книги из ГПНТБ / Жуков А.В. Колебания лесотранспортных машин

превышений правой колеи над

левой, полагая

£ i ( s ) = 0 ,

полу­

чаем уравнения, отличающиеся

от уравнений

(39) только

мно­

портной машины из

выражений

передаточных

функций

(40),

(41), (42) необходимо

перейти

от

преобразования Лапласа к

преобразованию

Фурье,

для

чего

достаточно допустить,

что

комплексное число s

равно іш.

Произведя

указанную операцию

с выражением

(40)

и подставив

значения

di(s),

d2(s)t...

из

фазовой

характеристики

продольно-угловых

колебаний

машины

w

,.

ч _

2 Са[Еи

м 2

+ £ 0 1 - Н ( £ ц ovH-FziU))]

_

а 2 {

'

/[,М,<і)«+Л!2 о)2+АГо+і

(M3 u>3 +M4 «))]

2 С г [ £ 1 2 ( 1 ) 2

+

£02 + 1

( £ l 2 m 3 +

^22'-»)

,доч

M [ A J l U ) 4 + M 2 m 2 + M 0 + i (М3 ш3 +ЛІ4ш)] '

K '

где

С а = е - " ' " а а 1

—- е-~-*ішЬи

Сг =

е - '''' ш +е - "^ ш ;

М0=а2а7

— а5 а ю,- M i = - 1 — а 3 с 8 ;

'

М2= —а2—а7—а1а6+

a3ab+a3aw-\-ata9;

Мг=

— а6—а1+а3а9+а4а8;

M 4 = a2 a6 -f-aia7 —а5 а9 —а4 а1 0 ;

Еа\ = а2с;

Еп=—с—a\k;

£ 0 2 = а і 0 с ; £ і 2 = — a 3 c — a 9 k ;

Fu=

—k;

F2i = a2k-\-aic;

Fl2= —ask;

£ 2 2 = a i o & + a 9 c .

А м п л и т у д н о - ф а з о в а я

х а р а к т е р и с т и к а

верти­

кальных колебаний машины имеет вид

IF/

п

\

-

2Ci [Qiia>2 +Qo1 + t ' ( ^ n « > 8 + / , 2 l « » ) ]

М [Mi т*+М2

ш2+М0+і

(М3

о ) 3 + М 4 ш) ]

2 C a [ Q 1 2 q > 2 + Q o 2 + f ( P 1 2 o ) 3 + p 2 2 ( u

) 3

.(44)

l[Mla*+M2

co2 "4-M0 +i (М 3 ш 3 +М 4 со] '

где

Q01 = ca7;

Q n = —c—a6k;

Q0 2 =

ca5;

Qi2=—са3—ка±\

Pn=—k;

P2l

= ca6+ka7;

Pi2—

— ka3;.

P22=ca4+&a5.

слений

виде:

W

<;,A—ACJL

а о ) + ^ ш

2 С г _

a'a+ib'a

.

где а ш = £ п и 2 + £ о ь

^со==^п« 3 +^2і<«;

а / < 0 = £ 1 2 и ) 2 + £ ' о 2 ;

Й ' ( Й = ^ І 2 « 3 + ^ 2 2 ш ;

C W

= Q H C O 2 + Q O T ;

rf(D

=

/ J ii«> 3 +/ ) 2i">, -

М й )

= Л11 ш4 +Л1

2 ш2 +Л1о;

iV0 ) =M3 (»3 +Al4 0).

В

выражения

амплитудных

частотных характеристик (45)

мической

системы входят к о э ф ф и ц и е н т ы

н е о д н о в р е-

м е н н о с т и в о з д е й с т в и я С а

и Сг

. Из формул (40)

и

(41)

видно, что

Са=е-%іішаі—Ьхг~"^\

Сг—е~'^ію-\-е-'--іш,

или

в

об­

щем

виде:

где

^ —

время, в- течение которого автопоезд проходит

путь,

равный расстоянию от передней оси до последующих.

Трансцендентные члены вида е~гіш

свидетельствуют

о том,

ванием.

З а п а з д ы в а н и е

в

общем

виде

выражается:

Xj=l./v

(и — скорость движения, I] —расстояние от передней до

/-Й

оси). В рассматриваемом случае

х 1 = г 0 ,

а т 2 = £ 2 / у .

Таким образом, воздействие от неровностей пути на задние

колеса запаздывает

по

отношению

к передним на величину

т2 ,

которая зависит от базы полуприцепа и скорости движения

авто­

поезда. Время

запаздывания

t 2

возрастает с увеличением

базы

и с уменьшением скорости движения.

Коэффициенты

Са

и

Cz

можно

выразить так [3]:

са

=

УЖ+в\Г

сг

=

V~A\+BST

где Л і = 2 . ^ 1

Ifos^f,

Лі = S - I j

IjSmuzj;

^ 2 = 2 . ™ ,

cos

5 2

= 2

sin any .

Для рассматриваемой

системы:

Са= V(й\

COScoxj — b\ COScot2)2+ (Ol sin (OTj-f-Йі sinoJT2)2;

Поскольку ti =

0,

эти выражения упростятся:

Са=

V{а\ — 6iC0su )-c2 )2 + (—bi sincoT2)2;

(46)

С2=

V ( l + c o s « n 2 ) 2 + ( s i n u ) t 2 ) 2 .

(47)

Так как выражения для амплитудных частотных характери­

стик содержат

величины С„ и С г ,

зависящие

от скорости

дви­

жения, для исследования влияния

скорости

движения на

эти

ных

значений частоты

<а из

уравнений

(41).

Члены

уравнений

(41)

включают

в себя

постоянные коэффициенты а0,

аи

а2,...,

являющиеся

параметрами автопоезда.

Амплитудно-фазовая характеристика поперечно-угловых ко­

лебаний

полуприцепа получена из формулы

(42)

и

имеет

вид

Wo.,

(їм)

= — —

-—

— .

(40)

Учитывая, что e~im~> =co s

ш-с2 — і sin сота, данное

уравнение

можно

преобразовать.

В конечном

виде

амплитудно-фазовая

характеристика

выражается

формулой

w

а

\

b„[A2w+Az+i

(соЛ, — Л 4 )]

W о.. I t

СО 1

—

о , .

J

,

р -

/ х

( с 2 —C02+JCOCl)

ГДЄ Лі =

&шС05С0Т2;

/ l 2 = ^lusincOT2; y43 =

CmCOSC0T2;

Л4 =

СШ8ІПШТ2.

Так как в нашем случае поперечно-угловые колебания

полу­

прицепа

возбуждаются

только одной задней осью полуприцепа,

то t 2 = 0 ,

т. е. в случае поперечно-угловых

колебаний рассмат­

риваемая

система

является

системой

без запаздывания.

Тогда

А2—А4

= 0;

A\ = km

и

Аг — сш.

Подставив

в

выражение

(48)

значения

коэффициентов At

и избавившись

от

мнимости

в

зна­

менателе,

получим

№р2 (Йо) =іУр2 (со) — і Vp2 (co),

где

,.

,

.

bn

{cik...—сш)о)2-\-сшс2

— вещественная частот-

U&2(

со ) =

- - • —.—її—'"'

9

9

р

v

/х

(с2 —

*» )

+ «>

с\

ная

характеристика;

Т/

/

ч

Ьп

\Ьш(с2—со2)—СщСіІСО

У й 2

( ш )

=

- г

•

1 Т

5Т5-І—гЧ^

мнимая

частотная

р

v

/х

(с2

— ш2)г-\-ш2с2і

Характеристика.

Как видно

из выражения

W^(i

«>),

амплитудно-фазовая

характеристика

состоит из

в е щ е с т в е н н о й

и

м н и м о й

частей (рис. 28). Важно отме­

тить, что модуль вектора амп­

литудно-фазовой

характери?

стики представляет

собой

от­

ношение амплитуд

вынужден­

ных

колебаний

к амплитудам

воздействия.. Совершенно

оче­

видно, что чем больше ампли­

тудно-фазовая

характеристи­

ка, тем больше амплитуда вы­

нужденных

колебаний.

В случае продольно-угло­

вых

и вертикальных

линейных

колебаний

характер

изменения

частотных

характеристик

бо­

Рис. 28. Амплитудно-фазовая харак­

лее

сложный вследствие нали­

чия запаздывания. Тогда коэф­

теристика поперечно-угловых колеба­

ний полуприцепа.

фициенты

неодновременности

воздействия Са

и Cz,

изменя-

ной реакции на задней оси

полуприцепа от вертикальных и про­

дольно-угловых

колебаний

автопоезда

(см. рис. 18). Для

реак­

ции на

задней

оси полуприцепа можем

записать

# г 3 = —2 Cm (-23 — </з) — 2/гш (z3 — Яг),

(49)

где

2 3

— перемещение точки платформы, лежащей на зад­

ней оси полуприцепа;

<7з

— перемещение оси колеса, обусловленное

профи­

( 2 3

лем дороги;

— (?3) —деформация шины.

Из

рис.

18

имеем Z 3 = 2 Q 2 + <*Ф\. Заменив 2 3

его

значение

£ г 3

(і) = (2кшр+2сш)

q (t) -

(2ка]р+2сш)

[zu2(t)

+

o.2(t)b,].

После преобразования

Лапласа

R z i (s) = (2kms+2cj

q (s) — ( 2 й ш « + 2 с ш )

[z02(s)

+

a2(s)bl].

Если это уравнение разделим на q{s),

получим выражение

пере­

даточной функции от дороги к колесу

WRz3

( 5 ) = 2 М + 2 с ш - ( 2 * ш з + 2 с ш )

[Wzl)2(s)

+ Wa2(s)bl].

(50)

Заменив комплексное число s на і о>,

из выражения

(50)

найдем

частотную характеристику реакции

дороги

на

колесо:

WRt3(m)=2kJ^+2clu-

(2кшЫ+2сш)

[Wz02(i«>)

+ Wa 2 (i«>)£,].

Из

этой формулы

видим,

что

частотная

характеристика

в ее выражение входят

частотные характеристики вертикальных

и продольно-угловых колебаний кузова — Wm(i^)

и Wa2(i

со).

Согласно уравнению (34),

энергетический

спектр

верти­

кальной

реакции на задней оси

полуприцепа будет

иметь

вид

5 К г 3

( ш ) = | ( 2 * ш 1 ( » + 2 с ш ) -

( 2 £ ш г с о + 2 с ш )

[WM2(ia>)

+

+

^а2(ш)Ь1]\2-Ф

(со).

(51)

С п е к т р а л ь н а я

п л о т н о с т ь

р е а к ц и и

на средней

SRc (ш) = | (2 k Ы+2с)

-

(2k i(o+2 с)

[ W_m (і

со) +

+ «?а 2 (и«)а1 ]|2 - Ф

И -

(52)

Таким же методом получаем спектральную плотность реак­

ции на

задней

оси от поперечно-угловых колебаний.

Для поперечно-угловых колебаний полуприцепа

на

задней

оси

Д „ = с ш (A q - 2й„р2) +кш

(Aq-

2b£2),

(53)

где -(Aq

— 2b$2)

—деформация

шин;

превышениями не­

Aq

— перемещения,

вызванные

ровностей

колей дороги.

Производя

с уравнением

(53) все

операции, имевшие

место

Рис. 29. Энергетические спектры реакций

SR„(u>)(a), Srz3((u)

(б)

и S / ? c ( t o )

(в)

на задней оси

полуприцепа:

/ — и = 10 км/ч;

2 — v = \5 км/ч;

3 — '« = 30 км/ч;

4 — и = 60

км/ч.

В уравнениях (51) и (52) спектральная плотность

Ф (<•») харак­

теризует воздействие от продольного микропрофиля дороги.

Значения спектральных плотностей реакции получаем, под­

ставляя

в выражения

(51),

(52)

и (54)

значения

частот

«> и

соответствующие этим

частотам

величины

W a 2 ( i u > ) , W^2(i

w ) ,

W*o2

Причем значения спектральной

плотности

реакции

находим для той дороги и той скорости движения

автопоезда,

которым соответствует подставленное значение Ф ( « ) .

На рис. 29 приведены энергетические спектры реакций при

движении

автопоезда

по дороге

с

гравийным

покрытием.

При

рассмотрении

формул

для частотных

характеристик

установлено, что колебания

одноосного полуприцепа

в

попереч-

тотных характеристик поперечно-угловых

колебаний

системы

(см. рис. 29, а).

Зависимость энергетических спектров реакций Rz

и Rc

от

скорости движения автопоезда

более сложная. Например,

при

движении автопоезда по участку дороги с гравийным

покрытием

кривые SRz.j(u>) спектральной

плотности

реакций

(см. рис.

29, б) с увеличением скорости

движения поднимаются

выше, но

4 ( и = 6 0 км/ч)

имеет

максимальное

значение (360-103

кгс2 -с)

при частоте, равной 7,2, а для кривой

/ ( и = 1 0 км/ч) максимум

расположен на

частоте

13 1/с

(Se r f

( « ) =90 - 10 3 кгс2 -с).

Из

рис. 29, б видно,

что с увеличением скорости

движения

автопо­

езда

максимальные

значения

спектральной

плотности

реакции

Rг!

смещаются

в

сторону меньших

частот

(сравни кривые

/,

3, 4

рис. 29, б).

а м п л и т у д р е а к ц и й . Колебательный

процесс, возникаю­

щий при движении транспортной системы

по неровному пути,

Учитывая,

что

дисперсия

равна корреляционной

функции

при - = 0, можно

записать

D[R(t)]=R(0)=2ff

S

(ш) dm.

.(55)

Уравнение

(55) выражает

площадь,

заключенную

между

системы, т. е. з р =

VD[R(t)].

Дисперсия

D[R(t)]

и среднее квадратичное значениез л

характеризуют

разброс

значений амплитуд относительно центра

считать, что

выходные сигналы (т. е.

амплитуды реакций), как

и дорожные

неровности, распределены

по нормальному закону.

поезда со скоростью 12,28 км/ч, построенная по данным

обра­

ботки экспериментальных осциллограмм м е т о д о м п и к .

Двух-

/, 2, 3, 4

— Rc; 5, 6, 7,

S — Я п ( / , 5 — и = 10 км/ч; 2,

6 — v = l5 км/ч;

3,7 — и = 3 0 км/ч;

4, 8 — 60 км/ч).

Количественная оценка степени отклонения кривой распре­

деления

амплитуд

от соответствующей

ей кривой

нормального

лебаний реакции распределены по нормальному

закону Гаусса.

При нормальном распределении функция, характеризующая

п л о т н о с т ь в е р о я т н о с т и

реакции, имеет

вид

[53]

f(R)

= - J

. е - <*-»>2'<2^> ,

• (56)

CR У

2 тс

где (R — т) — отклонение

от среднего

значения.

По формуле (56) можно построить

графики

распределения

амплитуд реакций

для любой

скорости

движения.

К р и в ы е

р а с п р е д е л е н и я дают наглядное

представление

о вероят­

ности появления амплитуд той или другой величины

(рис. 30, б).

Чтобы построить графики распределений для разных ско­

ростей движения

автопоезда

по

соответствующим

дорожным

fa

4

3

2

1

0

" 10 Ъ

J0~

То

То V.KM/ч

/, 2,

3 —

В п .

, Д с

(грунтовая

дорога);

4,

5, 6

— Д п

, R z 3 , Я с

(булыжное,

шоссе) .