книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций
.pdf140 |
ГЛ. |
4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ |
КРИВЫЕ |
|
является |
порядком |
в F. Мы |
называем |
о порядком решетки а, а |
а — собственным о-идеалом. |
Все собственные о-идеалы можно |
классифицировать (при фиксированном о) с точностью до умноже ния на элементы из F", как это обычно делается для дробных идеа
лов |
поля |
F. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возвращаясь к мнимому |
квадратичному |
полю К, |
рассмотрим |
||||||||
произвольную Z-решетку а в |
К. Если |
рассматривать |
а как |
под |
||||||||
модуль в С, то а — решетка |
в |
С, так что С/а |
— комплексный тор. |
|||||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.4.6) |
End(C/a) |
= {ц £ С | iia cz |
a} = |
{ u |
£ К |
| и.о. cz a}. |
|
|||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.8. Пусть |
E — эллиптическая |
кривая, |
определен |
||||||||
ная |
над |
С, |
для |
которой |
кольцо |
Endq(£') |
изоморфно |
полю |
К, |
|||
и о — порядок |
в К, |
соответствующий |
кольцу |
End(£'). Тогда кривая |
Е изоморфна фактору С/а при некотором собственном о-идеале а.
Обратно, |
для |
каждого |
собственного о-идеала а кольцо |
End(C/a) |
|
изоморфно |
о. Кроме того, класс собственных |
о-идеалов а |
однозначно |
||
определяется |
классом |
кривых, изоморфных |
кривой С/а. |
Другими |
словами, кривая С/а изоморфна кривой |
С/6 тогда и только |
тогда, |
||||||||||
когда |
ц.а = Ь |
для |
некоторого и- £ |
К". |
|
|
|
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так как существует два изоморфизма |
||||||||||
поля |
К на кольцо |
EndQ(i?), |
то кольцо о может априори зависеть |
|||||||||
от |
выбора изоморфизма. Однако |
если |
а 6 о, то а + а £ Z cz о, так |
|||||||||
что |
a g o . |
Это говорит о том, что |
о |
= |
о; следовательно, о не зави |
|||||||
сит |
от выбора |
изоморфизма |
поля |
К |
в кольцо |
End<j (Е). |
Кривая Е |
|||||
изоморфна |
некоторому тору |
вида |
C/(Zz + Z) при z £ К. |
Положим |
||||||||
о = |
Zz + |
Z. |
Тогда |
модуль |
а должен |
быть |
собственным |
о-идеа |
лом в силу (4.4.6). Обратное представляет собой переформули ровку (4.4.6). Последнее утверждение можно проверить непосред ственно.
Из этого результата получаются следующие предложения.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
4.9. |
Пусть |
Е |
и Е' |
— эллиптические |
кривые, |
|||||||||
определенные над полем |
С. Предположим, |
что Е обладает комплекс |
|||||||||||||
ным умножением. |
Тогда |
Е' |
изогенна Е |
в том |
и только |
в том |
слу |
||||||||
чае, когда |
кольцо |
EndQ (Е') |
изоморфно |
кольцу |
EndQ |
(Е). |
|
|
|||||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
4.10. Для |
произвольного |
порядка о поля К |
число |
|||||||||||
классов собственных о-идеалов |
равно |
числу |
классов |
кривых, |
изо |
||||||||||
морфных |
таким |
эллиптическим |
кривым |
Е, |
что кольцо |
End(£) |
|||||||||
изоморфно |
о. В |
частности, |
|
если |
о — максимальный |
порядок |
в К, |
||||||||
то число, |
упомянутое |
выше, |
есть |
не что |
иное, |
как |
число |
классов |
|||||||
поля К.\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
4.11. Пусть |
ок |
— максимальный |
порядок |
в поле |
||||||||||
К и о — какой-нибудь |
порядок |
в этом |
же поле. |
Тогда |
существует |
||||||||||
ровно одно |
положительное |
целое число с, для которого |
о = Z + |
сок. |
§ 4.4. ИЗОГЕНИИ |
I I ЭНДОМОРФИЗМЫ |
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ |
141 |
|||||||||||
Далее, |
для |
каждого |
собственного |
о -идеала |
а существует |
такой |
||||||||
элемент |
р |
в К*, |
что iia + |
со = |
о. |
Кроме |
того, |
пусть |
для |
двух |
||||
собственных |
о-идеалов а и |
Ь |
символ |
аЪ обозначает |
Ъ-модулъ, |
|||||||||
порожденный |
элементами |
ху, |
для |
которых |
х б а, у б Ь. |
|
Тогда |
|||||||
все собственные |
о-идеалы |
образуют |
группу |
относительно |
этого |
|||||||||
закона |
умножения |
и о служит |
в ней |
|
единицей. |
|
|
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Хорошо |
известно, |
что |
ок |
= |
Z + |
+Zk при некотором элементе к. Можно положить о [) Zk — Zck
при |
некотором |
|
положительном |
целом |
|
числе |
с. |
Тогда Z + |
сок |
|
= |
|||||||||||||||||||||
= |
Z + |
Zck cz |
о. |
Если |
|
г |
- j - |
sk |
б о |
при |
г |
и |
s из |
|
Z, |
то sk б о, так |
||||||||||||||||
что |
|
s |
б cZ. |
|
Поэтому |
о = |
|
Z |
-г - с о я . |
Единственность |
числа |
с |
оче |
|||||||||||||||||||
видна. Для |
произвольной |
Z-решетки |
|
а |
в |
К |
положим |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а* |
= |
{ р |
б К |
| |
T r x |
/ Q |
(pa)cz |
Z } . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
легко |
видеть, |
что |
а* |
— некоторая Z-решетка |
в К, |
(а*)* |
= |
||||||||||||||||||||||||
|
а |
и |
a* cz |
о*, |
|
если |
|
Ь с |
а. |
|
Более |
того, |
если |
оа cz |
а, |
|
то |
|||||||||||||||
оа* cz |
а*. |
|
Поэтому, |
|
|
если |
о |
|
(соответственно |
|
о') — |
порядок |
||||||||||||||||||||
для |
а |
(соответственно |
|
для |
а*), |
то |
о с : о' |
и |
о' cz |
о, |
так |
как |
||||||||||||||||||||
а** = а, в силу |
чего |
|
о = о'. |
Непосредственно |
проверяется, |
|||||||||||||||||||||||||||
что |
о* = g'(cA.)- 1 o, |
если |
|
g(x) |
= |
О — приведенное |
неприводимое |
|||||||||||||||||||||||||
уравнение для ск над Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Пусть |
|
a |
— |
собственный |
о-пдеал. |
|
Если |
|
|
£ б (aa*)*, |
то |
|||||||||||||||||||
Tr/c/Q (£aa*) cz |
|
Z, |
|
так |
|
что |
^а* с |
а*, |
откуда |
£ б 0. |
Поэтому |
|||||||||||||||||||||
(aa*)* cz о |
и |
o*czaa*. |
|
С другой |
стороны, Tr(aa*o) = |
Tr(aa*)cz Z; |
||||||||||||||||||||||||||
следовательно, |
aa* с : о*. |
|
В |
силу сказанного aa* |
|
= |
о*, |
так |
что |
|||||||||||||||||||||||
a-(g'(ck)a*) |
|
= |
о. Итак, |
мы |
установили |
существование |
обратно |
|||||||||||||||||||||||||
го |
|
элемента |
в |
|
полугруппе |
собственных |
о-идеалов, |
а тем |
самым |
|||||||||||||||||||||||
и справедливость последнего утверждения |
предложения. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Положим Ь = |
g'(ck)a*. |
|
Определим |
Q-линейное |
отображение |
/ |
||||||||||||||||||||||||
поля К в поле Q равенством /(г |
+ |
sk) |
= г для |
г и s из |
Q. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||
/(оа) = /(о) = Z. Поэтому для каждого простого |
|
рационального |
||||||||||||||||||||||||||||||
числа р существует такой элемент |
р,р |
в Ь, что число |
/(р р а) |
не со |
||||||||||||||||||||||||||||
держится в идеале pZ. |
|
Но тогда можно найти такой элемент р, в Ь, |
||||||||||||||||||||||||||||||
что |
р == р р |
mod pb для всех простых |
делителей р числа с. В этом |
|||||||||||||||||||||||||||||
случае / (pa) не содержится в pZ для всех таких р. |
|
Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||
/(pa) |
= |
mZ |
при |
некотором положительном целом числе т, взаим |
||||||||||||||||||||||||||||
но |
|
простом |
с |
с. |
Имеем |
/ |
(pa |
+ |
CQk) = |
mZ + |
cZ |
|
= |
Z. Если |
а |
б |
||||||||||||||||
б о, то |
/(а) |
= |
|
/(В) |
при |
некотором |
В б ра |
+ |
с о я . |
|
Тогда |
a |
— |
В б |
||||||||||||||||||
б Zck cz ct>K, |
|
так |
что |
a |
= |
(a |
— |
В) + |
8 б pa |
+ |
сок. |
Это |
гово |
|||||||||||||||||||
рит |
о |
том, |
что |
о = |
о |
pa + |
сък. |
Так |
+ |
как |
и |
pa и сок — идеалы |
||||||||||||||||||||
порядка |
о, |
|
|
то |
|
|
|
= |
|
оо = |
(pa |
|
соя) (pa |
|
- f |
со.к) |
cz pa |
+ |
||||||||||||||
+ |
с20к |
cz |
pa + |
со |
и, |
|
таким |
образом, |
о = |
pa + |
со. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Целое число с (или |
идеал |
соя) |
называется кондуктором |
поряд |
||||||||||||||||||||||||||
ка |
|
о. |
Легко |
|
видеть, |
|
|
что |
сок |
= |
{а |
б К |
| ацк |
|
cz |
о} . |
В |
(5.4.2) |
||||||||||||||
мы покажем, что |
каждый |
|
собственный |
о-идеал является |
«локаль |
|||||||||||||||||||||||||||
но |
|
главным». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
142 |
|
ГЛ. |
4. |
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ |
|
|
|
|||
Как |
показывают |
наши |
рассуждения, |
равенство |
аа* |
= о * |
||||
выполняется для |
каждого |
собственного |
о-идеала |
о при произ |
||||||
вольном |
порядке |
о поля |
К, |
даже если |
[К: |
Q] > |
2. |
Если |
о = |
=Z[JX] при некотором числе л, удовлетворяющем приведенному
неприводимому |
уравнению g(x) |
— 0 |
над |
Q, то о* |
= £ ' ( л - 1 ) о, |
так что каждый собственный о-идеал а обратим. |
|
||||
"УПРАЖНЕНИЕ |
4.12. Докажите, |
что |
число |
классов |
собственных |
о-идеалов равно |
|
|
|
|
|
p|c
( К. \
— J равно 1, — 1 или 0 в зависи мости от того, является число р вполне разложимым в К, остается в К простым или же в К ветвится.
УПРАЖНЕНИЕ 4.13. Пусть F—поле |
алгебраических |
чисел |
||||
конечной степени, |
К — квадратичное |
расширение |
поля F |
и |
$ р |
|
(соответственно |
ок) — максимальный |
порядок в F |
(соответствен |
|||
но в К). Обобщите |
предложение 4.11 на случай порядка в поле |
К, |
||||
содержащего oF. |
|
(Хотя это можно сделать и глобально, |
но |
для |
начала будет, пожалуй, проще обратиться к этой задаче над ло кальным полем. Утверждение (5.4.2) также можно обобщить.)
§ 4.5. Автоморфизмы эллиптической^'кривой
Пусть Aut(Z?) — группа всех автоморфизмов эллиптической кривой Е, определенной над полем С. Если Е не обладает ком плексным умножением, то Aut(£)c состоит только из ± 1 . Поэтому предположим, что Е обладает комплексным умножением, и пусть
ои К изоморфны кольцам End(is') и Endo. (Е), как в предложении
4.8.Тогда группа Aut(£') изоморфна о*. Так как К — мнимое
квадратичное |
поле, то |
группа о х , |
как известно, не сводится к ± 1 |
|||||||
лишь в следующих |
случаях: |
|
|
|
|
|
||||
П(А) |
К |
= Q d / ^ l ) , |
6 = ЯУ=1Ц |
о* |
= |
{ ± 1 , |
±У~П; |
|||
vj(B) |
К |
= |
Q( £ ), |
L = |
е 2*»/з, 0 = |
Z [ £ ] , |
ох |
= |
{ ± 1 , ± С , |
± ¥ } . |
В обоих |
случаях |
о — максимальный |
порядок поля К |
и число |
классов поля К равно 1, так что в силу предложения 4.10 в каж дом из случаев существует только одна эллиптическая кривая Е с точностью до изоморфизма над С, для которой кольцо End(Z?)
изоморфно |
кольцу |
о. |
|
|
|
Пусть |
кривая |
Е определена |
уравнением г/2 |
= |
4ж3 — сгх — с 3 |
при с 2 и с 3 |
из С. Заметим, что |
|
|
|
|
(4.5.1) |
; Е = |
1 <=> с3 = 0; |
j E = 0 <=> с2 |
= |
0. |
|
|
§ 4.6. СВОЙСТВА ЦЕЛОСТНОСТИ ИНВАРИАНТА J |
|
|
|
143 |
|||||||||
Если теперь с3 |
= |
0, то |
группа |
Aut(E) |
|
содержит |
по крайней |
мере |
|||||||
4 элемента: (х, |
y)t—+(x, |
±z/), (х, |
у) н-*• (—х, ± |
]/ —1у); если с 2 = |
0, |
||||||||||
то группа A u t ( f i ) |
содержит |
по крайней мере 6 элементов: (х, |
у) |
н-» |
|||||||||||
•—*• (Е?х, ±у), |
v = 0, |
1, 2, £ = |
е 2 л ' / 3 . |
Поэтому |
из (4.5.1) |
мы полу |
|||||||||
чаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4.5.2) |
кривая |
Е |
относится |
к случаю (А) |
(соответственно |
(Б)) |
тогда |
||||||||
|
|
>и только |
тогда, |
когда j Е |
= 1 |
(соответственно j |
E = |
0). |
|
||||||
Более того, мы видим, что группа Aut( £ ) состоит из названных |
4 |
||||||||||||||
или |
6 |
элементов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В дальнейшем мы будем |
обозначать |
через |
% множество |
эллип |
|||||||||||
тических кривых Е вида у2 |
= Ах3 — сгх |
— с 3 , где с 2 и с 3 |
берутся |
||||||||||||
из |
С. |
Мы разбиваем |
множество |
% |
на |
три |
класса |
%t, |
i |
= |
— 1, 2, 3, в соответствии с числом 2ъ автоморфизмов. Таким обра
зом, |
%г |
и |
%3 |
состоят |
из |
кривых типа |
(А) |
и (Б) |
соответственно, |
||||||||||
a Mi содержит |
все остальные |
кривые из %. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для |
каждой |
эллиптической |
кривой |
Е: |
у2 |
= |
4ж3 — с2х |
— |
с3 |
||||||||||
определим |
три функции |
|
hE |
на |
Е равенствами |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
hE((x, |
у)) |
= |
|
(с2 с3 /Д •)•?, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
У)) |
= |
|
(cJ/Д) |
|
А = cl |
- |
27с23, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ЬШ*. |
2/)) |
= |
|
(с3/А) |
-х3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, они определены над полем |
определения |
кривой |
Е. |
||||||||||||||||
Если |
Е |
6 §2> |
то |
/г-Ь = |
й| = |
0 |
и /г.|((:г, |
г/)) |
= |
с~гх2; |
если |
же £ |
6 |
||||||
£ ^ з , |
то |
hE |
= |
/ i | |
= |
0 |
и |
fe|((x, |
г/)) |
= (—27с3 )_ 1 а:3 . |
Используя |
||||||||
явную форму |
элементов |
группы |
A u t ( S ) , |
указанную |
выше, |
легко |
|||||||||||||
проверить, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(4.5.3.) |
при Е 6 %i равенство |
hE(t) |
= |
ZIB(£') |
выполняется |
тогда |
|||||||||||||
|
|
и |
только |
тогда, |
когда t |
= at' |
для некоторого |
а 6 |
Aut(i?); |
(4.5.4) если Е и Е' — кривые множества % и и — изоморфизм и Е в Е', то НЕ = hE'°r\ для i = 1, 2, 3.
Действительно, если Е — указанная выше |
кривая |
и Е' |
опре |
|||
деляется равенством у2 = 4ж3 |
— с'2х — с'3, |
то |
в силу |
предложе |
||
ния |
4.1 г)((х, у)) = (uAc, иЛг), |
= р,*с2, с3 |
= |
р,6 с3 при некотором и. |
||
из С. Таким образом, (4.5.4) получается из |
определения |
функ |
||||
ций |
hE. |
|
|
|
|
|
§4.6. Свойства целостности инварианта J
Втеореме 2.9 утверждается, что модулярная функция
|
J(z) = |
123j(z) |
= |
123ф)/А(г) |
имеет |
разложение Фурье вида |
|
|
|
(4.6.1) |
J(z) = q-*{1+ |
2 |
c n g n ) , |
<z = e2 ** |
|
|
n = i |
|
|
при cn 6 Z. Докажем теперь следующую теорему.
144 |
|
|
ГЛ. 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ |
КРИВЫЕ |
|
|
|
||
ТЕОРЕМА 4.14. Если z принадлежит |
мнимому |
квадратичному |
|||||||
полю |
и Im(z) > 0, то J(z) — целое |
алгебраическое |
число 1 |
) . |
|
||||
Здесь мы дадим аналитическое |
доказательство |
этого |
утвержде |
||||||
ния, хотя более естественным было |
бы алгебраическое доказатель |
||||||||
ство, |
которое теперь возможно благодаря минимальным |
моделям |
|||||||
Нерона |
[1]; см. Дойринг |
[1], Серр |
и Тейт [1]. |
|
|
|
|||
Тот |
факт, что J(z) — алгебраическое |
число, легко |
установить |
||||||
так. |
Пусть |
А" = Q(z), L = |
ZZ-\-ZKE |
— эллиптическая |
кривая, |
||||
изоморфная |
C/L. Заметим, что для каждого а £ Aut(C) |
кольцо |
EndQ (Еа) изоморфно полю А. В данной ситуации существует лишь счетное множество классов с точностью до изоморфизма эллипти ческих кривых, алгебры автоморфизмов которых изоморфны полю
А . |
Так как j |
( E A ) = j ( E ) A , то множество {j(E)A |
| о £ A u t ( C ) } счет |
но; |
следовательно, чпсло j ( E ) должно быть алгебраическим. |
||
|
Тот факт, |
что J(z) — целое число, является |
более глубоким |
и его доказательство более трудоемкое (какой бы метод ни исполь зовался) .
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
4.15. Предположим, |
что |
|
|
|
|||||||
|
|
|
771 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a h / ( z ) * = |
2 |
К?, |
q=e™*, |
|
|
||||
|
|
|
ft=0 |
|
n^Tio |
|
|
|
|
|
||
для всех z £ <g и константы ah и Ъп лежат в С. Тогда |
ah принадле |
|||||||||||
жат |
кольцу, |
порожденному |
над |
Z |
числами Ъп. |
q-1 ( l - f 2c»?n) |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Подставив выражение |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
771 |
|
|
|
|
|
|
|
n = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для / |
(z) в сумму |
2 a h J (z)f t , |
получим |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ-т — am, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
b i - m = ma-mPi - f a m - i i |
|
|
|
|
+ am _2 , |
||||||
|
b2-m =(m |
(m —1)/2) |
• a,„c2 - f (m — 1) • am.tCi |
|||||||||
Так |
как c n |
£ Z, |
то утверждение |
доказано |
|
|
||||||
Будем называть элемент a |
= ~a b |
алгебры M 2 (Z) |
примитивным, |
|||||||||
если а, Ъ, с, |
d не имеют общих делителей, |
отличных от ± 1 . Если |
||||||||||
det(a) = п > |
0, то матрица |
а |
примитивна |
тогда |
и только тогда, |
|||||||
|
|
Гп |
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
когда a £ Г •10 |
1 |
Г Д 6 |
^ ~ ^ ^ ( Z ) . Согласно предложению 3.36, |
|||||||||
|
|
|
|
|
~п 0" |
|
|
U Га, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
л - Г = |
|
|
|
К. Л. Зигсль |
показал, |
что если |
z — алгебраическое число, 1 т г > 0 |
и г не принадлежит |
мнимому |
квадратичному полю, то J(z) — трансцендентное |
|
число (Ann. of Math. |
Studies, |
16 (1949), |
98.) — Прим. ред. |
|
|
§ 4.6. СВОЙСТВА |
ЦЕЛОСТНОСТИ |
ИНВАРИАНТА |
J |
145 |
||||||||||
где А |
— множество всех матриц |
а |
а Ъ' |
подчиненных условиям |
||||||||||||
О d |
||||||||||||||||
d > |
0, ad — п, |
0 < |
|
|
d и |
(a, b, |
1. |
|
|
|
|
|||||
Ъ < |
d) |
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
Зафиксируем |
теперь |
произвольное |
целое |
число |
п > |
1 и рас |
|||||||||
смотрим многочлен |
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(X-Joa)= |
|
|
2 s m X m |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
tx£A |
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
||
от переменной X , где sm |
— элементарные симметрические функции |
|||||||||||||||
от / |
о а и, следовательно, голоморфные функции на ,<д, обладающие |
|||||||||||||||
разложением Фурье по степеням |
д1 /7 1 . Для каждого у 6 Г справед |
|||||||||||||||
ливо |
равенство |
U |
Гау |
== |
U |
Га, |
так |
что |
|
|
|
|
||||
|
|
|
а£А |
|
|
|
а£А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ / о а о у | а 6 .4 } = { / ° а | а 6 4 }. |
|
|
||||||||||||
Следовательно, |
s m ° Y |
= |
sm |
и s m — модулярная |
функция |
уровня 1. |
||||||||||
Так как sm голоморфна |
на SQ, ТО sm |
— многочлен |
от / ; |
обозначим |
||||||||||||
|
Далее, g-разложение элемента |
J o a для а = |
.'а Ъ |
|
6 А имеет вид |
|||||||||||
|
О d |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4.6.2) |
/ (а (z)) = |
|
|
[ 1 + 2 |
cmtF<Tald\ |
, |
U = |
eW*. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m = i |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, коэффициенты являются целыми алгебраическими
числами |
поля |
Q( £ n ) . |
Пусть |
а — такой автоморфизм |
поля |
Q(£„), |
|||
что |
tg = |
Q для некоторого |
it, (t, п) = 1. Преобразуя |
коэффициен |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
та Ь'" |
ел, |
|
ты в |
J°a |
с помощью а, получаем элементы / ° 6 , |
где р = О |
d |
|||||
Ъ' = |
btmo&(d). |
Так |
как а •—»• р дает перестановку множества |
А, |
|||||
можно заключить, что коэффициенты g-разложения |
для sm |
при |
|||||||
надлежат |
Z. Применяя предложение 4.15 к Sm(J), |
мы видим, |
что |
коэффициенты многочлена S m целые. Таким образом, мы получаем многочлен
|
|
/)= |
аП£ |
|
м |
|
(4.6.3) |
Fn(X, |
( Х - / о « ) = |
2 |
Sm(J)Xm, |
||
|
А |
т = 0 |
||||
принадлежащий кольцу Ъ[Х, /]. |
|
|
||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.16. Для |
каждого \ 6 G L 2 ( Q ) |
с det(|) > 0 эле- |
||||
мент |
J o £ — целый над |
Z [ J ] . |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Умножая матрицу | на подходящее рациональное число, можно считать, что | — примитивный эле мент алгебры M 2 ( Z ) , так как это не меняет / o f . Если det(£) =
~п 01
= п > 1, то I 6 Г. 0 1
10-01118
146 ГЛ. 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Тогда /<>£ = |
Jaa, |
|
откуда Fn(J°£„ |
/ ) = 0 . Предложение |
доказано. |
||||||||||||||||
|
Положим теперь Hn(J) |
= |
F n ( J ' , |
J) = |
[ J (J — J |
о а). |
Тогда Hn — |
||||||||||||||
многочлен |
от |
/ |
с |
|
коэффициентами |
agA |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
из Z.< |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4 . 1 7 . Если |
число |
п не |
является |
квадратом, |
то |
||||||||||||||||
старший |
коэффициент |
многочлена |
Hn(J) |
равен ± 1 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Если |
п не |
является |
квадратом, |
то |
||||||||||||||
в ( 4 . 6 . 2 ) aid ф1; |
следовательно, |
старший коэффициент |
в д-разло- |
||||||||||||||||||
жеиии |
элемента / |
|
— J° а |
будет |
корнем |
из |
единицы |
и таким |
же |
||||||||||||
будет старший коэффициент g-разложения для Hn(J). |
|
Этот коэф |
|||||||||||||||||||
фициент |
равен |
старшему коэффициенту |
многочлена |
Нп, который |
|||||||||||||||||
рационален, а потому равен ± |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Предположим |
теперь, |
что |
К = |
Q(z) — мнимое |
|
квадратичное |
|||||||||||||||
поле, |
L = |
Z - f Z z |
|
и о — порядок |
в К , изоморфный |
End(C/L) . |
|||||||||||||||
Допустим |
|
сначала, |
что о — максимальный |
порядок в |
К. |
Тогда |
|||||||||||||||
можно найти такой |
элемент и. в о, что NK/Q (и.)—свободное |
от ква |
|||||||||||||||||||
дратов |
целое |
|
число, |
большее |
1 . (Действительно, |
если К |
= |
||||||||||||||
= |
Q ( V — 1 ) . т |
о |
возьмем |
(х = |
1 + |
У — 1 , |
а если К = |
Q("J/^—m.), где |
|||||||||||||
число т больше 1 и свободно |
|
от квадратов, то |х = |
У — т . ) Опре |
||||||||||||||||||
делим |
элемент |
| |
алгебры |
M 2 (Z) равенством |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
z |
= |
1 |
|
|
( 1 = |
9 ( ^ 0 |
в |
обозначениях из |
( 4 . 4 . 5 ) ) . |
|
||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|||||||||||||||
Тогда det(|) = |
п, и | — примитивный элемент, потому что число п |
||||||||||||||||||||
свободно |
от квадратов. Поэтому / о | = /осе при некотором а £ А, |
||||||||||||||||||||
как |
в |
доказательстве |
предложения 4 . 1 6 . Так как |
g(z) = |
z, |
то |
|||||||||||||||
/(z) |
= |
/(E(z)) |
= |
J(a(z)), |
так что |
Hn(J(z)) |
= 0 . В силу |
предложе |
|||||||||||||
ния |
4 . 1 7 это |
означает, |
что |
J(z) |
— целое алгебраическое |
число. |
|||||||||||||||
Рассмотрим далее] случай, |
|
когда |
о не является |
максимальным |
порядком. Согласно предложению 4 . 3 , существует такой элемент 6
группы |
G I 4 ( Q ) , |
что |
End(C/Zz' + Z) при z' |
= P(z) является мак |
||||||||
симальным порядком. В силу предложения |
4 . 1 6 число |
/(z) |
целое |
|||||||||
над |
кольцом |
Z [ / ( z ' ) ] . |
Но |
так как и число |
J(z') |
целое, то |
теоре |
|||||
ма |
4 . 1 4 доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
В действительности же произвольный порядок о поля К |
|||||||||||
содержит |
такой элемент |
и., что iVjc/Q (и.) — простое число. В самом |
||||||||||
деле, возьмем такое положительное целое |
число К, что Ы К cz о. |
|||||||||||
Согласно |
обобщенной |
|
теореме Дирихле, существует такой эле |
|||||||||
мент [х |
поля |
К , |
что |
(х = |
1 mod Ы К и |
число |
N K / Q |
(Ц.) простое. |
||||
I i o |
тогда |х 6 0. |
Применяя |
предыдущие рассуждения к (х, можно |
|||||||||
показать, что число J(z) |
целое, не сводя при этом вопрос к случаю |
|||||||||||
максимального |
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнение |
Hn(J) |
= |
0 |
называется |
модулярным |
уравнением |
степени п. Классическое изучение этой темы, а также с ней связан ных, читатель может найти у Фрикке [ 1 ] , Гурвица [ 1 ] , Вебера [ 1 ] .
Г Л А В А 5
АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ И КОМПЛЕКСНОЕ УМНОЖЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ
|
Цель этой главы — изучить |
поведение эллиптической кривой |
||
Е |
с комплексным умножением |
при действии группы |
Ga\(Kab/K), |
|
где К |
— мнимое квадратичное поле, изоморфное кольцу |
EndQ (Е), |
||
и |
Каь |
— максимальное абелево |
расширение поля К. От |
читателя |
потребуются некоторые познания в теории полей классов. Основ ную теорему мы сформулируем в § 5.4 на языке аделей и выведем из нее классический результат о построении поля Каъ с помощью специальных значений эллиптических или эллиптических моду лярных функций. К этой теме мы вернемся в § 6.8, но там возник нет другая формулировка, без эллиптических кривых.
§ 5.1. Предварительные рассмотрения
Существует простой принцип в изучении поля рациональности, который часто будет использоваться нами в этой и последующих
главах. Пусть X — какой-нибудь алгебро-геометрический |
объект, |
||
определенный»над универсальной областью |
С и такой, что |
символ |
|
Ха |
определен] для любого автоморфизма о |
поля С. Таким образом, |
|
X |
может быть многообразием, рациональным отображением или |
дифференциальной формой на многообразии (см. дополнение). Упомянутый принцип состоит в следующем:
пусть |
к — произвольное |
подполе |
в С; |
если |
Х° = X |
для |
всех |
|||||
а 6 Aut(C//i:), то X |
— объект, |
рациональный |
над |
к. Эквивалентная |
||||||||
формулировка: если |
Ха |
при |
а £ Aut(C/A;) |
зависит |
только |
от |
огра |
|||||
ничения |
автоморфизма |
а |
на |
к, то |
X |
— объект, |
рациональный |
|||||
над к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это не вполне строгое утверждение, если объект X определен относительно некоторых других алгебро-геометрических объектов. Например, если X — рациональное отображение многообразия U в многообразие V, то лучше предположить, что U и V определены над к. То же замечание относится и к дифференциальной форме.
Сформулируем аналогичный принцип для двух подполей поля С:
пусть к и к' — подполя |
в С со счетным множеством |
элементов; |
|
если |
к' инвариантно относительно группы Aut(C//c), то композит |
||
kk' |
является (конечным или |
бесконечным) расширением |
Галуа поля |
10*
148 ГЛ. 5. АБЕЛЕВЫ РАСШИРЕНИЯ МНИМЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ПОЛЕЙ
к. Кроме того, если каждый элемент группы Aut(C//«) индуцирует тождественное отображение на к', то к' cz к.
Рассмотрим теперь проективную пеособую кривую V, опреде ленную над полем к произвольной характеристики. Будем обозна чать через k(V) поле всех функций на V, рациональных над к (см. дополнение, п. 4). Пусть W — также проективная неособая кривая
и X — рациональное отображение |
из V в |
W, причем все это |
опре |
|
делено над к. Тогда, как хорошо |
известно, X есть морфизм, т. е. |
|||
всюду определенное на V отображение. Предположим, что отобра |
||||
жение X не постоянно. Тогда |
отображение /(—*•/° X определяет |
|||
некоторый изоморфизм поля k(W) |
|
в k(V). |
Обозначим через |
k(W)°X |
образ ноля k(W) при этом изоморфизме. Будем называть отобра жение X сепарабелъным, несепарабелъным нлн чисто несепарабелъным в зависимости от того, сепарабелыю, несепарабельио пли
чисто |
несепарабельио |
над |
k(W)°X |
|
поле |
k(V). |
Положим |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
deg(?i) = |
[k(V) |
: |
k{W)°X] |
|
|
|
|
|
|||||
и |
назовем |
это |
число |
степенью |
морфизма |
X; оно |
не |
зависит |
от вы |
||||||||||
бора |
к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
D i f ( F ) — множество всех |
дифференциальных форм на V |
||||||||||||||||
и |
££(V) — множество |
всех |
голоморфных |
элементов |
из |
D i i ( F ) , |
т. е. |
||||||||||||
всех |
дифференциальных |
|
форм |
первого |
рода |
на |
V. |
Обозначим |
|||||||||||
через |
3)(V; |
к) |
множество всех элементов из 3)(V), |
рациональных |
|||||||||||||||
над к (см. дополнение 8.9). Если X и |
W те же, что выше, то для |
||||||||||||||||||
каждой формы со = |
/ю df £ Dif(И^; к) при / и h из k(W) |
можно |
|
опре |
|||||||||||||||
делить элемент |
со о X из D i f ( F ; |
к) равенством |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
со о X |
= |
(hoX) |
-d(f |
о |
X). |
|
|
|
|
|
||
Если |
со 6 3)(W), |
то |
со о л. £ |
3)(V). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.1. Пусть |
V, |
W, |
к и X те же, что выше, |
и 0 =/= |
||||||||||||||
Ф |
со 6 D i f ( H / ; |
к). |
Тогда |
со °Х Ф |
0 |
в том и только в том |
случае, |
||||||||||||
когда |
отображение |
X |
сепарабелыю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Дифференциальная |
форма df |
|
обла |
||||||||||||||
дает следующим свойством; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(5.1.0) df Ф |
0 |
тогда |
и только тогда, |
Kozdd[k(W) |
— |
алгебраическое |
|||||||||||||
|
|
сепарабелъное |
расширение |
поля |
k(f). |
|
|
|
|
|
|||||||||
(См. дополнение, пп. 8, 9.) |
Положим со = |
h - d f при некоторых |
h и / |
||||||||||||||||
из k ( W ) . Так как |
со Ф 0, то поле k(W) |
сепарабельно |
над k(f), так |
||||||||||||||||
что k(W)°X |
|
сепарабельно |
над k(foX). |
Применяя (5.1.0) к d(foX), |
мы |
||||||||||||||
видим, что k(V) |
сепарабельно над k(f°X) |
тогда и только тогда, |
когда |
||||||||||||||||
со о X Ф 0. |
Предложение |
доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5.2. Пусть V, W, чисто несепарабелъно и q = deg(A-),
X и к те же, что выше. Если X то существует бирегулярный
|
|
|
|
§ 5.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ |
РАССМОТРЕНИЯ |
|
|
149 |
|||||||||||
изоморфизм (.1 из W в Vq, рациональный |
над к и такой, |
что \.юХ — |
|||||||||||||||||
морфизм |
возведения |
в |
q-ю степень |
из |
V |
в V9, |
где |
Vq |
|
обозначает |
|||||||||
многообразие |
V, |
преобразованное |
автоморфизмом |
|
возведения |
в q-ю |
|||||||||||||
степень |
|
универсальной |
области. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
v — общая |
точка |
|
многообра |
|||||||||||||
зия |
V |
над полем |
к, |
и пусть |
w |
= X(v), |
К |
= |
k(v), |
L |
= |
k(w). |
Наше |
||||||
утверждение |
эквивалентно |
равенству |
L — к-К4, |
|
|
где |
К'1 = |
||||||||||||
= |
{а9 |
\ а £ К) |
(по крайней мере оно вытекает из этого |
равенства). |
|||||||||||||||
Действительно, |
если к-К9 |
= |
L , то |
k(vq) |
= |
k(w). |
Так |
как |
vq — |
||||||||||
общая |
точка |
Vя |
над к, |
можно |
определить бирациональиое |
отоб |
|||||||||||||
ражение |
ii из |
W |
в |
Vq |
равенством u.(iw) = |
vq. |
Так |
как |
|
W и |
V9 — |
проективные иеособые многообразия, то отображение ц. бирегуляр-
ио. Но тогда |
U.(A(L>)) = vq, |
так |
что \ь°Х — морфизм |
возведения |
||||||
в |
q-ю степень из V в |
V9. |
|
|
|
|
|
|||
|
Теперь |
наш |
вопрос |
свелся |
к |
установлению равенства к-К4 |
= |
|||
= |
L . По |
предположению |
поле |
К чисто несепарабельно над |
L |
|||||
и [К : L] = q, |
так |
что |
k-Kqcz |
|
L . Поэтому достаточно |
доказать, |
||||
что [К: к-К9] |
= q. |
Поскольку |
К — регулярное расширение поля |
к, существует такой элемент х из К, что К алгебраично и сепара-
бельно над к(х). Но тогда к-К4 |
сепарабельно над k(xq). |
Далее, поле |
|||||||||||||||||
К сепарабельно над к(х) и чисто несепарабельно |
над |
k-Kq, |
так |
||||||||||||||||
что К является композитом к(х) |
и к -К4. |
Так как к(х) |
чисто несепа |
||||||||||||||||
рабельно |
над |
к(х9) и к-К9 |
|
сепарабельно над |
к(х9), |
то |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
[К |
: к-Kq] |
= |
[к(х) |
: k(xq)] |
= |
q, |
|
|
|
|
|
|
|||
и доказательство |
закончено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Предложение |
5.3. |
Пусть |
Е\ и Е2 — эллиптические |
кривые, |
|||||||||||||||
определенные |
над |
некоторым |
подполем к поля |
С, и к — |
алгебраиче |
||||||||||||||
ское замыкание |
поля |
к в С. Тогда каждый элемент |
из Hom(£'i, |
Е2) |
|||||||||||||||
определен |
над к. Кроме |
того, |
если кольцо |
End(£\) изоморфно |
кольцу |
||||||||||||||
Z и X £ Нош(£'1 , |
Е2), |
то |
№ = |
±Х |
для |
каждого |
автоморфизма о |
||||||||||||
поля к над |
к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
X £ Hom.(2?i, |
Н2) |
и |
а — авто |
||||||||||||||
морфизм поля |
С над |
к, то |
Ха £ Honi(£'i, Ег). |
Так |
как |
множество |
|||||||||||||
Нош(£'1 , Е2) |
не более чем счетно, существует не более чем |
счетное |
|||||||||||||||||
множество таких элементов Ха, |
что X определено над к. Если коль |
||||||||||||||||||
цо End(Z?,) |
изоморфно |
кольцу |
Z и X Ф |
0, |
то |
группа |
Hom(£'i, |
Е2) |
|||||||||||
изоморфна Z, и тХа = пХ при ненулевых |
целых |
числах |
т и |
п. |
|||||||||||||||
Но тогда m2-deg(X°) |
= |
deg(mXa) |
= |
deg(nX) |
= |
n2-deg(X). |
Так |
как |
|||||||||||
deg(Xa ) = deg(A,), то |
m = |
±n и, следовательно, |
Xa |
= |
|
±X. |
|
|
|||||||||||
Рассмотрим |
теперь |
такую |
эллиптическую кривую Е над С, |
||||||||||||||||
что кольцо |
E n d Q |
(Е) |
изоморфно мнимому квадратичному полю |
К. |
|||||||||||||||
Мы укажем |
сейчас |
способ |
выбора |
канонического |
изоморфизма |
||||||||||||||
из двух изоморфизмов поля К |
и Endo. (Е). |
Заметим |
сначала, |
что |
|||||||||||||||
векторное |
пространство |
3)(Е) |
голоморфных |
дифференциальных |