Глава 6. Применение моделей управления запасами в управлении производством

6.1. Краткая характеристика задач управления запасами

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий, фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит информация о поставщиках и потребителях товаров. При этом приходится решать задачи моделирования спроса и потребления. Рассмотрим более подробно управление запасами.

Под задачей управления товарными запасами понимается такая оптимизационная задача, основными характеристиками которой являются:

1. Спрос на запасаемый продукт(детерминированный или стохастический). Характеристикой стохастического, или случайного спроса является описание его закона (распределение вероятностей случайной величины спроса), а детерминированного – числовые значения спроса.

2. Пополнение запаса, которое может осуществляться либо периодически, через заданные интервалы времени, либо по мере исчерпывания запасов, т.е. снижения уровня запасов до некоторого прогнозного значения.

3. Объем заказа. При периодическом пополнении и случайном расходовании объем заказа может зависеть от того состояния, которое наблюдается в момент подачи заказа. Если подача заказа осуществляется при снижении запаса до критического уровня, то этот момент называют точкой заказа.

4. Время доставки. В идеализированных моделях предполагается, что заказанное пополнение запаса осуществляется мгновенно, т.е. время доставки товара на склад равно 0. В реальных моделях рассматривается задержка доставки товара на фиксированный или случайный интервал времени, связанный со временем прохождения документов, оплатой заказа, транспортировкой и др.

5. Стоимость поставки. Предполагается, что она включает две компоненты:

• разовые затраты, которые не зависят от объема заказываемой партии;

• переменные затраты, которые находятся в линейной или более сложной зависимости от объема заказываемой партии.

6. Издержки хранения. В большинстве моделей для упрощения расчетов предполагают, что за хранение каждой единицы товара в единицу времени взимается определенная плата. При более строгом подходе издержки хранения тоже могут быть представлены:

• в виде постоянной составляющей, к которой относится аренда помещения, расходы на коммунальное обслуживание, охрану;

• переменной составляющей, к которой относятся расходы на оплату труда работника.

7. Номенклатура запаса. В простейшем случае предполагается, что модель описывает запас однотипных объектов. В более сложных случаях может быть рассмотрен многономенклатурный запас.

Наиболее полно разработаны математические модели одиночного склада. На практике достаточно часто встречаются более сложные структуры, например иерархические системы складов с различным временем пополнения и временем доставки товаров. Простыми являются одноуровневые системы, в которых возможен обмен запасами между складами первого уровня.

В качестве критерия эффективности управления запасами рассматривается функция суммарных затрат, которые определяют затраты на хранение, поставку товара и др. При этом могут учитываться потери от порчи продукта, морального старения, потери прибыли от замораживания капитала, на штрафы, связанные с экологической ситуацией.

Управление запасами состоит в отыскании такой стратегии, при которой функция затрат принимает минимальное значение.

Пусть A(t) – функция пополнения запасов;

B(t) – функция спроса на запасаемый продукт;

R(t) – расход запасаемого продукта,

Где t изменяется от нуля до времени пополнения запаса .

В моделях управления запасами используют производные этих функций, которые называются интенсивностью пополнения, спроса и расхода продукта a(t), b(t), r(t). Если эти три функции не случайны, то модель детерминированная. Если хотя бы одна из функций случайная, то модель стохастическая. Детерминированная модель при неизменных во времени параметрах является статической, а иначе – динамической. Статические модели используются для принятия разовых решений, динамические – в случае принятия последовательных решений и их корректировки с учетом произошедших изменений.

Основным уравнением, описывающим динамику изменения запаса, является балансовое уравнение, которое включает уровень запаса на момент времени y₀ , пополнение запаса A(t) и потребление продукта B(t):

(6.1)

Рассмотрим статическую детерминированную идеализированную модель управления запасами со стратегией, исключающей возникновение дефицита. Предположение о том, что дефицит исключен, означает совпадение спроса и расхода: b(t)=r(t).

Обозначим общее потребление запасаемого продукта за период времени τ через N. Предположим, что расходование запаса происходит с постоянной интенсивностью, т.е. b(t)=b. Это и определяет детерминированность модели. Эту интенсивность расхода можно представить как b=N/ τ , т.е. равномерное расходование за период времени (рис.6.1).

Пополнение запасов происходит партиями одинакового объема. Функция a(t) является дискретной:

при всех значениях t кроме момента поставки товара; при.

(6.2)

Так как интенсивность расхода детерминирована, то вся партия n будет израсходована за период времени T=n/b. Если отсчет времени начать с момента поступления первой партии, то первоначально объем запаса в момент времени 0 будет равен объему одной поставки: y₀=n, N=k·n, где k – количество поставок, k = τ/T, а n – размер поставки.

	Обозначим: суммарные затраты, связанные с пополнением и расходованием запасов, через С; затраты на закупку новой партии и ее доставку – С1 ; затраты, связанные с хранением запасов, – С2. С=С1+С2. (6.3) Допустим, затраты на доставку партии не зависят от ее объема. Затраты, связанные с доставкой партии
Рис. 6.1. Изменение размера запасов без дефицита

объемом n, обозначим через с₁. Затраты на хранение единицы продукции – с₂..

Тогда получим

(6.4)

Мгновенные затраты на хранение запасов в момент времени t определяются как

.

Так как в начальный период запасы равны n, то на отрезке от 0 до Т

(6.5)

Если учесть периодичность функции y(t) , то всего за период времени τ будет k периодов. Общий расход на хранение запасов можно оценить как

.

(6.6)

Подставив эти значения в формулу (6.3), получим

С=С1+С2=.

(6.7)

Поиском экстремума этой функции необходимо оптимизировать суммарные затраты. В качестве аргумента можно указать поиск оптимального размера поставки. Затраты, связанные с хранением, будут расти линейно, а затраты, связанные с поставкой, нелинейно (рис.6.2). Формула Уинсона

,

(6.8)

где b – интенсивность расхода.

Эта формула применима лишь для идеальной детерминированной модели. Снимая ограничения, можно построить реальную модель (например, при управлении кадрами необходимо рассматривать с учетом других параметров и выход на пенсию).

Рис. 6.2. График затрат

Рассмотрим детерминированную модель управления запасами с дефицитом (рис.6.3). При отсутствии запасаемого продукта спрос на него сохраняется с той же интенсивностью, хотя потребление запаса отсутствует: y(t)=0, r(t)=b. Это соответствует приему заказов на будущие периоды.

Рис.6.3. График изменения размера запасов

время пополнения запасов, т.е. время, когда следует производить заказ на поставку.

Как показывает рисунок дефицит, который необходимо использовать для покрытия спроса, постоянно накапливается.

Каждый период Т можно разбить на две составляющие: Т₁ и Т₂. Т₁ – время, в течение которого происходит потребление запаса; Т₂ – время накопления дефицита. Наличие дефицита приводит к тому, что максимальный уровень запаса в момент поступления очередной партии уже будет меньше, чем объем заказа. Эта величина запаса S будет меньше объема поставки. Максимальная величина дефицита d=n-S.

, ,

Заштрихованная фигура на рис.6.3 графически показывает соответствие издержкам для хранения запаса товара А. Стоимостный баланс

С=С1+С2+С3 ,

(6.9)

где С₁ – затраты на пополнение запасов;

С₂ – затраты на хранение;

С₃ – потери, связанные с образованием дефицита (штрафы за образование дефицита).

Предполагая, что стоимость поставки не зависит от объема, будем иметь затраты на постоянный товар:

,

(6.10)

где N – общий объем всей поставленной продукции.

,

(6.11)

где с₂ – стоимость хранения единицы товара;

Т₁ – период времени, в течении которого расходуется запас.

,

(6.12)

где с₃ – штрафы за дефицит единицы продукции.

В течение года требуется b/n заказов. Следовательно, время повторного заказа

.

(6.13)

Оптимизируя суммарные затраты, можно определить минимальные размеры запаса товара на складе S₀ и объем поставки n₀. Для модели с дефицитом оказывается, что объем поставки будет оптимальным при следующих параметрах:

.

(6.14)

Оптимальный объем запаса

.

(6.15)

Плотность убытков из-за дефицита или неудовлетворения спроса клиентов

.

(6.16)

Предполагаем, что в идеализированной модели спрос на запасаемый продукт детерминирован, постоянен: b=N/τ. Однако в реальных условиях этот спрос представляет собой случайную величину, которая может быть описана соответствующим законом распределения вероятностей. Если расход запасаемого продукта является дискретной величиной, то закон его распределения описывается либо вероятностным рядом Р(τ), либо функцией плотности распределения вероятностей F(τ) при непрерывной случайной величине расхода запасаемого продукта.

В качестве суммы затрат в стохастических моделях обычно используют соответствующие затраты на хранение и штрафы за дефицит, рассматривая оценку математического ожидания этой суммы. Тогда суммарные затраты С(S) будут определяться стоимостью хранения с₂:

,

(6.17)

где P(r) – вероятность расхода единицы продукции;

S – r – количество оставшегося продукта.

Аналогично и для непрерывной случайной величины, описывающей запас и расход материала:

.

(6.18)

Задача управления запасами состоит в отыскании такой величины запаса, при которой эта сумма S(S₀) →min.

При дискретном спросе ее можно рассматривать как дискретную случайную величину, тогда выражение (6.18) будет минимально при F(S₀)<ρ< F(S₀+1), где ρ – плотность убытков, связанных с наличием дефицита.

Если известна плотность распределения или функция распределения спроса, то, зная величину плотности убытков, можно установить оптимальную величину запаса для непрерывной величины спроса (рис. 6.4), для дискретной величины спроса (рис. 6.5).

Рис.6.4. Функция распределения спроса для непрерывной величины спроса

Рис.6.5. Функция распределения спроса для дискретной величины спроса

Такой подход позволяет учитывать неопределенность спроса на товар, а модель управления запасами называется стохастической.