Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>


310				ДОПОЛНЕНИЕ
Точка	Ъ определена при		этом условии			точкой	а однозначно, так что
мы полагаем		b = Т(а).	В	частности,		всегда	Т(и) = v. Если S —
рациональное		отображение		нз W в	многообразие X, определенное
над к,	п если	S определено		в точке	и, то через		S о Т обозначают гео

метрическое

место

точки

(и, S(v))

над к, которое

является

рацио

нальным отображением из V в X.

Отображение Т

называется

мор-

физмом, если оно всюду определено на V. Отображение Т называется

бирациональным,

если к(и)

= k(v)

и v — общая точка

многообразия

W над полем к. В

таком

случае через Т~г

обозначается

геометриче

ское место точки (v,

и)

над к, являющееся

рациональным

отображе

нием из W в

V. Многообразие V называется бирационалъно

эквива

лентным

многообразию

W над

к,

если существует

бирациональное

отображение

жз V

в W,

определенное

над

к. Отображение

назы

вается (бирегулярным)

изоморфизмом,

еслп оно бирациональио

и оба

отображения

Г - 1 являются морфизмами.

4. Рациональное отображение многообразия V в аффинное 1-мер

ное пространство

214 называется функцией

(или мероморфной

функ

цией)

на

Все

функции

на

образуют

поле,

ие

содержащееся

в Q,

если

не

нульмерно;

это

поле

обозначается

через

Q{V).

Все

элементы поля Й(У), рациональные над полем к определения мно

гообразия

образуют

подполе в

Q(V),

обозначаемое

через k(V).

Поля k(V)

и Q линейно разделены над к и Q(V)

= Q -k{V).

Для общей

точки

х многообразия V

над полем

отображение

/ н-> f(x)

опреде

ляет

изоморфизм

из

k(V)

на

к(х).

5. Если V — геометрическое место точки х

над полем к и а 6 V,

то точка а называется простой

точкой многообразия

V или

простой

точкой на V, еслп существует

бирациональное отображение Т из V

в подмногообразие

W пространства 21 „ ,

удовлетворяющее

следую

щим условиям:

(i) Т определено в а

Т'1

определено

Т(а);

(ii) если b =

Т{а),

Т(х) и г

dim(F),

то существует п — г

многочленов

Ft(Xi,

. . .,

Хп)

(i. =

. . .,

п — /•) с

коэффициентами

из к,

для

которых

Ft(y)

(£ =

. . .,

п — г) и

Это определение не зависит от выбора многообразия W и отображе ния Т. Многообразие V называется неособым, если любая его точка проста.

Если универсальной областью является поле С, то 21п и ^ п рассматриваются как комплексные многообразия. В этой ситуации каждое неособое многообразие размерности г обладает естественной структурой комплексного многообразия размерности г. Каждое проективное многообразие компактно.

6. Пусть V — многообразие, определенное над полем к, и а — некоторый изоморфизм поля к в поле Q. Выберем общую точку х

ДОПОЛНЕНИЕ	311
многообразия V над полем к. Тогда изоморфизм а можно продолжить
до некоторого изоморфизма т поля к(х) в поле Q. Положим х' =	хх.

Тогда геометрическое место V точки х' над полем ка является вполне определенным объектом и зависит только от У и о, т. е. не зависит от выбора точки х и продолжения т. Мы полагаем V = Va и назы ваем это последнее многообразие результатом преобразования V посредством о. Если Т — рациональное отображение многообразия V в многообразие W, рациональное над к, то можно определить Та

и Wa и	заметить, что Та — рациональное		отображение многообра
зия Ус т	в многообразие Wa. В частности,		если / 6 k(V),	то f —
функция на Va.		Если Т определено в точке а многообразия		V, рацио
нальной	над к,	то Та определено в точке	аа и T(af =	Та(аа).

Пусть символы V, х и к имеют прежний смысл, а через W обозна чается другое многообразие с общей точкой у над к. Предположим, что существует изоморфизм \ поля k(W) в поле k(V), индуцирующий автоморфизм р поля к. Тогда существует бирациональное отображе

ние	/ g из V в Wp,	характеризующееся	следующим свойством:
(6.1)	/° =	f о J t для каждого	f £k(W).

Чтобы это показать, определим изоморфизм т			из к(у) в к(х) равенством
f(y)x = f*(x) при / 6 k(W)	для того,	чтобы	диаграмма
tek(W)	— U	k(v)Bg

была		коммутативной. Так			как ух — общая	точка на Wp	над к	и
к(ух) — к(х),			мы	получаем	бирациональное	отображение	/ g из	V
в	Wp,	определенное над к,			для которого Ji(x)	= ух. Но тогда fi(x) =
=	f(y)x	= f(yx)	=	f i M x ) )	' откуда следует	(6.1).

Если г) — изоморфизм поля к(Х) в поле k(W) при некотором другом многообразии X, определенном над полем к, индуцирующий автоморфизм а на к, то /,,: W^- Ха и J ^ : V-+- Хар имеют смысл и

(6.2)					/ „ 6	= / $ o / g .
7.	Предположим,			что	характеристика		универсальной		области
Q равна р >		0	и q = р",		где	е — целое число. Тогда отображение
а н-»- aq	является автоморфизмом поля Q. Обозначим через V4								резуль
тат преобразования многообразия V посредством этого автомор
физма.	(Обычно		не	возникает		желания принять многообразие Vq
за произведение			q экземпляров			многообразия	V.)	Если е >	0 и V —
геометрическое		место		точки	х над к, то можно			определить	морфизм

312		ДОПОЛНЕНИЕ
F из У в	Vq, рациональный		над к,	равенством F(x)				=	xq;	этот мор-
физм называется морфизмом		возведения в q-ю степень						(или		морфизмом
Фробениуса	степени q) из	V	в Vя.
Пусть	Т — рациональное		отображение			из	V в	W	и	F' — мор-
фпзм возведения в g-ю степень из				W	в	W.	Тогда
(7.1)"	F' о Т =			Tq	о F

(где Tq — результат преобразования отображения Т посредством автоморфизма возведения в q-io степень поля Q). Другими словами, диаграмма

у> W

\г

уз — L ^ wq

коммутативна.

8. Если W — многообразие размерности

?г, то существуют

такое

гс-мерное векторное

пространство

D i f ( i y )

над

полем

Q(W)

такое

Q-линейное

отображение

d: Q(T'F)—>- Dif(PF),

что

(8.1)

d(fg)

=f-dg

g-df

(/,

Q(W))t

(8.3)

( d / i ,

. . .,

d/ n }

— базис

пространства

Dif(Ty) над

полем

Q(W)

тогда и только тогда,

когда поле Q(W)

является

алгебраическим

сепарабелъным

расширением

поля Q{fit

. . ., /„).

Пара (Dif(PF),

d) определена однозначно с точностью

до изоморфизма

многообразием

W. Элемент

со из

D i ^ H 7 ) называется

дифференциаль

ной формой на W степени 1; его можно записать в виде со =

t?id/,-,

где gi и / г

берутся из Q(W).

Пусть

многообразие W

определено над

полем к. Форма

со называется рациональной

над к, если gi:

выби

раются из

поля

k(W).

Пусть

Dif(Ty; к) — совокупность

элементов

из

~Dii(W),

рациональных над к. Тогда D i f ( T r 7 ) = D i f ( H / ; &) cgi^w) &(W).

Изоморфизм а поля к в поле Qj

индуцирует

некоторый

изоморфизм из

D i f ( H / ;

к)

в Dii(Wa;

к°) по

формуле

со0

gl'dfl-

Форма со называется

конечной

в точке а многообразия W,

если со =

Si 'dfi

и функции

и fi

определены

а.

Т — произвольное

рациональное

отображение

многообра

Пусть

зия V в многообразие W.

Если существует

такая точка с на V, что

определено в с и форма со конечна в Т(с),

то можно определить эле

мент

со о Г

из D i f ( F )

равенством

со о Т =

[Si ° Т) -d(fi ° Т).

Форму

со о Г мы обозначаем также через бГ(со). Если объекты V, W, со, Т рациональны над к и о — изоморфизм поля к в поле Q, то (со о Т)а =

ДОПОЛНЕНИЕ

313

=со0 о Т°. Дифференциальную форму со иа проективном многооб

разии ТУ называют голоморфной, или дифференциальной формой первого рода, если со всюду определена на W. Обозначим через 3)(W) множество всех голоморфных элементов пространства D i f ( H / ) и поло

жим 3)(W; к) =	3)(W) П DifXH7 ; к) для		произвольного поля			к
рациональности	многообразия W.	Тогда	3) (W)	= 3)(W;	к) <g>	h&
9. Многообразие У называется		алгебраической		кривой,	или просто

кривой, если У имеет размерность 1. Если поле к определения кривой У совершенно, то можно найти неособую проективную кривую, бирационалы-ю эквивалентную кривой У над полем к.

Пусть У — неособая проективная	кривая,		определениая		над
полем к. Тогда все понятия и результаты из § 2.3 можно				обобщить
на эту ситуацию: достаточно лишь заменить		W,	К и С на	У,	Q(V)
и Q. Дивизоры на У и символы div(/),	L(A),	1(A)	и т. д. можно опре

делить точно так же, без какой бы то ни было модификации, за исклю чением того, что соотношение (2.3.1) следует заменить на

(9.1) df = 0 тогда и только тогда, когда Q(V) несепарабельно над

Разумеется, это частный случай утверждения (8.2). Род кривой У определяется, например, предложением 2.13 пли с помощью (2.3.2). После этого оказываются справедливыми предложения 2.11, 2.14 и теорема 2.12. Дивизор на У называется также 0-циклом на У.

10.Проективное многообразие А называется абелевым, если

существуют	морфнзмы /: А X А ->• А п f 4 - > i ,			определяющие
групповую	структуру	па /1 по формулам f(x,	у) =	х -'- у,	g(x) =
= —х. Аддитивное		обозначение используется	в	данном	случае

потому, что, как можно показать, любая такая групповая структура на проективном многообразии коммутативна. В соответствии с этим нейтральный элемент обозначается через 0. Если многообразие А и морфизмы / и g определены над полем к, то говорят, что абелево многообразие А определено над к.

Пусть А и В — два абелевых многообразия. Под гомоморфизмом из А в В (или под эндоморфизмом, если А = В) мы подразумеваем морфизм X пз А в В, удовлетворяющий условию Х(х + у) = Х(х) -Ь

+Х(у). Если X — бирационалыюе отображение, то оно называется

изоморфизмом (пли автоморфизмом, если А = В). Предположим, что А и В имеют одинаковую размерность. В этом случае гомомор физм X из А в В сюръективеп тогда и только тогда, когда ядро Кег(л-)

конечно.	Такой	гомоморфизм X	называется изогенией из А в В.
Если А,	В и X рациональны над к и х — общая точка многообразия
А над к, то мы		полагаем
	deg(X)	= lk(x) : к(Х(х))}	( = ЩА) : к(В) о X]).

Целое число deg(X) не зависит от выбора поля к и точки х.

21-01118

314		ДОПОЛНЕНИЕ
Если	число	deg(A,) и характеристика поля к взаимно просты,
то ядро	Кег(л)	имеет порядок	deg(A,). Если существует изогения
из А в В,	то А	и В называются	изогенными.

Обозначим через End(/1) кольцо всех эндоморфизмов миогообт разия /1 и положим

EndQ (i4) = Ead(A) ®zQ -

11. Пусть А — абелево многообразие размерности п иад полем С, взятым в качестве универсальной области. Тогда А как комплексное многообразие изоморфно комплексному тору C'VL, где L — неко торая решетка пространства С". В данном случае под решеткой в С" мы подразумеваем дискретную подгруппу в С", являющуюся свободным Z-модулем ранга 2п. Пусть QL обозначает Q-липейную оболочку решетки L . Тогда End(4) (соответственно Endo(/l)) можно отождествить с кольцом всех С-линейных преобразований простран ства С", переводящих L в L (соответственно QL в QL). Таким образом, мы получаем два точных представления кольца EndQ (/1):


R: End Q (4) - » - End(C'\			С)	( ~ М „ ( С ) ) ,
R°: E n d Q ( 4 ) - > - E n d ( Q L ,			Q)	( ~ M 2 n ( Q ) ) .
Представление R (соответственно R0)			называется комплексным		(соот
ветственно рациональным)	представлением			кольца EudQ(4).	Легко
видеть, что R (соответственно R0)		эквивалентно представлению			коль
ца Епс^(Л) на пространстве 3)(А)		(соответственно на первой группе
когомологпй многообразия	А). Из леммы 3.49 следует, что R"				экви

валентно прямой сумме представления R и комплексно сопряженно го с ним.

Произвольный комплексный тор C'VL пмеет структуру абелева

многообразия тогда и только тогда, когда существует							такая R-знач-
ная R-билинейиая форма Е(х, у) на С", что
(11.1)	Е(х,	у) =	-Е(у,	х);
(11.2)	число	Е(х,	у)	целое для каждой точки (х,		у) 6 L х L ;
(11.3)	^-билинейная			форма Е(х, Y—1*/)	о т ix>	У)	симметрична

и положительно определена.

Такая форма Е называется римановой формой на C'VL.

12. Дивизором на алгебраическом многообразии V называется элемент свободного Z-модуля, формально порожденного всеми под многообразиями в V коразмерности 1. Пусть А — абелево много образие, определенное над некоторым подполем поля С, изоморфное комплексному тору C 7 L . Возьмем базис {gy, . . ., gn} векторного пространства С" над R и определим вещественные координатные

2п
функции хи . . ., х2п на С" равенством и — 2	xi(u)gi	Д л я и 6 С \
i =	i

Тогда для произвольной римановой формы Е на C'VL существует

	ДОПОЛНЕНИЕ		315
дивизор X	многообразия А,	класс когомологий которого	пред
ставляется	дифференциальной	2-формой 2 E{gt, gj)dxt Д dxj.	(Мы

здесь для простоты отождествляем А с Cn /L.) Так как форма Е


единственна для	X,	то	говорят,		что	X определяет		форму Е		(относи
тельно фиксированного			изоморфизма			из А в	C n / L ) ,	если X и Е свя
заны указанным	образом. Пусть два дивизора X и X'								на А	опреде
ляют римаиовы	формы		Е	и Е'.	Следующие		условия		эквивалентны:
(i) дивизоры	X	и	X'	алгебраически			эквивалентны;

(ii) дивизор X гомологичен дивизору X';

(Ш)Е = Е'.

13.Пусть А — абелево многообразие, определенное над полем произвольной характеристики. Поляризацией многообразия А назы вается множество 'ё дивизоров иа А, удовлетворяющее следующим трем условиям:

(13.1)

множество 4$ содержит

обильный дивизор

(в смысле А. Вейля

[ 1 ,

стр. 286]);

(13.2)

если дивизоры

и X'

принадлежат

её,

то существуют

такие

целые положительные

числа mum',

что

дивизор

тХ

алгеб

раически

эквивалентен

дивизору

т'Х';

(13.3)

множество с6

максимально

при

условиях

(13.1) и

(13.2).

Поляризованным

абелевым

многообразием

называется

структура

(А,

% ) ,

образованная

абелевым

многообразием

и поляризацией

Если

% — поляризации

многообразия А,

то всегда

существует

такой

дивизор

Х0

в %, что каждый дивизор

X из % алгебраически

эквивалентен дивизору тХ0

при некотором целом положительном т.

Такой

дивизор

Х0

называется

основным

полярным

дивизором

поля

ризации

<ё.

Если универсальной областью является поле С и мпогообразие А

отождествляется

с комплексным

тором

C V L , то

(13.1) эквивалентно

условию

(13.Г)

каждый

дивизор

поляризации

определяет

некоторую

риманову

форму.

Пусть

Е — римаиова

форма,

определенная

некоторым

дивизором

поляризации (6.

Тогда

можно

определить инволюцию

(т. е.

анти

изоморфизм порядка 1 или 2) р кольца E n d Q ( 4 ) равенством Е(Хх, г/) =


= Е(х,	Хру)	для	X £ E n d q ( ^ ) .		Здесь	мы отождествляем кольцо
E n d Q ( ^ )	с	подалгеброй		в End(C n , С),		как в п. 11. Инволюция р
называется		инволюцией		кольца	EndQ(vl),	определенной поляризацией
%, так	как	она не	зависит от выбора дивизора X и тора C"/L. На

самом деле можно определить такую инволюцию и в случае поло жительной характеристики. Подробное обсуждение этой и других

тем,	посвященных	абелевыммногообразиям, читатель найдет
у А'.	Вейля [3], [6] и	Ленга [1].

2 1 *

СПИСОК Л И Т Е Р А Т У Р Ы х )

Бёрч,

Свшшертон-Дайер

( B i r c h В.

.Т.,

S w i n n e r t o n - D y e r

Н.

P .

F.)

•1.

Notes

on e l l i p t i c

curves

( I ) , ( I I ) , / . Reine

Angew.

Math.,

212

(1963),

7—25;

218 (1965), 79 — 108 .

Борель

(Borel Л.)

1 .

Some finitcness properties of adele groups over

n u m b e r fields,

Publ.

Math.

I.1I.E.S..

(1963), 101 — 126.

2*. Operateurs

Hecke

e l l o n c t i o n s

zela,

Seminaire

B o u r b a k i ,

№

307

(1965/66).

(Русский перевод: сб . Математика,

13:4

(1969),

45 — 60 . )

Борель, Харпш-Чаыдра (Borel

Л . , H a r i s l i - C h a n d r a )

A r i t h m e t i c

subgroups

algebraic groups, Ann.

Math.,

(1962),

485 —

535. (Русский перевод: сб. Математика,

8:2

(1964).)

Вебер

(Weber

Н.)

I .

L e h r b u c h

der

A l g e b r a ,

I I I ,

изд. 2,

1968.

Веыль

A . ( W e i l

A . )

F o u n d a t i o n s of

algebraic geometry, A m e r . M a t h . Soc.

C o l l . P u b l . ,

N o . 29,

изд. 2. Providence, 1962.

Sur les courbes

algebriques et les varietes q u i s'en

deduisent, Paris,

1948.

Varietes abelieunes e l

courbes

algebriques,

Paris,

1948.

Jacobi sums as «Grosseneharaklere».

Trans.

Amer.

Math.

Soc.

73'(1952),

4 8 7 - 4 9 5 .

T h e f i e l d

d e f i n i t i o n

of a v a r i e t y ,

Amer.

J . Math.,

(1956), 509—524.

Введение в теорию кэлеровых многообразии, И Л , М .. 1961.

Adeles and algebraic groups, lecture notes,

P r i n c e t o n ,

1961.

(Русский

перевод: сб . Математика.

8:4

(1964),

3 — 74.)

Sur cerlains groupes d'operateurs u n i t a i r e s ,

Acta

Math.,

M l

(1964),

143—

2 1 1 .

(Русский перевод: сб . Математика,

13:5

(1969),

33 — 94) .

Uber

die

B e s t i m m u n g

D i r i c h l e t s c h e r

Reihen

d u r c h

F u n k t i o n a l g l c i c h u n -

gen, Math.

Ann.,

168

(1967), 149—156. (Русский

перевод: сб .

Матема

тика,

14:6

(1970),

1 3 8 - 1 4 5 . )

10.

Основы

теории

чисел,

пзд-во

«Мир»,

М . ,

1972.

I I . Sur

une

f o r m u l e classique,

/ .

Math.

Soc.

Japan,

(1968), 400 — 402 .

12.

Z e t a - f u n c t i o n

and

M e l l i n transforms . Algebraic

geometry

( B o m b a y

C o l l . ,

1968), T a t a

I n s t i t u t e

of F u n d a m e n t a l

Research,

B o m b a y ,

1969,

409 — 426 .

Вепль

Г. ( W e y l H . )

1 .

D i e Idee

der Riemannschen Flache, изд. 3,

B e r l i n ,

1955.

Вердье

(Verdier J . - L . )

Sur les integrales attachees aux formes automorphes, Scm .

B o u r b a k i ,

e x p .

216. февраль 1961 .

Гекке

(Hecke

E . )

Z u r T h c o r i e

der

e l l i p t i s c h e n

M o d u l f u n k t i o n e n ,

Math.

Ann.,

(1926),

210—242

( M a t h . W e r k e , 428 — 460) .

J )

Литература,

отмеченная

звездочкой,

добавлена

при

переводе.—

Прим.

ред.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

317

Theorie

der

Eisensteinschen R e i h e n hoherer Stufe unci

ihre

A n w c n d u n g auf

F u n k t i o n e n t h e o r i G

unci A r i t h m o t i c k ,

Abh.

Math.

Sem.

Hamburg,

(1927),

199—224

( M a t h .

Wevke,

461

— 486) .

Uber

die

B e s t i m m u n g D i r i c h l e t s c h e r Reihen d u r c h

ihre

F u n k t i o n a l g l e i -

chung,

Math.

Ann.,

112

(1936),

664—699

( M a t h . W e r k e ,

591—626).

Uber M o d u l f u n k t i o n e n u n d die

D i r i c h l e t s c h e n Reihen

m i t Eulerscher P r o -

d u k t e n t w i c k l u n g ,

I , I I , Math.

Ann.,

114

(1937),

1—28,

316—351

( M a t h .

W e r k e ,

644

—707).

A n a l y t i s c h e

A r i t h m e t i k

der

p o s i t i v e n

quadratischen

F o r m e n .

Danske

V i d e n s k .

Selsk,

M a t h e m . - f y s .

M e d d e l .

X V I I ,

12, Copenhagen,

1940

( M a t h .

W e r k e ,

789 — 918) .

Гельфаид И. M . ,

Граев М. И., Пятецкпй-Шапиро

И.

1*.Теория

представлений

автоморфиые

функции,

изд-во

«Наука»,

М . ,

196В.

Годеман

(Godement

11.)

Les fonctions £ des algebres simples,

I I ,

Sem .

B o u r b a k i ,

exp . 176,

февраль

1959.

Domaines

Fondamenlaux

des groupes a r i t h m o t i q u e s ,

Sem.

B o u r b a k i ,

exp.

257,

май

1963.

3*.Notes

Jacquet - Langlands

t h e o r y ,

I n s t ,

for

Advanced

Studies,

P r i n -

ston,

1970.

(Русский

перевод

готовится

сб .

Математика.)

Гурвпц

( H u r w i t z

А . )

:1.

G r u n d l a g o n einer

independenten Theorie

der

e l l i p t i s c h e n M o d u l f u n k t i o n e n

u n d

Theorie

der

M u l t i p l i k a t o r - G l e i c h u n g e n

erster

Stufe,

Math.

Ann.,

(1881),

528—592

( M a t h . W e r k e , 1,

1—66).

W e r k e ,

т. I , стр.

391—430.

Дедекпнд

( D e d e k i n d

R . )

E r l a u t e r u n g e n

den

F r a g m e n t e n

X X V I I I .

i n

R i e m a n n

В.,

Ges.

M a t h .

W e r k e ,

2 A u f l .

L e i p z i g

1892, 466—478

(R . D e d e k i n d ,

Ges.

M a t h .

W e r k e ,

I ,

V i e w o g

1930, 159—172).

Делинь

(Deligne

P.)

1 .

Formes

m o d u l a i r e s et

representations J-adiques, Sem. B o u r b a k i ,

exp.

355,

февраль 1969.

Д о н ( D o i

К . )

On the jacobian varieties of the fields of

e l l i p t i c

m o d u l a r f u n c t i o n s ,

Osaka

Math.

/ . ,

(1963),

249—256.

Донрипг

( D e u r i n g

M . )

Die

T v p e n

der

M i i l l i p l i k a t o r c n r i n g e

e l l i p t i s c h e r F u n k t i o n e n k o r p e r ,

Abh.

Math.

Sem.

Univ.

Hamburg.

(1941),

197—272.

D i e S t r u k t u r

der

e l l i p t i s c h e n F u n k t i o n e n k o r p e r u n d

Klassenkorper

der

i m a g i n a r e n

quadratischen Z a h l k o r p e r ,

Math.

Ann.,

124

(1952),

393—426.

Die

Z e l a f u n k l i o n

einer

algebraischen

K u r v e

v o m

Geschlechte

E i n s ,

I , I I

Ш ,

I V , Nachr.

Akad.

Wiss.

Goitingen,

(1953)

85 — 94;

(1955) 13 — 42;

(1956)

3 7 - 7 6 ;

(1957)

5 5 - 8 0 .

D i e

Klassenkorper

der

k o m p l e x e n M u l t i p l i k a t i o n ,

E n z y c l o p a d i e

M a t h .

AViss. Neue

A u f l . ,

B a n d

1—2,

H e f t 1 0 — 1 1 ,

S t u t t g a r t ,

1958.

Жако,

Лепглеидс

(Jacquet

I I . ,

L a n g l a n d s R.

P.)

Автоморфпые

формы

на

G L ( 2 ) , ызд-во

«Мир»,

М . ,

1973.

Зигель (Siegel С. L . )

D i s c o n t i n u o u s groups, Ann.

Math.,

(1943),

674—689

(Ges. A b h . I I ,

390 — 405).

Some r e m a r k s

discontinuous groups,

Ann.

Math.,

46 (1945),

70S—

718 (Ges.

A b h .

I l l ,

6 7 - 7 7 ) .

simple

proof

ri (—1/x)

i i (т)

V x / i , Mathematica,

(1954), 4

(Ges.

A b h .

I l l , 188).

Ивасава

(Iwasawa

K . )

1. Дайсу - Каису - Рои

(Теория

алгебрапческих

функций,

на

японском

язы

ке),

Т о к и о ,

1952.

318

СПИСОК. ЛИТЕРАТУРЫ

Игуса

(Igusa

J.)

1 .

K r o n e c k e r i a n

model

fields

e l l i p t i c

m o d u l a r

f u n c t i o n s ,

Amer.

J .

Math.,

(1959), 5 6 1 - 5 7 7 .

Ихара

( I h a r a

Y . )

Hecke

p o l y n o m i a l s

congruence

£ f u n c t i o n s

i n e l l i p t i c

m o d u l a r

case,

Ann.

of Math.,

85 (1967), 267 — 295 .

O n

congruence m o n o d r o m y

problems

I ,

I I ,

L e c t u r e notes,

U n i v .

T o k y o ,

1968 —69 . (Русский перевод: сб. Математика,

14:3

(1970),

40 — 98;

14:4

(1970),

48 — 77;

14:5

(1970),

6 2 - 1 0 1 ;

16:3

(1972),

5 4 - 9 6 ;

16:4

(1972),

5 0 - 7 1 ;

16:5

(1972), 4 2 - 1 0 4 . )

•

Касселман

(Casselman

\V.)

Some

new

abelian

varieties

w i t h

good

r e d u c t i o n , в

печати.

Касселс (Cassels J . W .

S.)

D i o p h a n t i n e equations

w i t h

special

reference

t o

e l l i p t i c

curves,

/ .

London

Math.

Soc,

(1966),

1 9 3 — 2 9 1 .

CPyccKiiii

перевод:

сб.

Математика,

12:1

(1968),

113—160,

12:2

(1968),

5 - 4 8 . )

Касселс,

Фрёлпх

(редакторы)

(Cassels

J .

W .

S.,

F r o h l i c h

Л. editors) .

1. Алгебраическая теория чисел, пзд-во «Мир», М., 1969.

Клейн,

Фрикке ( K l e i n

F . , F r i c k e

R . )

Vorlesungen

uber

die

Theorie

der

M o d u l f u n k l i o n e n ,

I ,

I I , L e i p z i g ,

1890—92.

Vorlesungen

uber

die

Theorie

der

a u t o m o r p h e n

F u r i k t i o n e n ,

I , I I , L e i p

zig, 1897—1912.

Кнезер

(Kneser M . )

Starke A p p r o x i m a t i o n

i n algebraischen G r u p p e n , I , / .

Reine

Angew.

Math.,

218

(1965), 1 9 0 - 2 0 3 .

Коидзумн,

Шимура

( K o i z u m i

S., S h i m u r a

G.)

specializations of a b e l i a n varieties,

Sci.

Papers

Coll.

Gen.

Ed.

Univ.

Tokyo,

(1959),

1 8 7 — 2 1 1 .

Куга

( K u g a

M . )

F i b r e

varieties over

s y m m e t r i c space

whose

fibres are

abelian

varieties,

lecture

notes,

U n i v . of Chicago,

1961—1965.

Куга,

Шимура

( K u g a M . , S h i m u r a

G.)

the

zeta f u n c t i o n

a f i b r e

v a r i e t y

whose

fibres

are

abelian

varieties,

Ann.

Math.,

82 (1965), 478— 539. (Русский перевод: сб.

Математика,

11:5

(1969),

2 1 - 8 7 . )

Лент

( L a n g

S.)

A b e l i a n varieties,

N e w

Y o r k ,

1959.

Лготц

( L u t z )

Sur

Г e q u a t i o n

;/2

— Ax

—

dans

les

corps

©-adiques,

/ .

Reine

Angew.

Math.,

177

(1937), 238—247.

Маасе

(Maass I-I.)

1 .

U b e r

eine

neue

A r t v o n n i c h t a n a l y t i s c h e n

a u t o m o r p h e n F u n k t i o n e n u n d

die

B e s t i m m u n g

D i r i c h l e t s c h e r

R e i h e n

d u r c h

F u n k t i o n a l g l e i c h u n g e n ,

Math.

Ann.,

121 (1949), 141—183.

A u t o m o r p h e

F u n k t i o n e n v o n

mehreren

V e r a n d e r l i c h e n u n d D i r i c h l e t s c h e

R e i h e n .

Abh.

Math.

Sem.

Hamburg,

16 (1949), 72 — 100 .

D i e

D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n

i n der

Theorie

der

e l l i p t i s c h e n

M o d u l f u n k t i o -

nen,

Math.

Ann.,

125

(1953),

235—263.

Манин IO . И.

1 * .

Круговые

поля

модулярные

кривые,

У МП,

26,

№

(1971),

7 — 7 1 .

Мацусима,

Мураками (Matsushinia

Y . , M u r a k a m i

S.)

1 .

O n vector b u n d l e v a l u e d h a r m o n i c forms and a u t o m o r p h i c forms on s y m m e

t r i c

r i e m a n n i a n

m a n i f o l d s , Ann.

Math.,

78 (1963),

365—416.

Мацусима,

Шимура

( M a t s u s h i n i a

Y . , S h i m u r a

G.)

1 .

O n

the

cohomology

groups

attached

t o

c e r t a i n

vector

v a l u e d d i f f e r e n t i a l

forms

on the

p r o d u c t

the

upper h a l f

planes,

Ann.

Math.,

(1963),

4 1 7 - 4 4 9 .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

319

Мияке

К.

( M i y a k e

К . )

O n models of c e r t a i n a u t o m o r p h i c f u n c t i o n

f i e l d s , готовится

к печати в

ж у р

нале

Acta

Math.

Мияке

Т.

( M i y a k e

Т.)

D e c o m p o s i t i o n

Jacobian

varieties

and

D i r i c h l e t

series

Hecke

t y p e ,

Amer.

J . Math.,

93 (1971),

671—707.

Морделл ( M o r d c l l

L . J.)

R a m a n u j a n ' s

e m p i r i c a l

expansions

m o d u l a r f u n c t i o n s ,

Proc.

Cam

bridge

Phil.

Soc.,

19 (1920), 117—124.

Мостов, Тамагава ('Mostow G. D . , Tamagawa)

t h e compactness

a r i t h m e t i c a l l y

defined

homogeneous

spaces,

Ann.

Math.,

(1962),

446— 463 .

Нерон (Neron A . )

Modelcs

m i n i m a u x des

varieles abeliennes sur les corps locaux et

g l o b a u x ,

Publ.

Math.

I.H.E.S.,

(1964),

5—128.

O r r

(Ogg

A . P.)

E l l i p t i c

curves and

w i l d

r a m i f i c a t i o n ,

Amer.

J . Math.,

(1967), 1 — 2 1 .

Петерсои

(Petersson I I . )

Z u r a n a l y l i s c h e n

Theorie

der

Grenzkreisgruppen I , I I , I I I , I V ,

V ,

Math.

Ann.,

115

(1938),

23 — 67, 175—204, 518—572, 670—709;

Math.

Zeilschr.,

(1939),

1 2 7 - 1 5 5 .

K o n s t r u k t i o n

der s a m t l i c h e n

Lcisungen

einer

Riemannschen

F u n k t i o n a l -

gleichung d u r c h

D i r i c h l e t - R e i h e n

m i t

Eulerscher

P r o d u k t e n t w i c k l u n g

I ,

I I ,

I I I , Math.

Ann.,

116

(1939),

4 0 1 - 4 1 2 ; 117

('1940/41),

3 9 - 6 4 ,

277 — 300 .

Пуанкаре

(Poincare

H . )

Oouvres

I I ,

1916.

Пятоцкпй-Щаппро

I I . И.

1 * .

Zeta - functions of

m o d u l a r

curves,

p r e p r i n t ,

I n s t ,

A p p l i e d

M a t h . ,

Mos

cow,

1972.

Пятоцкий-Шаппро

И. И., Шафаревич И. P .

1 . Теория

Галуа

трансцендентных

расширений

унпформнзацпя,

Изв.

АН

СССР,

сер.

матем.,

(1966),

671—704.

Рамануджан

( R a m a n u j a n S.)

certain

a r i t h m e t i c a l f u n c t i o n s ,

Trans.

Cambridge

Phil.

Soc,

(1916),

159—184 (Collected Papers, 136—162.)

Рамачапдра

( R a m a c h a n d r a

K . )

Some

a p p l i c a t i o n s of

K r o n e c k e r ' s l i m i t

f o r m u l a ,

Ann.

Math.,

(1964),

1 0 4 - 1 4 8 .

Рапкин

( R a n k i n

R .

A . )

C o n t r i b u t i o n s

t o

t h e

t h e o r y

R a m a n u j a n ' s

f u n c t i o n

т (n) and

s i m i l a r

a r i t h m e t i c a l

f u n c t i o n s

I ,

I I , H I . Proc.

Cambridge

Phil.

Soc.,

(1939),

351— 356. 357 — 372; 36

(1940), 1 5 0 — 1 5 1 .

Сельберг (Selberg

A . )

H a r m o n i c analysis and

discontinuous groups

i n w e a k l y s y m m e t r i c r i e m a n -

n i a n spaces

w i t h a p p l i c a t i o n s t o D i r i c h l e t

series, / .

Indian

Math.

Soc,

(1956), 47 — 87 .

t h e e s t i m a t i o n

of F o u r i e r

coefficients

m o d u l a r forms,

Proc.

S y m p .

Pure

M a t h .

V I I I ,

T h e o r y

of numbers, A m e r . M a t h . S o c ,

1965,

1—15.'

Cepp

(Serre J . - P . )

A b e l i a n

Z-adic

representations and

e l l i p t i c

curves,

N e w

Y o r k ,

1968.

2 * . К у р с

арифметики, пзд-во

«Мир»,

М . ,

1972.

Cepp, Тейт (Serre

J . - P . , T a t e

J.)

Good

r e d u c t i o n

abelian

v a r i e t i e s ,

Ann.

of Math.,

(1968), 492—517.

(Русский

перевод:

сб. Математика,

15:5 (1971),

140—165.)

Спрингер

Г.

Введение в теорию рнмановых поверхностей, И Л , М . , 1960.

Тамагава ( T a m a g a w a

Т . )

On the ^ - functions of a d i v i s i o n

algebra, Ann.

of Math.,

77 (1963),

387—405.

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ