5.2. Задачи экономического анализа, решаемые

на основе регрессионных эконометрических моделей

Вопросы построения и использования эконометрических моделей рассмотрим более подробно на примере линейных регрессионных моделей как в случае парной регрессии (однофакторная модель), так и в случае множественной регрессии (многофакторная модель). Будем рассматривать модели множественной регрессии на примере линейной двухфакторной модели.

Основу математического аппарата для рассматриваемых моделей составляют такие разделы математической статистики, как корреляционный и регрессионный анализ. Для определенности эндогенные переменные в этих моделях будем называть результативными признаками и обозначать их, как и ранее, буквой у, а экзогенные переменные будем называть факторными признаками и обозначать их буквой х. Методы корреляционно-регрессионного анализа позволяют решать три основные задачи: определение формы связи между результативным и факторными признаками, измерение тесноты связи между ними, анализ влияния отдельных факторных признаков. Рассмотрим решение этих задач для указанных видов эконометрических моделей; при этом для наглядности будем иллюстрировать выводы на конкретном примере экономического анализа.

Пример 5.1.В табл. 5.1 представлены статистические данные о расходах на питаниеy, душевом доходе (x₁) и средний размер семьи (x₂)для девяти групп семей. Требуется проанализировать зависимость величины расходов на питание от величины душевого дохода и размера семьи, т.е. построить модель =f(x₁,x₂).

Расходы на питание будем считать результативным признаком, который обозначим у, тогда два других фактора будут независимыми признаками, или факторами, и мы их обозначим соответственно, x₁ и х₂.

Таблица 5.1. Исходные данные для построения эконометрической модели

Номер группы	Расход на питание (у)	Душевой доход (x1)	Размер семей (х2)
1	433	628	1,5
2	616	1577	2,1
3	900	2659	2,7
4	1113	3701	3,2
5	1305	4796	3,4
6	1488	5926	3,6
7	1645	7281	3,7
8	1914	9350	4,0
9	2411	18807	3,7

Рассмотрим сначала однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (x₁). Она выражается линейной функцией вида

,

(5.2)

параметры которой а₀ и а₁ находятся в результате решения системы уравнений, формирующейся, как уже отмечалось в анализе временного ряда, на основе метода наименьших квадратов.

Система уравнений для рассматриваемого случая имеет вид

(5.3)

где суммирование проводится по всем n группам.

Используя данные табл. 5.1, получим систему уравнений

решением которой являются значения а₀=549,68 и а₁=0,1257. Таким образом, модель имеет вид

= 549,68 + 0,1257x1.

(5.4)

Уравнение (5.4) называется уравнением регрессии, коэф­фициент a₁ – коэффициентом регрессии. Направление связи между у и x₁ определяет знак коэффициента регрессии a₁; в нашем случае данная связь является прямой. Тесноту этой связи для однофакторной модели можно охарактеризовать коэффициентом корреляции

.

(5.5)

Здесь Sy – среднеквадратическое отклонение выборки у из табл.5.1:

,

(5.6)

– среднеарифметическое значение;

– среднеквадратическое отклонение уравнения (5.4) (СКО адекватности модели) для числа степеней свободы n - 2:

,

(5.7)

– соответствующее значение расходов на питание, вычисленное по модели (5.4).

В этих формулах, как и ранее, суммирование ведется по всем группам от 1 до n.

Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь. В нашем примере =454070, = 63846, следовательно,

.

Полученное значение свидетельствует о том, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.

Величина называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. В нашем случае =0,859 , это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 86 % изменения расходов на питание.

Коэффициенты регрессии (в рассматриваемом случае это коэффициент а₁) нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета-коэффициент.

Коэффициент эластичности для рассматриваемой модели парной регрессии рассчитывается по формуле

.

(5.8)

Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака x₁ на 1%.

В нашем примере коэффициент регрессии а₁ равен 0,1257, а средние арифметические и равны соответственно 6080,6 и 1313,9. Поэтому коэффициент эластичности расходов на питание в зависимости от душевого дохода

.

Это означает, что при увеличении душевого дохода на 1% расходы на питание увеличатся на 0,58 % .

Бета-коэффициент в нашем случае задается формулой

,

(5.9)

где и S_y — среднеквадратические отклонения выборки ве­личин x₁ и у из табл.5.1, соответственно. Для нашего примера .

Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель за­висимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (x₁) и размера семей (х₂). Как уже отмечено выше, множественный (многофакторный) корреляционно-регрессионный анализ решает три задачи: определяет форму связи результативного признака с факторными, выявляет силу этой связи и устанавливает влияние отдельных факторов. В нашем случае эта модель имеет вид

= а0 + a1x1 + а2х2.

(5.10)

Параметры модели а₀,, a₁ и а₂ находят при помощи системы уравнений:

(5.11)

Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные коэффициенты корреляции ,,. Например,

,

(5.12)

где черта над символами означает среднеарифметическую величину, а S_y и S_хi – среднеквадратические отклонения соответствующих выборок y и x_i из табл. 5.1.

Аналогичный вид имеют формулы для и .

После этого вычисляют коэффициент множественной корреляции

(5.13)

который колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на резуль­тативней признак.

Величина называетсясовокупным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных призраков.

Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов решается в многофакторных моделях при помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и факторным признаком x₁ при неизменном значении факторного признака x₂ рассчитывается по формуле

,

(5.14)

где используются парные коэффициенты корреляции, рас­считываемые по формулам, аналогичным (5.12).

Аналогичная формула имеет место для частного коэффи­циента корреляции между результативным признаком у и факторным признаком х₂ при неизменном значении факторного признака x₁.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квад­рат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моде­лях может быть охарактеризовано с помощью частных ко­эффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели (5.10) рассчитываются по формулам

; .

(5.15)

Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множе­ственной регрессии можно сделать на основе расчета част­ных бета-коэффициентов, которые для двухфакторной мо­дели (5.10) задаются формулами

; .

(5.16)

Частные бета-коэффициенты показывают, на какую долю своего среднеквадратического отклонения изменится в среднем результативный признак при изменении одного из факторных признаков на величину его среднеквадратического отклонения и неизменном значении остальных факторов.