книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций
.pdf230 ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
В силу результата Гекке [5], приведенного в замечании 3.60, условие (7.5.8) выполняется, если яр — примитивный характер по мо-
"0 |
- 1 1 |
дулю N. Пусть т = pj. |
Q и р — элемент кольца E u d ( / l s ) , ассоци |
ированный с циклом X s s ( T ) . Пусть далее р — операция колгалексного
сопряжения. В силу предложения 3.55 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(7.5.10) а° = я|)(п)аа£Р для |
каждого |
a £ 3 |
" |
каждого |
п, |
взаимно |
про |
||||||
стого с |
N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому Кр = |
К н а°р = |
а£а |
для |
|
каждого |
о 6 3. |
так |
что |
поле К |
||||
вполне вещественно, |
если |
р — тождественное |
отображение |
на |
нем. |
||||||||
Если же это не так, то, как следует из предложения |
5.11, К должно |
||||||||||||
быть СМ-полем в |
смысле |
§ 5.5. |
Согласно |
предложению |
3.57, |
||||||||
fa |Ы2 7"(п)2 = |
Япр /а |
|[т]2 для |
всех п, взаимно простых с N. |
Поэтому |
|||||||||
в сплу (7.5.8) и следствия |
3.44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(7.5.11) для каждого |
изоморфизма |
о |
6 3 |
функция /с т |
|[т]2 отличается |
||||||||
от fap |
постоянным |
множителем. |
|
|
|
|
|
|
Следовательно, оператор [ т ] 2 переводит модуль W в себя, так что многообразие А инвариантно относительно 6. Таким образом, при меняя рассуждения, аналогичные использованным для доказатель ства теоремы 7.11, прпходим к первому утверждению следующей теоремы.
ТЕОРЕМЫ 7.16. Сохраняя |
обозначения теоремы |
7.14, |
предположим |
|||||||||||
что выполняется условие (7.5.8). Тогда дзета-функция |
многообразия |
А |
||||||||||||
над полем Q совпадает с |
точностью |
до конечного |
числа |
эйлеровых |
||||||||||
множителей |
с произведением |
\[ L(s, fg). |
Кроме |
того, |
если г|) — |
|||||||||
тривиальный |
характер, то поле К' |
вполне вещественно. |
Если |
же |
ха |
|||||||||
рактер |
\\> не тривиален, то К |
— чисто мнимое |
квадратичное |
расши |
||||||||||
рение |
вполне |
вещественного |
числового |
поля |
К' и |
существует |
такое |
|||||||
абелево |
многообразие А', |
что |
А |
изогенно |
произведению |
А' |
X |
А', |
||||||
а кольцо |
EndQ (А') содержит некоторый изоморфный |
образ |
поля |
К'. |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если характер гр тривиален, то поле К должно быть вполне вещественным в силу (7.5.10). Предположим, что характер гр не тривиален. Для каждого числа q, взаимно про стого с N, пусть aq имеет тот же смысл, что и в (7.3.8), a r\q обозна чает элемент кольца E n d ( 4 s ) , ассоциированный с /ss(o"q ). В силу предложения 7.8
(7.5.12) |
В = Ba r|g , если £а = |
для £ = е**/*. |
Так как гр — нетривиальный характер, то т|д Ф i d на А. Пусть \х — ограничение отображения В на А. Тогда р.а Ф ц. при некотором а £ Gal(Q(£)/Q), так что ц. отлично от ± 1 на А. Положим А' =
S 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ V S |
231 |
= |
( 1 + \ь)А. Тогда А' Ф О, и |
так как |
\С- = 1 , то c l i m ( 4 ' ) < |
||
< |
сИт(Л) = |
\К : QJ . Из |
( 7 . 5 . 1 1 ) |
нолучаем, |
что |
( 7 . 5 . 1 3 ) |
(.10(a) = |
в(аР)j.i для каждого |
а £ К. |
||
|
Предположим, что поле К вполне вещественно. Тогда 9(a) опре |
деляет некоторый эндоморфизм многообразия А' для каждого а £ К.
Поэтому поле К можно погрузить в кольцо |
EndQ^4'). С другой сто |
||||||||||||
роны, этого сделать нельзя |
в силу следующей леммы. |
|
|
||||||||||
|
ЛЕММА 7 . 1 7 . Пусть |
К — вполне |
вещественное |
поле алгебраических |
|||||||||
чисел и А' — абелево многообразие, |
определенное |
над некоторым под- |
|||||||||||
полем поля С. Если существует |
изоморфизм поля К в кольцо Endcj(.A'), |
||||||||||||
отображающий |
единичный элемент поля К в единичный элемент коль |
||||||||||||
ца |
End(^4), то число [К : Q] делит |
число |
dim(A'). |
|
|
|
|||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть |
R и R0 |
обозначают представле |
||||||||
ния кольца E n d Q ( / l ) на £В(А) |
и на первой группе когомологий мно |
||||||||||||
гообразия А соответственно. Тогда представление R0 эквивалентно |
|||||||||||||
прямой сумме |
представления |
R и представления R, комплексно |
|||||||||||
сопряженного |
к R. Ограничим Л и Л" на образ |
поля К в кольце |
|||||||||||
Endc)(-4), который будем отождествлять с |
К. Тогда представление |
||||||||||||
R |
эквивалентно прямой сумме нескольких изоморфизмов |
поля К |
|||||||||||
в |
поле С. Так как поле К вполне вещественно, |
представление R |
|||||||||||
эквивалентно |
представлению |
R. С другой |
стороны, так как R0 — |
||||||||||
рациональное |
представление, |
то tr(i?(a)) = |
tr(.ff0 (a))/2 £ Q для каж |
||||||||||
дого а £ К. Поэтому |
степень представления |
R |
должна |
делиться |
|||||||||
на [К: Q]. Так как dim(A) |
— это как раз степень представления R, |
||||||||||||
то |
лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Возвращаясь |
к доказательству |
теоремы |
7 . 1 6 , заключаем, что |
|||||||||
поле К является |
СМ-полем в смысле § 5 . 5 . Возьмем элемент |
Ъ поля |
|||||||||||
К, |
для которого |
0 ф Ъ = — Ъ и |
6(b) 6 End(4) . |
В силу |
|
( 7 . 5 . 1 3 ) |
|||||||
в(Ъ)А' = ( 1 - |
рЩЬ)А |
= ( 1 — \i)A. |
Поэтому |
|
А = ( 1 + |
ц.) + |
|||||||
-1 - |
( 1 — \.i)A = А' + Q(b)A', |
и, следовательно, |
многообразие А изо- |
||||||||||
генио А' X А'. Далее, |
если а 6 К и а" = а, то 0(а)Л'с= А' в соот |
||||||||||||
ветствии с ( 7 . 5 . 1 3 ) , так что кольцо E n d Q ( 4 ' ) |
содержит изоморфный |
образ поля {а 6 К | аР = а} . Доказательство теоремы 7 . 1 6 закончено.
Пусть к — подполе расширения Q(e2 3 l i /J V ), определенное в пред ложении 7 . 8 . Тогда, согласно этому предложению, отображение В
определено над к и, значит, |
многообразие А' также |
определено над |
|
к. Кроме того, |
пусть К' = |
{а £ К I а? = а} и 0'(а) |
— ограничение |
преобразования |
0(a) на А' для каждого a £ К'. Тогда 0' — изомор |
физм поля К' в кольцо E n d Q ^ ' ) , и 0'(а) определено над к для каж дого a £ К'.
Естественно теперь рассмотреть дзета-функцию многообразия А' над полем к. Так как общее исследование было проведено в статье
232 ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Т. Мияке [1] *), мы ограничимся здесь простейшим случаем и притом
в несколько иной |
формулировке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Помимо (7.5.8), потребуем еще выполнения следующих условий: |
|||||||||||||||||||
(7.5.14) |
характер |
гр группы |
(Z/iVZ)x |
имеет порядок |
2 и |
удовлетворяет |
|||||||||||||
|
равенству |
гр(—1) |
= |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(7.5.15) |
группа |
I)* |
соответствует |
ядру |
характера |
гр, |
так |
что |
|||||||||||
|
[gx :t)*] |
= |
2 |
и, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Г |
= |
{ |
|
|
6 S L 2 |
(Z) | яр (а) = |
1, |
с = |
0 |
mod(iV)} . |
|
|
||||||
ТЕОРЕМА 7.18. Сохраняя |
обозначения |
теорем |
7.14 |
и 7.16, предполо |
|||||||||||||||
жим, что выполняются |
условия (7.5.8), (7.5.14) |
и (7.5.15). Пусть |
к — |
||||||||||||||||
квадратичное |
|
расширение |
поля |
Q, |
соответствующее |
характеру |
яр. |
||||||||||||
Тогда многообразие |
А' |
определено |
над полем к |
и |
Ае |
изогенно |
А' |
над |
|||||||||||
к, где е — образующая |
группы Gal(&/Q). Кроме |
того, |
дзета-функция |
||||||||||||||||
многообразия |
А' |
над |
к |
совпадает |
с точностью |
до конечного |
числа |
||||||||||||
эйлеровых множителей |
с |
произведением |
Д L(s, / а ) . |
|
|
|
|
||||||||||||
Заметим, |
что |
поле |
к |
вещественно, |
так |
как |
гр(—1) |
= |
1.. |
|
|
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Как было сказано выше, отображение В |
|||||||||||||||||||
(и, следовательно, его ограничение |
р, на многообразие А) |
определено |
|||||||||||||||||
над полем к, так что многообразие |
А' = (1 + \i)A |
определено над к. |
|||||||||||||||||
Пусть |
q — такое |
положительное |
целое |
число, |
что |
гр(д) = |
— 1 , |
и т] д |
|||||||||||
имеет тот же смысл, что в доказательстве теоремы |
7.16. Тогда r\q = |
||||||||||||||||||
= — 1 на А, |
так как параболические формы / а |
для всех а £ 3 |
содер |
жатся в пространстве £ 2 ( Г„, гр). Поэтому, обозначая через е образую щую группы Gal(/c/Q) из (7.5.12), получаем
(7.5.16) |
|
|
|
|
|
|
|
и* |
- |
- р . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
А'г |
= |
[(1 + |
р)А]е |
= |
(1 — ц)А = |
Q(b)A',} |
где |
Ъ — |
|||||||||||
элемент |
поля |
К, |
рассмотренный |
в |
доказательстве |
теоремы |
7.16. |
|||||||||||||
Поэтому |
многообразие |
А'г |
изогенно многообразию |
А' |
над полем |
к. |
||||||||||||||
Для каждого простого |
идеала р поля |
к |
обозначим |
через |
срр |
эндо |
||||||||||||||
морфизм |
Фробениуса |
редукции |
А |
= |
р{А), |
степень |
которого |
равна |
||||||||||||
N |
(р), и |
через |
R\ |
обозначим |
Z-адическое представление |
кольца |
||||||||||||||
E n d ( ^ ) . |
Из (7.5.1) вытекает, что для любого простого |
рационального |
||||||||||||||||||
числа р, |
не содержащегося |
в множестве |
23s , справедливы равенства |
|||||||||||||||||
В(ар) = |
ЪР |
= лр |
+ |
гр(р)яр на А. |
Поэтому, |
если N(p) |
= |
р 2 , |
то |
срр |
= |
|||||||||
= |
лр, так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
det [1 — u2R' |
(фд)] = |
det [1 — u-R\ (np)] |
-det [1 - f u-R[ |
(np)] |
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
det [ 1 — и • Ri (лp ) ] • det [ 1 — гр (p) и • R[ (лр) ] |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
det [1 — u • R{ (|p) -|- гр (p) |
pu2]. |
|
|
|
|
l ) В этой статье рассматриваются также кривые Vs и многообразия Аз для групп S более общего типа, чем (7.3.5).
§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ КРИВЫХ |
Vs |
233 |
Пусть Tw(p)2 — ограничение преобразования |
Т'(р)2 |
на W. Приме |
няя те же соображения, что и при доказательстве теоремы 7.11, убеждаемся в том, что правая часть в (*) совпадает с
(**) |
|
|
dettl — Tw(p)2u |
+ |
^{р)риЦ2. |
|
|||
С другой стороны, если (р) |
= рр' в поле к, |
то и фр , и фрг можно ото |
|||||||
ждествить с я р , так что |
|
|
|
|
|
|
|||
det [ 1 - |
и • i?z'i((pp)] • det [ 1 - |
и • R\ |
(Фр,)] |
= |
|
|
|
||
|
= |
det [1 — и . Д , ' ( я р ) ] 2 |
= |
|
|
|
|
||
|
- d e t [1 — i f i ?i 4 ( n p ) ] - d e t [1 — |
ip (р) и-Щ |
(я*)] = |
|
|||||
|
= |
det [1 — и • Ri |
(Ip) - j - яр (р) |
ри2], |
|
|
|||
а это |
совпадает с (**) по тем же причинам, что и выше. Следователь |
||||||||
но, функция |
А Ik) |
с точностью до |
конечного |
числа |
эйлеровых |
||||
множителей |
задается |
произведением [ ] |
L(s, |
/ с т ) г . |
Далее, |
многооб- |
разие А изогенно произведению А' х А' над к. Поэтому, если срр — ограничение срр на р(А') и R1 обозначает Z-адическое представление кольца End(p(^4')), то
|
|
|
det [ 1 - |
и • R1 (ф°р)]2 |
= det [1 — u-Ri |
( Ф Р ) ] , |
|
|
|
|||||||||
так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det[l-Tw(p)2u |
+ |
q(p) ри2] |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Г det [1 — и2 -Я? (ф°р), |
|
|
|
|
|
|
если |
N (р) = |
р2, |
|||||||
|
^ |
\ det [1 — u-i?? (ф°)].det [1 — и-Д?(ф°/)], |
если |
(р) = |
рр'. |
|
||||||||||||
Итак, наше утверждение для функции |
£(s; A'Ik) |
доказано. |
|
|
||||||||||||||
|
Отметим также, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(7.5.17) |
det [1 — u.fl?(q>|p] = |
d e t [ l —u.i??(<p£.)]. если |
(р) = |
ДО', |
|
|||||||||||||
так как |
dettl |
— и - . flj(n p )] |
есть квадрат |
обеих частей этого |
равенства |
|||||||||||||
(или потому, |
что |
А' |
изогенно |
А'г |
над |
к). |
|
|
|
|
|
|
||||||
Далее, [т]* = |
1, так |
что |
в |
силу (7.5.11) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(7.5.18) |
|
|
/„ |
|[т]2 |
= |
т / о |
р 1 |
|
/ о р |
| [т] 2 |
= |
гЧо |
|
|
|
|
||
при |
некоторой константе |
7. |
(Из |
предложения |
3.40 |
следует, |
что- |
|||||||||||
\у |
| = |
1, НО |
этот |
факт |
нам |
не |
потребуется.) |
Следовательно, |
если |
|||||||||
мы |
положим |
L(s, А')=Ц |
|
L(s, |
/„), |
m = [К |
: Q] |
и R(s, |
А') |
= |
||||||||
= T(s)m(2n)-mSN™/2L(s, |
|
А'), |
то |
получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(7.5.19) |
|
|
|
R(s, А') |
= |
|
Д(2 |
А'). |
|
|
|
|
|
|
234 |
ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
|
|
|
В качестве примера рассмотрим случай, когда |
|
|||
(7.5.20) |
dim(52 (r;, гр)) = |
2. |
|
|
Если группа Г' |
та же, что в (7.5.15), то S2{V) |
= |
S2(T'0) |
+ S2(Y'0, гр). |
Поэтому в соответствии с теоремой 3.51 операторы |
Т'(п)2, |
ц, образуют |
алгебру 21 ранга 2 над полем Q. При выполнении условия (7.5.8) алгебра 21 должна быть полупростой, т. е. в данном случае изоморф
ной либо некоторому квадратичному полю, либо кольцу |
Q ф |
Q. |
|
Из теоремы 7.16 вытекает, что последний случай невозможен, |
так |
||
как поле Q не является чисто мнимым. Следовательно, алгебра |
21 |
||
изоморфна некоторому квадратичному расширению К поля Q. В силу |
|||
теоремы 7.14 можно найти абелево подмногообразие А в As |
размер |
||
ности 2 и изоморфизм 0 поля К в кольцо End Q ( . 4) . Согласно |
теоре |
||
мам 7.16 и 7.18, поле К мнимое и А изоморфно произведению Е |
X |
Е, |
где Е — некоторая эллиптическая кривая, определенная над веще ственным квадратичным полем к. Если А0 — якобиево многообразие
кривой |
Г„\<§*, то якобиан As |
кривой Г \ $ * |
изогенен произведе |
нию А |
X А п. Эллиптическая |
кривая Е такого |
типа обладает очень |
интересными свойствами, которые мы обсудим в § 7.7, рассматривая примеры многообразий А и Л'.
В приведенных выше рассуждениях мы начинали с общей собст венной функции / операторов Гекке на пространстве S2(T') и полу чили абелево многообразие А. Теперь мы начнем с абелева много образия _4S .
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
7.19. |
Пусть группы |
S и |
V |
те же, что в (7.3.5) |
||||||||||
и (7.3.6), £)* = |
g x , |
t ^ |
1 и |
А $ — якобиево |
многообразие |
кривой |
Vs, |
|||||||||
рассмотренной |
выше. |
Пусть |
Хп — |
эндоморфизм |
многообразия |
|
As, |
|||||||||
соответствующий |
оператору |
Гекке |
Т'{п)2 |
на |
пространстве |
S2(X'). |
||||||||||
Если А — абелево подмногообразие |
в As, |
рациональное |
над Q, |
то |
А |
|||||||||||
инвариантно |
относительно Хп для всех п, взаимно простых |
с N. |
Кро |
|||||||||||||
ме того, если X — подпространство |
в S2(V), |
|
соответствующее |
мно |
||||||||||||
гообразию |
А, |
и Тх(п) — ограничение |
оператора |
Т'(п)2 |
на X, то |
функ |
||||||||||
ция t,(s;A/(l) |
совпадает |
с точностью |
до конечного числа эйлеровых |
мно |
||||||||||||
жителей |
с det ( |
2 |
Тх(п)п~$). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(п, |
N)=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть р — простое |
рациональное |
чис |
||||||||||||
ло, |
не делящее N. Для доказательства первого утверждения достаточ |
|||||||||||||||
но установить, |
что Хр(А) cz А. Предположим, что Хр(А) ф |
А ш А* |
= |
|||||||||||||
= |
ХР(А) |
+ А. Тогда А* — абелево подмногообразие в 4 8 и |
dim(4) |
< |
<d i m ( 4 * ) .
Будем отмечать знаком — объекты, редуцированные по модулю р.
Если зхр и |
л| те же, что |
в доказательстве теоремы 7.11, то лр(А) = |
|||||
= |
п'р(А) |
= |
А, |
так как А |
рационально над Q; поэтому в соответствии |
||
с |
(7.5.1) |
имеем |
Xp(A)cz |
А. (Заметим, что r\p — i d , так как |
по усло |
||
вию ч * = |
cjx .) Однако, |
согласно общей теории редукции по |
модулю |
|
|
§ 7.5. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
КРИВЫХ |
Vs |
|
|
235 |
||
р (см. Шимура |
[1]), многообразие А* = |
|р (>1) + |
А имеет ту же раз |
||||||
мерность, что я А*; |
мы пришли к противоречию. Поэтому £,Р{А) |
с А. |
|||||||
Рассмотрим |
теперь многообразие |
As |
как |
|
комплексный |
тор |
|||
S2(T')/L |
(см. доказательство теоремы 7.14). |
Тогда А |
соответствует |
||||||
векторному подпространству X пространства S2(V), |
инвариантному |
||||||||
относительно Т'(п)г |
для всех п, взаимно простых |
с N. |
Теперь |
наше |
последнее утверждение легко вывести с помощью тех же рассужде
ний, что и при доказательстве |
теоремы 7.11. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Так как операторы Тх (п) для всех п, взаимно простых с N, |
обра |
||||||||||||||
зуют |
коммутативную |
полупростую алгебру, |
можно |
найти |
базис |
||||||||||||
{ / i , |
• • •) /г} подпространства |
X над полем С, образованный общими |
|||||||||||||||
Собственными |
функциями |
всех |
таких |
операторов Тх(п). |
Положим |
||||||||||||
Д, | Тх |
(п) = |
avnfv |
при avn |
6 С. Тогда для каждого |
фиксированного |
||||||||||||
v |
множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
{g |
6 *52(Г')I g |
I Т'(п)о |
— avng |
для всех |
п, взаимно |
простых |
с N) |
||||||||||
инвариантно |
относительно |
операторов |
Т'(п)2 |
для всех |
п |
(не обяза |
|||||||||||
тельно взаимно простых с N). Поэтому можно найти общую собст |
|||||||||||||||||
венную функцию g4 |
всех Т'(п)2, |
для которой gv |
| Т'(п)2 |
— bvngv |
при |
||||||||||||
bvn |
|
= |
avn, |
если (п, /У) = 1. В силу теоремы 3.43 можно считать, что |
|||||||||||||
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gv(z) |
= |
2 |
bvne2ninz^. |
|
Это |
показывает, |
что |
функция |
£(s; Л/Q) для |
введенного выше многообразия А совпадает с точностью до конечно-
го числа эйлеровых |
множителей с произведением |
г |
L(s, gj. |
Функ- |
||||
[ } |
||||||||
ции g v могут не содержаться |
в подпространстве |
v = l |
Следует |
также |
||||
X. |
||||||||
отметить, |
что |
2 |
bvneZlxinz |
принадлежит пространству |
S2(T0(N2)) |
|||
(ср. Гекке |
(n, |
i V ) = l |
|
|
|
|
|
|
[5, теорема 19]). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
§ |
7.6. t-адические |
представления |
|
|
||
Прежде всего мы расширим понятие Z-адической координатной |
||||||||
системы абелева |
многообразия А, |
рассматривая |
все относительно |
поля алгебраических чисел, погруженного в кольцо Епао_(.<4). Пусть
А — абелево многообразие, |
определенное над произвольным полем, |
|||||
F |
— поле алгебраических чисел конечной степени и 0 — изоморфизм |
|||||
поля F в кольцо Епа<з(.<4), отображающий единичный элемент поля F |
||||||
в |
единичный элемент кольца End(^4). Положим g = |
dini(.<4) и h = |
||||
= |
IF : Q1. Согласно предложению 2 из книги Шимуры и Таниямы |
|||||
[ 1 , § 5.1], число 2g кратно числу d; положим 2g = dh. Согласно |
тому |
|||||
же предложению, |
|
|
|
|
|
|
(7.6.1) характеристический |
многочлен преобразования |
В(х) для |
каж |
|||
|
дого х (j F |
является |
d-й степенью |
главного многочлена элемен |
||
|
та х, над |
полем Q; |
в частности, |
deg(0(a:)) = |
Np/Q(x)d. |
|
236 |
ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
|
||
(По поводу |
символа deg( ) |
см. дополнение |
10.) |
|
Пусть о — максимальный |
порядок |
поля |
F. Предположим, что |
|
(7.6.2) |
0(о)с= E n d ( |
4 ) . |
|
Для произвольного целого идеала (или целого числа) а поля F положим
(7.6.3) |
Ala] |
= |
{* € А | 6(a)* = |
0}, |
|
Л[а~] |
= |
|
U |
Л1ап]. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71=1 |
|
|
|
|
|
|
Легко |
видеть, что |
Alab] |
= Ala] |
+ |
Alb], |
если |
а и Ь взаимно просты |
||||||||||||||
(ср. |
Шимура и |
Танияма |
[ 1 , стр. 61, предложение |
18]). |
|
|
|
||||||||||||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
7.20. |
Если |
абелево |
многообразие |
|
А |
определено |
|||||||||||||
над |
полем, характеристика |
которого |
равна |
0 |
или |
взаимно |
проста |
||||||||||||||
с а, то группа |
Ala] |
изоморфна |
прямой |
сумме |
d экземпляров |
фактор |
|||||||||||||||
группы |
о/а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно |
доказать |
это |
утверждение |
||||||||||||||||
в случае, когда а — степень какого-нибудь простого идеала t. |
Сог |
||||||||||||||||||||
ласно |
теории |
элементарных |
делителей, |
группа |
Alln] |
при |
любом |
||||||||||||||
положительном целом п изоморфна прямой |
сумме |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(*) |
|
o/l™» ф . . . |
© o/tm s |
|
|(0 < |
mi < . . . |
< |
|
т. < |
п). |
|
||||||||||
В книге Шимуры и Таниямы |
[ 1 , стр. 56, предложение |
10] доказано, |
|||||||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.6.4) |
группа |
Ala] |
имеет порядок |
N(a)d, |
если характеристика |
|
поля |
||||||||||||||
|
|
определения |
многообразия |
А |
равна |
0 или взаимно проста с а. |
|||||||||||||||
Следовательно, |
|
т\ + . . . |
+ |
ms |
= |
nd. С другой |
стороны, |
(*) |
|
озна |
|||||||||||
чает, что группа Al{] |
изоморфна группе (o/()s ; поэтому |
в силу (7.6.4) |
|||||||||||||||||||
s = |
d. Так как |
m-t |
^ |
п, |
то т{ |
= |
. . . |
= |
ms |
= |
п, и |
доказательство |
|||||||||
закончено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для |
произвольного простого идеала |
Г поля |
F |
обозначим |
|
через |
||||||||||||||
Fi |
(соответственно |
о{) 1-адическое |
пополнение |
|
поля |
F |
(соответ |
||||||||||||||
ственно кольца д). Зафиксируем |
векторное Пространство |
W |
над |
||||||||||||||||||
полем F размерности d и некоторую о-решетку D |
в |
W. (Под |
о-решет- |
||||||||||||||||||
кой в W понимается конечно порожденный о-подмодуль в W, порож |
|||||||||||||||||||||
дающий пространство |
W |
над |
F.) |
Положим W[ |
= |
W |
® р Fi |
и |
D[ = |
=D (g> pOj. Из предложения 7.20 легко вывести, что
(7.6.5) если многообразие А определено над полем, характеристика которого равна 0 или взаимно проста с X, то существует точ ная последовательность
0 Dl |
Wx Л - А [ (»] 0. |
(Короче говоря, группа Ali°°] изоморфна группе (F1 /i>1 )d .)
|
|
|
|
§ 7.6. l-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ |
|
|
|
|
237 |
|||||||||
|
Такую точную последовательность или такое |
отображение |
t |
|||||||||||||||
будем называть |
|
Ьадической |
координатной системой |
на |
многообра |
|||||||||||||
зии |
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть У — |
подкольцо в |
EndQ(^4), |
состоящее из всех |
элементов, |
|||||||||||||
коммутирующих |
с |
эндоморфизмами |
из |
Q(F). |
Каждый |
элемент |
| |
|||||||||||
из У П End(^4) индуцирует некоторый эндоморфизм |
группы |
Л[1°°], |
||||||||||||||||
получающийся из того единственного элемента |
Щ (|) |
кольца |
||||||||||||||||
EndCPFj, F{), который неподвижен относительного D[. |
Так |
мы |
полу |
|||||||||||||||
чаем |
F-линейный |
гомоморфизм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Щ: |
Y-> |
End(Wu |
F{) |
|
(~Md |
(FJ)). |
|
|
|
|
|
||||
Если К — Q и \ — VL при |
некотором простом |
рациональном |
числе |
|||||||||||||||
I, |
то |
это будет |
Z-адическое |
представление Вейля (см. А. Вейль |
[3, |
|||||||||||||
№ |
31]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
|
7.21. Для каждого |
эндоморфизма |
|
\ £ Y |
харак |
|||||||||||
теристический |
многочлен Д преобразования |
Ri (£) является |
многочле |
|||||||||||||||
ном с коэффициентами |
из F, |
не зависящим от {. Кроме |
того, |
норма |
||||||||||||||
NF/Q |
(fi) (понимаемая в |
очевидном смысле) |
является |
характеристиче |
||||||||||||||
ским многочленом |
эндоморфизма |
£ в смысле А. Вейля |
[3, № |
67]. |
|
|||||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
дается |
в |
работе |
автора |
[10, |
§ |
11.9]. |
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7.22. Ограничение представления i?{ на любую простую подалгебру Z алгебры Y, содержащую Q(F), точно и эквива лентно прямой сумме некоторого кратного редуцированного пред ставления алгебры Z над F и (возможно) нуль-представления. Кроме того, ограничение представления i?j на Z можно продолжить до Fi-линейного представления
|
|
|
Z |
®pF{^Md(F{), |
|
|
|
|
|
эквивалентного |
некоторому |
кратному |
редуцированного |
представле |
|||||
ния алгебры Z ® FF^ над |
полем F{ по |
модулю |
нуль-представления. |
||||||
|
Это можно |
вывести |
из |
предложения |
7.21 |
теми |
же |
рассуждения |
|
ми, |
что и аналогичный |
факт в книге Шимуры |
и Таниямы [ 1 , § 5.1, |
||||||
лемма 1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим теперь, что многообразие А |
и |
элементы кольца |
||||||
Q(F) |
П End(^4) |
определены над некоторым |
полем |
алгебраических |
чисел к конечной степени. Тогда группа Gal(Q/fc) действует на груп пе A [t°°], и мы получаем представление
Щ: Gal(Q//c) + End(£>!, о^* ( ~ G L ^ ) ) . '
Пусть В — множество всех простых идеалов поля к, над которыми многообразие А имеет дефект. Выберем такой простой идеал р в к, который не принадлежит В и взаимно прост с N(1). Пусть ^ — простой дивизор поля Q, делящий р, и а — элемент Фробениуса
238 |
ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ |
группы Gal(Q//c) относительно *|$. Обозначим через А абелево много образие, полученное из А редукцией по модулю р. Тогда можно определить изоморфизм 9: F-*- Еп&(А) равенством 0(a) = р(9(а)) для каждого а 6 К, для которого 0(a) 6 Епа(Л). Поэтому f-адическое представление R{ коммутатора кольца Q(F) в кольце EndQ (А) можно определить, как выше. Пусть фр — эндоморфизм Фробениуса мно гообразия А степени N(\>). В силу предложения 14 из книги Шимуры и Таниямы [ 1 , § 11.1] диаграмма
Wl/Dl |
>А [t«] |
(7.6.6) |
id |
I редукция по j модулю
|
W:/Dl |
>A[t*>] |
|
|
коммутативна. Если t £ Л Ь 0 3 ] , |
то |
ЩР) = фр (0- |
Поэтому, если опре |
|
делить Щ и R{ относительно |
горизонтальных |
стрелок в (7.6.6), то |
||
(7.6.7) |
Що) |
= |
Д [ ( Ф р ) . |
|
(Заметил!, что фр принадлежит коммутатору кольца 0(F).) Это озна
чает, что элемент |
Щ(а) однозначно |
определяется идеалом ty. Таким |
|||||||||||||||||||
образом, |
доказана |
первая |
часть |
следующего |
предложения. |
|
|
||||||||||||||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
|
7.23. |
Пусть |
|
К(1) — |
подполе |
поля |
Q, |
соответ |
||||||||||||
ствующее |
ядру |
гомоморфизма |
|
|
Тогда |
|
простой |
идеал |
р |
поля к |
|||||||||||
неразветвлен |
в |
поле Щ\), если |
он |
не принадлежит множеству В и |
|||||||||||||||||
взаимно прост с N((). Далее, |
для |
такого |
простого идеала |
р |
обозначим |
||||||||||||||||
через о элемент |
Фробениуса |
|
группы |
Gal(Q//<:) |
относительно |
произ |
|||||||||||||||
вольного простого |
делителя |
идеала |
р в поле Q. Тогда |
характеристи |
|||||||||||||||||
ческий многочлен |
преобразования |
|
У$\(о~) будет многочленом над коль |
||||||||||||||||||
цом- о, зависящим только от р (но не от выбора |
I и *]$). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Это обобщение |
предложения |
|
18 |
из |
книги |
Шимуры |
и |
Таниямы |
|||||||||||||
[ 1 , § 18.5]. |
Утверждение, |
касающееся |
элемента |
9^(сг), |
следует |
из |
|||||||||||||||
(7.6.7) и предложения 7.21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В прежних обозначениях пусть Я р (и) |
— |
характеристический мно |
|||||||||||||||||||
гочлен преобразования S4j(cr). Тогда |
можно определить |
дзета-функ |
|||||||||||||||||||
цию многообразия |
|
А над |
полем |
к относительно |
изоморфизма |
0: |
F-+ |
||||||||||||||
E n d Q U ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е (s; А/к, F) = |
П |
N (p)ds |
- Я |
(N |
( р ) Г 1 - |
|
|
|
|
|
||||||||
Если F — Q, то это не что |
иное, |
как |
функция |
£(s; А/к), |
определен |
||||||||||||||||
ная в § 7.5. Естественно распространить |
гипотезу Хассе — |
Вейля |
|||||||||||||||||||
и на £(s; |
А/к, F ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 7.6. I-АДИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ |
239 |
Заметим, что функция £(s; А/к, F) зависит только от класса изогении дшогообразия А над к. Поэтому предположение (7.6.2) несу щественно; в самом деле, для данной пары (А, 0) при помощи неко торой изогеиии, рациональной над к, всегда можно найти другую
пару |
(А', 0'), для которой выполнено (7.6.2) (см. Шимура и Танияма |
[ 1 , § |
7.1, предложение 7]). |
Так как Я р — характеристический многочлен преобразования 9ц (а), то функция £(s; А/к, F) аналогична L-функциям Артина конеч ных нормальных расширений полей алгебраических чисел. Поэтому определение функции £(s; А/к, F) доставляет некоторый закон взаим ности для расширений R (() поля к (необязательно абелевых), на что уже указывалось в книге Шимуры и Таниямы [ 1 , § 18.5] и в работе автора [5, § 6.3]. По поводу дальнейшего обсуждения этой темы мы отсылаем читателя к работе Таниямы [1], а также к работам автора [8], [10] - [12] и Серра [1].
Возвращаясь к многообразию (А, 0), определенному над любым полем, а не обязательно над к, предположим, что А имеет поляриза цию 'if, обладающую следующим свойством:
(7.6.8) если |
* означает инволюцию кольца E n d o ^ ) , определенную |
поляризацией Ч§ (дополнение п. 13), то 0(a)* = 0(a) для каждого |
|
a£F. |
|
Так |
как |
* — положительная |
инволюция |
кольца |
EndoX^), |
то |
|||||||||
поле F должно быть вполне вещественным. Для простого рациональ |
|||||||||||||||
ного числа |
I, делящегося на I , положим |
Wi |
= W ® Q Q J И |
D |
I = |
||||||||||
— D ®zZ(. Тогда получим Z-адическую координатную |
систему |
|
|
||||||||||||
0-*- /?{->• Wi—>- A[l°°] |
->• 0 |
(точная |
последовательность). |
|
|
||||||||||
Выберем некоторый |
дивизор X |
в |
|
Согласно |
А. Вейлю [3, № |
76], |
|||||||||
с дивизором X можно связать невырожденную знакопеременную' |
|||||||||||||||
форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я,: |
Wt |
|
X Wt-+ |
Q „ |
|
|
|
|
|
||
для которой |
Ei(x, |
у) |
£ Z j |
при |
всех |
(х, |
у) |
£Di |
X Dt |
и |
|
|
|||
(7.6.9) |
|
|
Ег |
(Д, (Я.) х, |
у) = |
Ег |
(х, |
Rt |
(к*) у) |
|
|
|
|||
для каждого |
к 6 Endq(j4), |
где |
Л ( |
— это |
Z-адическое |
представление |
|||||||||
кольца |
Endojyl). Пространство |
|
|
можно |
теперь очевидным |
обра |
|||||||||
зом отождествить с подпространством в Wi. Ограничим Et на Ц\ |
X |
||||||||||||||
X W-[. Согласно Шимуре [7, лемма 1.2], можно найти такую невы |
|||||||||||||||
рожденную знакопеременную |
форму |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Sx: W{ |
|
X Wt-+ |
Fv |
|
|
|
|
||||
что |
|
|
T r F l / Q , |
(5 t |
|
|
|
|
((х, у) £ Wx X |
|
|
|
|||
|
Et |
(х, у) = |
(х, у)) |
|
W{). |
|
|