книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

Равенства в левом и правом столбцах равнозначны: первые влекут вторые и наоборот.

Из определения логарифма следует, что

где по данным двум числам требуется найти третье число,

x= \ogay,

или, переставляя обозначения аргумента и функции,

У —logß X

если перегнуть рисунок по биссектрисе первого и треть­ его координатных углов.

На рис. 113 представлены графики показательной функции у -- 2х и обратной ей функции у — log2 х.

§ 163. Свойства логарифмической функции. Каждому свойству показательной функции соответствует опреде­ ленное свойство логарифмической функции, что видно из следующих сопоставлений:

даны логарифмы по основанию 2 чисел второй и четвер­ той строк. Так, например, 11= log22048.

С помощью этой таблицы можно быстро производить умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня над числами, помещенными в строке с надписью «2 ”», например:

1) Умножение 2048 на 256 можно заменить сложе­ нием соответствующих показателей (11+ 8= 19) и оты­ сканием соответствующего этому показателю числа, по­ лучим:

2048:256 = 524 288.

2) Деление 1 048 576 на 32 768 заменяется вычитанием показателей (20— 15 = 5) и отысканием соответствую­ щего этой разности числа (32), т. е.

1048 576:32 768 = 32.

3) Возведение в степень 1283 может быть выполнено умножением соответствующего основанию показателя

Во всех четырех случаях громоздкие действия над самими числами мы заменили более простыми дейст­ виями над их логарифмами.

§165. Общие свойства логарифмов.

1.Логарифм произведения двух или нескольких по­ ложительных чисел равен сумме логарифмов сомножи­ телей .

Пусть N и N1 —два положительных числа, тогда по определению логарифма имеем:

Перемножая почленно эти равенства, получим:

NN t = a]°Sa N+l°saN, t

откуда

loge'(NN J = log„ N + loga N,.

2. Логарифм частного или дроби равен логарифму числителя минус логарифм знаменателя.

Разделим почленно первое из равенств (1) на второе,

помня, что при делении степеней с одинаковыми основа-

у

ниями показатели степени вычитаются: /v1 —al0Sa N~loSa Nt,

откуда

loga-j^= logaN — loga ATj.

3. Логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания степени.

В самом деле, если обе части тождества N = а}°&а N возведем в п-ю степень, то получим Nn = anl°z<‘ Ni откуда

loga (Nn) = n-logaN.

Отметим, что ни сумма, ни разность не логарифми­

§ 167. Потенцирование. Если по логарифму некоторого выражения отыскивается само выражение, то говорят, что надо произвести потенцирование, т. е. действие, обратное

x = c

a ( a - j - b ) 2

~ У 1 Г '

При потенцировании руководствуемся следующими соображениями: сумма логарифмов есть логарифм произ­ ведения, например:

Правильность произведенного потенцирования всегда можно проверить логарифмированием.

§ 168. Система десятичных логарифмов. Логарифмы чисел, вычисленные по одному и тому же основанию, образуют систему логарифмов. В частности, если за осно­

Десятичные логарифмы обладают рядом свойств, де­ лающих их чрезвычайно удобными при вычислениях.

дроби, изображенной единицей с предшествующими ну­ лями, равен стольким отрицательным единицам, сколько нулей предшествует единице, считая и нуль целых. Дей­ ствительно,

Десятичные логарифмы рациональных чисел, не яв­ ляющихся числами вида 1 0 " и 1 0 - " (п—целое число), не могут быть выражены точно ни целым, ни дробным числом; они представляют собой иррациональные числа.

Покажем, например, что lg 2 не может быть равен дробному числу у , где р и q—целые положительные

числа.

Если допустим, что lg 2 = — , то должно иметь место

часть 2 ? такого разложения дать не может; следовательно, допущение, что lg 2 является дробным числом, неверно.

Однако можно вычислить приближенно lg 2, а также логарифм всякого другого числа с любой степенью точ­ ности, т. е. с любым числом десятичных знаков. Пример такого вычисления будет дан в следующем параграфе. Здесь же мы дадим способ производить грубую оценку логарифма, т. е. способ находить, между какими целыми числами он содержится.

Пусть требуется найти lg 275,6; напишем очевидное неравенство

100 < 275,6 < 1000;

тогда

lg 100 < lg 275,6 < lg 1000,

или 2 < lg 275,6 < 3 , откуда

lg 275,6 = 2 -f положительная правильная дробь.

Оп р е д е л е н и е . Целая часть логарифма называется

характеристикой, дробная часть—мантиссой. В четырех­

большего или равного 1 , содержит столько единиц, сколько цифр в целой части числа, без одной.

Сначала убедимся в правильности высказанного по­ ложения на отдельных примерах, а потом рассмотрим общий случай.

а) Число 32,185 имеет в целой части две цифры и заключается между 101 и 102, т. е. 101 < 32,185 < ІО2, но большему числу соответствует больший логарифм:

lg 10 < lg 32,185 < lg ІО2,

или 1 < lg 32,185 < 2, откуда

lg 32,185 = I -j- правильная дробь.

Характеристика равна 1 , т, е. на единицу меньше числа цифр в целой части.

б) ^5147,3 = 3 + правильная дробь, ибо

1000 < 5147,3 < 10000,

или ІО3 < 5147,3 < ІО4, откуда

3 < lg 5147,3 < 4.

в) Пусть число А имеет в целой части п цифр, тогда имеем неравенство

ІО” - 1 <Ç А < 10",

откуда п — 1 ss7 lg А < п, следовательно,

lg А — il — 1 ф- правильная дробь,

С в о й с т в о IV. Характеристика логарифма правиль­ ной десятичной дроби содержит столько отрицательных единиц, сколько нулей предшествует первой значащей цифре, считая в том числе и нуль целых; мантисса при этом положительна.

П р и м е р 1. Дробь 0,0475 заключается между 0,01 и 0 ,1 , т. е.

Следовательно, lg 0,0475 = — 2 + правильная положитель­ ная дробь. Характеристика в данном случае равна —2. Первой значащей цифре (4) предшествуют два нуля.

0,0001 <0,00054 <0,001,

откуда

lg 0,0001 < lg 0,00054 < lg 0,001 ;

—4 < IgO,00054 < —3.

Пусть имеем правильную десятичную дробь а, пер­ вой значащей цифре которой предшествуют п нулей (считая и нуль целых). Такую дробь в общем виде можно