книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

Определим дзета-функцию

многообразия А иад полем к как беско­

нечное произведение

Us; А!к)

= И

да(р)-)-1.

Если А — якобиево многообразие

кривой V, то его можно

опреде­

лить над тем же полем к, над которым определена кривая V.

Кроме

так,

чтобы 23'с: S3. Далее, Fp =

F'p для каждого

р (? 23 (А. Вейль

[3]),

так что

А/к) по существу

совпадает с £(s;

V7/f).

делена, п, значит, приведенная гппотеза была

проверена в

следую­

щих

случаях:

(1а )

для

алгебраических

кривых

типа

ахт

- f Вг/П + 7 = 0

(А. Вейль [4]);

(1о) для эллиптических кривых с комплексным умножением (Дой-

рпнг [3]);

(1В )

для абелевых

многообразий с многими

комплексными умно­

жениями (Танпяма [1]);

(П а )

для

алгебраических

кривых,

изоморфных

пространству

Г\ф*

прп некоторых

конгруэнц-подгруппах

Г

группы

SL2 (Z)

(Эйхлер

[2], Шимура [2]) х ) ;

(Но)

для

алгебраических

кривых,

изоморфных

пространству

Г\ф* при арифметических фуксовых группах Г , получеипых

из ква-

тернионных алгебр (Шимура [5], [9]);

(П в )

для некоторых

многообразий, расслоенных над кривой типа

(П а , о)»

слои которых являются абелевыми многообразиями (в част­

ности, эллиптическими кривыми) (Куга и Шимура

[1], Ихара [1],

Делинь [1]).

Результат в случае (1в ) обобщает результат в случае (Т£) и, по су­

ществу,

результат

в случае (1а ). Аналогично

(По) содержит (П а )

в качестве частного

случая.

Дзета-функция

в

случаях

( 1 а , б, в)

г )

Этот результат

обобщен И. И. Пятецким-Шаппро [1*] иа случай любой

к о н г р у э н ц - п о д г р у ш ш

модулярной

группы. Более точно, доказано,

что если

212

ГЛ 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Цикл Z однозначно характеризуется следующим свойством:

(7.2.1) Z(b)

=

YlX(b)]

для каждой

точки

b £11

и

*Zlc]

=

*Х['У[с]]

для каждой точки с £ W.

Поэтому

'2

=

' I = 'У.

Цикл

X

называется

собственным,

если

он

не

имеет

компонент

вида а X

У при а £ U или U X b при Ь 6 У- Легко видеть, что цикл

Y

о X — собственный,

если таковы

X

и

Y.

Кроме того,

если

X

и

X' — собственные 1-циклы на U

X

У и

Х{а)

=

Х'(а)

для общей

точки а на

(7 над полем рациональности для

£/,

У,

X и X ' ,

то X

=

Пусть

Ац

(соответственно

Av) — якобпево

многообразие кри­

вой

U (соответственно

У) и / у

(соответственно

/ г )

—

каноническое

отображение из

U

в

^

(соответственно

из

У

в Аг).

С каждым

1-циклом

X

на

С/ X

У

можно

связать

некоторый

элемент

Н. из

Нот(Ли,

Л у ) ,

для

которого

из

равенства Х[и]

=

2

vi

П Р И

и £ U

и i>; g У следует,

что

г

£ ( / i / ( " ) ) = 2 / v 0 > i ) +

c,

i

где

с — некоторая

точка многообразия

Av,

не зависящая

от и.

Если

А: — поле

рациональности

для U, У н

X,

то

и yly можно

выбрать

рациональными

над

к.

Отображения fv

и / у

могут не быть

Для

произвольного проективного многообразия Z обозначим

через 3{Z)

векторное пространство голоморфных

дифференциальных

форм степени 1 иа Z. Если

U, У и X

те же, что выше, то с циклом X

можно

следующим

образом

связать

линейное

отображение

8Х

из

3)(V)

в 3)(U).

В

силу линейности

достаточно

рассмотреть

случаи

неприводимого X.

Пусть

к — поле рациональности для

U,

У и

X.

е

Возьмем

общую

точку и

кривой U

над к и положим Х[и]

=

2

vi

при

Vi £ У. Пусть

W — проективная

неособая кривая с общей

точ­

кой w над алгебраическим замыканием /с1 поля к, для которой k^w)

=

=

кх{и,

Vi, . . .,

ve).

Пусть р (соответственно qt)

— морфизм

кривой

W в кривую U (соответственно

У), определенный условием p(w)

=

и

(соответственно qi{w) = vt)

над /q. Можно показать, что для

произ­

вольной

формы

е 6 3){V)

существует такой единственный

элемент

£ о X

(также обозначаемый через бХ(е))

множества 3)(U),

что

о

(еоХ) ° р = 2

е°<7<-

(По

поводу

обозначения е ° qt

г=1

см. § 5.1 и дополнение 8.) Если

/и,

Лу, / у те же, что выше, то отображение

ЩАу)

Э со

со o / v

6 ^ ( У )

( I \ a I Y M I V p r v ) =

2 с6 .1\£Г„,

где с£

£ Z н закон умножения

понимается в смысле § 3.1.

Тогда

х

(i>rv) о х (ivprv ) =

YjCVX

.

Это легко проверить, применяя соответствия на

cpv(z)

п

учиты­

вая (7.2.1)

и (7.2.4).

Пусть

S2(T\)

— векторное

пространство

всех

параболических

форм

веса

2

относительно группы 1\ (см. § 2.1). В

следствии

2.17

мы видели,

что

отображение

/(z) н-»• f(z)dz

является

изоморфизмом

пространства

£2 (1\)

и

а

^ ( Г Д ф * ) .

Точнее,

если

различать

Vx

п

то

изоморфизм

£2 (1\)

Э / |—*" е 6 ^ ( F J

получается

из

соотношения

/(z)dz

=

е ° ср?.. Покажем

теперь,

что

диаграмма

[Г^аГ ] 2

(7.2.6)

5 2 ( Г 0

— 5 2

( Г Ц

)

бА'(Г^аГ

)

2? (Fx)

(7ц)

3)

коммутативна

(здесь

[ Г ^ а Г ^ —

отображение,

определенное

в

§ 3.4).

Положим

Г =

е

где

а*

те

же,

что

выше.

П аТТ^сс; П Г й ,

Пусть

(W,

ip) — некоторая

модель римаповой

поверхности

Г\.ф*.

Определим морфизмы р: WV^

и qt:

WV%

равенствами р о ip =

=

Фи и дг

о \р =

ср^ о а,-.

Если положить и =

фц(г) и уг

=

ф^аДг)),

то

мы заметим, что ситуация в данном случае та же, что и при опре­

делении

отображения

ЬХ.

Поэтому,

если

/ £ S 2 (I\) и

е £ 3)

(V})

таковы, что f(z)dz

=

г ° ф}.,

то

i = l

г=1

= 2 (/

00 dz) оа г = 2 / (a* (*)) det (а,) у (a,, г ) " 2 -

i = l

i = l

если X = р., то в силу (7.2.6) и (7.2.2) собственные

значения операто­

ра [Г\а1\]2 совпадают

с собственными

значениями эндоморфизма £

многообразия Ах,

ассоциированного с

X(±\al\).

Таким

образом,

(7.2.7) собственные

значения оператора

[1\а1\]2

являются

целыми

алгебраическими

числами.

§

7.3. МОДУЛЯРНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ

НА

КРИВЫХ

Vg

215

§ 7.3. Модулярные соответствия на кривых

Vs

Модифицируем теперь

проведенные

рассуждения

применительно

к

группам

Г 8 ,

определенным

в

§ 6.7. Пусть

S то же,

что

в

§

6.7,

и

T's =

R x r s

П

SL 2 (R) .

Тогда

группу

преобразований

r s / Q *

на

полуплоскости

jg можно отождествить с группой Г 5 / { ± ' 1 } -

Пусть

{^s>

Фэ> J T S ( x ) i

(£>

Т

6 2 ;

ж 6

те

же,

что

в

§

6.7.

Мы

можем

рассматривать

J

T S (

X )

к а

к

собственный

1-цпкл

иа

многообразии

Vs

X

V

T

X \

рациональный над

ks.

Пусть

S £ S,

Т 6 2

и

ж £ GA+.

Положим

W =

S П ж^Гж.

Тогда можно определить собственный 1-цикл

XTS{x)

на

Vs

X

Уг< ж >

равенством

(7.3.1)

XTS(x)

=

/ г и , ( ж )

с

V s

w ( l ) .

Очевидно,

что

(7.3.2)

d(XTS(x))

=

ITS

: r

w ]

,

d'(XTS(x))

=

[Tx-iTx

: I V ] .

Заметим

также,

что

XTS(x)

— образ

кривой

Vw

при

отображении

( / S w ( l ) ,

JTwix)),

т -

е.

геометрическое

место

точек

Jsw(l)(v)

X

X JTW(x){v),

где

у — общая

точка кривой

Vw.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.2.

Циклы

XTS(x)

обладают

следующими

свой­

ствами.

(1)

Цикл XTS(x)

абсолютно

неприводим

и рационален

над

полем

kw,

где

W

=

S

П

х^Тх.

(2)

XTS(x)

=

JTs(x)>

е с л и

S cz

х~хТх.

(3)

XTS(x)

= ' / s r ^ " 1 ) ^ ) ,

если

x~xTxcz

S.

(4) Цикл XTS(x)

зависит

только

от класса

TxTs.

(5)

Если ks

=

kw

для

W

— S f] х~гТх,

то

цикл

XTS{x)

зависит

только от

TxS.

(6)

XTS(a)

= Х ( Г т а Г з ) ,

если

а

6 GQ +.

(7)

XTR(xy)

=

XT S (a;)««i')o/S H (y)>

если

г/ € G J +

и

Д

=

у-^г/.

(8)

XRS{yx)

=

JRT(y)aW

° Х Т 8 ( ж ) ,

если

г/ £

и

Л

=

(9) <ХГ З (ж)

= Х ^ ж - 1 ) * * ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Свойства

(1),

(2), (6), (8) следуют непо­

средственно из определения. Для доказательства (9) положим

W =

=

S П ж^Гж

и Р

=

жИ'ж"1

=

Г П zSar1 . Тогда

Z s r

( . C - i) 0 ( K )

=

J

S

P (x-if(x)

о *jTp

(1)<™ =

=

/ S v r (1) ° J W

P it'1)0™

° ' / T P (i)***

=

=

J

B

W (1) ° Vp„r

(Ж) о « / r p

( l ) ^ 0

=

= Jsw ( 1 ) ° % , у ( ж )

=

(

Х г 5 ( ж ) .

Свойство (7) получается из (8)

и (9); (4)

и

(5) вытекают

из

(7)

и

(8),

а (3) — из

(2) и (9).

216

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.3.

Пусть

S 6 S,

Т 6 S,

# 6 Сл+

и

W

=

= 5 П х -

1

Га'.

Тогда

следующие

три

условия

попарно эквивалентны:

(1)

/ l v

=

(2)

S =

И Т 8 ;

(3)

TxS =

T x r s .

Ясли

эт и условия

выполнены,

то

d(XTS(x))

=

IS : W\ =

[ r s

: r V l .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

леммы

6.17 kw

= ks

тогда

и только

тогда,

когда

WQ+ =

SGQ+.

Поэтому первые

два условия

эквивалентны.

Далее,

еслп

S =

WTS, то

Sczx^TxTs,

так что

x~xTxS

= х~гТхТ8;

следовательно,

TxS =

TxTs.

Обратно, если

TxS =

TxYs,

то х-1 TxS =

x^TxTg

и

S с= S |~|

П (а_ 1 ГхГс.) =

И7 Ге ;

следовательно,

£ = И7 ГВ . Так как Г,г =

= Г в

П W, то [ Г 8 : Г „ - ]

=

IS:W],

если S =

\УГ8. Таким образом,

в силу (7.3.2) последнее утверждение доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.4. Пусть

R, S, Т £ % и х, у £ GA+- Предположим,

что TxS = TxTs,

SyR =

SyTR

и

TwR = ГюГд для каждого

w 6

е: TxSyR.

Пусть (TxS)-(SyR)

У\ cw -(TwR)

при cw £ Z e смысле зако­

на умножения,

определенного

в § 3.1.

Тогда

XTS{x)°M

о Х в я ( ! / )

=

Е с ю - Х г д И -

<? = y^Sy,

Р =

j

/

- 1

^ -

1 ^ ,

М = а ; - 1 ^ ,

/ ? П < ? = ^ , ^ П ^ =

В

силу предложепня 7.3 kR = kw

п A,Q = kz\ следовательно, QR =

=

<?ГЙ

п PQ = P r Q . Поэтому

(PQ)-(QR)

= 2 < v ( / V ? ) ,

где cv

£ Z

п у —

элемент из TQ. Н О тогда непосредственно можно показать, что

(TxS)-(SyR)

=

YjCy-TxyyR.

В силу свойства (8) из предложения 7.2 имеем

XTS(x)

=

JT^(X)

°

XMS(1),

XRS(y)

=

JSq{y)

°

X Q f l ( l ) ,

откуда

ZT S (x)«C/) о XSR(y)

=

/ r

„ W » l » )

о XMQ

(У) ° X Q n ( l ) =

=

/ т ж ( ^ (

! / > % / Р Ы ° X P Q ( 1 ) о XQR(l)

=

=

JTP(x,

у) о XPQ(1)

о

XQR(1).

Пусть теперь Г п = \ J T W В; и r Q =

ЦГ2

at

— разделенные объедине-

ния. Тогда OR =

UCfb' u

PQ — \)Pai — также разделенные

объеди-

нення. Возьмем

}

i

Q*> то

z £ ,g.

Так как Г н fl R* = Г\у П R* =

§ 7.3. МОДУЛЯРНЫЕ

СООТВЕТСТВИЯ НА КРИВЫХ

Vs

217

' J W ( l ) W z ) l

= Зфиг (Р^)) ,

ТаК

ЧТО

ад1)[фд(2)]

=

2 Ф < г ( Р ; ( 2 ) ) .

}

}

По тем же соображениям имеем

(z)]] = S ФР (а,р, (z)).

XPQ

(1) [XQR (1) [ Ф д

г, }

Из определения произведения (PQ)-(QR)

(см. § 3.1) следует, что

XPQ (1) о X Q R

(1) =

^суХрн

(у);

поэтому

XTS

(x)a(v)

о XSR (у)

=

S

< V / T P

to) ° ^ P R (V)

=

=

^cy-XTR

(xyy).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.5.

Пусть

W = W0G«,+

и

W' = W'0Gco+,

где

WQ

и W0 — компактные подгруппы

группы

G0.

Тогда

QXW

[} OlxW

=

QX({±1}W(]

{±1}W}.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть ах = by,

где а £ Q, Ь £

Q, ж 6 TF,

г/ 6 W .

Тогда

а8 /Ьа =

detfaar1 ) 6 Q" П d e t ( W 0 ^ C » + )

= { ± 1 } ,

так что a = +tV,

следовательно, x = ±J/. Предложение доказано.

Положим Up = G L 2 ( Z P )

для каждого

рационального

простого

числа р

и

с7 = Gx+x[[Up, р

9 =

R x J I Z p ,

Р

(7.3.3)

8

=

R x x i i z ;

р

X

R X + x H z ;

( R x + = : { a : e R 1 < | ^ > 0 } ) .

v

Для элементов

а = (ар)

и b =

(bp)

группы

g и для целого положи­

тельного

числа s будем

писать

а =

b mod(s), если ар— Ър

6 sZp

для

всех

р.

218

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

,

f Га

Ъ

c = 0mod(/V), b =

0 m o d ( i ) } ,

(7.3.5)

1Г-{

с d

eU\deb*,

s =

qxu'.

Тогда

5 6 S ,

det(tf')

= 8 *

и

Q*.del(S) =

Q*-g+ x

=

так что

ks = Q. Положим Г

<

G Q

П U'. Тогда

"а Ы

(7.3.6)

с d

6 S L 2

(Z) | а 6 IVм, d e l ) ' ,

с = 0 mod

(N),

Ь =

0 mod (t) \ ,

Поэтому Г' есть не что иное,

как

группа,

определенная

равен­

ством

(3.3.2). Отметим,

что в

данном

случае t)* соответствует

един­

ственной подгруппе группы (Z/NZ)*,

которую в (3.3.2) мы обозначали

через

Ij. Будем

также

рассматривать

полугруппу

(7.3.7)

Д' =

{

*

* 6 M 2 ( Z ) n G Q + | a e i y \

c =

0mod(/V), b = 0 m o d ( o } ,

совпадающую

с

(3.3.3).

ЛЕММА

7.6."

det(£/p

f) x~*Upx)

=

Z£

для]

каждого x 6 <3L2 (Qp).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Можно

найти

такие элементы

у

и z

группы Up,

что

yxz = a

" 1 01

« 6 Q P

и b£Zp.

Положим

и =

"1

0

0 Ъ

при

0

Тогда

Ъ

"1

0

z-1

(Up П х-Щрх)

z

0

с eUpp] v-47pv

=

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.7. Б

прежних

обозначениях цикл

Xss(a)

рациона­

лен над Q при любом а

Е А'.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу утверждения

(3)

предложе­

ния

3.32

Г а Г ' =

(Г'1Г')(Г'т)Г'),

где а

Е А' и

1

0"

"1

0"

1 =

mod (TV),

(q, Ю

.0

q.

0

т

§ 7-3. МОДУЛЯРНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ Н д КРИВЫХ V s

219

жения

7.1

и

свойства

(6)

из

предложения

7.2

Z s s

( a )

=

Xss(%)

°

о

Xss(r\).

Поэтому достаточно доказать наше утверждение для £ и т|.

"о

О'

Что

касается

матрицы

т|,

то

О 1

6 U'

П Л ~1 С/'т] Д л

я каждого

о- 6 3+

;

следовательно,

Qx

о det (5

f] тр^т])

— Q A -

В

силу

свой­

ства (1)

из

предложения

7.2 цикл

Xss(r[)

определен

над

полем

Q.

Рассмотрим матрицу |. Если р не делит iV, то det(t7p f| £- 1 Е/р£)

=

=

Zp в силу леммы 7.6. Если же р делит N и С/р

— проекция груп­

пы

С/',

на

группу

G P

,

то

группа

E7J, П £ _ 1 # р£ .

содержит

матрицу

~а 01

Q

^

для

каждого

а 6 Zp. Поэтому

det((7'

(~l

fe_1#'£)

=

g x ,

так

что

Qx odet(5' П l - 1

^ ) =

Q l -

В силу свойства (1) из предложения

7.2

цикл

X s s

( | ) рационален

над

Q. Доказательство

закончено.

Пусть

q — целое число, взаимно

простое с N,

и aq

— такой

эле­

мент группы SL2 (Z),

что

(7.3.S)

1

0

mod

(N)

(см.

(3.3.10)).

0

д2

Мы видим, что OqSdq1 =

iS, и Jss(°q)

имеет смысл и является рацио­

нальным циклом над ks

= Q. Заметим также, что цикл

JSs(ag)

зависит только

от класса вычетов числа q по модулю N и не зависит

от выбора матрицы

aq.

:о

-

Г

ПРЕДЛОЖЕНИЕ [7.8.

Пусть

т

=

N

0

^ =

( { + 1 } - Г ) П П 2

Р

и

к —подполе

поля

Qa b,

соответствующее

подгруппе

Q

. руп-

пы

Q.<i.

Тогда

XSs

(т)—бирационалъный

автоморфизм

кривой

У 5 ,

рациональный

над

к.

Кроме

того,

если

Л

2

л {

^ ) ,

£

)

=

e

2ni

'

N

&г = Q ( е

1 1

Р (?)—элемент

группы

Gal (kN/Q),

для

которого

£р(9)

=

£9,

то

Xss(x)=X8s

(xf4)°JSS

(Oq).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

l)' = Rx[)o

и

W

а о

eU\aey,

d£ty,

b =

0mod(t),

c = 0mo d

S

П т - ^ т

= Q X ( Z 7 ' { ± 1 } П T - ^ ' x f + l } )

=

<}ХТУ.

Так как

det (ТУ) =

R*b;,

то отображение

Z s s ( x )

рационально над к

в соответствии со свойством (1) из предложения 7.2. Далее,

т _ 1 5 т П

П GQ+ =

Q X Г' и т - 1 Г'т =

Г'. Поэтому

Xss(x)

= Х ( Г Ч Г ' )

- бира­

ционалъный

автоморфизм

кривой У 5 .

Пусть

у =

(ур) — элемент