Лабораторная работа 2 Решение задач поиска оптимального решения методом линейного программирования Цель: научиться использовать встроенные функции пакета Excel для поиска оптимального решения.

Постановка задачи.

В задаче линейного программирования требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции f(X^*):

max(min) f(X*)=c1x1+c2x2+…+cnxn,

(8)

при ограничениях:

…….	(9)
,	(10)

где – заданные постоянные величины. Так записывается общая задача линейного программирования в развернутой форме. Знак {≤, =, ≥} означает, что в конкретной ЗЛП возможно ограничение типа равенства или неравенства (в ту или иную сторону).

Вектор X^* = (x₁, х₂, ..., х_п), удовлетворяющий системе ог­раничений (9), (10), называется допустимым решением, или планом ЗЛП, т.е. ограничения (9), (10) определяют область допустимых решений, или планов задачи линейного программирования (область определения ЗЛП).

Пример. Пусть требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов: Прод.1, Прод.2, Прод.3, Прод.4 для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода и прибыль, получаемая от реализации каждого типа продукции, приведены в табл. 3.

Таблица 3. Исходные данные для оптимизации выпуска продукции

Ресурс	Прод.1	Прод.2	Прод.3	Прод.4	Знак	Наличие
Прибыль	60	70	120	130	макс	-
Трудовые	1	1	1	1	<=	16
Сырье	6	5	4	3	<=	110
Финансы	4	6	10	13	<=	100

Последовательность выполнения.

1. Составим математическую модель, для которой введем обозначения:

x_j – количество выпускаемой продукцииj-го типа (j=1,4);

b_i – количество располагаемого ресурсаi-го вида (i=1,3);

a_ij – норма расходаi-го ресурса для выпуска единицы продукцииj-го типа;

c_j – прибыль, получаемая от реализации единицы продукцииj-го типа.

Тогда математическая модель будет иметь вид

(11)

2. Составим форму для ввода исходных данных в Excel (табл.4).

Таблица 4. Форма ввода данных

А

B

C

D

E

F

G

H

1

Решение задач линейного программирования

2

3

Переменные

4

Имя

Прод.1

Прод.2

Прод.3

Прод.4

5

Значение

6

Нижн.гран

7

Верх.гран.

8

Коэф.в ЦФ

9

Ограничения

10

Вид

Левая часть

Знак

Правая часть

11

Трудовые

12

Сырье

13

Финансы

3. Ввести исходные данные из табл. 3.

4. Ввести зависимости из математической модели (11):

• назначение целевой функции (ячейка F8);

• ввод ограничений и граничных условий (ячейки F11-F13).

Таблица 5. Форма ввода с математической моделью

	А	B	C	D	E	F		G	H
1			Решение задач линейного программирования
2
3		Переменные
4	Имя	Прод.1	Прод.2	Прод.3	Прод.4
5	Значение
6	Нижн.гран
7	Верх.гран.
8	Коэф.в ЦФ	60	70	120	130	=СУММПРОИЗВ(B5:E5;B8:E8)		Макс
9			Ограничения
10	Вид					Левая часть		Знак	Правая часть
11	Трудовые	1	1	1	1	=СУММПРОИЗВ(B5:E5;B11:E11)		<=	16
12	Сырье	6	5	4	3	=СУММПРОИЗВ(B5:E5;B12:E12)		<=	110
13	Финансы	4	6	10	13	=СУММПРОИЗВ(B5:E5;B13:E13)		<=	100

5. Осуществить поиск решения командой Сервис/Поиск решения.

Появится диалоговое окно "Поиск решения", в которое вводится:

• целевая ячейка - $F$8;

• изменяемые ячейки - $B$5:$E$5;

• ограничения:

$B$5>=$B$6, $C$5>=$C$6, $D$5>=$D$6, $E$5>=$E$6,

$F$11<=$H$11, $F$12<=$H$12, $F$13<=$H$13;

• выполнить поиск решения (табл.6).

Таблица 6. Результаты расчета

	А	B	C	D	E		F			G	H
1	Решение задач линейного программирования
2
3		Переменные
4	Имя	Прод.1	Прод.2	Прод.3	Прод.4
5	Значение	10	0	6	0
6	Нижн.гран
7	Верх.гран.
8	Коэф.в ЦФ	60	70	120	130		1320			Макс
9			Ограничения
10	Вид						Левая часть			Знак	Правая часть
11	Трудовые	1	1	1	1		16			<=	16
12	Сырье	6	5	4	3		84			<=	110
13	Финансы	4	6	10	13		100			<=	100

6. Ознакомиться с результатами, сделать выводы по работе.

7. Поставить собственную задачу и повторить работу с новой математической моделью.