книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций
.pdf220 |
|
|
|
|
|
|
ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
|
|
|
|
||||
группы G0, |
для которого ур равно |
1 о |
пли 1 в зависимости |
от |
того, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
.0 |
|
|
|
|
|
|
|
делит |
р число N или |
пет. Очевидно, |
aq1y |
£ |
U', так что Jss(aq) |
= |
|||||||||
= |
Jssly)- |
Имеем |
а(у) |
= [ d e t ( i / ) - 1 Q ] |
= |
p(q) |
иа kN, а |
также |
ту = |
||||||
- |
ifx |
viif |
£ |
U'; |
поэтому в силу свойств (4) и (7) из предложения 7.2 |
||||||||||
|
XSS(T) |
= |
XSs(xy) |
|
= Xss(T)P«I) |
О / S S ( Z / ) |
= |
Z S S ( T ) P ( 9 ) |
О / s |
s ( f f , ) . |
|||||
ся |
Алгебраическое |
соответствие |
Xss(a) |
|
при |
а g GQ+ часто называет |
|||||||||
модулярным |
соответствием уровня |
N. |
Если S = |
U (i. |
е. уро |
||||||||||
вень равен 1) и а — примитивный элемент алгебры M 2 ( Z ) с определи |
|||||||||||||||
телем |
п в |
смысле § 4.6, то модулярное соответствие Хиъ-{а) |
можно |
||||||||||||
представить уравнением F „ ( X , J) |
= 0, где F N |
— многочлен пз (4.6.3). |
§ 7.4. Отношения сравнения для модулярных соответствий
Пусть р — простое рациональное число и — простой дивизор поля Q , на который делится р. Если X — многообразие (пли цикл и т. п.), рациональное пад Q , то будем обозначать через X илп^ЩХ) объект, полученный из X редукцией по модулю 5)5. Пусть U, V,
W |
— проективные неособые кривые, |
X — собственный положитель |
||||
ный 1-цикл на |
U X V и Y — собственный положительный 1-цикл |
|||||
на Y X W, причем все рациональны над Q . Предположим, что U, V, |
||||||
W |
— неособые |
кривые, |
а циклы |
X, |
Y |
собственные. Тогда |
|
|
$ |
(X ° Y) |
= |
X |
о Y. |
(По поводу общей теории редукция по модулю ^ мы отсылаем чита
теля |
к работе |
автора [1], а также к книге ГДпмуры п Таниямы [ 1 , |
||||
гл. |
I I I ] . ) |
|
|
|
|
|
Зафиксируем теперь произвольную группу S из множества g, |
||||||
имеющую вид |
S = |
Q*C/', где U' — некоторая открытая |
подгруппа |
|||
в U, |
a U — та же |
группа, что |
в (7.3.3). Отметим, что |
существует |
||
конечное множество |
2 j s рациональных простых чисел р, |
для каж |
||||
дого пз которых справедливы следующие утверждения: |
|
|||||
(7.4.1) Up<zz |
U'. |
|
|
|
|
|
(7.4.2) $Р (Vg) — неособая кривая для каждого сг £ Gal(/eS /Q) |
и |
каждого |
||||
|
простого положительного |
дивизора\># поля Q, делящегочисло р. |
||||
(7.4.3) ^(Jss(c)) |
— бирегулярный |
изоморфизм] кривой' ЩУ8) |
в кри |
вую ^ (Vs( c ) ) для каждого с £ Ojt и каждого простого ^дивизора поля Q , делящего р.
(Заметим, что существует лишь конечное множество циклов /ss(c )> так как факторгруппа Q A / ( Q A П S) конечна.)
(7.4.4) Если |
Si |
= |
Q'C/, |
то |
S($(/sis(l)) — |
сюръективный |
морфизм |
из $ |
( F S l ) |
в |
%{VS) |
для |
каждого |
делящего р. |
|
§ 7.4. ОТНОШЕНИЯ СРАВНЕНИЯ ДЛЯ МОДУЛЯРНЫХ СООТВЕТСТВИЙ 221
В |
данной ситуации |
7 S l |
рассматривается |
|
как |
проективная |
|
прямая |
||||||||||||||||||
и |
cpSl |
— |
как модулярная |
функция |
|
J из |
теоремы |
2.9. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Возьмем теперь рациональное простое число р, не принадлежа |
|||||||||||||||||||||||||
щее множеству |
93s , и простой дивизор |
|
поля |
Q, делящий р. Пусть |
||||||||||||||||||||||
л — автоморфизм возведения в р-ю |
степень универсальной |
области, |
||||||||||||||||||||||||
содержащей |
поле |
вычетов поля |
Q по модулю 5$. Обозначим через |
Ф 3 |
||||||||||||||||||||||
соответствие Фробениуса на Vs X |
V%, |
т. |
е. |
|
геометрическое |
место |
||||||||||||||||||||
точек |
а X а™ на |
многообразии |
Vs |
|
X Vs |
при |
а £ |
Vs. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ТЕОРЕМА |
7.9. |
В прежних |
обозначениях |
|
и |
предположениях |
|
пусть |
|||||||||||||||||
wp |
— элемент |
кольца |
M 2 ( Z P ) , для |
которого |
det{wp) = р, |
|
и |
w — |
эле |
|||||||||||||||||
мент |
группы |
G A , р-я |
компонента |
которого |
|
равна |
wp, |
|
а |
|
остальные |
|||||||||||||||
компоненты равны 1. Если |
р £ SBS, то соответствие |
Xgs^w*1) |
|
рацио |
||||||||||||||||||||||
нально |
над ks и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Xssiw-1) |
|
= |
Os + |
'Ogo/ggfdetH-1 ). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
U" — проекция |
группы |
U' |
на |
||||||||||||||||||||
[J Ut. Тогда |
V |
= |
UPU", |
|
так что wU'w-1 |
|
Г| V |
= {wpUpw?[) |
|
|
|
UP)U". |
||||||||||||||
В |
силу |
леммы |
7.6 |
detiwU'w1 |
|
f| U') |
= |
det(t7'). |
Следовательно, |
|||||||||||||||||
ks = kY, |
если |
Y |
= |
ivSw*1 |
|
|~| |
S. |
|
В силу свойства (1) из |
|
предложе |
|||||||||||||||
ния 7.2 цикл Xssiw1) |
рационален |
над |
ks. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Далее, можно найти бесконечное множество мнимых квадратич |
|||||||||||||||||||||||||
ных полей К, в которых распадается р. |
Возьмем любое поле К |
с та |
||||||||||||||||||||||||
ким свойством |
и нормализованное |
погружение q поля К в |
|
алгебру |
||||||||||||||||||||||
M 2 ( Q ) , |
при |
котором |
g(ojc) с= M 2 ( Z ) , |
где Од — |
|
кольцо целых алгеб |
||||||||||||||||||||
раических чисел поля К. Пусть |
z — |
неподвижная |
точка |
|
группы |
|||||||||||||||||||||
q{K") |
на полуплоскости |
|
|
и р = |
5$ Г| К. |
В силу предложения |
6.33 |
|||||||||||||||||||
композит К •/vs(tps(z)) является подполем поля Каь, |
соответствующим |
|||||||||||||||||||||||||
группе |
К* -{s |
£ Кл\ q(s) £ S). |
Согласно |
(7.4.1), |
число |
р |
неразвет- |
|||||||||||||||||||
влеио |
в |
К 'ks{q>s(z))- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть /vp — пополнение |
поля |
К в |
точке |
|
р, |
up — простой |
эле |
||||||||||||||||||
мент |
поля |
Кр |
и |
и — элемент |
группы |
К л, |
р-компонента |
которого |
||||||||||||||||||
равна up, а остальные компоненты |
равны 1. Пусть, далее, |
ц. — |
авто |
|||||||||||||||||||||||
морфизм Фробениуса |
поля Q над К относительно |
дивизоров |
$ |
и р. |
||||||||||||||||||||||
Так как |
ц = [и, |
К] на ZiT-/«s((ps(z)), |
то |
в |
силу |
утверждения |
|
(ii) тео |
||||||||||||||||||
ремы 6.31 cpslz)^ = /sr((7(l t )~1 fc Pr(z )b |
г Д е |
? |
= |
(z(w-)jSg(ii)-1. Поскольку |
||||||||||||||||||||||
д(0я) с : M 2 (Z), |
элемент |
q[u)p |
содержится |
|
в алгебре M2 (Z,,) |
|
и |
имеет |
||||||||||||||||||
те же элементарные делители, что п wp. |
Поэтому |
в |
силу |
(7.4.1) |
||||||||||||||||||||||
8а{и)~г8 |
= |
Sw_1S. |
Выше |
было |
показано, |
что |
ks |
= |
kY |
, |
еслп |
Y |
= |
=S П wSw~x. В силу свойства (5) из предложения 7.2 это означает,
что цикл Xss(w~1) зависит только от Sw^S. Поэтому, полагая R =
=S Г| Т, находим, что
Xss(w-i) |
= |
ХввШ-1) |
= / S fi(g(u) - X ) о */ 8 Н (1 ) = |
|
= |
/ S r № ) - V / r f i ( l ) » ' / S R ( l ) . |
222 |
|
|
ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
|
|
|
||
Из установленного |
выше включения <pT(z) X <Ps(zYl 6 |
sr(<z(l i )- 1 ) с л е _ |
||||||
дует, |
что <ps(z) X |
9s(z)^ 6 Xssiw1). |
Положим а = s,p(<ps(z)). Тогда |
|||||
а X а я 6 X s s ( I / J > _ 1 ) , и |
потому / S i s ( l ) |
(а) |
= 9si(z ) = |
Л 2 ) - |
Если Е -• |
|||
эллиптическая кривая, изоморфная тору |
C/(Zz + Z), то J{z) |
— инва |
||||||
риант |
кривой Е. |
Так |
как число р |
распадается в |
К, |
то |
кольцо |
EndQ (Е) должно быть изоморфно полю К. (Этот результат принадле жит Дойрингу. Доказательство см. в его работе [1] или в книге Шпмуры и Тапиямы [ 1 , стр. 114, теорема 2].)
Беря бесконечное множество различных полей К, мы получаем бесконечное множество различных инвариантов J{z) и, следователь
но, |
в силу (7.4.4) |
бесконечное |
множество |
различных |
точек а на |
Vs, |
||||||||||||||
для |
которых |
а X ап |
£ Xssi™'1)- |
|
Таким |
образом, |
Ф 5 |
c z |
X s s ( u > - 1 ) . . |
|||||||||||
В силу свойства (9) из предложения |
7.2 |
Xss{w) |
|
= A " s s ( H > ~ 1 ) ( 7 ( " ' ) , . |
||||||||||||||||
откуда Xss(w)n |
= |
' X s s ( u > _ 1 ) . |
Положим |
с = |
det(w), |
|
wl = cw~l. |
Так |
||||||||||||
как матрицы и-р и wp |
имеют одинаковые |
элементарные |
делители, |
то |
||||||||||||||||
SwlS |
= |
SwS, |
так |
что |
Sw^S |
= |
Sw'-c^S |
— Swc^S; |
|
следовательно, |
||||||||||
Xssiw1) |
— Z . s s ( u ; ) a ( c _ 1 ) |
° ^ss( c _ 1 ) |
в |
силу |
свойства |
(7) |
из |
предложе |
||||||||||||
ния 7.2. Так как a(c_ 1 ) = |
[с2 , Q] = |
|
р 2 |
на ks, |
то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
X S S |
(иг*) = |
Xss |
(wf-о |
J |
s |
s |
(c-i) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
'Xss |
(иг1 )" о Jss (с"1 ) о |
*Ф% о Jss (с"1 ) • |
|
|
||||||||||
Легко |
видеть, |
что |
d{Os) |
= |
d'(4ps |
о / ^ ( с - 1 ) ) = |
1 |
и |
а"{Ф8) |
= |
||||||||||
= |
d(^l>s о Jssic'1)) |
= |
р. Так как |
циклы Ф 5 |
и ' Ф ^ о / s s ( c - 1 ) |
неири- |
||||||||||||||
водимы и различны, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(•) |
|
|
|
|
Ф В + |
'Фа о / ^ ( с - 1 |
) cz |
|
Xssiw-1). |
|
|
|
|
|
||||||
С |
другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
[ 5 : ш^и;-1 |
f] |
5 ] |
< [£/р : wpUpu>? |
П |
*7Р ] = |
р + |
1. |
|
|
|
|||||||
Поэтому в силу предложения 7.3 d(Xss(w~1)) |
= d(Xss(w~x)) |
|
|
^ |
р -)- 1. |
Беря d и d' от обеих частей соотношения (*), замечаем, что на самом
деле в (*) должно быть равенство. Доказательство |
закончено. |
|
||||||||||||
СЛЕДСТВИЕ |
7.10. Пусть |
S |
и U' те |
же, |
что |
в |
(7.3.5), |
|
ар |
— эле- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г1 |
|
0" |
|
мент |
группы |
S L 2 ( Z ) , удовлетворяющий |
(7.3.8), |
и |
а- |
Lo |
P |
J |
' |
|||||
"0 |
— Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
I s s (a) = |
Ф 8 + 1Ф8 |
о / в 8 |
(Стр), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(2) |
<ФВ о j f s s |
(Op) = % |
s |
(т) о <Ф5 о X S |
S (т). |
|
|
|
|
|
|
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Заметим |
сначала, |
что Upcz |
U' |
тогда |
|||||||||
и только тогда, |
когда число |
р не делит N. |
Поэтому, |
если |
р (J 93,о, |
§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ Vg |
223 |
то |
р не делит N. Пусть у — элемент группы GA, |
/J-компонента кото |
||||||||||||||||
рого равна 1, а остальные |
компоненты равны а. |
Положим |
а = |
wy, |
||||||||||||||
с = |
&el(u>). Тогда |
у1 |
£ |
U ' , y^Sy |
= |
S |
и |
а(у) |
= o(w~1). |
В |
силу |
|||||||
свойств (7) и (9) из предложения |
7.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(*) |
|
Xss(a) |
|
= |
Xss(w)a(i/) |
|
о Jss(y) |
|
= tXssiw-1) |
о |
|
Jss(y). |
|
|||||
Поэтому |
уОр1 |
6 U ' |
и |
р |
= |
det(a) = cz/z/1. Таким |
образом, |
|
|
|||||||||
|
|
|
Jssic'1) |
|
= |
Jss(yyl) |
= |
Jssiy) |
= |
|
JSS{°P)- |
|
|
|
||||
Из |
предыдущей |
теоремы |
и |
соотношения |
(*) |
вытекает, |
что |
|
|
|||||||||
|
|
Xss |
(а) = |
'Xss |
К 1 |
) о / |
s s |
(i/) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
г Ф 3 ° / s s |
(Op) |
+ lfss |
(Op) ° <DS ° /ss |
(o-p). |
|
|
|||||||
Заметим, что ks |
= Q, откуда Ф§ = |
ФБ- Так как цикл JSS(°P) |
рацио |
|||||||||||||||
нален над |
ks |
= |
Q, |
то |
цикл |
Ф е |
коммутирует |
с Jss(ap) |
в |
силу |
(7.1) |
из дополнения. Таким образом, мы получаем (1). Формула (2) следует
непосредственно из предложения 7.8 |
и из дополнения (равенство (7.1)). |
||
§ |
7.5. Дзета-функции кривых |
F s и множители |
якобиева |
|
многообразия кривой Vs |
|
|
Определим теперь дзета-функции кривых Vs, |
где группы S |
||
берутся |
из множества % и удовлетворяют (7.3.5), |
а также дзета- |
функции некоторых абелевых многообразий, появляющихся в виде множителей якобиева многообразия кривой Vs. Основная идея заключается в том, чтобы связать морфизм Фробеииуса с оператора
ми Гекке посредством соотношений сравнения из теоремы |
7.9 |
или |
|||||||||||||||
из следствия |
7.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ТЕОРЕМА 7.11. Пусть |
U ' , S , Г' |
те же, что в (7.3.5) и (7.3.6), a <QS |
|||||||||||||||
то же, что в § 7.4. Пусть |
ор, |
где р — простое |
число, р $ |
|
|
обо |
|||||||||||
значает элемент группы |
SL<>(Z), |
удовлетворяющий |
(7.3.8) |
(см. также |
|||||||||||||
(3.3.10)), |
иар |
= |
"1 |
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
. Пусть, |
далее, |
52 (Г") — векторное |
|
простран |
|||||||||||
ство |
всех |
параболических |
форм |
веса |
2 |
относительно |
группы |
Г' |
|||||||||
и [ Г " а Г ] 2 |
— действие класса Г ' а Г |
на пространстве |
S 2 ( T |
' ) |
, |
определен |
|||||||||||
ное в (3.4.1). |
Тогда |
для любого р, |
не принадлежащего |
множеству |
S5S, |
||||||||||||
дзета-функция |
кривой p(Ys) |
над простым полем задается |
равнеством |
||||||||||||||
Z(u; |
p(Vs)) |
= [ ( 1 - и ) ( 1 - р и ) ] - М е 1 ; ( 1 - [ Г ' а р Г ] 2 |
и + р . [ Г « т р Г ] 2 и 8 ) . |
||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Зафиксируем |
простое |
число |
р $ 9SS |
|||||||||||||
и простой |
дивизор |
|
поля |
Q, |
делящий р. Обозначим, |
как |
выше, |
||||||||||
через X или через $Р(Х) объект, полученный из X редукцией по мо |
|||||||||||||||||
дулю |
$|$. Пусть A s |
— якобиево многообразие кривой Vs, |
а Rt |
(соот |
|||||||||||||
ветственно |
Ri) |
будет Z-адическим |
представлением |
кольца |
E n d ( 4 s ) |
224 |
ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
(соответственно |
E n d ( / l s ) ) для некоторого простого рационального |
числа /, отличного от р. Согласно предложению 14 из книги Шиму-
ры и Таннямы |
[ 1 , § 11], можно |
считать, что Ri{X) |
|
= |
R'i(X) |
для |
каж |
||||||||||||||
дого |
X £ E n d ( 4 s ) . |
Пусть |
я р |
— эндоморфизм возведения |
в |
р-ю |
сте |
||||||||||||||
пень многообразия |
As. |
Тогда существует элемент пр |
кольца |
E n d ( 4 s ) , |
|||||||||||||||||
ассоциированный |
с |
циклом |
^Ф8 |
и |
удовлетворяющий |
|
равенству |
||||||||||||||
ЛрПр = |
р. Пусть |р, т|р и (3 — элементы кольца E n d ( / l s ) , |
ассоцииро |
|||||||||||||||||||
ванные |
с |
A " s s ( a p ) , |
Jssi°p) |
1 1 |
Xssi^) |
соответственно. Тогда |
из |
|
след |
||||||||||||
ствия 7.10 мы выводим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(7.5.1) |
|
|
|
|
|
|
|
1л = |
Яр^л*г|р, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(7.5.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
j r j i i p - . p - ^ p . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Поэтому, |
если |
и — переменная, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
[1 - |
|
и • Ri (л.р)] [1-й.Ri |
(P"4*p)] = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 - м . Д | ( 1 Р ) - г - р « я - Д 1 Ы = |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
l - u . f l , ( g p ) |
-rpu2.R,(4P). |
|
|
|
|
||||||
Так |
как |
преобразования |
я р |
и |
Яр имеют |
один и |
тот |
же |
характери |
||||||||||||
стический |
многочлен, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
del [i-u-Rl |
|
( я р ) ] 2 |
del [1 - |
и. Д, (£р ) -f- ри*- Rt (г|р )]. |
|
|
|||||||||||||
В описанной ситуации представление Rt |
эквивалентно |
представле |
|||||||||||||||||||
нию |
R0 |
кольца EndQ(.4s ) на первой |
группе когомологий |
многообра |
|||||||||||||||||
зия |
. 4 S . Если |
R — представлеиие кольца |
EIIC1Q(^1s) на пространстве |
||||||||||||||||||
3(AS), |
|
то представление R0 |
эквивалентно прямой сумме |
представле |
|||||||||||||||||
ния R и комплексно сопряженного к нему представления (см. допол |
|||||||||||||||||||||
нение 11). В § 7.3 было показано, что циклы A s s ( a p |
) 1 1 Jss(ap) |
рацио |
|||||||||||||||||||
нальны над Q, так что £ р ы |
Цр рациональны пад Q. По этой причине, |
||||||||||||||||||||
беря базис пространства 3>(AS) |
над полем |
Q, мы можем считать, что |
|||||||||||||||||||
Д(£р) п i?(r|p) — |
рациональные |
матрицы. С помощью этих двух |
|
экви |
|||||||||||||||||
валентных |
представленпй |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
det |
[1-u-R'i |
|
(яр)]2 = det [l-u-R |
|
(|р) + puz-R |
( n p ) ] 2 , |
|
|
|||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det [1-u.Rl |
|
(яр)] = |
det [1 -u-R |
|
(gp ) + |
|
pu*-R{i\p)]. |
|
|
|||||||||
В силу |
коммутативности |
диаграмм |
(7.2.2) |
п (7.2.6) |
можно |
положить |
|||||||||||||||
R ( ^ P ) |
= |
[ Г ' а р Г ' ] ? , i?(r|p) |
= |
[ Г ' а р Г ' ] 2 . |
Доказательство закончено. |
||||||||||||||||
ТЕОРЕМА 7.12. Пусть Т'(п)!иу |
— символ из § 3.5. Тогда для |
почти |
|||||||||||||||||||
всех простых |
чисел р каждое собственное значение Хр |
матрицы Т'(р)2, ф |
|||||||||||||||||||
удовлетворяет |
неравенству |
| Хр | ^ |
2/?1/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обозначим |
через |
|
|
I)* |
множество |
|||||||||||||||
{а 6 9х |
I а = |
1 mod(iV)}. |
Группа |
Г' |
совпадает |
с |
группой |
Г" из |
|
|
|
|
|
§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ |
V s |
|
225 |
|||
(3.5.1'). В силу |
(3.5.6) преобразование Т'(р)2,^ |
является ограниче |
|||||||||
нием |
преобразования [Г"ар Г"]2 |
на пространство S2(T0, |
гр). Так как |
||||||||
пр |
коммутирует |
с лрг\р, то из |
(7.5.1) |
и (7.5.2) |
следует, что |
каждый |
|||||
характеристический корень преобразования Ri{£,p) = |
R{{%P) |
имеет |
|||||||||
вид |
и. + |
р/, |
где |
ц. — характеристический |
корень преобразования |
||||||
R'i(np), |
а |
ц.' — характеристический корень |
преобразования |
Л;(яр). |
|||||||
В |
силу теоремы Вейля имеем | \х | = |
| р/ |
| = |
р 1 / 2 . Так как Л(|р ) = |
|||||||
= [Г"а р Г"] 2 , |
то |
наше утверждение получается |
для всех р, |
не лежа |
|||||||
щих в Щв . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прототип теоремы 7.9 появился еще в работах Кронеккера. Соот ношение (7.5.1) в приведенной формулировке впервые было дока зано Эйхлером [2] для группы T0(N) и ее подгрупп Г' индекса 2; им была получена теорема 7.12 для таких групп и теорема 7.11 для
группы T0(N). |
Обобщение до предложенной формы и формула (7.5.2) |
||
были даны в статье |
автора [2]. В этой статье теорема 7.9, а вернее, |
||
следствие 7.10 |
были доказаны с помощью |
соотношений сравнения |
|
для эллиптической |
кривой с переменным |
модулем. Предложенный |
там метод проще нашего доказательства теоремы 7.9 в том смысле, что для него не нужен ни один результат теории комплексного умноже
ния. Игуса [1] показал, что множество |
простых чисел 25s содержится |
||||||||||
в множестве всех простых делителей числа N; |
этот |
аспект мы не бу |
|||||||||
дем обсуждать в данной книге. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть Д' — полугруппа из (7.3.7). Пусть |
Т'(п) |
и Т'(а, |
d) |
— эле |
|||||||
менты |
кольца R(T', |
А'), описанные в § 3.3 |
(см., в частности, |
теоре |
|||||||
му 3.34). Обозначим через Т'(п)2 |
и Т'(а, |
d)2 |
действие на пространстве |
||||||||
S2(T') |
элементов |
Т'(п) и Т'(а, |
d) |
соответственно (см. § 3.4, |
3.5). Тогда |
||||||
[ Г ' а „ Г ] 2 = Г 0 > ) 2 |
и |
[Г'0рГ']2 |
= |
Т'(р, |
р)г |
в |
силу |
(3.4.4) |
и (3.3.11). |
Поэтому, согласно теореме 7.11, дзета-функция кривой Vs над полем Q имеет вид
S ( « ; W Q ) = П d e t [ l - r (p)2p's + T' (PtPhp^T1.
Это выражение с точностью до конечного числа эйлеровых множите
лей совпадает с рядом Дирихле |
типа рассмотренного в § 3.3, 3.5, |
|||||
3.6. Более точно, пусть Sh(T'0, |
гр) и T'(n)ki ф те же, что в § 3.5. Тогда |
|||||
пространство |
Sk(T') |
можно |
представить в виде прямой суммы всех |
|||
пространств |
^(Гд, |
гр), для |
которых |
гр(1)) = |
1. Положим |
|
|
|
|
сю |
|
|
|
|
|
Dk.*(s)= |
2 |
Г |
( B ) F T > + |
. » - . |
|
|
|
71=1 |
|
|
|
Тогда функция £(s; WQ) совпадает с точностью до конечного числа
эйлеровых |
множителей с |
произведением |
(7.5.3) |
D(s)= |
П d e t [ A , . „ ( s ) ] . |
15-01118
2213 |
|
|
ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
|
|
|
|||
Для |
каждого |
элемента |
/ (z) — 2 |
апе2пЫг11 |
пространства |
Sh (Г") |
|||
положим |
|
71=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
со |
|
|
|
|
|
||
(7-5.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(s,f)=yAann-\ |
|
|
|
|||
|
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
В силу сказанного в § 3.5, и, в частности, в предложении 3.47, |
|||||||||
можно |
найти |
множество |
элементов |
{hi, |
. . ., |
hK) |
пространства |
||
Sk{T'0, |
гр), для |
которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
(7.5.4') h4(z)= |
2 ЛУ (в) e2«*w/«, 7zv |Г («)„ . * = Av |
(и) /гу |
(v = 1, |
. . . , х ) , |
|||||
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det (£„,„,(*)) = |
П |
L ( s , |
hv). |
|
|
|
|
|
|
|
|
v = i |
|
|
|
|
|
(Множество {/jj, . . ., /г^} не обязано быть базисом в пространстве Sh(T'Q, гр).) Поэтому пз теоремы 3.66 и замечания 3.58 вытекает
ТЕОРЕМА 7.13. Дзета-функция t,(s; Vs/Q) кривой Vs над полем Q является целой функцией, удовлетворяющей некоторому функцио нальному уравнению.
В силу замечания 3.58 и теоремы 3.66 функциональное уравнение для L(s, f) имеет вид
R |
(s, ft = |
(tNf2 ( 2 я ) - Г (s) L (s, f) = ih-R (k-s, f | [x]k), |
|
'О |
— Л |
. Указанные выше функции/^ не могут быть собст- |
|
где т--= |
Л Т |
_ |
|
|
л |
иJ |
|
венными, функциями оператора [ т ] ь . Однако в силу предложения 3.57
и |
результата |
Гекке, |
упомянутого |
в замечании 3.56, |
если N просто |
||||||||
и |
t = 1, |
то |
hv |[т]2 |
= |
e v /i v |
для |
базиса |
{hi, |
. . ., hK} |
пространства |
|||
£ 2 ( Г 0 , яр), причем |
ev |
= |
+ 1 игр — некоторый вещественный характер. |
||||||||||
Если же характер гр не вещественный, то |
[т] 2 |
переводит общую соб |
|||||||||||
ственную |
функцию операторов Т'(п)2, $ |
в общую собственную функ |
|||||||||||
цию операторов Т'(п)2 |
^. Поэтому |
ряд |
Дирихле D(s) |
пз (7.5.3) удов |
|||||||||
летворяет функциональному |
уравнению |
|
|
|
|||||||||
(7.5.5) |
|
R (s) = |
[Ns/2 (2я)-5 |
Г (s)]sD(s) |
|
= ц . Д (2 — * ) , |
|||||||
где (х = ± 1 и g — род кривой |
Vs. |
|
I | = д", в силу чего Г' = |
||||||||||
|
Предположим, |
например, |
что |
( = 1 и |
|||||||||
= |
Т'0 = |
r 0 ( i V ) . В |
соответствии с предложениями 1.40 |
и 1.43 кривая |
|||||||||
V8 |
имеет |
род 1 для следующих 12 значений |
числа N: |
||||||||||
(7.5.6) |
И , 14, |
15, |
17, 19, |
20, |
21, 24, |
27, |
32, 36, |
49. |
|
|
|
|
|
|
|
§ |
7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ |
V s |
|
|
|
|
|
|
227 |
||||||||||||
В этих случаях дзета-функция кривой Vs |
равна (с точностью до пло |
|||||||||||||||||||||||||||
хих |
множителей) |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
£ (s; |
V/Q) = |
L (s, |
h) = 2 |
|
|
cnn- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 11 ( l - c p p - r 1 - I I ( l - C p p - ' + |
|
p 1 - 2 8 ) - 1 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
C O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
h{z)= |
|
2 |
cne2ninz—некоторый |
|
|
|
элемент |
из |
S2 |
(Г0 (TV")). |
Можно |
||||||||||||||||
показать, |
71=1 |
/ г | [ т ] 2 |
= — h |
и, |
следовательно, |
|
функциональное |
урав |
||||||||||||||||||||
что |
|
|||||||||||||||||||||||||||
нение |
|
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
R |
(s, h) = Ns/2 |
(2я)-* Г |
|
(S) L (S, h) = |
R (2—s, |
/г). |
|
|
|
|
|||||||||||||
Как |
заметил Фрикке |
[ 1 ] , эллиптическая |
кривая |
|
Г0(АО\^б* не обла |
|||||||||||||||||||||||
дает |
комплексным |
умножением |
|
|
для первых |
восьми |
значений |
|
из |
|||||||||||||||||||
( 7 . 5 . 6 ) . Дальнейшие примеры см. в упражнении |
|
7 . 2 6 ниже. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим теперь дзета-функции абелевых многообразий, |
воз |
|||||||||||||||||||||||||||
никающие как «множители» якобиана As |
кривой |
|
Vs. |
Для |
каждого |
|||||||||||||||||||||||
положительного |
целого |
числа |
|
п |
обозначим |
через |
| п |
элемент |
||||||||||||||||||||
кольца End(^l s ), соответствующий сумме циклов |
|
Xss(a) |
для |
всех |
||||||||||||||||||||||||
Г'аГ', |
|
у |
|
которых |
|
а |
6 Д' |
и |
det (а.) = |
п. |
|
Из |
предложения |
7.7 |
||||||||||||||
следует, |
что |
эндоморфизм |
|
|
рационален |
|
над |
|
Q. |
Более |
того, |
|||||||||||||||||
из диаграмм ( 7 . 2 . 2 ) и ( 7 . 2 . 6 ) видно, что отображение |
£ п |
соответствует |
||||||||||||||||||||||||||
оператору |
Т'(п)2. |
Для |
простоты |
|
будем считать |
в |
|
дальнейшем, |
что |
|||||||||||||||||||
( 7 . 5 . 7 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = |
1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
потеря |
в |
общности |
при |
этом, |
как |
показывает |
замечание 3 . 5 8 , неве |
|||||||||||||||||||||
лика. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА 7 . 1 4 . Пусть |
f(z) — элемент пространства |
iS2 (r'), |
являю |
|||||||||||||||||||||||||
щийся |
|
общей |
собственной |
функцией |
операторов |
|
Т'(п)2 |
по |
всем |
п, |
||||||||||||||||||
и f |
| Т'(п)2 |
= |
anf. |
Пусть |
К |
— подполе поля |
|
С, |
порожденное |
над |
Q |
|||||||||||||||||
комплексными |
числами |
ап |
для |
всех |
п. |
Тогда |
существуют |
абелево |
||||||||||||||||||||
подмногообразие |
А |
многообразия |
As |
и изоморфизм |
9 поля К |
в кольцо |
||||||||||||||||||||||
Endq |
(^4), |
|
обладающие |
следующими |
свойствами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( 1 ) |
|
&im{A) |
= |
IK: |
O J ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( 2 ) |
|
Q(an) — ограничение |
эндоморфизма |
£n |
на А |
|
для |
всех |
п; |
|
|
|
||||||||||||||||
( 3 ) |
|
многообразие |
А |
определено |
|
над |
Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пара |
(А, |
0) однозначно |
определяется |
условиями |
( 1 ) и ( 2 ) . |
Кроме |
||||||||||||||||||||||
того, |
|
для |
|
каждого |
изоморфизма |
|
|
о |
поля |
К |
|
в |
поле |
С |
существует |
|||||||||||||
такой |
элемент |
/а |
пространства |
|
|
S2(T'), |
что |
f0\T'(n)2 |
= |
a^fa |
|
для, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
всех |
п |
и |
/о (z) = |
2 |
|
a°e2ltinz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы можем и будем предполагать для простоты, что, f(z)•=*..
со |
|
= 2 ane27linz |
(см. теорему ( 3 . 4 3 ) ) . |
71=1
22S |
ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
ТЕОРЕМА 7.15. Сохраняя обозначения теоремы 7.14, предположим, что I)* = дх в определении (7.3.5) групп U' и S. (Это означает, что
'Тогда дзета-функция многообразия А над полем Q совпадает с точ ностью до конечного числа эйлеровых множителей с произведением
оо
Г 1 ^ , / с ) = П ( 2 аа /г-8 )
которое |
берется по всем изоморфизмам а |
поля К |
в поле |
С. |
|
|
|
|||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м |
7.14 |
и |
7.15. |
Пусть |
|
£ — |
|||||||||||||
подалгебра |
кольца |
Endg (As), |
|
порожденная |
эндоморфизмами |
|
£Г1 |
|||||||||||||
для всех га. Если |
. 4 S |
имеет |
размерность |
g, то |
в |
силу теоремы |
3.51 |
|||||||||||||
£ — коммутативная алгебра ранга g над полем |
Q. |
Пусть SR — ради |
||||||||||||||||||
кал алгебры £ . Согласно теореме Веддербёрна, |
существует |
такая |
||||||||||||||||||
полупростая |
|
подалгебра |
<3 алгебры |
£ , что £ = |
(g®iR. Пусть $с4, . . . |
|||||||||||||||
. . ., Йг |
— простые |
компоненты |
алгебры @. Тогда |
отображение |
£ п |
»• |
||||||||||||||
*—*• ап |
определяет некоторый гомоморфизм р из £ иа поле К и, кроме |
|||||||||||||||||||
того, |
р (hi) = |
{0} |
п p(S?j) ф |
{0} |
для одной и |
|
только одной из |
|
ком |
|||||||||||
понент |
|
й;, |
скажем для S?t. |
Гомоморфизм р определяет |
изоморфизм |
|||||||||||||||
из ft, в А". Обозначим |
через |
р' |
отображение, |
обратное |
к |
этому |
изо |
|||||||||||||
морфизму. Тогда р'-р |
— проектирование из £ |
в Si и р'(ап) |
— проек |
|||||||||||||||||
ция элемента t„ в алгебру |
Я4 . Возьмем |
целое число q ^ |
0 таким, |
|||||||||||||||||
чтобы |
ffi3t9 |
ф {0} |
и |
Si>lt9 + l |
= |
|
{0}; |
мы |
полагаем ЧЯ° = |
£. |
|
|
|
|||||||
Пусть Ш — неприводимый |
й\-подмодуль |
в |
Sr\3t9. |
Тогда |
Ш — |
|||||||||||||||
минимальный |
идеал |
в |
кольце |
£ . |
Положим |
50i0 = Ш П End(.<4s) |
||||||||||||||
и А — ШоА8. |
|
Так |
как |
каждый |
|
элемент из Шо определен над |
Q, |
то |
||||||||||||
А — абелево |
подмногообразие |
в |
As, |
определенное над |
Q. Так |
как |
действие кольца £ на пространстве 5 2 (Г') совпадает с регулярным
представлением алгебры £ (см. теорему 3.51), то d i m ( ^ ) = |
: Q] |
= |
|||
= [Jl'i: OJ = IK: Q]. |
Для |
каждого а 6 К, |
для которого |
р'(а) £ |
|
£ End( . 4 s ), обозначим |
через |
9(a) ограничение |
элемента р'(а) |
на |
А. |
Тогда отображение 0 можно продолжить до некоторого изоморфизма
поля К в кольцо Еш1о_(/1). Очевидно, что Q(an) |
— ограничение |
эндо |
||||||||||
морфизма |
на А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для доказательства единственности пары (А, |
0) рассмотрим |
дру |
||||||||||
гую пару (А', |
0'), удовлетворяющую условиям (1) и (2). Пусть As |
— |
||||||||||
комплексный |
тор |
Cs/L, |
где L — некоторая решетка из Се. |
Можно |
||||||||
считать, что |
С8 |
= |
£ 2 ( Г') |
и |
представляется |
оператором |
|
Т'(п)о |
||||
иа пространстве 5 2 (Г') . Пусть |
W — подпространство в 5 2 (Г'), |
соот |
||||||||||
ветствующее |
многообразию |
А'. |
Так как Q'{an) |
— ограничение |
эндо |
|||||||
морфизма ^R |
на 4 ' , |
то |
0'(р(|)) |
— ограничение |
эндоморфизма |
£ на |
А' |
|||||
для каждого |
| £ £• |
Поэтому А' (п, следовательно, |
W) аннулируется |
|||||||||
действием Ш и 5?г |
для |
i > |
1. |
Рассмотрим W как |
модуль над |
коль- |
|
|
§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ Уд |
|
229 |
|||
цом |
Sti <S> QC или К |
eg) Q C . Тогда легко найти такой базис |
{fx, . . . |
||||
. . ., |
fm) модуля |
W над полем |
С, что элемент / v |
для каждого |
а £ К |
||
переводится отображением aavfv |
в элемент 8'(а), |
где a v |
— некото |
||||
рый |
изоморфизм поля |
К в поле С, фиксированный для |
каждого v. |
||||
В данном случае |
т = |
сНт(^Г) |
= [К : Q ] . Имеем |
|
|
||
(*) |
U\T' |
(n)2 = ayv |
( 1 < V < 7 7 1 , l < » < o o ) . |
|
|
Согласно предложению 3.53 и следствию 3.44, элемент / v однозначно определяется> условием (*) с точностью до постоянных множителей. Поэтому изоморфизмы сгь . . ., ат различны и модуль W опреде ляется элементами / однозначно. Это означает, что многообразие А' единственно и, следовательно, А = А'. Доказательство теоремы 7.14 закончено.
Предположим, что I)* = д*. Пусть р — простое рациональное число, не принадлежащее множеству 23s - Согласно результатам Коидзуми иШимуры [1], Серра и Тейта [1], многообразие А не имеет дефекта в р. Так как ар £ Г', то г\р = 1, и соотношение (7.5.1) пре вращается в £.р = я п - j - Яр. Пусть Щ обозначает Z-адическое пред ставление кольца Епс1(Л) и яр1 — эндоморфизм Фробениуса редукции
А |
степени р. |
Те |
же |
рассуждения, |
что и в теореме 7.11, приводят |
||||||||||||||
к |
равенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
det [ 1 — и • R"i (n£) ] = |
det [ 1 — Tw |
(р)2и |
+ |
ри2], |
|
|
|
|
|||||||
где Tw |
(р)2 |
— ограничение |
оператора Т'(р)2 |
на |
W. |
Отсюда |
и из |
(*) |
|||||||||||
следует |
теорема 7.15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Для |
получения дальнейшей информации, в частности в |
|
случае |
|||||||||||||||
Ц* =г= 9Х> отметим сначала, |
учитывая предложение 3.53, что |
элемент |
|||||||||||||||||
/ |
принадлежит |
пространству |
S2(T'0, |
яр) при том единственном |
харак |
||||||||||||||
тере яр группы |
(Z/NZ)X, |
для которого яр(1)) = 1, где |
t) — |
подгруппа |
|||||||||||||||
в (Z/iVZ)x , соответствующая |
I)* . Значения яр(га), как вытекает из |
||||||||||||||||||
(3.5.8) |
и |
утверждения |
(5) |
теоремы |
3.34, |
принадлежат |
числовому |
||||||||||||
полю К. Пусть 3 — множество всех изоморфизмов поля К |
в поле С. |
||||||||||||||||||
Тогда |
для |
каждого о |
g 3 |
элемент /с т принадлежит пространству |
|||||||||||||||
S 2 ( T ' 0 , |
яр°); это опять-таки вытекает из (3.5.8) и равенства рТ'(р, р) |
= |
|||||||||||||||||
= |
Т'(р)2 |
— |
Т'(р2). |
Предположим теперь, что выполняется |
следую |
||||||||||||||
щее условие: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(7.5.8) |
для |
каждого |
а £ 3 |
все |
операторы |
Т'(п)2 |
^а |
принадлежат |
|||||||||||
|
|
алгебре, |
порооюденпой |
над |
Q операторами |
Т'(п)2 |
^а |
для всех |
п, |
||||||||||
|
|
взаимно простых |
с |
N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.5.9) |
поле |
К |
порождается |
элементами ап над полем Q |
для всех |
п, |
|||||||||||||
|
взаимно |
простых |
с |
N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|