаментальное значение для электродинамики имеют про цессы превращения электрической энергии в магнитную и обратно. В качестве простейшей системы, в которой имеют место подобные
превращения, |
мы |
можем рассмотреть |
заряженный |
электричеством |
|||||||
|
|
конденсатор, обкладки которого в некото |
|||||||||
|
|
рый момент присоединяются к концам ка |
|||||||||
|
|
тушки (рис. 129). При разрядке конденсато |
|||||||||
|
|
ра через катушку |
течет электрический ток |
||||||||
|
|
и около нее создается магнитное поле. В |
|||||||||
ё |
|
каждое мгновение в этой системе существу |
|||||||||
|
ют тесно связанные между собой электриче |
||||||||||
|
|
||||||||||
Рис. |
129. |
ское поле конденсатора |
и магнитное |
поле |
|||||||
катушки. Энергия |
этого |
контура |
склады |
||||||||
|
|
||||||||||
вается в каждый |
момент времени из электрической |
энергии |
поля, |
||||||||
сосредоточенного |
в основном между |
обкладками |
конденсатора, |
и |
|||||||
магнитной энергии, сосредоточенной |
главным |
образом внутри |
ка |
||||||||
тушки. Как известно, в такого рода |
контуре |
возникают |
электри |
||||||||
ческие колебания. Необходимость электрических колебаний в по добной системе сейчас будет нами показана.
Оставим сначала без внимания потерю энергии на джоулево тепло. Тогда закон сохранения энергии требует выполнения равен-
ства
W T ? + T Z ' / 2 ~ c o n s t -
Сумма |
электрической и |
магнитной энергии в каждое мгновение |
одна и |
та же, и, значит, |
производная по времени от написанного |
выражения должна равняться нулю:
dW__QdQ.T |
Ш _ п |
|
dt |
С dt* |
dt |
Так как сила тока должна равняться убыли заряда с пластины кон денсатора,
1 ~ dt ' |
|
то уравнение упрощается и получает |
вид |
с ^ b d t |
и- |
Подобная связь между зарядом на пластинах конденсатора и силой тока, являющейся производной от заряда по времени, может быть удовлетворена лишь при колебаниях заряда и тока по гармониче скому закону.
Это станет ясным, если мы сопоставим уравнения механического
колебания (стр. 75) с |
найденным: |
|
|
г |
dQ |
|
dx. |
I = |
± W |
v |
= d f |
r dl |
1 _ |
dv |
, |
Аналогия имеет место между зарядом и током, с одной стороны, и смещением от положения равновесия и скоростью движения, — с другой. Что же касается параметров системы, то индуктивность играет роль массы, а обратная емкость — роль жесткости системы.
Беря начало отсчета времени в тот момент, когда конденсатор заряжен полностью, положим, что
Q = Q0 cos at.
Тогда
/= — Q 0 cosinco £ .
Подставляя в дифференциальное уравнение, получим ,
—LQ0a2 cos Ы — — Q 0 cos Ы
или после сокращения
1
CO: V LC
Таким образом, каков бы ни был начальный заряд на обкладках конденсатора, в нем происходят гармонические колебания с соб ственной частотой с о 0 = 1 / | / Х С Частота электрических колебаний тем больше, чем меньше емкость и индуктивность цепи.
Что же происходит в реальной цепи тока, где нельзя пренебречь потерями на джоулево тепло? Очевидно, в этом случае полная энер гия системы будет убывать в согласии с равенством
dW= — PRdt,
т. е.
Продифференцировав еще раз по времени и используя соотношение между зарядом и током, мы приходим к уравнению вида
И здесь необходимо проследить аналогию между соответствующими электрическими и механическими величинами. Сопоставляя послед нее уравнение с уравнением механических колебаний с трением (стр. 79), мы отметим аналогию между электрическим сопротивле нием R и коэффициентом а, характеризующим механическое со противление.
Решения подобных линейных дифференциальных уравнений рас сматриваются в курсах высшей математики. Мы ограничимся тем, что приведем окончательную формулу, справедливость которой, впрочем, нетрудно проверить подстановкой в уравнение
/ = 10е~$* cos at.
Частота колебаний
a = |
V<=&. |
Таким образом, процесс определяется двумя характеристиками: собственной частотой свободных незатухающих колебаний со0 = = \/VbC И коэффициентом затухания $=R/(2L). Мы видим, вопервых, что малое затухание достигается уменьшением сопротивле ния по отношению к индуктивности (разумеется, такой ситуации трудно добиться; скажем, увеличивая число витков катушки, мы увеличим одновременно обе величины; правда, L будет расти бы стрее). Во-вторых, мы можем отметить, что при условии
со* < рЛ Т . е. 4L < CR\
колебания становятся невозможными. Разрядка конденсатора в та ких условиях приводит к апериодическому процессу, аналогичному возвращению маятника, отклоненного в вязкой среде, в положение равновесия.
П р и м е р . Пусть имеется конденсатор переменной емкости с максимальной емкостью С=500 пФ. Вычислим индуктивности катушек, необходимых для кон тура радиоприемника, работающего в диапазонах 1500 м и 15 м.
1. Частота электрических колебаний, соответствующая л1 =1500 м, л>і=
=2 - 10 5 Гц=200 кГц. Так как со = 2яу, = - Д = , то Ц= |
]—- = 1,2- 1 0 - 3 Г = |
= 1,2 мГ. Чтобы |
процесс |
в контуре был периодическим, сопротивление кон |
тура должно быть |
меньше |
# г = 2 yrL1/C = 3000 Ом. |
2.Я2 =15 м, v2 =2-107 Гц=20 МГц, L2 =0,12- Ю - 6 Г=0,12 мкГ. Чтобы
колебания были возможны, сопротивление контура должно быть меньше Я 2 = 2 УЦ/С = 30 Ом.
§118. Электромагнитная энергия
Втакой системе как колебательный контур, состоящий из кон денсатора (в особенности, если он состоит из близких пластин боль шой площади) и катушки (в особенности, если она имеет много на ложенных витков), электрическое и магнитное поля сосредоточены каждое в своей области. Поэтому можно говорить об электрической
имагнитной энергиях как о двух хотя и связанных, но разных вели чинах. Такое разбиение в значительной степени теряет свой физи ческий смысл, когда мы переходим к рассмотрению быстропеременных полей, в которых значительные по величине электрические и магнитные поля существуют в одних и тех же пространственных областях.
Вспоминая еще сказанное в § 113 об относительном характере разбиения электромагнитного поля на электрическое и магнитное, мы поймем необходимость введения в теорию электромагнитной энер гии, формально равной сумме электрической и магнитной энергий поля. Электромагнитная энергия распределена в пространстве с плотностью
W = ±Sts(zE* + liH*)dV. v
В быстропеременных полях теряет физический смысл вопрос о превращении магнитной энергии в электрическую и обратно. В то же время надо рассматривать любые энергетические превращения, происходящие в электромагнитном поле, привлекая в энергетиче ский баланс величину электромагнитной энергии как единого целого.
Если принять справедливость написанного выражения для элек тромагнитной энергии, то, используя уравнения электромагнитного поля, которые мы изучали в предыдущей главе, можно строго дока зать следующую теорему для убыли электромагнитной энергии вну три некоторого объема пространства:
Эта теорема была доказана в 1884 г. Пойнтингом, а в более общей форме (в применении не к электромагнитному полю) — Н. А. Умовым в 1874 г. Интеграл, стоящий в правой части равенства, есть поток
Таким образом, в пустоте электромагнитная энергия должна рас пространяться со скоростью с = 3 - 1 0 1 0 см/с в блестящем согласии с опытом. Совпадение значений с, определенных из чисто электроди намических экспериментов (например, измерением взаимодействия двух токов), со значением этой константы, найденным непосред ственным измерением скорости распространения электромагнитных волн, является замечательным и чуть ли не ис черпывающим доказательством справедливости теории Максвелла.
В среде скорость распространения электро магнитного поля в {/ер, меньше. Мы увидим ни же, в каких случаях это соотношение выполня ется, и дадим объяснение отклонениям от него.
Обратимся теперь к рассмотрению энергети ческих превращений в ограниченных областях пространства, включающих в себя токи прово димости.
Пусть в изучаемой нами области находится
цилиндрический провод с радиусом г, по которо |
|
му течет ток с плотностью /. Напряженность маг |
|
нитного поля на поверхности провода (ср.стр.250) |
|
2л |
Рис. 131. |
будет равна в системе СГС H = -j^rj, |
при этом |
магнитные силовые линии представляют собой окружности, охва тывающие ось тока. При помощи рис. 131 мы убеждаемся в том, что вектор Пойнтинга будет направлен внутрь проводника, так как напряженность поля и вектор тока совпадают по направлению. Что же касается числового значения вектора Пойнтинга, то для
него мы получим (на поверхности |
провода) |
||
4л |
EH =~І-Н |
= |
2Х |
|
4л |
А |
|
Теперь определим поток вектора Пойнтинга, поступающий в уча сток провода с длиной /. Этот поток равняется
К-2пг1=^-лгЧ
где V — объем участка провода. Но jVK есть не что иное, как джоулево тепло, выделяющееся в единице объема провода. Мы доказали, таким образом, что поток вектора Пойнтинга поступает в провод и приносит энергию в количестве, как раз равном расходу на джоулево тепло.
Откуда же поступает этот поток? Таким же способом можно по казать, что поток энергии выходит из тех участков провода, где локализованы сторонние силы.
Эта картина делает понятным распространение электромагнитной энергии вдоль проводов. Если электрический ток включается в Куйбышеве, а электрическая лампочка загорается в Москве, то
Как было сказано ранее (стр. 284), вектор Пойнтинга, имеющий смысл потока энергии, должен быть связан с плотностью энергии соотношением K=wc. Сопоставляя две последние формулы, мы видим, что плотность импульса и вектор Пойнтинга связаны посто янным коэффициентом пропорциональности — квадратом скорости распространения волны с2 , а именно, плотность импульса равна g=Klc\
Поток электромагнитной материи, обладающий массой и импуль сом, должен оказывать давление на поставленную на его пути пло щадку. Величина этого давления может быть выражена через плот ность импульса. Она может быть различной в зависимости от того, поглощается энергия волны площадкой или отражается. Разумеется, возможны и промежуточные случаи.
За время Ы к площадке 5 подходит электромагнитное поле, за ключавшееся в объеме ScAt. Если происходит полное поглощение, то за это время пропадает импульс gScAt. Но частное от деления из менения импульса на время есть сила, а сила, поделенная на пло щадь,— это давление. Таким образом, давление, испытываемое площадкой, поглощающей электромагнитную энергию, равно про изведению плотности импульса на скорость света, p=gc, или, так как g=w/c, давление равно плотности энергии w.
Теперь рассмотрим идеально упругую встречу поля с площадкой. Если вся энергия электромагнитного поля (волны) отражается, то изменение импульса будет в два раза большим: импульс изменил свое направление на обратное. Совершенно таким же образом и в чисто механических случаях (стр. 57) сила упругого удара в два раза больше силы неупругого удара. Итак, давление, оказываемое волной на идеально отражающую пластинку, будет равно
р = 2gc, или р = 2w.
Теперь легко получим формулу для общего случая. Если пла стинка отражает часть энергии и коэффициент отражения равен р, то давление электромагнитного потока (волны) представится форму лой
р= |
w(\ —р) + 2рш = (1 + р ) ш . |
Опытная проверка |
этих формул, произведенная для света в |
1900 г. П. Н. Лебедевым, сыграла большую роль в установлении наших взглядов на природу электромагнитных волн. Давление света исключительно мало, даже если пользоваться самыми силь ными источниками. Например, давление света на зеркало, распо ложенное на расстоянии 1 м от «лампы» в миллион свечей, будет величиной порядка Ю - 4 дин/см2 . Именно поэтому работы Лебедева по измерению светового давления с точностью порядка 1—2% рас сматриваются как вершина экспериментального искусства.
Основной частью прибора Лебедева являлся легкий подвес, на котором были прикреплены крылышки. Одно из них было сделано предельно поглощающим свет, а другое — отражающим. Свет