книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

где g(x) — целая рациональная функция от (х—а)~1 и <р(х) — обыкновенный степенной ряд по х—а для х = а, отличный от ну­ ля. Автор назвал г принадлежащим показателем и g(x) опреде­ ляющим множителем. Такие элементарные интегралы определя­ ются уравнением

получаем, что у удовлетворяет уравнению 7-го порядка формы

Это выражение образует систему нормальных элементарных ин­ тегралов.

Если характеристический индекс h уравнения (10.30) для х = а больше нуля, то встает вопрос о наличии элементарного интеграла (11.31). Для отыскания показателя г получается алгебраическое уравнение степени п—h, и тогда можно устано­ вить возможные формы определяющих множителей. Если до сих пор не встречалось противоречие, то для ф(х) получается в за­ ключение вполне определенный степенной ряд, коэффициенты которого могут быть получены алгебраическими операциями. Итак, дело сводится к исследованию сходимости этого ряда, что в отдельных случаях, как показал автор, может быть рациона­ лизировано.

Если обозначить левую часть уравнения (11.30) через Gn{y, х)

и положить у = еем z, получим Gn (у, х) = ее1-хЮп(г, х), где Gn пост­

ренциальное выражение. Возможно, это следует только одним способом и тогда Gn при х=а называется нормальным диффе­ ренциальным выражением. Оно заведомо обладает при х = а системой п линейно независимых нормальных элементарных ин­

280

тегралов, так как Gn при х= а обладает только регулярным ин­ тегралом.

Если коэффициенты ри уравнения (11.30)— рациональные функции, то можно_ пытаться так определить рациональную

функцию g(x), что Gn для каждой особой конечной и бесконеч­ ной точки получит характеристический индекс нуль. Если ука­ занное требование вообще выполнимо, здесь можно выбирать

g(x) единственным способом и тогда G есть нормальное диффе­ ренциальное выражение, которое обладает вообще только нор­ мальным элементарным интегралом. Так определенный класс дифференциальных уравнений (11.30) с рациональными коэффи­ циентами охватывает класс Фукса как отдельный случай и по

коэффициенты уравнения (11.30), как в классе Фукса. Но Томё далеко не ограничился рассмотрением этого класса. Он не раз

Здесь им был получен важный результат о характере связи ко­ эффициентов g(xj, показателей г, коэффициентов разложения Ф и величин ц с рациональными коэффициентами дифференци­ ального уравнения. Дальнейшие его усилия были направлены на вычисление нормальных интегралов, затем проведение инте­ граций в выражениях (11.34) и представление интеграла в ука­ занной Фуксом форме, которая здесь получается совсем по-дру­

гому.

Из рассмотрения длинного ряда работ Томё следует, что он дал и многочисленные применения теории линейных уравнений, и участвовал в дальнейшем ее построении. Несколько работ по­ святил он асимптотическому представлению интегралов линей­ ных уравнений, войдя в связи с этим в небольшую дискуссию с Пуанкаре.

Применение линейных дифференциальных уравнений к тео­ рии алгебраических функций изучено Томё в 1888 г. В дальней­ ших исследованиях он рассматривал определение рода алгебраи­ ческих функций, их представление и т. д. в связи с изучением линейных дифференциальных уравнений, в частности, с много­ значными алгебраическими коэффициентами. Специально ана­ лизу таких уравнений было посвящено несколько статей, как и применениям линейной теории уравнений к вариационному ис­ числению. Работы последних лет касались рассмотрения систем линейных уравнений и приведения их к линейному дифференци­ альному уравнению высшего порядка с одной неизвестной функ­

цией.

В процессе своих исследований Томё установил весьма при­ мечательный факт, что если уравнение (11.30) для х = а имеет

281

ранг р, то выражения вида (11.31), формально удовлетворяющие уравнению, всегда имеют место и могут быть установлены чисто алгебраическими операциями из коэффициентов уравнения. Упрощение этих вычислений дано М. Гамбургером и П. Гюнте­ ром. Поводом для большой статьи Гамбургера послужили рабо­ ты Кэли, одного из первых английских авторов, продолживших и развивавших исследования Фукса, Томё, Фробениуса и других в английской математике. В статье [123.3] Кэли познакомил английских читателей с основными результатами упомянутых ученых относительно разложений в ряды интегралов линейных дифференциальных уравнений в окрестности особых точек. Здесь, и особенно в последующей статье, Кэли уделил внимание рассмотрению нормальных интегралов Томе. Кэли давал там свой способ построения нормального интеграла, называя его субрегулярным интегралом, допустив, однако, некоторые неточ­ ности, замеченные Гамбургером. Восполнению этих пробелов и доказательству существования нормальных интегралов, однако для случая, когда алгебраическое уравнение, служащее для оп­ ределения высших коэффициентов в показателях определяющих множителей, имеет простые корни, посвящалась работа М. Гам­ бургера 1888 г. Она была дополнена в следующем году статьей Гюнтера, предложившего удобный способ вычислений во всех случаях и ведущий к цели при конечном числе операций и неко­ торые другие усовершенствования метода Томё, обсудив также вопрос о существовании так называемых логарифмических нор­ мальных интегралов.

Следуя Пуанкаре, Ян Раевский одним из первых в польской математической литературе (1890 г.) стал рассматривать нор­ мальные ряды вида

F(x)=e Ух- а' [а0(х — аК + ßj (х — а)г+' + ...],

Ä ( - L )

определяющие функцию F(x), которая по разделении на е х а вела себя регулярно в существенно особой точке х = а. Здесь через g обозначалась целая функция п-й степени и относительно F(x) говорилось, что она в существенно особой точке х= а при­ надлежит рациональной функции g. Раевский исследует выра­ жение интеграла линейного однородного уравнения m-го поряд­ ка посредством нормальных рядов определенного вида, устанав­ ливает вид коэффициентов уравнения рі в предположении огра­ ниченности числа особых точек, изучает форму интегралов линейного уравнения некоторого вида.

Отметим здесь, что существенную роль в представлении нор­ мальных интегралов сыграли асимптотические ряды. Эти две ветви анализа способствовали взаимному обогащению их мето­ дов и результатов. Данный вопрос мы рассмотрим далее, а сей­ час обратимся к разложению интегралов в кольце и применению других функционально-теоретических методов.

282

«однозначными коэффициентами испытывают линейную подста­ новку, когда независимое переменное х описывает замкнутый путь, огибающий одну или несколько особых точек. Вычисление коэффициентов этих подстановок из дифференциальных урав­ нений в случае, когда речь шла об одной только такой точке и регулярных в ней интегралах, выполнено в первых работах Фук­ са. Развитый им далее метод применялся к уравнениям опреде­ ленного ограниченного класса. Но уравнения вида (11.30) могли иметь и более сложные коэффициенты ph и, в частности, такие, которые содержат бесконечное число отрицательных степеней X—а и когда предыдущие методы уже не имеют места и появля­ ются так называемые нерегулярные интегралы. Некоторый их вид был изучен Томё. Но далее появилась необходимость в бо­ лее общем методе, который давал бы возможность изучить пове­ дение интеграла в окрестности особой точки в общем случае, когда составленные по теореме Фукса ряды для интегралов со­ держат положительные и отрицательные степени х—а в беско­ нечном числе. Для определения корней принадлежащего к заданной особой точке фундаментального уравнения и коэффи­ циентов соответственных рядов Лорана, для которых составля­ лись рекуррентные формулы в виде бесконечно многих уравне­ ний с бесконечно многими неизвестными, впервые был предло­ жен метод Гамбургера в 1877—1878 гг. [169.2.—3.]. Этот метод приводил к цели при помощи подходящего конформного преобра­ зования. Таким образом, был рассмотрен случай, что каждый путь около особой точки пробегается внутри кольца между дву­ мя концентрическими окружностями. Понимая под х0 точку кольцевой области, Гамбургер положил х=Ховг и разложил ин­ теграл по степеням z. Если полученные ряды сходились еще для 2= 2 ш ', то о н и вели к решению задачи, если они не сходились столь далеко, то можно было обходиться рассмотрением проме­ жуточных значений, которые, как показал автор, при таком под­ ходе давали меньше осложнений, чем в противном случае. Гамбургер рассмотрел также и уравнения с многозначными коэффи­ циентами.

Метод Гамбургера был далее развит и обобщен в большой

ложение интеграла по целым степеням t. Знание этого разложе­ ния позволяло судить о поведении интеграла при любом обходе

Xвнутри кольца.

1Как и в предыдущем случае, имелось в виду, что особая точка находит­ ся в начале координат.

283

Дополнение результатов Гамбургера, уточнение установлен­ ной Кэли формы для фундаментальной системы интегралов, но­ вая форма коэффициентов фундаментального уравнения, при­ надлежащего особой точке, и связь их с предыдущей работой Пуанкаре рассмотрены П. Гюнтером в [165.1.—2].

Дальнейшее развитие метод Гамбургера и Пуанкаре нашел в работе Миттаг-Леффлера [218.2], упростившего доказательство Пуанкаре, в котором он устранил кажущуюся зависимость от х0, а также распространил результаты на кольцевые области между конфокальными эллипсами.

Второй метод рассматриваемых разложений состоит в при­ менении бесконечных определителей. Впервые они были приме­ нены астрономом Г. Хиллом в 1877 г., исследовавшим линейное однородное уравнение второго порядка, а затем встречаются в работе Пинкерле (1884 г.), изучавшего разложения шаровых функций. Статья Хилла привлекла внимание Пуанкаре, строго доказавшего указанные Хиллом свойства этих определителей и рассмотревшего некоторые теоретические аспекты вопроса в. 1886 г. С помощью двух общих теорем он получил важные за­ ключения о сходимости бесконечных определителей. Этот метод был использован затем в цикле работ Хельге фон Коха (86), ученика Миттаг-Леффлера, для решения некоторых общих во­ просов с 1891 г. Так, в статье [193.1] эта теория применяется для представления интеграла линейного однородного уравнения вида

с аналитическими однозначными коэффициентами в окрестнос­ ти особой точки, за которую принимается х = 0. В окрестности этой точки коэффициенты могут быть представлены разложе­ нием

А,=—со

сходящимся для R < \ х\ < R '. Как известно, существует ряд

сходящийся внутри указанного кольца и удовлетворяющий данному дифференциальному уравнению. Для определения g% и р ряд (11.37) подставляется в (11.35) и составляются соответст­ венные уравнения в бесконечном количестве. Исходя из них, строится бесконечный определитель й(р). Условия разрешимос­ ти системы представляют для р трансцендентное уравнение, ле­ вая сторона которого выражается через такой бесконечный оп­

284

ределитель. При подходящем образовании этих определителей получается показатель р как нуль некоторой целой трансцен­ дентной функции с периодом единица и в общем обладающий в полосе периода п несовпадающими корнями, вещественные части которых отличаются друг от друга на дробные числа. Для каждой из этих п систем несовпадающих корней получается ин­ теграл вида (11.37). Итак, вопрос здесь был решен для уравне­ ний весьма широкого класса, но с тем ограничением, что выра­ жение интеграла не содержало логарифмов. В следующем боль­ шом сочинении [193.2] Кох решил проблему уже во всей общности, изложив попутно с возможной строгостью в первой части работы ряд свойств бесконечных определителей и указав применение бесконечных определителей к некоторым системам линейных уравнений, где число неизвестных, как и число урав­ нений, было бесконечным. Во второй части, посвященной трак­ товке общей теории линейных дифференциальных уравнений и представлению их интегралов, явно устанавливались выражения для отдельных групп, на которые в общем распадалась фунда­ ментальная система интегралов. Здесь были также установлены новые формы инвариантов дифференциального уравнения.

Дальнейшее развитие этой проблемы нашло место в после­ дующих работах Коха, где с помощью того же метода решались вопросы об установлении необходимых и достаточных условий для существования: 1) однозначных и 2) регулярных интегралов рассматриваемых уравнений; об изменении условий сходимости, установленных Пуанкаре; о существовании регулярных интегра­ лов уравнений (11.35) в окрестности х = 0 и при предположении, что разложения коэффициентов Р содержат только конечное чис­ ло отрицательных степеней х, или когда Р есть функции рацио­ нальные. В работе 1894 г. уточнялись некоторые положения, установленные Томё.

В одной из последующих статей [193.4] Кох рассматривал вопрос о нерегулярных интегралах, исследуя рост интеграла в окрестности а — точки неопределенности. Для доказательства основной его теории рассматривается сходимость ряда, коэффи­ циенты которого вычисляются с помощью бесконечных опреде­ лителей. Как применение получается представление интеграла по граничным лучам их звезды Миттаг-Леффлера.

К тем же основным результатам подошел Перрон в 1919 г. при более кратких и простых вычислениях, получив более точное неравенство для ограничения модуля интеграла у.

Как на основу третьего метода решения рассматриваемой проблемы Шлезингер указывает на метод последовательных приближений, дающий разложения в ряды интегралов уравне­ ний. Он был применен П. Гюнтером [165.2] для случая п = 2.

285

Г л а в а XII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§1. Асимптотическое представление величин. Асимптотические и расходящиеся ряды.

Вводные замечания

Асимптотический метод исследования функции, состоящий в том, что изучаемая функция заменяется другой, так называемой функцией сравнения и такой, что поведение ее лучше изЕ-естно при тех же значениях аргумента, чем исходной, играет в анали­ зе чрезвычайно важную роль. Функция сравнения, как правило, выбирается более простой по своему аналитическому выраже­ нию и таким образом, чтобы она характеризовала исследуемые свойства данной функции с определенной, поддающейся учету, степенью точности. Так, уже в древнегреческой математике для изучения поведения гиперболы на бесконечности были введены ее прямолинейные асимптоты, а на заре развития анализа рас­ сматривались различные элементарные асимптотические оценки в форме сравнения порядков бесконечно малых (правило Лопиталя и т. п.).

Согласно определению Пуанкаре, функция какого-нибудь переменного ф(г) называется асимптотической по отношению к другой функции ф(г) того же переменного, если предел отно­ шения этих функций равен единице, когда переменное стремит­ ся к некоторому пределу, в том числе и к бесконечности. Асимп­ тотичность двух функций может различаться по порядкам. Две функции называются асимптотическими п-го порядка в окрест­ ности асимптотической точки, если

Иногда представляется возможным для функции ep(z) подобрать не одну функцию сравнения, а некоторую последовательность функций

■ф0 (2), -фо (г) +ФД2), . . . ,ф0(г)+ф1(2)+-- • +ф„(г). . ., причем так, чтос увеличением п эта последовательность представляет ф (z) все более точно. При этом особый интерес вызывает тот случай, когда

П—1 Ф(2) — £ 'MZ)

lim _____ _______ - 1,

г-*2о % (2)

2ÖÜ

т. е. порядок величины ошибки при замене функции ф (2) суммой

П

£ ф. (г) меньше, чем порядок величины последнего использованного

і= о

члена. Если при таких условиях можно построить последовательность

Одну из важных форм асимптотического разложения пред­ ставляют асимптотические ряды. Изучение последних весьма тесно переплеталось с изучением так называемых расходящихся рядов, которое за несколько последних десятилетий образовало отдельную отрасль анализа [83]. Одним из первых расходимость гармонического ряда и некоторых ему аналогичных доказал П. Менголи. Уже тогда была обнаружена связь таких рядов с ло­ гарифмической функцией и их исследованию заметное внимание

уделил Ньютон *.

Существенной вехой зарождавшихся асимптотических мето­ дов была задача об установлении формул для функций быстро растущих аргументов. Средства для ее решения искались в тео­ рии суммирования числовых рядов. В процессе этого в 1730 г. был построен знаменитый ряд Стирлинга, являющийся асимпто­ тическим при весьма четкой и общей постановке задачи. Почти в то же время была получена известная формула суммирования Маклорена—Эйлера [86, 458] и соответственный ряд. Изучая его поведение, Эйлер сталкивается с так называемым «парадоксом» асимптотических рядов, т. е. с тем явлением, когда эти расходя­ щиеся ряды 12 с ростом аргумента представляли хорошее прибли­ жение некоторых видов функций.

Применяя свою формулу к многочисленным примерам, Эйлер получил ряд замечательных результатов. Интересно отметить,, что подобные применения проводились только в тех случаях, когда ряд получался асимптотическим. Установив расходимость таких рядов, Эйлер подчеркивал все же, что каждый ряд дол­ жен обладать определенным значением. Но это значение не следовало именовать суммой, «поскольку с этим словом обычно связывают такое понятие, как если бы сумма получалась в ре­ зультате действительного суммирования, а эта идея для расхо­ дящихся рядов не имеет места». Харди считал [83, 29], что «это — почти тот язык, которым мог бы пользоваться Чезаро или Борель». Эйлер предлагал под суммой ряда понимать то «ко­ нечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд».

1См. об этом подробнее в [86, 444 и след.].

2Об истоках исследований Л. Эйлера по расходящимся рядам см. в [20].

287

Эйлер с большим искусством использовал найденные им асимптотические ряды для исследования функций, установив попутно ряд функциональных свойств таких рядов, что было позже строго обосновано. Новые функциональные свойства их и необходимость более глубокого выяснения смысла представимо­ сти функции такого вида рядами были показаны в соответствен­ ных работах Лагранжа, Лапласа и Лежандра. Так, в «Аналити­ ческой теории вероятностей» в конце первой книги (п.44) Лап­ лас делает общие замечания о сходимости рядов, которые он назвал «рядами ограниченными». Он отметил, что эти ряды схо­ дятся очень быстро в их первых членах, затем эта сходимость уменьшается и, наконец, меняется на расходимость. Однако, счи­ тал он, это не должно препятствовать использованию этих рядов хотя бы в их первых членах, когда сходимость быстрая, так как остаток ряда, которым пренебрегают, очень мал по отношению к предыдущему. Как пример рассматривается разложение

т

И хотя этот ряд расходится, все же можно, по словам Лапласа, без особой погрешности использовать первые его члены. И он производит соответственные оценки, отмечая далее, что сказан­ ное распространяется и на другие подобные ряды. Характер схо­ димости таких рядов исследовался довольно подробно и Лежан­ дром, который назвал их полусходящимися [86, 467].

В начале XIX века, в связи с построением новых основ мате­ матического анализа, был существенно изменен взгляд на рас­ ходящиеся ряды. Гаусс, Коши, Абель, Больцано, работами кото­ рых начиналась новая эпоха в развитии математического анализа, установили известные нормы пользования бесконечны­ ми рядами и притом как необходимое условие — предваритель­ ное исследование и доказательство их сходимости. В 1812 г. Гаусс опубликовал, в духе присущей ему строгости, известное исследование о гипергеометрическом ряде [159].

В 1821 г. вышел курс анализа Коши [122.1], где была по­ строена общая теория рядов с подробным толкованием относя­ щихся сюда принципиальных вопросов. Известны аналогичные взгляды Абеля, хотя в 1826 г. он обращал внимание на то, что надо разобраться с расходящимися рядами [105.3, 2 изд., 10]. Не оставляла эта мысль и Коши, который в работе 1843 г. снова вернулся к рассмотрению расходящихся рядов, интересуясь прежде всего вопросом о том, почему употребление расходящих­ ся рядов почти всегда приводит к точным результатам. В указан­ ной выше заметке Коши провел впервые строгое исследование асимптотического ряда Стирлинга и дал оценку его остаточного члена. Относительно этого он отмечал, что, занявшись этим во­

288

просом, он установил, что в ряде Стирлинга и в множестве дру­ гих рядов того же вида первый из отбрасываемых членов точно представляет верхний предел допущенной ошибки, и далее: ...

...«принципы, которые я изложил, достаточны для очевидного выражения преимуществ, которые можно предложить употреб­ лению ряда Стирлинга и многих других рядов той же природы, несмотря на их расходимость» [122.16, 19]. Как на пример он указывает, что, в частности, ряд Стирлинга дает значение лога­ рифма функции Г (а), если основание п превосходит число 10, с таким приближением, что допущенная ошибка меньше двух ■единиц порядка 27-го десятичного знака. Таким образом, авто­ ритетом Коши было обращено внимание на важность исследо­ вания асимптотических рядов, заложены основы их общей тео­ рии, но должного развития в то время эти идеи еще не получили.

Немного раньше идея асимптотического представления ре­ шений дифференциальных уравнений имела место в работах Лиувилля [205.3.—4], где впервые получены асимптотические формулы для решений уравнений второго порядка вида (1.5) (и изучено [90.96] поведение решений при стремлении парамет­ ра к оо), а затем и для уравнений более высокого порядка. Зна­ чительно позже (в 1893 г.) метод Лиувилля применен де-Спаа- ром к решению задачи вращательного движения снаряда. Асимп­ тотический характер полученного решения доказан Горном

[177.4].

В работах Н. И. Лобачевского (1834, 1841 гг.) [86, 468], уделялось внимание исследованию асимптотических рядов и да­ но доказательство асимптотического ряда Эйлера-Маклорена для log z. Оговаривая условия, которые надо наложить на сум­ мируемую функцию, Лобачевский, следуя за Лапласом, называ­ ет подобные ряды предельными. Он весьма подробно рассмотрел общие условия, при которых ряд Эйлера—Маклорена становил­ ся асимптотическим.

Однако, несмотря на отдельные, весьма интересные резуль­ таты и применения идеи асимптотичности, общей теории асимп­ тотических рядов не было все же создано после упоминаемого мемуара Коши в течение последующих четырех десятилетий.

Первые большие публикации по этой теории предприняты в 1886 г. Стилтьесом и Пуанкаре. Стилтьес назвал изучаемые ря­ ды полусходящимися, однако термин этот оказался малоудоб­ ным, может быть, потому, что полусходящимися рядами иногда называли и условно сходящиеся. Более удачным оказался тер­ мин Пуанкаре, назвавшего их асиптотическими. Здесь более глубоко охватывалась их сущность и в дальнейшем это понятие стало общепринятым. Такое утверждение встречается во всех исследованиях, касающихся асимптотических рядов и интегра­ лов. Нам кажется, этот вопрос следует несколько уточнить. Дело в том, что в 1879 г. был опубликован весьма любопытный трак­ тат Буссинеска (87) натур-философского характера «Согласо­