книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций
.pdf180 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
В |
силу формулы |
(2.2.3) |
это равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
оо |
|
оо |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— л2 /3 + 8л2 2 |
|
2 „ . e 2 n i m n z _ 4 n 2 2 |
|
|
п-е2*™- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
7)1=1 71=1 |
|
|
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— 4я2 |
2 |
2 ?г-[е2 я "г <1 '+т г ) + е 2 л " г ( - ' и + т г ) ] . |
|||||||||
Поэтому, |
полагая |
|
|
|
|
|
7П=1 71=1 |
|
целых |
г |
и |
s, |
а |
также |
|||||||
|
и —- (rojj - j - saiz)/N |
|
при |
||||||||||||||||||
^ = |
е 2я;/лг) |
3 = е 2 л ; г |
и |
|
gN |
= |
e2niz/N^ |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(6.2.1) |
(co2 /2n)2 g>((rcuH-sco2 )/iV; |
со4, |
со2) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
- ( 1 / 1 2 ) + |
2 2 |
|
nqn/(l-qn)- |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- № ( 1 -Ж > 2 - 2 |
|
|
+ Г |
|
|
• г ^ г |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0 < r < ; V , |
|
(г, s)$7VZ2 ). |
|||||
Вместе |
с |
результатами |
§ 2.2 это показывает, |
что |
коэффициенты |
||||||||||||||||
Фурье |
функции / а |
принадлежат полю |
kN |
для |
каждого а £ |
N~XZ2, |
|||||||||||||||
а (jj Z3 . |
Пусть |
X |
(соответственно |
X ' ) |
— поле всех |
|
модулярных |
||||||||||||||
функций |
уровня |
N, |
|
коэффициенты |
Фурье |
которых |
относительно |
||||||||||||||
qN |
принадлежат |
полю |
Q |
(соответственно |
kN). Тогда |
X |
(соответ |
||||||||||||||
ственно X ' ) и С являются линейно разделенными полями над Q |
|||||||||||||||||||||
(соответственно над kN). |
Действительно, |
пусть |
р 4 , |
. . ., |
р т — |
||||||||||||||||
элементы поля С, липейио независимые над Q. Предположим, что |
|||||||||||||||||||||
771 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 СыЧм |
|
|
|
||||
2 V-iSi |
= |
0 при |
gi |
|
из |
поля X . Пусть |
gt |
при с ы |
6 Q. |
||||||||||||
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
||
Тогда 2 |
М^гп = |
0 для |
каждого |
п, так что с ( П |
= |
0 для всех |
i и 7г; |
||||||||||||||
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
g\ — . . . |
= g m |
= 0. Те же соображения |
приме |
|||||||||||||||||
нимы к X ' и kN. |
|
Так как %Ncz |
X' cz |
C$N, |
из линейной разделен |
||||||||||||||||
ное™ следует, что ?jN |
= |
|
X ' . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Чтобы |
доказать |
|
утверждение (2), |
положим |
Y |
= |
Q0'(z), |
]{Nz), |
||||||||||||
/ 0 i (z)) . Из |
приведенной |
выше формулы |
(6.2.1) |
видно, |
что |
fai |
£ X , |
||||||||||||||
так что У с : X . В силу уже доказанного |
утверждения |
(3), а также |
|||||||||||||||||||
в силу |
утверждения |
(3) |
теоремы 6.6 очевидно, что только |
относи |
|||||||||||||||||
тельно единичного элемента группы |
Gal^jf jy/QO')) могут быть инва |
||||||||||||||||||||
риантными элементы |
из |
Y(t,); |
следовательно, |
%N |
= |
|
Y(t,). |
|
Итак, |
||||||||||||
Y |
cz X |
cz |
Y(Q. |
Из линейной разделенности полей X |
и |
Q(£) над Q |
|||||||||||||||
мы получаем равенство |
Y |
= X . Доказательство закончено. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
§ 6.3. Одно обобщение теории Галуа |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пусть к — поле и К — его произвольное расширение. Сделаем |
несколько элементарных наблюдений о соответствии между под группами группы AvA(Kfk) и подполями поля К, похожем на соот-
§ 6.3. ОДНО ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ ГАЛУА |
181 |
ветствие Галуа. В последующих параграфах эти результаты будут
применяться к полю всех модулярных |
функций, |
рациональных |
|||||||
над циклотомическими полями, т. е. к композиту полей % N по всем |
|||||||||
N. |
В этом же параграфе |
для простоты мы фиксируем поля к и К |
|||||||
и полагаем 21 = |
АмЦК/к). |
|
Для произвольного подполя F поля К, |
||||||
содержащего |
к, |
мы полагаем |
|
|
|
||||
|
9 (F) = |
АЩК/F) |
|
= |
{ст 6 21 | х° = |
х для |
всех х 6 F ) , |
||
и для каждой подгруппы S группы 21 |
|
|
|
||||||
|
f (S) |
= {х |
6 К |
| ха = х для |
всех а |
6 |
S}. |
||
Мы |
можем превратить |
21 в хаусдорфову |
топологическую группу, |
взяв в качестве базиса окрестностей единичного элемента все под
группы вида |
{о 6 21 \х° |
= |
хи . . ., |
х° = хп}, |
где {xt, |
. . ., |
хп} — |
произвольное |
множество |
|
элементов |
из К. |
Отметим, |
что |
тополо |
гия группы |
A u i ( K / F ) |
= |
g ( F ) совпадает |
с топологией, |
которую |
на ней индуцирует топология группы 21. Следующее предложе
ние — основное и хорошо |
известное. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6 . 1 0 . Если |
К |
— (конечное |
или бесконечное) |
|
расши |
|||||||||||||||||
рение |
Галуа |
поля |
к, |
то |
группа |
|
компактна, |
Q (f (S)) |
= |
S |
для |
|||||||||||
каждой |
замкнутой |
подгруппы |
|
S группы |
21 и f (й (F)) |
= |
F для |
каж |
||||||||||||||
дого |
подполя |
F поля |
К, содержащего |
к. (В |
этом |
случае, конечно, |
||||||||||||||||
21 = |
|
|
G&l(K/k).) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В более общей ситуации мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
6 . 1 1 . Пусть |
2 |
— множество |
всех |
|
компактных |
||||||||||||||||
подгрупп |
группы ЧЦ и Ф — множество |
|
всех |
подполей |
поля |
К, |
содер |
|||||||||||||||
жащих |
|
к, |
над которыми |
К |
является |
(конечным |
или |
бесконечным) |
||||||||||||||
расширением |
Галуа. |
Тогда |
g(f(iS)) |
= |
|
S |
и |
f (S) |
£ Ф |
для |
каждого |
|||||||||||
5 е 2 |
х ) , |
а |
также f(g(.F)) = |
F |
и |
Q(F) |
6 2 |
для |
каждого |
F |
£ |
Ф. |
||||||||||
Таким |
|
образом, |
существует |
|
взаимно |
|
однозначное |
соответствие |
||||||||||||||
между |
|
51 и Ф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Тот |
факт, |
что f (Q(F)) |
= |
F и |
Q(F) |
6 |
||||||||||||||
6 2 |
для |
каждого |
F £ Ф, |
следует |
непосредственно |
из |
предложе |
|||||||||||||||
ния |
6 . 1 0 . |
Для доказательства |
остальных утверждений |
рассмотрим |
||||||||||||||||||
S € 2 |
|
и |
а £ К. |
Очевидно, |
S = |
U |
{°" 6 S \ аа = |
Ь}. |
Так |
как |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ£К |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
группа S компактна, она покрывается конечным числом множеств |
||||||||||||||||||||||
вида {а |
6 S |
\ аа — Ь]. Отсюда следует, |
что |
множество |
{а° |
\ а 6 S} |
||||||||||||||||
конечно, |
скажем |
{а4 , |
. . ., |
ап}. |
Но |
тогда |
коэффициенты |
много- |
||||||||||||||
члена |
|
п |
(X |
— at) |
лежат |
в |
поле |
f (5). Это |
означает, что |
каждый |
||||||||||||
|
[ J |
|||||||||||||||||||||
|
|
г = 1 |
|
|
алгебраичен над f (S) |
и неприводимое |
уравнение |
|||||||||||||||
элемент а поля К |
||||||||||||||||||||||
г ) О том, что каждая компактная подгруппа S соответствует некоторому |
||||||||||||||||||||||
элементу |
множества |
Ф, упоминается в работе N . |
J a c o b s o n , |
Lectures |
i n |
|||||||||||||||||
abstract |
|
algebra, V o l . I l l (1964), |
p . 151, |
ex. |
5. |
См. также Пятецкий-Шаппро |
и Шафаревпч [1] и Ихара [2] .
182 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
для а над f (S) полностью распадается в поле К. Поэтому К являет ся расширением Галуа поля f ( 5 ) . Далее, S представляет собой
замкнутую |
подгруппу группы |
g(f(S)) |
= |
Gal(A7f(5)). |
Применяя |
||||||||||||
предложение 6.10 к S, мы получаем, что S = |
g (f(5)). |
|
|
|
|||||||||||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
6.12. Сохраняя |
обозначения |
из предложения |
6.11, |
|||||||||||||
введем |
символ |
2 ' |
для множества |
всех |
открытых |
компактных |
под |
||||||||||
групп |
группы |
21 |
и |
символ |
Ф' |
для |
подмножества |
множества |
Ф, |
||||||||
состоящего |
из |
всех |
полей F |
£ Ф, |
конечно |
порожденных |
над |
f (21). |
|||||||||
Предположим, |
что множество |
Ф' |
непусто. |
Тогда |
группа |
21 |
локаль |
||||||||||
но компактна |
и взаимно однозначное |
соответствие |
между |
множе |
|||||||||||||
ствами |
2 |
и |
Ф |
индуцирует |
|
взаимно |
однозначное |
соответствие |
|||||||||
между 2 ' и Ф'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим |
к0 |
= |
f (21). Предположим, |
что поле М из множества Ф порождено конечным числом элемен
тов Xi, . |
. |
., |
хп над А;0. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
g(v¥) |
= |
{о |
е |
21 |
I *? |
= |
хи |
. . ., |
4 |
= хп}- |
|
|
|
|
||||
Поэтому |
группа |
Q(M) |
|
открыта и, следовательно-, |
g (М) |
£ |
2 ' . |
||||||||||||||||
Отсюда получается, что группа 21 локально |
компактна. Обратно, |
||||||||||||||||||||||
пусть |
S |
£ |
2 ' |
и |
F |
= |
f (S). |
Тогда |
Q(MF) = |
g (М) |
П в ( Л . |
а |
эта |
||||||||||
группа |
|
открыта |
|
и |
компактна, |
в |
силу |
чего |
[MF: |
М] |
= |
||||||||||||
= |
t |
|
: |
g (MF)] |
< о о . Следовательно, |
MF 6 Ф', |
и |
77 £ Ф'. |
|
||||||||||||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
6.13. Пусть |
S — подгруппа |
|
группы |
21, F |
= |
f(5) |
|||||||||||||||
и ^ — алгебраическое |
замыкание |
|
поля F |
в |
К. |
Тогда |
F{ |
является |
|||||||||||||||
расширением |
|
Галуа |
поля |
F. Если, |
кроме |
того, |
$(F) |
= |
S, |
то g (У^) |
|||||||||||||
является |
нормальным |
делителем |
в S и факторгруппа |
S/Q (Ft) |
как |
||||||||||||||||||
абстрактная |
|
группа |
канонически |
изоморфна |
некоторой |
всюду |
|||||||||||||||||
плотной |
подгруппе |
|
группы |
|
Qa\(FJF). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Если |
и £ Fit |
|
то |
очевидно, |
что |
|||||||||||||||
{иа |
1 а |
6 S) |
— конечное |
множество, |
скажем |
[ии |
. . ., |
ип}. |
Тогда |
||||||||||||||
многочлен |
|
п |
(X |
— ut) |
имеет |
коэффициенты из F, |
так |
что |
Ft |
— |
|||||||||||||
[J |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расширение |
Галуа |
поля F. |
Если g (F) |
= |
S, |
то g (Ft) |
cr |
S и Ff |
= |
||||||||||||||
= |
Fx |
для |
|
каждого |
о |
£ S ; |
следовательно, |
g (Ft) |
= |
g (F°) |
= |
||||||||||||
= |
a _ 1 g |
(FJCT |
для |
каждого |
a E 5. |
Группа |
5/g (Ft) |
теперь |
может |
быть естественным образом отождествлена с некоторой подгруп
пой в G a l ^iAF) . Так как F — неподвижное подполе в Fx |
для этой |
|||
подгруппы, мы получаем последнее утверждение. |
|
|
||
Предложение 6.14. Если |
f(g (F)) = F для некоторого |
подполя |
||
F поля К, содержащего 1с, то f (g (М)) = |
М для каждого |
конечного |
||
алгебраического расширения |
М поля Е, |
содержащегося |
в |
К. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим |
S = Q(F) И |
Т |
= д(М). |
Пусть Fi — алгебраическое |
замыкание поля F в поле К. |
Рассмат- |
|
§ 6.4. АДЕЛИЗАЦИЯ ГРУППЫ GL. |
183 |
|
рпвая |
ограничение элементов |
группы S па М, мы |
находим, что |
[S : Т] |
^ [М : F]. Если f (S) = |
F, то пз предложения |
6.13 следует, |
что каждый изоморфизм поля М в поле Fj над F можно получить
из некоторого элемента группы S. Поэтому [S |
: Т] = [М: |
F]. |
|||||||||
Пусть |
S = |
U |
Та — разделенное |
объединение. |
Очевидно, |
что |
|||||
для каждого v £ f (Т) |
многочлен |
Q |
(X — va) имеет |
коэффициенты |
|||||||
в F; |
|
|
|
|
|
СЕД |
|
|
конечного |
рас |
|
следовательно, f (Т) cz Fy. Далее, для каждого |
|||||||||||
ширения М' |
поля М, |
содержащегося в f (Г), имеет место |
равенство |
||||||||
${М') |
= |
Т. |
Беря М' |
вместо М, |
мы получаем |
[S : Т] = |
Ш' |
: F], |
|||
так |
что |
М |
= М'. |
Но |
это означает, |
что М = |
f (Т). |
Предложение |
доказано.
§ 6.4. Аделизация группы G L 2
До конца этой главы мы будем обозначать через G группу G L 2 , рассматриваемую как алгебраическая группа, определенная над Q. В наши намерения входит определить аделизацию GA группы G (индекс Л обозначает адели поля Q 1 )) . Положим
|
|
Gp |
= |
|
G L 2 ( Q P ) |
{р — рациональное простое |
число), |
|
|
||||||||||
|
G а> = |
G L 2 ( R ) , |
|
> |
0}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Gcc+ |
= |
|
{z |
£ с?» |
I del(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
группа |
|
GA |
по определению состоит из всех таких |
элементов |
||||||||||||||
х = (..., |
|
хр, |
|
. . ., |
а;со) |
прямого |
произведения |
\\GP |
X |
Geo, |
что |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
Хр £ G L 2 ( Z P ) |
для |
всех, |
кроме |
конечного |
числа, |
простых |
чисел р. |
||||||||||||
Группа GA |
может быть отождествлена с группой |
G L 2 ( ^ t ) . Положим |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U = I l G L 2 ( Z p ) х |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
U — подгруппа в GA |
, локально |
компактная |
относительно |
|||||||||||||||
обычной топологии произведения. Мы вводим |
на GA |
топологию, |
|||||||||||||||||
относительно |
|
которой |
U является |
открытой |
подгруппой |
в |
GA- |
||||||||||||
Положим |
GQ = |
G L 2 ( Q ) |
и |
рассмотрим эту |
группу |
как |
|
под |
|||||||||||
группу |
|
в |
GA |
|
относительно |
диагонального |
вложения |
|
a i-> |
||||||||||
*-»- (а, |
а, |
а, . |
. .) £ GA. |
Обозначим |
через G0 недрхимедову |
часть |
|||||||||||||
группы |
GA, |
т. е. множество |
всех |
элементов из GA, |
оо-компонента |
||||||||||||||
которых равна 1. Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
GA+ |
|
= |
GoG со+, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
GQ+ = |
G Q |
П GA+ = |
{a |
e GL 2 (Q) |det(a) > |
0} . |
|
|
|
|
||||||||
Заметим, |
что |
|
отображение |
x |
|
det(x) |
определяет |
непрерывный |
|||||||||||
гомоморфизм группы GA в |
группу |
Q l . Определим |
гомоморфизм |
||||||||||||||||
(6.4.1) |
|
|
|
|
и: GA^ |
G a l ( Q a b / Q ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J ) П о |
поводу |
общей теории |
аделизации |
алгебраических |
групп |
сы. |
А . Вейль [7] .
184 |
ГЛ 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ |
||||||||
равенством о(х) |
= |
[del(;r)"\ Q], где х |
£ G A . (По поводу символа |
||||||
Is, Q] |
при s £ |
|
см. § 5.2.) Заметим, что а{х) = 1, если х 6 |
||||||
Для произвольного целого положительного числа |
N положим |
||||||||
(6.4.2) |
UN |
= |
{х |
= |
(хр) |
е U \хр == 1 mod v V - M 2 ( Z p ) } . |
|||
Очевидно, U = |
U{ |
и |
UN |
— открытая |
подгруппа в |
G A . Отметим |
|||
также, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4.3) |
каждая |
открытая |
подгруппа в G A содержит |
UN |
при неко |
||||
|
тором |
N. |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что подгруппа det(S) для каждой открытой подгруппы S группы GA открыта в OJt. Поэтому подгруппа Q*-det(>S) в Q 1 соответствует конечному абелеву расширению поля Q, которое мы обозначаем через A:s = k(S). Легко видеть, что k(UN) = kN =
=Q(e 2n,/rv) и
(6.4.4) |
k(S) = |
kixSx'1) |
для каждого x 6 G A , |
|
|
|
|||||||
(6.4.5) |
|
S cz T |
kT a |
ks. |
|
|
|
|
|
||||
Пусть j |
— некоторая |
Z-решетка в |
Q2 . Мы можем |
определить |
|||||||||
действие элемента группы GA на факторе Q 2 /j точно |
так же, как |
||||||||||||
в § 5.2. Именно обозначим |
через |
j p замыкание решетки j |
в про |
||||||||||
странстве |
Qp и отождествим Q 2 / j с прямой суммой модулей |
Q J / j p |
|||||||||||
по всем р. |
Для каждого |
с = |
(ср) |
£ GA определим jc |
как Z-решет- |
||||||||
ку в Q2 , характеризуемую равенством |
(j:c)p = $ р с р . |
Тогда |
правое |
||||||||||
умножение |
на с р |
определяет |
пекоторый |
изоморфизм |
пространства |
||||||||
Qp/jp иа Qp/5P cp и, значит, |
изоморфизм из Q2 /g в |
OJVjc. |
Будем |
||||||||||
обозначать через wc образ элемента из Q 2 / j при этом |
изоморфизме. |
||||||||||||
Такая ситуация описывается |
коммутативной диаграммой |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ср |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
Qp/Sp |
|
|
|
>• Q2 /sP cp |
|
|
|
|||
|
|
|
I |
|
|
е |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q2 /s |
— ^ — > Q2 /sc |
|
|
|
|
|||||
где вертикальные |
стрелки |
обозначают |
канонические |
вложения. |
|||||||||
В частности, каждый элемент группы U определяет |
некоторый |
||||||||||||
автоморфизм группы Q2 /Z2 . Заметим также, что |
|
|
|
||||||||||
(6.4.6) |
|
U = |
{с £ G A |
+ |
| Z2 c = |
Z 2 } . |
|
|
|
||||
Докажем теперь несколько |
полезных лемм. Положим |
|
|||||||||||
|
SL2(A) |
= |
{ж 6 С л |
I det(a:) |
= 1}. |
|
|
|
|||||
ЛЕММА |
6.15. Для каждой |
открытой |
|
подгруппы |
S группы GA |
||||||||
SL2(A) |
= S L 2 ( Q ) . ( 5 |
П SL2(A)) |
= (5 |
П SL 2 (JL)) - SL 2 (Q) . |
|
|
|
§ |
6.4. АДЕЛИЗАЦИЯ |
ГРУППЫ GL. |
|
|
|
185 |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Это простейший |
случай |
«сильной |
|||||||||||
аппроксимациониой |
теоремы» |
для полупростых |
алгебраических |
|||||||||||
групп. В нашем случае это просто переформулировка |
леммы 1.38. |
|||||||||||||
Пусть |
g = |
Z 2 и с £ GA- |
Тогда |
можно |
найти |
такой |
элемент а |
|||||||
группы |
GQ, ЧТО ;СС = |
у.а. Согласно |
(6.4.6), а с - 1 |
6 UG«, (это дока |
||||||||||
зывает |
равенство |
GA |
= |
U-GQ). |
ЕСЛИ |
С £ S L 2 ( J L ) , то |
det (а) 6 |
|||||||
6 det(£/Gco) |
П Q* = |
{ ± 1 } - Выберем |
такой элемент е пз GQ, чтобы |
|||||||||||
{ 6 = j |
и |
det(e) |
= |
det (а). |
Тогда |
£с -- ;сесс, так |
что |
элемент |
||||||
с - ( е а ) - 1 |
принадлежит |
пересечению |
U f| SL2 (JL). |
Этим |
доказано |
|||||||||
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4.7) |
|
|
|
S L 2 ( A ) |
= |
(С/ П SL 2 (JL)) - SL 2 (Q) . |
|
|
В силу формулы (6.4.3) нашу лемму достаточно доказать в частном случае S = UN. В силу (6.4.7) вопрос сводится к тому, чтобы показать справедливость включения
(6.4.8) |
U П SL2 (.4)c= |
П |
S L 2 ( A ) ) - S L 2 ( Z ) . |
|
||
Пусть |
v £ U П S L 2 ( J L ) . Можно |
найти |
такой |
элемент |
6 алгебры |
|
M 2 ( Z ) , |
что р == У р mod 7V-M2 (ZP ) |
для |
всех |
р. Тогда |
det(B) = |
=1 mod(iV). В силу леммы 1.38 существует такой элемент у груп
пы SL 2 (Z), что у = В mod(iV). Тогда vy-1 |
£ Cfry П SL2 (JL), откуда |
|
получается (6.4.8). Доказательство закончено. |
||
ЛЕММА 6.16. Ограничение |
отображения |
а на GA+ сюръективно- |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так как GA = |
G^+GQ, ТО а^ц - ) = |
= a(G4 ) = [det(Gjt), Q]. Легко видеть, что det(G^) = Q I , откуда следует лемма.
ЛЕММА 6.17. Пусть S — открытая подгруппа в GA+- Тогда
(i) SGq+ = GQ+S = {х 6 G^+| а(х) = i d ка /cs };
|
(ii) |
|
5GQ+ Z / = { X 6 GA+ I o"(a;) = а(г/) на ks} |
для у £ G^+; |
>гро- |
|||||||||
изведение |
SGQ+У можно брать |
в любом порядке следования |
S, |
GQ+, у. |
||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о , |
(i) В силу |
определения |
поля |
ks |
|||||||||
имеем a(s) = |
i d на ks |
для s 6 S. Поэтому достаточно показать, что> |
||||||||||||
если а(х) |
= |
i d иа |
k s |
для х £ GA+, ТО Х £ £ GQ+ П а; £ GQ+S. |
а |
Одна |
||||||||
ко |
из |
предположений |
следует, что det(a:) £ Q*-det(S), |
потому |
||||||||||
det(x) |
= |
det(a)det(s) |
для некоторого |
а £ GQ я |
некоторого |
s £ S. |
||||||||
Тогда |
det(a) > 0 и det(a"1 a;s~1 ) = 1. В силу леммы 6.15 а - 1 |
^ - |
1 = |
|||||||||||
= |
fit |
при р £ S L 2 ( Q ) |
и t 6 S; |
следовательно, |
х = af>-ts £ GQ+S,. |
|||||||||
и |
аналогично х £ |
SGQ*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(ii) |
Это всего |
лишь |
очевидное |
обобщение |
утверждения |
(i) . |
|||||||
В |
самом деле, из (i) мы получаем |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
SGQ+У |
= |
ySGq+ |
= GQ+Sy |
= |
yGq*S |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
{х 6 |
| а(ж) = |
а(г/) ка & s } . |
|
|
|
186 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
Далее, так как кт |
= ks, |
если Т = |
y~xSy, |
то в силу (i) справедливо |
|||||||||||
равенство |
y^SyGQ* |
= |
SGq+, |
|
так |
что |
SyGq+ = |
ySGq+. |
Анало |
||||||
гично Gq+yS |
= |
Gq+Sy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЛЕММА |
6.18. |
Пусть |
S — |
открытая |
подгруппа |
в GA+. |
Тогда |
||||||||
отображение |
а |
|
индуцирует |
некоторый |
изоморфизм |
группы |
|||||||||
GA+!SGq+ |
на |
группу |
Gal(/Vs /Q) и |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
IGA+ |
: SGQ+] |
|
= lks |
: Q] |
= |
[ O j |
: Q* .det(S)]. |
|
|||||
Это прямое |
следствие |
|
лемм |
6.16 и 6.17. |
|
|
|
||||||||
ЛЕММА 6.19. GA+ |
= |
G Q + C / |
= |
UGQ+. |
|
|
|
|
|
||||||
Это |
следует |
непосредственно из леммы 6.17, так как ku = Q. |
|||||||||||||
Более прямое рассуждение: в доказательстве |
леммы 6.16 мы виде |
||||||||||||||
ли, что GA |
= |
UGq и, следовательно, |
GA+ = |
Gq+U. |
|
||||||||||
УПРАЖНЕНИЕ |
6.20. Докажите, что |
|
|
|
|
|
|||||||||
(i) |
нормализатор |
группы |
UN |
в |
GA+ равен (7Q.I и |
E/Q*t = |
=U Q";
(ii) если |
G* обозначает замыкание группы Gq+G&+, то |
|
G* = |
G Q + G » + |
S L 2 ( J . ) = {х 6 GA+ | det(x) 6 Q X Q « + } - |
|
§ 6.5. |
Действие группы JJ на поле % |
Вернемся теперь к полю % N , определенному в § 6.2. Легко видеть, что %N<^%M, если М — кратное числа N. Поэтому, если мы положим
|
|
|
% = |
U гЬ> |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛГ=1 |
|
|
|
|
то % будет расширением Галуа поля %у и поле С-% будет полем всех |
||||||||
модулярных |
функций всех |
уровней. Мы видим далее, |
что поле |
|||||
Q a b является |
алгебраическим |
замыканием поля Q в поле %, так |
||||||
что g и С линейно разделены |
над Q a b . Наша ближайшая |
цель |
||||||
состоит в описании группы Aut(fy) (теорема 6.23). В этом пара |
||||||||
графе мы изучим часть группы |
A u t ( g ) , полученную |
из |
элементов |
|||||
группы U, и ее связь с подстановкой |
z ь->• a(z) для произвольного |
|||||||
a 6 GQ+. Для удобства мы считаем, что индекс а в обозначении / а |
||||||||
символизирует также и некоторый элемент из группы |
Q2 /Z2 , так |
|||||||
как fa зависит только от класса а по mod Z 2 . (Удобно также |
поло |
|||||||
жить /о = у. Однако мы не будем этого делать во избежание |
пута |
|||||||
ницы. ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
6.21. Для каждого элемента и £ U можно |
опре |
||||||
делить элемент |
i(u) группы |
G&l(%l%i) |
равенством |
/ a |
( u ) |
= fau для |
||
всех а £ Q2 /Z2 , а Ф'О. Кроме |
того, элемент х(и) обладает |
следующи |
ми свойствами:
|
|
|
|
|
|
§ 6 . 5 . ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ U НА ПОЛЕ |
|
|
|
|
|
187 |
|||||||||||||||||
|
(1) |
|
последовательность |
|
1->- |
{ ± 1 } — |
> |
- |
U |
G a |
l |
(fy/?fi) - > " |
1 |
||||||||||||||||
точка; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(2) |
|
х(ц) |
= |
а(и) |
на |
|
Q a b ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(3) |
feT(T> |
= |
ho у для всех |
h 6 g' it SL 2 (Z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Для каждого |
|
и £ |
17 |
и |
каждого |
Л |
||||||||||||||||||||
существует |
такой |
элемент |
а |
пересечения |
M 2 ( Z ) fl |
GQ+, Ч |
Т О |
|
= |
||||||||||||||||||||
= |
a mod 7 V - M 2 ( Z P ) |
для |
всех |
р. |
Тогда |
аи |
= |
аа |
для |
каждого |
а 6 |
||||||||||||||||||
6 N~lZ2/Z2. |
|
Поэтому |
в |
силу |
теоремы |
6.6 |
отображение |
/ а - » - / а 1 1 |
|||||||||||||||||||||
определяет |
некоторый элемент группы G a l ^ ^ / g ^ ) , . а потому и эле |
||||||||||||||||||||||||||||
мент |
из |
G a l ^ / j j i ) - |
Обозначим этот |
элемент |
через |
т(и). |
В |
силу |
|||||||||||||||||||||
утверждения (2) теоремы 6.6 ограничение отображения |
х (и) |
|
на |
||||||||||||||||||||||||||
поле % N определяет точную последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(6.5.1) |
|
|
|
|
|
|
{±1}-UN^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U+G&mM-*-!. |
|
|
|
|||||||||
Поэтому |
Кег(т) = |
|
со |
|
{ ± |
1 } - U N |
— { + |
|
1}-Goo+; |
отображение |
т |
||||||||||||||||||
|
|"| |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
№=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
является непрерывным гомоморфизмом группы U в |
группу |
||||||||||||||||||||||||||||
Gal(g/g-4 ); кроме того, множество |
%{U) плотно |
в Gal(g/gj) . Так |
как |
||||||||||||||||||||||||||
фактор |
|
U/C оо+ |
компактен, |
|
мы получаем |
утверждение |
(1). |
|
|
||||||||||||||||||||
|
Чтобы убедиться в справедливости утверждения (2), возьмем и |
||||||||||||||||||||||||||||
и а, как выше. Определим два элемента с и с' группы |
|
равен |
|||||||||||||||||||||||||||
ствами |
|
|
|
|
|
Г det (ос) |
|
для |
р | N, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
С |
р ~ \ |
|
|
1 |
|
|
для |
р t N |
|
или р — оо |
|
|
|
|
|
|
|||||||
и условием сс' = det(cs). Тогда |
в |
силу |
утверждения |
[(3) теоре |
|||||||||||||||||||||||||
мы 6.6 |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
т |
М = |
|
( - ! т н " ) = |
[ с ' ' Qi = [ d e t ( a ) " l c ' ' Q] = [ c _ 1 ' Qi = |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
[det ( u ) - 1 , |
Q] = о (и) |
на |
kN, |
|
|
||||||||
так что т(ы) |
= о(и) |
на kN |
для каждого N; |
следовательно, |
справед |
||||||||||||||||||||||||
ливо утверждение |
(2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Если |
и — у |
6 SL 2 (Z), |
то |
элемент |
у |
можно выбрать |
так, |
как |
||||||||||||||||||||
выше |
выбиралось |
а, |
и тогда /а ( и ) |
= |
fay |
|
= |
|
fa |
° У |
в |
|
соответствии |
||||||||||||||||
с формулой (6.1.3); таким образом, утверждение (3) доказано. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.22. |
(1) |
Для |
каждого |
|
а |
6 Gq+ и |
|
для |
каждого |
|||||||||||||||||||
h € 2f |
функция |
h о сс |
принадлежит |
полю |
|
%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(2) |
|
Если |
а |
6 GQ+, |
|
В £ GQ+, |
и £ U, |
|
V £ U |
и |
аи |
= |
УЙ, |
/ПО |
||||||||||||||
(;' о а)т (и > |
= |
/ |
о 6 |
и |
|
(fa |
о а)т<и> |
= |
fav |
о В |
|
Зля |
каждого |
а 6 |
|||||||||||||||
6 |
Q'7Z2 , |
а ф |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть f j ' — поле, порожденное |
над |
|||||||||||||||||||||||||
Q функциями h о а для |
всех |
|
/г 6 3 И |
В С Е |
Х |
а |
|
£ GQ+- В силу |
леммы |
||||||||||||||||||||
6.5 существует такая точка z0 |
полуплоскости |
ig, |
|
что |
отобра |
||||||||||||||||||||||||
жение |
|
g |
I—>- ^(z0 ) |
определяет |
изоморфизм |
поля^' |
на подполе |
|
= |
188 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
= Q(/i(a(z0 )) | ос £ G0 +, ^ 6 ПОЛЯ С. Поэтому достаточно дока зать аналоги утвержденнй (1) и (2) для поля %'а. При доказатель стве утверждений (1) и (2), беря соответствующие скалярные крат
ные элементы а и р вместо самих элементов а и 6, |
мы можем счи |
|||||||||||||||||||||||
тать, что |
преобразования |
|
а - 1 |
и |
Р - 1 |
принадлежат |
алгебре |
M 2 ( Z ) . |
||||||||||||||||
Для |
каждой |
точки |
z £ |
|
<g |
положим |
L(z) = |
Zz - j - Z . |
Определим |
|||||||||||||||
число с и кривую Е |
равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Е: у2 = 4а:3 — |
|
сх |
— с, |
с/(с |
— 27) |
= |
j(z0). |
|
|
|
|||||||||||
Теперь возьмем |
произвольный изоморфизм |
|
£ тора |
C/L(z0 ) на кри |
||||||||||||||||||||
вую Е и положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(а |
6 Q2 /Z2 ). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу леммы 6.4 |
/ a (z 0 ) |
= |
|
ЛЬ (2(a))- Чтобы упростить |
обозначения, |
|||||||||||||||||||
положим |
a = |
a 4 , |
р = |
|
а 2 |
|
и |
Wi = |
аг (г0 ) |
для |
|
i = 1, 2. |
|
Тогда |
суще |
|||||||||
ствует такое число |
ja, £ С |
х |
, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ 1 . LI; = |
СЦ1 . |
1 |
_ |
( » = 1 , 2 ) , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
и |
умножение |
на |
иг |
определяет |
некоторую |
|
изогенпю |
из |
C/L(z0 ) |
|||||||||||||||
в |
C!L(iVi). |
Определим |
сг |
|
и |
|
|
i = |
1, 2, |
равенствами |
|
|
||||||||||||
|
|
|
E i ' . |
у2 |
= |
4а;3 |
— с,-ж — сг , |
|
С;/(с; — 27) = |
/(«>i). |
|
|
||||||||||||
Пусть 11; — изоморфизм тора |
C.'L(Wi) |
иа кривую Е{; |
положим |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
si (a) =r\i |
|
a |
|
1 |
|
( a 6 Q 2 / Z 2 ; |
|
i = |
l , 2). |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда существует изогения Xt кривой Е на кривую |
Eh |
при |
кото |
|||||||||||||||||||||
рой диаграмма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C./L |
(z0) |
|
-» |
Е |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
д. |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутативна. |
|
|
|
|
|
-> C/L (и;») |
|
- |
|
в , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
z0 |
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(t(a))=h |
(£ |
l a |
~z0 ~ \\ |
|
|
( |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
. |
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= s i (aa i 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для |
каждого |
a £ |
Q 2 /Z 2 . Поэтому |
Кег(л-г) = |
<(Z2 a; /Z2 ). |
|
Рассмотрим |
|||||||||||||||||
теперь автоморфизм а поля Q(/i(z0 ) |
| h £ 3 ) |
над полем |
Q(c), для |
|||||||||||||||||||||
которого |
fa(zo)a |
= /a u(z0 ) |
при |
всех |
|
а 6 Q 2 /Z 2 , |
а Ф |
0 |
|
(он |
соответ- |
|
|
|
|
§ |
6.5. |
СТРУКТУРА |
ГРУППЫ |
Aut |
(3) |
|
|
|
|
|
189 |
||||||
ствует |
элементу |
х(и)). |
Продолжим |
его |
до |
автоморфизма |
|
поля С |
|||||||||||||
и вновь обозначим через о. Тогда Еа |
= |
Е и в силу формулы |
(4.5.3) |
||||||||||||||||||
t{a)a |
= |
+t(au), |
так как |
/ a (z 0 ) |
—h>E |
(t(a)). |
|
Следовательно, |
|
||||||||||||
|
|
|
Кег(л?) |
= |
K e r ( ^ ) C T |
= |
i ( Z W Z 2 ) |
= |
|
*(Z2 yp7Z2 ) |
= |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
i(Z 2 6/Z 2 ) |
= |
|
Kev(k2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поэтому |
кривая |
E° |
изоморфна |
кривой |
E2, |
так что j(w2)a |
|
|
= |
j(w2); |
|||||||||||
следовательно, с" = с2 |
и Е\ = |
Е2. |
Отображения |
%1 и Х2 являются |
|||||||||||||||||
изогениями кривой Е на кривую |
Е2 |
с одним и тем же ядром, |
так |
||||||||||||||||||
что |
XI = |
&Х2 при некотором |
автоморфизме |
е кривой Е2. |
Так |
как |
|||||||||||||||
число j(z0) |
траисцеидентно, кривые Е, Е±, |
Е2яе |
обладают комплекс |
||||||||||||||||||
ным |
умножением; |
следовательно, |
8 = |
+ 1 |
i |
1° = |
± Л 2 . |
Поэтому |
|||||||||||||
для каждого а £ |
Q 2 /Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
^ ( e a - 1 ) 0 |
= |
(Х&(а)))а |
= |
л° |
(t{a)a) |
|
= |
±%2{±t(au)) |
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
= |
±X2{t(au)) |
= |
|
|
±s2(au^~1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть |
b = a a " 1 . |
Тогда |
а к б - 1 |
= |
|
frauB-1 |
= |
bv. |
(Действительно, |
||||||||||||
пусть a — элемент |
группы |
Q2 , |
который |
представляет а, и b = |
|||||||||||||||||
= аа'1. |
|
Тогда a u , p B _ 1 |
= |
baupfi'1 |
|
= |
bvp, |
|
откуда |
a u B - 1 |
= |
|
bv.) |
Так |
|||||||
как |
отображение |
a н-> a a - 1 |
= |
b — сюръективный |
эндоморфизм |
||||||||||||||||
группы |
Q2 /Z2 , то Si(b)a |
= |
±s2(bv) |
|
для |
каждого |
b £ Q2 /Z2 . |
|
В силу |
||||||||||||
леммы 6.4 для каждого Ъ £ Q 2 /Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Ыт)° |
= |
hh^ib))0 |
|
= |
hhJLsz(bv)) |
|
= |
fbv(w2). |
|
|
|
|||||||
Таким образом, мы доказали, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(6.5.2) |
Я<фо))° |
= |
Д Р Ы ) , |
|
МФо))° |
|
= |
Ы Р Ы ) |
(Ь £ |
QVZ 2 ) . |
Это применимо к произвольному автоморфизму а поля С над
полем |
Q(/(z0 )), |
для которого /a (z0 )C T = / a u ( z 0 ) . |
Предположим, |
||||||
в частности, что a — тождественный автоморфизм на Q(/i(z0 ) | h |
£%). |
||||||||
Тогда |
в |
силу утверждения (1) предложения |
6.21 |
и £ |
{ + 1 } - G о о + , |
||||
и можно |
применить формулу |
(6.5.2) к случаю |
а |
= |
р, |
v £ аиа~г |
£ |
||
6 { ± l } - G = o + . Мы |
видим, что |
элементы ;(a(z0 )) |
и |
/ь(а(г0 )) инва |
риантны относительно о. Следовательно, эти элементы принадле
жат |
полю Q(ft(z0 ) | /г 6 ?у)- В силу |
выбора точки z0 это доказывает |
наше |
предложение. Утверждение |
(2) следует тогда из форму |
лы (6.5.2). |
|
§ 6.6. Структура группы Au t (%) Определим гомоморфизм
т: < ? л + ^ A u t ( g ) .
В силу леммы 6.19 GA+ = элемент т(ц) так же, как т(г{)
UGQ+ = GQ+U. Д Л Я |
и £ U зададим |
из группы Gal(g/gi) |
в предложении |