книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

300 ГЛ. VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

{L

Так как

A {t0, \F) = U {to + 0, 10)

TO

A {(, e) = £/(*, to) A {t0, 8),

откуда, используя (4.6), получаем неравенство (4.32).

и все решения системы (4.1), оно удовлетворяет интеграль­

ному уравнению

t

y(t) = Y it) Y~l ( g у ( g + j Y (t) K -1(s) [F (s) x(s) + H (s)] ds. to

(4.39)

Определим матрицы Ѵх (t, t0) и U2 (Л W равенствами

(У, (У, g = Y (t) p rY - 1(t0), u a (/, g = Г (У) (Р, - /„) Г - 1(д (4.40)

для всех вещественных t, t0. Тогда выражение (4.39) можно записать в виде

У(0 = Ul {і, to) у (/0) — и 2 (t, t0) ь +

t

+ j Ux(t,s) [P (s) x(s) + H (s)] ds +

^ о

CO

+ j U2(t, s)\F(s)x(s) + H(s)]ds, (4.41) t

где

oo

b = \ U2 (t0, s)[F(s) x(s) + H (s)]ds + у (t0).

Кроме того, из соотношения (4.30) имеем t

L(t, e)x{t) + g(t, e) = j Ux(t, s)[F{s)x(s) + H{s))ds^

■— CO

CO

+) u 2(t, s) [F(s) x(s) + H (s)J ds. (4.42)

't

Вычитая (4.42) из (4.41), находим

y{t) — L (t, e) x{t) — g (t, e) = Ux (t, t0) у (t0) —

t

— U2(t, t0)b — [ U (t, s) [F(s) x{s) + H (s)] ds, t > g (4.43)

—oo

При получении оценки (4.32) было показано, что первый и третий члены правой части (4.43) стремятся к нулю при t ->■ оо. Покажем, что второй член f/2 (t, t0) b неограничен при t оо.

Действительно, U (t, t0)b ф 0, так как в противном слу­ чае для t > t0 уравнение (4.41) совпадает с уравнением (4.33)2 при а = yt„ и, следовательно, у,а£ Wr, что проти­ воречит нашему предположению. Очевидно, U(t, t0)b явля­ ется решением уравнения (4.4). Поэтому в силу предполо­ жения 2) теоремы оно неограничено на всей вещественной

и уравнение (4.33)2 принимает следующий вид: t

yt = Y (t) Y~' (t0) а + j Y (t) Y~] (s) {F (s) xs + H (s)} ds, t > t0. ta

Следовательно, система дифференциальных уравнений (4.1) при любом у (^0) = а эквивалентна интегро-дифференциаль- ной системе (4.33).

Поэтому при г — п точечное многообразие Wr представ­ ляет собой всю окрестность интегрального многообразия и любое решение системы (4.1) притягивается к интеграль­ ному многообразию (4.2) по закону (4.32).

Предположим теперь, что г = 0. Тогда из (4.5) следует

U (t, s) = 0 при t > s, U (t, s) = Y (t)Y~l (в) при t < s, вследствие чего уравнение (4.33) примет вид

сю

Ht = t\ Y (t) Y ~1(s) {F(s)xs + H (s)} ds< t >

в котором отсутствует произвольный вектор а. Отсюда вы­ текает, что многообразие Wr начальных данных вектора yt вырождается в точку

УU — L (t0, &)x0 + g (t0, е).

Теорема 4.2 доказана.

3. Периодические и почти-периодические интегральные многообразия. Справедлива следующая теорема [81.

Т е о р е м а 4.3. Пусть относительно системы (4.1) выполняются условия 1), 2), и, кроме того, функции А, В, h, С, F, Н — Т-периодические по t. Тогда функции L u g e (4.2) также будут Т-периодическими по t.

— СО

+ Н {о + T)]do = g 1(t, е).

Таким образом, функции Lx и g± — Т-периодические по t. Предположим, что функции L„_i и gn_ і — также T-пе­

риодические по t; тогда X„_i (t + Т, s -f- Т) — X n_i (t, s). Аналогичным способом находим

oo

Ln(t + T, e) = J U(t + T, s)F(s)Xn_ l(s,t+ T)ds =

— CO

oo

=j U (t -|- T, a -f- T) F (a -J- T) X n_\ (a -f- T , t -f- T) do —

—OO

=Ln (t, e),

t

— j* X n_i (Z -\-T, а -\-T)\B(a -\- T)gn_\ (a -f- T, e) -)- t.

+ h(o + T)] da = TI„_I (Z, Z0);

риод функций А, В, h, С, F, Н. Вейлу (4.8) функция АТХ0 =

— Хо (Z -j- т, s + т) — Х 0 (Z, s) удовлетворяет уравнению

где

AxA ^ A { t + x) — A{t).

306 ГЛ VI. Н Е Р Е Г У Л Я Р Н О - В О З М У Щ Е Н Н Ы Е СИСТЕМЫ

для всех вещественных t, s. С другой стороны, из (4.4)

Отсюда ясно, что эта функция ограничена на всей веществен­ ной оси. Она представляет собой единственное ограниченное решение, так как уравнение (4.4) не имеет, по предположе­ нию, нетривиальных ограниченных решений на всей веще­ ственной оси.

а учитывая неравенства (4.14) и (4.19), получаем окончатель­

и g по і следует теперь из равномерной сходимости последо­ вательностей почти-периодических функций Ln и gn к этим функциям.

Теорема 4.4 доказана.

§ 5. Исследование решений линейных нерегулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений

В этом параграфе с помощью результатов § 4 мы исследуем ограни­ ченные решения системы (4.1) [9].

1. Основные предположения. Для исследования огра­ ниченных решений системы (4.1), кроме условий 1), 2), а также условия, что однородное уравнение (4.4) не имеет других ограниченных на всей вещественной оси решений, кроме тривиального (условие 3)), нам понадобятся еще сле­ дующие предположения относительно уравнения