книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций
.pdf190 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
6.21. Для |
а 6 |
GQ+ |
определим |
т(ос) равенством |
|
|||
(6.6.1) |
|
|
|
hxW = |
ho а |
для всех h £ %. |
|
|
Очевидно, |
это |
дает гомоморфизм группы |
GQ+ В группу |
A u t ( ^ ) . |
||||
Таким |
образом, |
символ |
т |
определяется |
на S L 2 ( Z ) = |
£/* |~| GQ+ |
двумя различными способами, которые, однако, приводят к одно
му |
результату |
в силу утверждения (3) предложения |
6.21. Для |
|||||||||||||
х |
— |
|
иа |
6 GA+, |
где |
и £ |
U |
и |
а 6 <?Q+, |
ПОЛОЖИМ |
Х(Х) |
= |
х(и)х(а), |
|||
так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
а; = и'а' |
— другое |
представление, |
где |
и' £ |
С/ и а ' £ GQ+, ТО |
||||||||||
u _ 1 u ' |
= |
аа,'-1 |
Е S L 2 |
( Z ) . |
Поэтому, полагая |
б = |
u _ 1 u ' , получаем |
|||||||||
|
|
|
т(и')т(а') |
= т(мб)т(б_ 1 а) |
= т(и)т(б)т(б)_ 1 т(а) |
= х(и)х(а) |
|
|
||||||||
в |
силу |
мультипликативности |
отображения |
х на |
С/ и GQ+. Таким |
|||||||||||
образом, символ т(:г) определен незавпсимо |
от выбора |
и и а . |
Сле |
|||||||||||||
дует |
|
показать, |
что |
х — гомоморфизм. Для |
этого |
возьмем |
х |
= |
иа |
|||||||
и |
у |
|
= |
при и Z U, v £ |
U, |
а £ GQ +, |
В 6 GQ +. |
Так |
как |
Сл + |
= |
|||||
= |
t7c?Q-, существуют такие |
элементы w 6 t7 и у 6 GQ +, |
что |
ai> |
= |
=ify . Согласно определению,
х(ху) = т(шу)т(уР) = T(U)T(W)T(Y)T(B)
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х(х)х(у) |
= т(и)т(а)т(у)т(Р). |
|
|
|
|
|
|
||||||
Поэтому |
достаточно |
показать, |
что |
т(гу)т(,у) |
= |
x(a)x(v). |
|
Однако |
|||||||||
это не что иное, как утверждение (2) предложения |
6.22. |
|
|
||||||||||||||
Так |
как |
т(а) |
и |
ст(а) |
тривиальны на Q a b , |
если |
a |
£ GQ+, ТО |
|||||||||
из утверждения (2) предложения 6.21 получаем |
|
|
|
|
|
||||||||||||
(6.6.2) |
х(х) |
= |
а(х) |
|
на |
Q a b |
для |
каждого |
х |
£ |
Gj.+. |
|
|
|
|||
Докажем |
теперь |
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(6.6.3) |
|
|
|
Q_XUN |
= |
{х |
6 Сл+ I Ф) |
= |
i d |
на |
f b } - |
|
|
||||
Включение cz |
очевидно |
в |
силу |
формулы (6.5.1). Пусть |
х |
£ |
GA+; |
||||||||||
предположим, |
что х(х) |
= |
i d |
на |
% N . |
Согласно |
формуле |
(6.6.2), |
|||||||||
а(х) |
= i d на |
kN. |
Поэтому |
в силу леммы 6.17 |
х |
= |
иа |
при |
и £ |
UN |
|||||||
и a |
6 <?Q+. Тогда |
x(a) |
= |
i d |
на % N и, следовательно, |
a |
6 |
Q" |
Г я , |
||||||||
так |
что |
х £ |
Q*UN. |
|
Доказательство |
равенства |
(6.6.3) |
закопчено. |
|||||||||
Из (6.6.3) |
мы получаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Кег(т) |
= |
оо |
|
= замыкание |
группы |
|
|
|
= |
Qx Go«+ |
|||||||
П Q*UN |
Qx GT C -j- |
N=1
(так как группа Q*OJo+ замкнута в Q,,).
§ 6 , 6, |
СТРУКТУРА ГРУППЫ Aut (?Y) |
191 |
Соотношение (6.6.3) |
показывает также, что отображение |
х |
непрерывно и, кроме того, т индуцирует открытое вложение груп
пы |
G |
A J |
Q |
X G |
со+ |
в группу |
X(GA+)- |
Поэтому т индуцирует тополо |
||||||
гический изоморфизм из GA+/Q*G«,+ |
на |
%{GA+)- |
В |
силу |
утверж |
|||||||||
дения |
(1) |
предложения |
6.21 |
x{U) = G a l ^ - / ^ ) . |
Так |
как |
группа |
|||||||
Gal{%/%i) |
открыта |
в группе |
A u t ( g ) , |
то группа T(G-I+) |
открыта и, |
|||||||||
следовательно, |
замкнута в |
A u t ( g ) 1 ) . |
Докажем |
теперь |
одну |
|||||||||
из основных теорем нашей теории. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ТЕОРЕМА |
6.23. |
Последовательность |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
Q*Goo+ -»- GA* |
Aut(gf) -»- 1 |
|
|
|
||||
точна, |
так |
что |
группа |
A u t ( g ) изоморфна группе |
GA+/QXG«,+ |
как |
||||||||
топологическая |
группа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
как |
группа |
X(GA+) |
замкнута |
||||||||
в A u t ( g ) , |
достаточно доказать, что |
x(GA+) |
плотна в Aut(gf). Пусть |
|||||||||||
£ 6 Ant(g-). |
В сплу леммы 6.16 существует такой элемеит у |
группы |
||||||||||||
G A |
+ , |
что |
а(у) |
= |
£ на Q a b . Положим я = |
£ - т(г/) - 1 . Тогда я — тож |
||||||||
дественное отображение на Q a b . Так |
как поля g и С линейно раз |
|||||||||||||
делены над Q a b , можно продолжить я до некоторого |
автоморфизма |
поля Cgнад С; этот автоморфизм мы также обозначаем через я. Выберем и зафиксируем произвольное целое положительное число
N > |
2. |
Можно |
найти |
два |
таких целых положительных |
числа М |
||||||||||||||
и М', |
что |
N<M<M', |
|
g J - ' c g M |
и Ймс=д-м<. Но тогда |
0%Nczz |
||||||||||||||
а |
С$м с= С%м-, |
так |
что |
существует |
подгруппа |
А |
группы |
TN, |
||||||||||||
содержащая Гм- и такая, что поле |
Cg*/ является полем всех |
моду |
||||||||||||||||||
лярных |
функций относительно |
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пусть |
<g* — объединение полуплоскости |
<§ и |
параболических |
||||||||||||||||
точек группы Г\. Положим V |
= |
! Q * / |
T M , |
V |
= ^*/А и |
обозначим |
||||||||||||||
через ф (соответственно через ср') проектирование из J§* в |
V |
(соот |
||||||||||||||||||
ветственно в V). |
Тогда V и V |
являются компактными |
римановыми |
|||||||||||||||||
поверхностями, |
и С%м |
(соответственно |
С%м) можно |
отождествить |
||||||||||||||||
с |
полем |
С(У) |
(соответственно |
C(V')) |
всех |
мероморфиых |
функций |
|||||||||||||
на |
V |
(соответственно |
на |
V) |
с помощью отображения C(F)9/t—*• |
|||||||||||||||
и-* / |
о ф |
(соответственно |
С(У') Э / |
|
/ |
° ф')- |
Так |
как |
я — изо |
|||||||||||
морфизм поля С%м |
иа поле С%м ы а д |
С, существует |
такой |
бирегу- |
||||||||||||||||
лярпый изоморфизм г) поверхности |
V |
на V, что (/ о ф ) я = |
/ о и ° ф' |
|||||||||||||||||
для каждой функции / 6 C(V). |
Положим V0 = ф(^) и V0 |
= |
ц>'($). |
|||||||||||||||||
|
Мы |
собираемся |
показать, |
что |
ф ( ^ ) = |
V0. |
Пусть |
|
р |
Ё. У0 |
||||||||||
и r|(p) |
V0, |
т. е. т|(р) = (p(s) при некоторой |
параболической |
точке |
||||||||||||||||
s группы Тм. |
Если |
v — дискретное |
нормирование поля С-^'л/, соот |
|||||||||||||||||
ветствующее точке р, то v неразветвлено в CJ-, так как р = ф'(г) |
для |
Замкнутость |
группы |
т((?л+) |
можно доказать и так. Поскольку |
группа |
T(G.-I+) гомеоморфпа |
группе |
GA+/Q.K |
G«>+, она локально компактна п, |
следо |
вательно, замкнута |
в A u t ( g ) |
в силу |
предложения 1.4. |
|
192 |
ГЛ. |
6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО |
УРОВНЯ |
|||||
некоторой точки z из |
не являющейся |
эллиптической. (Отметим |
||||||
здесь, что ни группа Тм, |
ни группа |
А |
ие имеют эллиптических |
|||||
элементов, так как N > |
2.) |
|
|
|
|
|||
Определим |
теперь |
нормирование |
v* |
поля |
C g M |
равенством |
||
t>*(/i) |
= v(hn) |
для /г 6 С%м. |
Так как |
л — некоторый |
автоморфизм |
|||
поля |
С%, нормирование |
v* должно быть неразветвленным в поле |
||||||
С%. С другой |
стороны, |
v* — дискретное нормирование |
поля Щм, |
соответствующее точке ц(р) = cp(s). Так как s — параболическая
точка, |
нормирование |
v* разветвлено |
в |
С^у. (Действительно, |
если |
|
L — кратное числа |
М, |
то индекс |
ветвления нормирования и* |
|||
в поле |
CjyL равен ЫМ; |
см. предложение |
1.37 и § 1.6.) Таким |
обра |
зом, мы получили противоречие, и, следовательно, точка г\(р) должна содержаться в У0 .
|
Аналогично можно показать, что и - 1 отображает V0 |
в V'0, и, сле |
|||||||
довательно, 11 |
дает |
бирегулярный |
изоморфизм |
поверхности |
V0 |
||||
на |
поверхность |
V0. |
Так как |
V'0 — Jg/Д, V0 = Q/TM |
и группы |
А |
|||
и |
Г л х |
не имеют |
эллиптических элементов, можно найти такой эле |
||||||
мент |
р группы |
SLo(R), что |
ср о 6 |
= т] о ф' и |
р - 1 ( { ± 1 } - Г М ) В |
= |
={ г Ы } - Д . Заметим, что группа Td порождает M 2 ( Q ) над Q для
каждого положительного целого числа d. (Действительно, элемен-
|
"1 d~ |
"1 0~ |
~d2 + l |
d" |
"d |
|
d |
|
|
|
ты |
-0 1. |
d 1. |
d |
1 . |
. 1 |
d 2 |
+ l .группы |
T d линейно неза |
||
висимы над Q.) |
Поэтому |
p - 1 |
M 2 ( Q ) P = M |
2 |
( Q ) , так |
что х\—*• р- 1 :гр— |
автоморфизм алгебры M 2 ( Q ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Согласно хорошо известной теореме, существует такой |
элемент |
|||||||||||||||
а |
группы |
G L 2 ( Q ) , |
что |
$~гх$ |
— а^ха |
для |
всех |
х £ M 2 ( Q ) . |
Тогда |
||||||||
а$~1х |
= яссВ- 1 для всех |
х £ M 2 ( Q ) , |
так |
что |
а Р " 1 |
= |
с - 1 2 |
при |
с £ |
||||||||
£ R*. |
Следовательно, а |
— cf>, det(cx) = |
с ! > |
0 и |
ф о а = |
сров |
= |
||||||||||
= |
т| о ф'; |
поэтому |
(/ о ф)1* = |
/ о г| о ф' |
= |
/ о с р о а |
для |
каждого |
|||||||||
/ |
6 С(У), т. е. h71 = |
h о а для каждого |
h £ t%M. |
Мы получили, |
что |
||||||||||||
я |
= т(сс) на 5'м и, |
значит, £ = л о х{у) |
= |
х{ау) |
на |
% м . |
Так |
как |
|||||||||
число М может быть как угодно большим, |
доказанное означает, |
||||||||||||||||
что группа |
X(GA+) |
плотна в группе A n t (%). Доказательство |
закон |
||||||||||||||
чено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существует очевидная аналогия между доказанной выше теоре |
||||||||||||||||
мой и |
точной последовательностью |
(5.2.1) |
теории |
полей |
классов. |
||||||||||||
На самом деле здесь налицо не только |
аналогия, но и тесная |
связь |
с помощью некоторой явной формулы, которая описывает поведе ние значений функций поля ^ в специальных точках, принадлежа щих мнимому квадратичному полю. Этот вопрос будет обсуждаться
в § |
6.8. |
|
|
|
|
|
УПРАЖНЕНИЕ |
6.24. Пусть |
— подполе поля fy, порожденное |
||
над |
Q функциями j |
о а для |
всех а 6 G0 +. Докажите, что (i) под |
||
группа |
группы |
G A |
+ , соответствующая полю %' (в смысле предло |
||
жения |
6.11), равна |
Q^-troo+; (ii) пересечение Q a b ("I %' является |
§ 6.7. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВА г\£>* |
ЮЗ |
|||||||||
композитом всех квадратичных |
расширений поля |
Q; ( i i i ) подгруп |
||||||||
па группы |
GA+, |
соответствующая |
полю |
Q a bg\ |
равна |
{х 6 |
||||
6Q..jG~+ | det (ж) £ Q " Q c o + } ; |
(iv) |
каждый |
|
элемент |
группы |
|||||
Aut(g - ') продолжается до некоторого |
элемента |
группы |
A u t ( g ) ; |
|||||||
(v) группа Aut(5 - ') (канонически) изоморфна |
группе |
|
GAJQAGCO+ |
|||||||
(ср. предложение 6 . 8 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
УПРАЖНЕНИЕ 6 . 2 5 . Покажите, что каждый |
автоморфизм поля %, |
|||||||||
продолжаемый |
до |
некоторого |
элемента |
группы |
A u t ( g ) , |
должен |
||||
принадлежать |
группе Gal ($N/%i), |
т. |
е. |
равняться |
ограничению |
некоторого элемента подгруппы т(С/) на 5л-- В частности, ни одни
автоморфизм |
поля % i t кроме |
тождественного, не |
продолжается |
|||||||
до автоморфизма |
поля |
|
|
|
|
|
|
|
||
УПРАЖНЕНИЕ |
6 . 2 6 . Пусть % 0 — подполе поля |
состоящее |
из |
|||||||
элементов, инвариантных относительно х(х) для всех х = |
[1 |
О" |
£ U |
|||||||
п |
aJ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|_0 |
|
|
|
(при |
d6Q *i) . |
Докажите, что (i) % = Qo b fto> (ii) |
go |
П Qab = |
|
Q; |
||||
( i i i ) |
поле g 0 |
порождается над |
Q функциями j(Nz) |
и |
/„ |
при |
a |
= |
=(1/Л', 0 ) для всех целых положительных чисел N; (iv) поле go
является полем всех модулярных функций (произвольного уровня; с рациональными коэффициентами Фурье на оо (относительно пере
менной |
e2 l t '2 /'v прн некотором N |
(ср. предположение 6 . 9 ) . |
|
|
|
|||||||||||
|
§ |
6.7. Каноническая система моделей пространства Г\^§* |
|
|||||||||||||
|
|
для всех конгруэнц-подгрупп Г группы GL2 (Q) |
|
|
|
|
||||||||||
Прежде чем обратиться к основной теме этого параграфа, вве |
||||||||||||||||
дем |
понятие |
модели |
римановой |
поверхности |
Г\<§*, |
где |
Г |
— |
||||||||
фуксова группа первого рода и |
ig* — объединение полуплоскости |
|||||||||||||||
<д и |
параболических |
точек группы Г. (Группа Г может быть под |
||||||||||||||
группой группы S L 2 ( R ) , S L 2 ( R ) / { + l } , |
Gc=+ или G,» + /R* . ) |
Так как |
||||||||||||||
Г\^§* — компактная |
риманова |
поверхность |
(см. § 1 . 5 ) , |
сущест |
||||||||||||
вует проективная неособая алгебраическая кривая V, определен |
||||||||||||||||
ная |
над некоторым |
подполем поля С, бирегулярно изоморфная |
||||||||||||||
поверхности |
Г\§* . |
Часто |
оказывается |
|
удобным |
выделять |
||||||||||
Г-инвариаптпое голоморфное отображение ср пространства |
<§* в |
V, |
||||||||||||||
которое |
определяет |
бирегулярный изоморфизм из Г\§* в |
V. |
|||||||||||||
Если символы |
V и ср сохраняют тот же смысл, то пара (V, |
ср) назы |
||||||||||||||
вается |
моделью |
пространства |
Г\<§*. Например, |
если Г = |
|
SL2 (Z) |
||||||||||
и Р 1 |
— |
проективная |
прямая, то |
пара |
(Р1 , |
/) |
— |
модель |
простран |
|||||||
ства |
Г\§*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возвращаясь к общему случаю, рассмотрим другую фуксову |
||||||||||||||||
группу первого рода Г', объединение |
|
полуплоскости ^ |
и пара |
|||||||||||||
болических точек группы Г' и модель |
( V , |
ср') пространства Г'\^ *'. |
||||||||||||||
Предположим, |
что а Г а - 1 cz Г' |
при |
некотором элементе |
а |
|
группы |
||||||||||
|
Тогда, как |
было показано в § |
2 . 1 , можно |
определить |
рацио- |
13—01118
194 |
Г Л . 6. М О Д У Л Я Р Н Ы Е Ф У Н К Ц И И В Ы С Ш Е Г О У Р О В Н Я |
нальное отображение Т кривой У в кривую V равенством jf'(cp(z)) =
=cp'(a(z)), т. е. с помощью следующей коммутативной диаграммы:
§* > .£*'
ф ! |
Jф' |
V |
V |
В качестве частных случаев сюда включаются два типа отображе ний.
|
С л у ч а й |
а: a |
= 1; следовательно, |
Г cz |
Г'. Тогда Т — |
|
обыч |
|||||||||||||||||
ное |
проектирование. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
С л у ч а й |
б: а Г а - 1 |
= |
Г'. |
Тогда |
Т — бнрегулярпый |
изомор |
|||||||||||||||||
физм кривой V в кривую |
|
V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Цель этого параграфа — обсудить следующий вопрос, который |
|||||||||||||||||||||||
является пока нанвио поставленной задачей (его |
|
модификация |
||||||||||||||||||||||
будет |
дана |
позже): |
|
|
|
|
|
Г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
произвольной |
фуксовой |
группе |
содержащейся |
в Gq+ и |
|
содер |
|||||||||||||||||
жащей TN |
при |
некотором |
|
N, |
|
поставить |
в |
соответствие |
раз |
и |
||||||||||||||
навсегда |
некоторую |
модель |
( V T |
, срг ) поверхности |
Г\ф* |
и |
поле |
|||||||||||||||||
алгебраических |
чисел |
А*г |
таким |
образом, |
|
чтобы |
выполнялись |
сле |
||||||||||||||||
дующие |
условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(1) |
кривая |
VT |
определена |
над |
полем |
кТ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(2) |
если |
а |
6 GQ+ — такой |
элемент, |
|
что |
с с Г а - 1 с ; |
Д, |
то |
|
kAcz |
|||||||||||||
cz кг |
и |
рациональное |
отображение |
Т |
из |
Vr |
в |
VA, |
|
определенное |
||||||||||||||
равенством |
7Vpr = |
ф д о |
а, |
рационально |
|
над |
Ат- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Здесь |
и |
в |
дальнейшем |
<g* |
обозначает |
$ U Q U {°° }• |
|
|
|
|
||||||||||||||
Предположим, что можно найти такую пару (VT, |
фг ) и поле |
кг. |
||||||||||||||||||||||
Рассмотрим |
поле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
%г = и°ФГ |
|
i / e w r ) } , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
kv(Vr) |
|
— поле функций на кривой |
VT, |
рациональных |
над |
кг; |
|||||||||||||||||
см. дополнение, п. 4. Естественно предположить, что ^уд = |
% х |
, |
если |
|||||||||||||||||||||
Д = |
ТN. |
По условию группа Г содержит группу TN |
при некотором |
|||||||||||||||||||||
N. |
В |
силу |
условия |
(2) очевидны включения |
/сг |
с= kN |
и %rcz |
%N. |
Поэтому %г — подполе поля ft. Но тогда (если считать, что ft —
расширение Галуа поля ft?) поле ft-p соответствует некоторой |
ком |
||||
пактной |
подгруппе группы A u t ( g ) , |
согласно |
предложению |
6.12. |
|
Группа Aut(g-) изоморфна группе Gvi+/Q*G<»+. |
Поэтому |
представ |
|||
ляется |
естественным рассматривать |
вместо |
семейства |
групп Г |
семейство всех открытых компактных подгрупп группы GA*/ Q*Goo+ нлн подгрупп группы GA+, соответствующих упомянутым под группам.
Мы приходим, таким образом, к рассмотрению множества % всех таких открытых подгрупп S группы G A * , содержащих группу
§ 6.7. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВА Г\§* |
195 |
||||||
Q'Gco+, |
что |
факторгруппа 67QXG<*>+ компактна. Легко |
видеть, |
что |
|||
множество % обладает следующими свойствами: |
|
|
|||||
(6.7.1.) |
Если |
S б S |
и Т 6 S i mo |
S |
и Т — соизмеримые |
подгруппы |
|
|
и S n res. |
|
|
|
|
||
(6.7.2) |
Если |
S 6 S |
и х £ GA+, |
mo |
xSx~x £ S. |
|
|
Для каждой подгруппы S 6 S положим
|
|
|
= |
^ П GQ+, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
g . s |
= |
{/г |
£ g- |
I /1т(д=) = д |
д Л я |
всех |
х 6 5 } . |
|
|
|||
В силу предложения 6.12 поле g-s |
конечно порождено над Q, поле g |
|||||||||||||
является |
расширением Галуа поля |
и |
|
|
|
|
|
|||||||
(6.7.3) |
S |
= |
{х |
6 |
т(а:) |
= i d |
на |
% s ) , т. е. т(5) = |
Gal(g/gfs ). |
|||||
Например, |
если |
5 |
= |
QXUN, |
|
то |
T s |
= |
(Q*!/^) fl |
<?Q+ = |
||||
= Qx(UNa |
|
|
GQ + ) = |
Q x r j Y , |
так |
что |
группа |
Г а |
(или |
r s / Q x ) как |
||||
группа |
преобразований |
полуплоскости !Q совпадает с |
Г^. |
Кроме |
того, % s = % N в силу формулы (6.6.3) и предложения 6.11. В общем
случае |
справедливо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
6.27. Для |
каждой |
группы |
S £ % группа |
Г 5 |
соиз |
|||||||||
мерима |
с |
группой |
Q T j (так что Гд/Q* — фуксова |
группа |
пер |
||||||||||
вого рода, |
соизмеримая |
с 1 У { ± 1 } ) |
и Cg-S |
является |
полем |
всех |
авто- |
||||||||
морфных |
функций |
относительно |
группы |
Ts. |
Кроме |
того, поле |
ks |
||||||||
алгебраически замкнуто |
в %s, где |
ks |
то |
же, |
что в § |
6.4, |
стр. |
184. |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В силу |
утверждения |
(6.4.3) |
группа S |
|||||||||||
содержит |
Q*UN |
при некотором N. |
Положим |
Т |
= |
Q*UN. |
В |
силу |
|||||||
свойства |
(6.7.1) [S |
: Т] |
<с о о , так что |
[ Г я |
: Г г ] |
< . о о . Так |
как Г т |
= |
|||||||
= Q T j V , |
группа |
Г 8 |
соизмерима |
с |
Q T Y |
Согласно |
леммам |
6.16 |
и 6.17, каждый элемент группы Gal(Q o b /A; s ) можно записать в виде
a(s) |
при некотором |
s £ S. Поскольку |
каждый элемент |
поля g s f| |
||||
П Qab |
инвариантен |
относительно |
x(s), имеем % s f| Qa b |
= ^s> |
т а к |
|||
ч т о |
%s |
П Qab = ks- |
Ввиду того |
что |
поле |
Q a b алгебраически |
зам |
|
кнуто |
в %, сказанное означает, |
что |
ks |
алгебраически |
замкнуто |
в % s . По определению поля % s группа Gal(g/g-s ) изоморфна фактор
группе |
iS7Q*C?oo+ относительно |
т и группа |
27Q*G~+ |
соответствует |
||||||||||
полю g-T |
= |
% N . Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
R |
= |
{х |
6 GA+ I х(х) |
= i d |
на |
|
kT%s}. |
|
|
||
Очевидно, |
|
что |
T S |
T |
с R |
. Обратно, |
в] силу |
леммы |
6.17 и (6.7.3 |
|||||
|
|
|
Rcz |
S |
{] |
(Gq+T) |
= |
(5 П GQ+)T |
= |
T S T |
, |
|
||
так что |
T |
S |
T — R. Поэтому |
поле |
kT%s |
соответствует |
группе r s r ; |
|||||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
[ S T : М Ы = [ T S |
T : T ] |
= |
[ Г в : Г т ] . |
|
|
13*
196 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
Так как поля С и % т линейно разделены над кт, то [СЙт : C g s ] = [%т : kT%s] = ITS : Тт].
Пусть ЗЭД s ~ поле всех автоморфных функций относительно группы
Г 5 . |
Тогда |
|
C g s c = |
4Sils 1 1 |
C g r = |
|
|
следовательно, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
[Cj>T : SRS ] = [ЯКг : SOU |
= |
t r s : Г т ] |
= |
[С%т : C g s ] . |
|
|
|||||||||||||||
Этим доказано |
равенство |
9 t t s = |
C $ s . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ЗАМЕЧАНИЕ 6.28. Может случиться, что |
S Ф |
Т, |
даже если Г в |
= |
||||||||||||||||||
= |
Г г |
и ks |
= /Vr . Рассмотрим |
пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
S = |
Q?.{xeU\xp~ |
|
|
|
I |
°{ modN-M2(Zp), |
|
|
|
аец}, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
Г1 |
on |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Г = Q x - | x 6 t 7 | x p = Q d |
|
m o d / V - M 2 ( Z , , ) , d 6 J • |
|
|
|||||||||||||||||
Тогда |
Г 5 |
= |
Г г |
= |
Q T j V , |
|
ks |
= |
kT |
= |
Q; |
но |
S Ф |
T , если ЛГ > |
2. |
||||||||
|
Тем не менее |
справедлива |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ЛЕММА |
|
6.29. |
Пусть |
|
S 6 £ , |
6 £ • |
£ сл« |
Г 5 |
= Г т , |
A:s |
= |
А-г |
||||||||||
u Scz |
Г, |
mo S = |
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В |
силу |
утверждения |
(i) |
леммы |
6.17 |
||||||||||||||||
предположение |
о |
равенстве |
ks |
= |
кТ |
влечет |
|
за собой |
равенство |
||||||||||||||
GQ+S |
= GQ+T, |
И |
если |
5 с |
Т, |
то |
Г с ( G Q + |
fl |
Л-S = |
Г г |
5 . Поэто |
||||||||||||
му |
соотношения Г т |
= |
T s |
cz S |
обеспечивают |
обратное |
включение |
||||||||||||||||
Г с |
5, так что |
Т |
= |
S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.30. Пусть |
Г' —дискретная |
подгруппа |
в G<» + /R x , |
|||||||||||||||||||
соизмеримая |
с |
Q T i / Q * |
и содержащая |
TN |
при |
некотором |
N. |
Тогда |
|||||||||||||||
Г' |
= |
r s / Q x |
для |
некоторой |
подгруппы |
S £ %. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
В — элемент |
группы |
G«,+ , |
||||||||||||||||||
представляющий |
некоторый |
элемент |
группы |
Г', и пусть Г" = |
|||||||||||||||||||
= |
Tj П p r j B - 1 . |
Так |
как |
[Г4 |
: Г"] < ; оо, легко |
видеть, что Г" поро |
|||||||||||||||||
ждает |
алгебру |
M 2 ( Q ) над |
|
Q, |
так что |
p M 2 |
( O J P _ 1 = |
M 2 ( Q ) . Теми |
же |
рассуждениями, что и при доказательстве теоремы 6.23, показы
вается, |
что |
Р = с а при с 6 R* и а |
6 GQ+. Поэтому можно |
считать, |
||||||
что Г' |
= |
Д / Q " при |
некоторой подгруппе А группы |
GQ+. Выберем |
||||||
число |
N |
так, чтобы |
Г ^ с : Д . Можно |
найти конечное число эле- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
ментов |
ctj, |
. . ., ad, |
|
для которых |
А = |
|J |
Q T ^ a j - |
Положим |
||
|
|
|
|
|
|
|
i = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
W |
= |
fl а-гиха |
= |
П |
a?UNa,i |
|
|
и S = |
A W . |
Тогда |
W — открытая |
подгруппа группы GA+ и фа |
||||||
кторгруппа |
W/Ge°+ компактна; при этом a~xWa = W для |
любого |
|
|
§ 6.7. КАНОНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МОДЕЛЕЙ ПРОСТРАНСТВА |
|
г\§* |
|
197 |
||||||||||||||||||||||
а Е А. |
Поэтому |
S — открытая |
подгруппа |
в GA+ И факторгруппа |
||||||||||||||||||||||||
iS7Q*G=<,+ компактна, так что |
S (Е 2 . При этом |
Г 3 = А - ( И / П |
GQ+) = A , |
|||||||||||||||||||||||||
так |
как |
W[\GQ+CZ |
|
UN()GQ+ |
|
|
— TNcz |
|
А . |
Доказательство |
|
закончено. |
||||||||||||||||
|
|
В силу предложения 6.27 можно |
найти модель {Vs, |
cps) поверх |
||||||||||||||||||||||||
ности |
r s \ < g * , |
которая |
характеризуется |
|
следующими |
свойствами: |
||||||||||||||||||||||
(6.7.4) |
кривая |
Vs |
определена |
над |
ks; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(6-7.5) |
|
|
|
|
|
|
%s |
= |
|
{ / o c p s |
| / 6 |
|
|
|
kS(VS)}. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Фиксируем |
модель |
(Vs, |
|
cps) |
для |
каждой |
подгруппы |
|
S £ S |
раз |
||||||||||||||||||
н |
навсегда. Пусть |
S |
£%, |
|
Г £ % |
и |
х £ |
|
|
|
Предположим, |
что |
||||||||||||||||
xSx^cz |
|
Т. Тогда %(х) дает изоморфизм поля % т |
иа некоторое под |
|||||||||||||||||||||||||
поле поля % s . Заменяя g-s |
и % т |
на |
ks{Vs) |
|
|
и |
kT(VT), |
|
мы |
получаем |
||||||||||||||||||
изоморфизм х'(:г) поля kT(VT) |
в поле &s(^s)> П Р И |
котором/т '(ж > о ф 5 = |
||||||||||||||||||||||||||
— (/ ° ф т ) т ( х ) |
Для |
/ |
6 /cr(Vr)- |
Поэтому |
в силу |
дополнения |
6 |
мы |
||||||||||||||||||||
находим |
однозначно |
определенный |
бирегулярный |
морфизм |
|
JTs(x) |
||||||||||||||||||||||
кривой |
VS |
в |
кривую |
V T X |
\ |
при |
котором |
р№ |
о Jтs(x) |
|
|
=£/т '(*) |
для |
|||||||||||||||
/ € kT{VT), |
|
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(6.7.6) |
|
|
|
fa(x)°JTs(x)°Vs |
|
|
= (/°Фг) т ( ж ) |
для |
/ |
6 |
М У Т |
) . |
|
|
||||||||||||||
Легко |
проверить, |
что |
J |
T |
S (х) |
обладает |
|
следующими |
свойствами: |
|||||||||||||||||||
(6.7.7) |
морфизм |
J |
T |
S (х) |
|
рационален |
над |
|
ks\ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(6.7.8) |
|
|
|
|
|
JTs(x)a(v)°JsR(y) |
|
|
= |
JTR (Х, |
у); |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(6.7.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J s |
s |
(х) = |
i d , |
если х |
£ S; |
|
|
|
|
|
||||||||
(6.7.10) |
|
|
J T S { & ) |
[фSz ) |
|
1 — Фг(а (2 ))> |
если а |
б GQ+ |
и |
Т |
= |
а £ а - 1 . |
||||||||||||||||
В |
частности, |
если |
Scz |
Т, |
|
то |
морфизм |
/ r |
s |
( i ) |
определен |
|
и |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•/"rs(l)l9s(z)l |
= |
Фг(г). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Поэтому |
/ Т д ( 1 ) |
соответствует |
естественному |
проектированию |
из |
|||||||||||||||||||||||
r s \ $ * |
в |
Г г \ $ * . |
Если |
xSx-1 |
= |
Т, |
то |
имеют |
смысл |
символы |
||||||||||||||||||
JTS(x) |
|
и |
JsAx'1), |
|
|
и / s r ^ - |
1 ) * 1 ^ ' 0 |
J T S ( X ) |
= |
i d , |
так |
что J T s ( x ) — |
||||||||||||||||
бирегулярный изоморфизм из Vs |
|
в |
У т х ) . |
В |
наиболее |
общей |
||||||||||||||||||||||
ситуации |
х8х~г cz |
Т |
имеем" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
г |
м |
|
fJTR(l)a™°JRs(x) |
|
|
|
|
|
(R = |
|
|
xSx-i), |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
{JTP(X)OJps(1) |
|
|
|
|
|
|
(P = |
|
X - * T X ) , |
|
|
|
|
|||||||
так что JTS(x) |
|
— композиция бирегулярного изоморфизма и |
проек |
|||||||||||||||||||||||||
тирования |
в произвольном порядке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
В |
качестве |
иллюстрации |
|
зафиксируем |
целое |
положительное |
|||||||||||||||||||||
число N и рассмотрим группу S множества 2 , определенную |
||||||||||||||||||||||||||||
равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
= Q x t T , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19S ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
где
U' = {х 6 U | хр 6 U'p для всех конечных р)
|
|
|
|
|
|
|
|
(Г« |
/Л |
|
|
|
|
|
|
|
. . |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Положим |
а |
= |
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
1 . |
Легко |
видеть, |
что |
Г 5 |
= |
Q x ( t / ' |
f] |
<?0) |
= |
||||||||||||||
= |
Q~T0 (iV) с T0{N) |
из формулы |
(1.6.5) |
и |
Qx |
-del(S) |
= |
Q*-del(t7) |
= |
||||||||||||||||
= |
Oji.; |
|
следовательно, |
/Vs |
= |
Q. |
Далее, |
Q"t7i Y cz |
5 = |
|
Q* i7 Г| |
||||||||||||||
П Q cc- 1 |
|
Ua, |
так что функции / и j о а содержатся в поле |
|
и |
|
|
||||||||||||||||||
cz |
%N. |
Заметим, |
что |
j(a(z) |
=) |
j(ATz). |
В |
силу |
предложений |
6.27 |
|||||||||||||||
п 2.10 имеем C%s |
= |
C(/(z), ](Nz)). |
Так как Q(/(z), /(iVz)) c z f t s |
и поля |
|||||||||||||||||||||
С п |
g-s |
лппейно |
разделены над |
полем |
A's |
= |
Q, |
то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%s |
= |
<№), |
|
j(Nz)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Рассмотрим другой пример, в котором |
|
группы |
S |
и Т |
те же, |
|||||||||||||||||||
что в замечании 6.28. Так как |
Г 8 |
= Г т |
= |
|
Q T _ V , |
то |
в силу |
пред |
|||||||||||||||||
ложения 6.27 C g s |
= |
C g T |
= |
% N . Таким образом, кривые |
Vs |
и |
VT |
||||||||||||||||||
являются |
моделями |
пространства |
Г я \ $ * |
иад |
полем |
Q, |
но |
есте |
|||||||||||||||||
ственное бпрегулярное отображение Y: VT—*- Vs, |
определенное |
||||||||||||||||||||||||
равенством |
Y |
° ф г |
= |
q>s, |
не |
является |
рациональным |
над |
Q, |
если |
|||||||||||||||
N |
> |
2. Можно показать, что отображение Y |
определено иад полем |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
ZN), |
где |
t,N |
= |
•2ni/N_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
е- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
§ |
6.8. Явная |
форма |
закона взаимности |
в неподвижных |
точках |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
группы |
GQ+ на полуплоскости <§ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пусть |
К — мнимое |
квадратичное |
поле, |
q — пормалпзованное |
||||||||||||||||||||
погружение |
поля |
|
К в |
алгебру |
M 2 ( Q ) в смысле |
§ 4.4 |
и г — |
непод |
|||||||||||||||||
вижная |
точка |
группы |
q(Kx) |
на полуплоскости |
<д (см. предложе |
||||||||||||||||||||
ния 4.6 и 4.7). В § 4.4 было показано, что |
каждая |
нетривиальная |
|||||||||||||||||||||||
неподвижная точка любого элемента из |
GQ+ на <д получается |
||||||||||||||||||||||||
именно |
таким |
образом. Цель |
этого |
параграфа — изучить |
природу |
значений функций поля % в точке z. С самого начала обратим вни
мание на то, что |
погружение q определяет непрерывный гомомор |
||||||
физм группы |
К А |
в группу |
G A + \ его мы также обозначим через q. |
||||
ТЕОРЕМА 6.31. Пусть |
символы |
К, q и z имеют прежний |
смысл. |
||||
Справедливы |
следующие |
утверждения: |
|
|
|||
(i) Для каждой |
функции |
h £ %, |
определенной в точке z, |
значение |
|||
h(z) принадлежит |
полю Каъ |
и |
|
|
|
||
|
|
h(z)is-If] |
= |
h**^ |
(z) |
|
для всех s £ К A -
|
|
|
§ 6.8. ЯВНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ |
199 |
|||
|
( i i) |
Для |
каждой |
группы |
S £ S точка |
cps(z) рациональна |
над |
Каъ |
и для каждого s £ |
КЛ |
|
|
|
||
|
|
|
c P s ( Z ) t s ' K ] |
= |
JsAgis)-1)^)), |
|
|
где |
Т |
= |
q(s)Sq(s)-1. |
|
|
|
|
|
Можно заметить, что соотношение (i) объясняет глубокий |
ариф |
метический смысл отображения т, аналогичная ситуация склады
вается, |
когда |
каноническое |
отображение |
группы |
Кл |
в |
группу |
|||||||||||||||||||
Ga\(KajK) |
|
локально |
определяется |
автоморфизмами |
Фробениуса. |
|||||||||||||||||||||
Таким |
образом, |
теоремы |
6.23 |
и 6.31 |
доставляют |
аналог |
теории |
|||||||||||||||||||
полей |
|
классов |
для |
поля |
%, |
являющегося |
кронекеровым |
|
полем |
|||||||||||||||||
размерности 2. Следует также отметить, что соотношения |
(i) и (ii) |
|||||||||||||||||||||||||
являются обобщениями (5.4.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Как |
было |
видно в § 4.4, точка z при |
||||||||||||||||||||||
надлежит |
К. |
|
Определим |
|
Q-лииейный |
изоморфизм |
i z : Q2 |
->- К |
||||||||||||||||||
равенством |
|
iz(a) |
' |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
для |
а Е Q2 |
(вектор-строка!). |
Так |
как |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
Z |
_ |
|
\xz~ |
для |
(.1 6 К" |
(см. |
(4.4.5)), |
диаграмма |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 2 |
|
-> |
кх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9(Ц) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
->кх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коммутативна. |
Если |
мы |
положим |
az |
= |
Zz -f- Z, |
то |
отображение |
||||||||||||||||||
i z |
будет |
иидуцпровать |
изоморфизм |
нз |
Q 2 /Z 2 па К1аг, |
который |
мы |
|||||||||||||||||||
по-прежнему |
будем |
обозначать через |
iz. |
|
Пусть |
| — |
изоморфизм |
|||||||||||||||||||
из |
C/az |
в |
некоторую эллиптическую |
кривую |
Е £ Ш, о" — произ |
|||||||||||||||||||||
вольный |
элемент |
из |
Aut(C/K) |
и s — произвольный |
элемент |
груп |
||||||||||||||||||||
пы |
КА, |
|
для |
которого |
о = |
|
[s, |
К] |
на |
/Са ь- Возьмем изоморфизм |
||||||||||||||||
|' из C/s- 1 cu на Еа, |
рассматривавшийся |
в |
теореме |
5.4 |
для |
о |
и s, |
|||||||||||||||||||
так, чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
1(х)° |
= |
|
1'{8-*х) |
|
(х |
6 К/аг). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В силу леммы 6.19 можно найти такой элемент у из U и такой эле |
||||||||||||||||||||||||||
мент |
а |
из |
GQ+, ЧТО qis)'1 |
|
= г/a"1 . Тогда |
Z 2 g(s) _ 1 |
|
= |
Z 2 a _ 1 . |
Поло |
||||||||||||||||
жим |
w = |
a - 1 (z ) |
|
и найдем |
такой |
элемент |
X из |
К", |
что |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, |
что |
|
|
|
|
а |
|
_ 1 _ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
az |
= |
|
i z |
( Z 2 ) , |
|
s - 1 a z |
|
^ ( Z 2 ^ ) - 1 ) |
= |
iz(Z*a^) |
|
= |
X-iw(Z*) |
|
= |
Xa„ |