книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций
.pdf200 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
Поэтому диаграмма
—> С/аш |
-> Е |
I |
i d |
1 |
|
-> C/s'h |
!'_> Е° |
при некотором подходящим образом выбранном изоморфизме |" коммутативна. Пусть а £ Q a /Z 2 и и = i z (а). В силу леммы 6.4
(2) |
|
|
|
|
|
|
Ш |
|
|
= |
hh(Uu)) |
|
( i |
= |
1, |
2, |
3), |
|
|
|
|
|
|
|
и s x u = |
s 1 ч 2 (а) = |
u (a-g(s)-1 ) |
= |
i z (aya'1) |
= |
л-ч^ (аг/) (mod s _ 1 a z |
= |
|
||||||||||||||||
= |
Алц .). Поэтому |
£ ' ( S _ 1 M ) |
= |
|"(1ц,(яу)), так |
что |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
hUd'is-'u)) |
|
= |
pay(w) |
|
(i |
= 1, 2, 3) |
|
|
|
|
|
|
||||||
согласно |
лемме |
6.4; следовательно, из (1) и (2) получается |
|
|
|
|||||||||||||||||||
(3) |
|
|
|
|
fi(z)° |
= |
|
кШиГ) |
|
|
= / ^ ( а - Ч * ) ) |
(i = |
1, |
2, |
3). |
|
|
|
||||||
Кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(4) |
|
|
|
|
|
т в |
|
= |
|
|
= |
Я » ) |
= |
Д а - Ч г ) ) . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Фиксируем теперь целое положительное |
число N > |
|
2, и |
пусть |
|||||||||||||||||||
i V - |
1 Z 2 ( Z 2 |
— |
{0} |
= |
{а, |
Ь, . . . } . |
Пусть |
У# — геометрическое |
место |
|||||||||||||||
для |
множества |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ф'(а) |
= |
(/(s). Ш |
, |
Ш . |
• • • . /2(8). |
|
Ш . |
• • |
/2(8). |
|
/2(8). |
• • |
•). |
|||||||||||
где |
|
i — переменная |
на |
ф, в аффинном пространстве |
размерности |
|||||||||||||||||||
3(ЛГ 2 — 1) -г |
1. |
Если |
Р = |
Q'tVjv, то |
кривая |
У Р |
бнрационально |
|||||||||||||||||
эквивалентна кривой V'N и существует такое бирациональное |
||||||||||||||||||||||||
отображение |
X |
из |
У Р |
в У^ |
над /гР |
= |
|
/сл -, |
что |
X ° срР |
= ср'. Так |
|||||||||||||
как |
кривая |
У Р |
не имеет особепностей, |
отображение |
X |
определено |
||||||||||||||||||
во |
всех |
точках |
множества фР ($3); отображение X ие бирегулярно, |
|||||||||||||||||||||
по |
взаимно |
однозначно |
в |
следующем |
смысле: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(5) |
|
если |
% £ |
z2 |
6 ф |
" |
ф ' ( 2 1 ) |
— ф'(2 г). m o |
фр(2 0 |
= |
фр(2 2)- |
|
|
|
||||||||||
Действительно, |
если |
cp'(z±) |
= |
cp'(z2 ), |
то |
j ( z i ) = |
Д 2 2 ) и |
существует |
|
|||||||||||||||
такой элемент у |
группы |
Г\, что |
y ( Z i ) |
= |
z2 . Положим L i = Zz: |
+ |
Z |
|||||||||||||||||
n i ( a ) = a |
|
1 |
для a 6 R 2 . Обозначим той же буквой |
i отображение |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из |
R 2 / Z 2 |
|
иа |
C/Lj, |
индуцированное |
отображением |
i . Пусть |
£t — |
|
|||||||||||||||
изоморфизм |
тора |
C/Lt |
на |
эллиптическую |
кривую |
Е{ |
|
6 %. |
Если |
|||||||||||||||
а; = |
|
i (а), |
а £ i V _ 1 Z 2 / Z 2 |
= |
{ 0 } и г/ = 1.(ау), то в силу формулы (6.1.3) |
|||||||||||||||||||
и леммы |
|
6.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
hUU*)) |
|
|
= Pa (Z>) |
= |
/ |
i ( Г 2 ) = |
Ра |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= / i T ( * i ) |
=1г}±(Ш) |
d = 1, 2, 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 6.8. ЯВНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ |
|
|
|
20-1 |
|||||||||||||
Поэтому |
в силу |
( 4 . 5 . 3 ) га{^(х)) |
|
= |
£,i(y) |
при некотором |
|
автомор |
||||||||||||
физме |
е а |
кривой |
Et. |
Если |
|
Ei 6 %и то е а |
= |
± 1 и еа а = |
ау для |
|||||||||||
всех |
а £ i V _ : L Z 2 |
/ Z 2 |
— |
{ 0 } . В силу |
леммы |
6 . 2 у £ Г ^ * { ± 1 } , |
так что |
|||||||||||||
фр(2 г) = |
V P ( T ( z I ) ) |
= |
ФР(2 1)> |
а |
э т |
о |
доказывает (5 ) в |
случае |
Et 6 |
|||||||||||
(г £i- |
Предположим, |
что ZJj 6 |
$ 2 » тогда L i — |
дробный пдеал |
поля |
|||||||||||||||
К = |
Q ( ] / — l ) |
и е а отождествляется |
с умножением на одну из еди |
|||||||||||||||||
ниц |
(всего их четыре) ± 1 , ±У—1- |
|
|
Д л я |
е |
€ ( ± 1-л,, |
± |
V " — 1 | можно |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
1 ^ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
"ez/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е* . 1 |
_ |
е |
|
так что |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ау |
|
для |
|
|
||
а 6 i V _ 1 |
Z 2 |
/ Z 2 — |
{ 0 } . Теперь |
нам |
будет |
нужна |
|
|
|
|
|
|||||||||
ЛЕММА |
6 . 3 2 . Пусть N — положительное |
целое |
число, |
большее 2, |
||||||||||||||||
у — произвольный |
элемент |
|
группы |
Tit |
Zj — эллиптическая |
точка |
||||||||||||||
группы |
Г\ и |
А = {б £ Г4 |
| 6(z£ ) = |
Zj}. |
Предположим, |
что |
для |
|||||||||||||
каждого |
и £ Z 2 |
существует |
такой |
|
элемент |
б и группы |
А, что иу = |
=u6ii mod(A) . Тогда у 6 АГ^-
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так как каждая |
эллиптическая |
точ |
||||||||||||||
ка группы |
Т± является |
^-эквивалентной |
точке У—1 |
или |
точке |
||||||||||||
е 2 я 1 / 3 ) достаточно |
провести |
доказательство |
в |
случаях |
zt |
Г=1 |
|
||||||||||
и z, = e2 5 t i /3 . |
Если |
zt |
= e2 l t i /3 , |
то, согласно |
нашему |
результату |
|||||||||||
из § 1 . 4, |
|
|
|
|
|
|
" |
0 |
1 " |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2> |
|
|
" - |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
. — 1 |
1 . |
|
. — 1 0 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Положим о = ( 1 , |
0 ) , с = |
( 0 , 1 ) |
и 7' = убь1 . Тогда |
Ьу' = |
Ь mocl(iV); |
||||||||||||
следовательно |
7 |
=s |
1 0 |
mod(iV) при некоторых |
целых числах |
р |
|||||||||||
и q. Так как det(y') |
= |
Р (7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
получается |
||||||
1 , то q = 1 mod(iV), в силу чего |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
0", |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сравнение |
у == |
|
1 |
mod(iV). С другой |
стороны, |
(р, |
1 ) = = су |
= |
|||||||||
сб mod(iV) при некотором |
б 6 А. Рассмотрение |
элементов |
груп |
||||||||||||||
пы А показывает, что б = 1 2 или |
0 |
Т |
|
|
|
|
" О |
Т |
|
||||||||
1 |
1 |
|
Но если б = |
1 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|||
то у |
1 |
0 mod(iV) и (Ь + |
с)у' = ( 0 , |
1 ) ф |
(b - f с) е шоа(Лг )для |
||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
каждого элемента е группы А. Мы пришли к противоречию. |
Поэто |
му б = 1 Г и у' 6 TN; следовательно, у £ Гл -А. Случай zx = |
У—1 |
рассматривается аналогично и более просто.
Применяя доказанную лемму к данной ситуации, мы получаем
включение уд £ ГЛ - при таком б |
из группы |
что б ^ ) = |
Zj. Но |
||
тогда ф Р (z2 ) = фрСуб^)) = фр(г |
4 ), чем доказывается (5 ) в |
случае |
|||
Е 6 %г- |
Оставшийся |
случай Е £ <£3 можно |
разобрать с помощью |
||
тех же |
соображений, |
пользуясь леммой 6 . 3 2 . |
|
202 |
|
ГЛ. |
6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ |
|
|
||||||||||
Возвращаясь к исходным z, s, а, а, |
у и Р |
= |
Q x t 7 A r , мы |
видим, |
|||||||||||
что |
а(у) — a(<7(s)-1) = |
[s, |
К] = |
а |
на |
Q o b . |
Отображение |
fla |
»—»• flaU |
||||||
определяет |
теперь автоморфизм |
поля |
^yj V |
пад полем |
который |
||||||||||
индуцирует |
бнрациоиальное отображение |
/ ' |
кривой У# |
в |
V$(v\ |
||||||||||
определенное, очевидно, всюду на Y'N |
п |
удовлетворяющее |
равен |
||||||||||||
ству |
/ ' о X |
= |
Х° о JPP{y). |
Из |
(3) и |
(4) мы получаем соотношение |
|||||||||
cp'(z)0 = |
/'[cp'(a - 1 (z))], |
в |
силу |
чего |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
XaWP(z)a] |
= / , [ Х [ ф Р ( а - 1 ( г ) ) ] ] |
= |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
XalJPP(y)[<?P(a-\z))]}. |
|
|
|||
Согласно |
утверждению |
(5), фР (г)° = |
/рр(г/)[фр(а_ 1 (г))]. |
Полагая |
|||||||||||
R = |
аРа~г |
= |
q(s)Pq(s)~1, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ф Р ( * ) ° |
= / р р ( г / ) [ / р л ( « - г ) [ ф Й ( 2 ) ] ] |
= |
/ р П ( ? ( 5 ) - 1 ) [ ф п (Z)]. |
|
||||||||||
Эта формула справедлива для Р = |
Q*UN |
при произвольном N > |
>2. Для произвольной группы S £ S можно найти такое целое
положительное |
число N > |
2, |
что |
Q* (7 Л - с : S1. Поэтому, |
полагая |
||||||||||||||
/> = |
QX £/\Y п |
Г |
= g(s)iSg(s)- 1 , |
находим, |
что |
|
|
|
|
|
|
||||||||
(6) |
|
ф 5 ( 2 ) в |
= |
/ З Р ( 1 ) ° [ ф р ( г ) а ] |
= |
/ S p ( l ) ( J [ / p f l ( g ( s ) - 1 |
) [ T R |
(z)]] |
= |
||||||||||
|
|
= |
J S R ( 9 ( в ) - х ) [ ф я |
( z ) l = |
/ S T ( ? ( S ) - 1 ) [ / T R ( 1 ) [ ф л ( г ) ] ] |
= |
|||||||||||||
|
|
= / S r(?(s _ 1 ))[tPr(z)] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
/ i — произвольный |
элемент |
поля ^ , определенный и конеч |
||||||||||||||||
ный |
в |
точке |
z. |
Тогда / i = |
/ |
о cps |
при |
некоторой |
группе |
S (; S |
|||||||||
и некоторой функции / на кривой Vs, |
рациональной пад ks |
и опре |
|||||||||||||||||
деленной в точке Фа(г). Поэтому |
в |
силу |
(6.7.6) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
(7) |
|
h(zf |
= |
А Ф 5 ( 2 ) а ) |
= |
/ а ( / 8 т ( д ( 5 ) - 1 [ ф Т ( 2 ) 1 ) = |
/тйСН) (z). |
|
|||||||||||
Из формул (6) и (7) мы заключаем, что |
q>s(z)a |
ы Hz)a |
зависят |
толь |
|||||||||||||||
ко от s, т. е. только от ограничения |
а на КаЬ. |
|
Поэтому cps(z) и |
и р |
|||||||||||||||
рациональные функции |
над |
Каъ, |
ы можно |
заменить а |
иа |
[s, К] |
|||||||||||||
в (6) и (7) и, таким образом, получить утверждения |
(ii) и (i) тео |
||||||||||||||||||
ремы 6.31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.33. Пусть |
|
обозначения |
имеют тот |
же |
смысл, |
||||||||||||||
что в теореме |
6..31, |
S £ % и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
W = |
{s |
6 |
К*Л |
I q(s) |
6 5 } . |
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
К •ks((ps(z)) |
— |
подполе |
|
поля |
КАЪ, |
соответствующее |
|
подгруп |
||||||||||
пе K*W группы |
КА- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть |
s £ КЛ |
|
и л |
= |
[s, |
К]. |
|
Тогда |
|||||||||
я = |
a(q(s)~1) |
на |
Qa /,. Если s |
£ W, |
то |
я |
= |
i d на |
ks. |
В силу |
свой |
||||||||
ства |
(6.7.9) и утверждения (ii) теоремы 6.31 фв(г)л = |
фв (г), |
так что |
|
|
|
|
|
§ |
6.S. ЯВНАЯ ФОРМА ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ |
|
|
|
|
|
|
203 |
|||||||||||||
лх = |
i d |
на |
|
ks((ps(z)). |
|
Обратно, |
предположим, |
|
что |
|
л |
= |
i d |
|||||||||||||
на |
/cs (cps (z)). |
В |
силу |
утверждения (i) леммы |
6.17 g(s)_ 1 |
= |
|
ta |
при |
|||||||||||||||||
t £ S |
и |
а |
£ Gq+. Полагая |
Т |
= |
q(s)Sq(s)~1, |
мы получаем иа |
|
основа |
|||||||||||||||||
нии утверждения |
(и) теоремы |
|
6.31 и свойства (6.7.10), что |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cps(z) |
= |
cps(z)'n |
= |
|
|
J ST(ta)UpT(z)] |
|
= |
cps (a(z)) |
|
|
|
|
|
|||||||
и, |
значит, |
z = |
ya(z) |
при |
у |
£ T s |
. В |
силу |
формулы |
|
(4.4.4) |
уа |
= |
|||||||||||||
= |
q(b) |
при |
6 6 Л х - |
Но |
тогда |
g(5s)- 1 |
= |
^Т- 1 |
6 З1, так |
что s |
£ |
i f x W . |
||||||||||||||
Доказательство |
закончено. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Получим теперь более конкретный вид формулы |
|
(i) |
из |
|
теоре |
||||||||||||||||||||
мы 6.31, взяв в качестве h более явно заданную |
функцию. Сначала |
|||||||||||||||||||||||||
вместо h возьмем fa. |
Хотя |
результат |
в |
этом |
случае, |
|
по |
существу, |
||||||||||||||||||
такой же, как в утверждении (3) из |
теоремы |
6.31, мы |
сформули |
|||||||||||||||||||||||
руем его несколько иначе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ПРЕДЛОЖЕНИЕ |
6.34. |
Пусть |
а — дробный |
идеал |
поля |
К |
|||||||||||||||||||
и |
{coj, |
со2 } |
— |
базис |
дробного |
|
идеала |
а |
над |
|
Z, |
для |
которого |
z0 |
= |
|||||||||||
= |
COJ/COJ 6 |
|
Далее, |
пусть |
N |
|
— целое положительное |
число, |
СN |
— |
||||||||||||||||
максимальное |
поле классов лучей |
над К по модулю Nub |
— |
дробный |
||||||||||||||||||||||
идеал |
в К, |
взаимно простой |
с N. |
Тогда |
для |
каждого |
а £ N~XZ2, |
|
а |
|||||||||||||||||
4 Z 2 , |
значение |
fa{z0) |
принадлежит |
полю |
СN. |
Кроме |
того, |
если |
||||||||||||||||||
|
о = ( ^ ) , |
a r - Z c o i + Z c o ; , ( o l / a ^ e e , |
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
при |
£ £ |
GQ+, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
fUz0)a |
= |
Д « ) |
(i |
= 1, 2, |
3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
Ъ — элемент |
группы |
N~XZ2, |
|
для |
которого |
b = |
a£ mod Zp |
для |
|||||||||||||||||
всех |
|
простых |
множителей |
р |
|
числа |
N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Из |
предложения |
6.33 |
|
следует, |
|
что |
|||||||||||||||||
h(z0) |
|
6 СN |
для |
каждой |
функции |
h £ %N, |
а это |
доказывает |
|
первое |
утверждение. Для доказательства второго рассмотрим такой эле
мент |
s группы |
КА, |
что |
S<QK |
— Ь. Элемент s можно |
выбрать так, |
||||
чтобы sp |
= 1 для всех простых делителей р числа N. Тогда [s, К] = |
|||||||||
= ст |
на |
CN. |
Определим |
погружение |
q: КM2(Q) |
равенством |
||||
[ICO, |
|
СО! |
|
|
. Для каждого простого |
рационального |
||||
|
|
|
для LI £ |
|||||||
числа |
р |
L w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
7- |
СО |
(a о 1 ) p = |
apsp1 |
=Z% |
COj Sp |
|
|
|
|
|
|
со, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
COj |
•Z%q(s-X) |
со, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO, |
|
||
|
|
|
|
|
|
« 2 |
J |
|
|
(Каждыйчлен |
этих равенств является решеткой в группе Кр = |
= К CH>Q Q p = |
QpC0i+ Qp co2 ; р-компонента sp элемента s является |
204 ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ
элементом |
группы К? .) Поэтому Zp = |
Zpg(Sp1)| для всех р, так |
|||||||||
что <?(s_1) £ = t |
при |
некотором t |
из |
U. |
В силу утверждения (i) |
||||||
теоремы 6.31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ГаЫ° |
= (Га)^ |
U-^o)) |
= |
(/а)Т < ( ) |
« ) • |
|
|
|
Так как sp = |
1 для всех р, |
делящих N, то at = я.| mod Zp для |
|||||||||
всех р, |
делящих N. Так как идеал Ъ взаимно |
прост |
с N, то £ £ |
||||||||
6 G L 2 ( Z P ) |
для |
всех |
таких р. Поэтому |
(/а)т < 0 |
= /ь, |
где |
Ъ — эле |
||||
мент, описанный выше. Доказательство закопчено. |
|
|
|||||||||
ЗАМЕЧАНИЕ. |
ЕСЛП |
Ь — целый |
идеал, |
то a i |
об " |
так |
что |
||||
6 M 2 ( Z ) . |
В |
этом случае Ъ = |
а\, |
так |
что |
|
|
|
|||
(6.8.1) |
|
|
|
/t(zo)a |
= |
|
fUl~\4)). |
|
|
|
Теперь мы рассмотрим модулярную функцию, которая полу чается из автоморфиых форм с рациональными коэффициентами Фурье:
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.35. Пусть gt |
и g% — автоморфные |
формы веса к |
|||||||
относительно |
группы Г = |
SL 2 (Z), отличные |
от О, |
и а, — произ |
|||||
вольный |
элемент |
группы |
Gq+. Положим |
S = Q ^ c i - 1 |
U a f| U) |
||||
и h = |
(gi |
I [ a l h ) / g 2 , |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gi |
[а]ь |
d e t ( a ) f t / 2 g 1 ( a ( z ) ) / ( a , а ) - * |
|
|
||
(см. § |
2.1) u символ |
U имеет тот же смысл, |
что в § 6.4. |
Предполо |
|||||
жим, |
что коэффициенты |
Фурье |
разложений |
для g^ и gz |
относи |
||||
тельно |
е 2 д ' г |
рациональны. |
Тогда |
h £ %s. |
|
|
|
Отметим, что вес к должен быть четным, так как ие существует автоморфиых форм относительно Г нечетного веса (см. § 2.1).
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Можно |
найти |
такие |
элементы |
у п 5 |
|||
группы Г, что |
a = у$8 |
и |
В = |
"гт |
О" |
|
|
Тогда |
О |
при г £ Q, т £ Z. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(gt I [ Р № г = |
h о б" 1 и |
QX (B_ 1 C/B П U) = |
бЯб"1 . |
Поэтому |
доста |
точно доказать утверждение для В. Другими словами, |
можно счи- |
|||
тать, что a |
~гт 01 |
Тогда а ^ Г а П Г = Г0 (то) |
и h(z) = |
|
О |
||||
|
|
|
=mk/2gi(mz)/gz(z). Поэтому функция h инвариантна относительно'
Т0(т) и имеет рациональные коэффициенты Фурье; следовательно, h принадлежит полю %'т = Q(/, j(mz), fa), рассмотренному в утвер ждении (2) предложения 6.9. Согласно этому предложению и в си лу изоморфизма между группами UlUm и GL2 (Z/?nZ), имеем ft'm = = %т, где
T=-.Q*.{xeU\xp= J ° m o d m - M ^ Z p ) (deZJ)J .
6.9. ДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ G |
205 |
Легко проверить, что a~xUa f| Ucz T0(m)-T. Так как функция h инвариантна отиосителы-ю Т0(т) и относительно Т, то h £ g s . Предложение доказано.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6.36. Пусть |
gu |
g2, |
а и h те же, что |
в |
предложе |
|||||||||||||
нии |
6.35, |
и Аг, а, |
Ь, colt со2 , |
z0 , |
а, |
СN |
те же, |
что в |
предложе |
|||||||||
нии |
|
6.34. |
|
Предположим, |
что |
det(a) |
= N |
и |
а £ M 2 ( Z ) . |
|
Тогда |
|||||||
h(z0) |
|
£ Cjy. |
Кроме |
того, |
существует |
элемент |
т| группы |
GQ+, |
удов |
|||||||||
летворяющий |
следующему |
условию: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
{*) |
1] |
1 |
— |
базис |
идеала |
аЬ - 1 |
над Z |
и а н а - 1 |
£ G L 2 ( Z P ) Зля всех |
р, |
||||||||
|
L W 2 J |
|
N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
делящих |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
т| удовлетворяет |
условию |
(*), ?no /i(z0 )° |
= /г(т](г0 )). |
|
|
|
|
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим |
5 = |
Q*(a _ 1 i7a |
f] |
С/)- |
Сог |
||||||||||||
ласно |
предложению 6.35, |
h £ |
g-s . Заметим, что |
UN cz |
a^Ua |
|
("| U; |
|||||||||||
следовательно, h £ g s . |
Поэтому |
/г(г0 ) £ С я , как отмечалось |
в |
нача |
||||||||||||||
ле |
доказательства |
предложения |
6.34. |
Возьмем |
<в|, со^, |
|, |
s |
и |
£, |
|||||||||
как в предложении 6.34 и его |
доказательстве. Положим L = |
Z 2 . |
||||||||||||||||
Так |
как t |
£ U, то |
группа |
LlLat |
изоморфна группе L / L a и L a i = |
=iay для некоторого -у £ Г в соответствии с леммой 3.12. Но тогда
|
|
|
Fcoi |
Так как |
<xyt~ya~x 6 U. Положим и = |
у ! - 1 |
. Тогда |
г) |
|
= £ для всех р, делящих |
|
то а л а - 1 |
L W 2 |
для всех таких |
N, |
Е G L 2(Z p ) |
ja. Мы тем самым доказали существование элемента т], удовлетво
ряющего |
условию |
(*). |
|
Пусть |
теперь |
п — произвольный элемент, |
удовлетворяющий |
условию |
(*). Возьмем и - 1 в качестве элемента £, |
рассматривавшегося |
в доказательстве предложения 6.34. Тогда, как было там доказано,
^(s"1 ))]"1 = t |
при t £ U. Поскольку sp = 1 для |
всех р, делящих |
N, |
|||||||
имеем л - 1 |
= |
tp для всех таких р, |
так что atpa~x |
£ G L 2 ( Z P ) . Последнее |
||||||
включение верно также для всех р, |
не делящих N, так как det(a) |
= |
||||||||
= |
N |
и a |
£ M 2 ( Z ) . |
Поэтому a t a - 1 |
6 С/; следовательно, t £ a - 1 (7a |~| |
|||||
Л |
U <zz S. |
В силу утверждения (i) теоремы 6.31 |
|
|||||||
|
|
|
|
/i(z0 )f f |
= |
(z0 ) = |
Л* СО (n(z0 )) = |
/I(TI(Z 0 )), |
|
|
так |
как |
h £ g s . |
Доказательство |
|
закончено. |
|
|
УПРАЖНЕНИЕ 6.37. Обобщите предложения 6.34 и 6.36 на случай, когда порядок решетки а = Zcot - j - Zco2 не максимален (ср1. пред ложение 4.11 и формулу (5.4.2)).
§ 6.9. Действие элемента группы G Q с отрицательным определителем
Для каждого |
х |
£ GA обозначим через х0 |
проекцию этого |
элемен |
|
та на G 0 . ЕСЛИ |
a |
£ GQ+, ТО элемент т(а) = |
т ( а 0 ) определяется равен |
||
ством /Vе№ = h о а |
для h £ |
Если a £ GQ И det(a) <с 0, то |
символ |
206 |
ГЛ. 6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО УРОВНЯ |
т ( а 0 ) |
имеет смысл, так как а0 £ G.a+, в то время как элемент т ( а ) |
не определен. Поэтому естественно задаться вопросом о природе элемента т(а0 ). Ответ дается следующей теоремой.
ТЕОРЕМА |
|
6 . 3 8 . |
|
Пусть |
а — такой |
|
элемент |
группы |
Gq, |
что |
||||||||||||||
det(a) < |
0, |
и а0 — проекция |
элемента |
а на |
неархимедову |
часть Go- |
||||||||||||||||||
группы G_iТогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(i) |
/ i |
T ( |
a |
o ) (z) =/г(a |
(z)) |
для всех |
h£$ |
и |
всех |
z £ £ i; |
|
|
|
|
||||||||||
(ii) |
если |
|
S g S |
11 |
S' =a0Sa01, |
mo |
J s |
- S (a0 ) [cps |
(z)] = |
cps< (a (z)) |
для |
|||||||||||||
всех |
z £ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Здесь |
черта |
над символами |
|
означает комплексное сопряжение.) |
|
|||||||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Пусть z 6 £> |
и |
L = Zz + |
Z. Пусть |
\ — изо |
||||||||||||||||||
морфизм тора C/L на эллиптическую |
кривую |
Е^%. |
Тогда |
можно |
||||||||||||||||||||
определить |
изоморфизм |
из |
C/L в Е |
равенством |
|' (и) = £ (и.). Поло |
|||||||||||||||||||
жим |
б - |
0 |
|
Г |
Тогда |
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
, |
|
6(z) = |
— |
И |
Ь = Ъ -;-Zz. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( 1 ) |
|
|
|
|
7(F) = 7 ( Я ) = |
у (Ё) = |
у ( l / i ) = |
/ |
(б(i)). |
|
|
|
|
|
||||||||||
Для каждого |
а 6 Q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
£ |
U 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
так что, согласно лемме 6 . 4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(2) |
|
fa |
(б (I)) = |
^ |
(|' |
(a [ |
1 ]) ) |
= |
hE |
(б (ав [ * ] ) ) = |
|
} а 6 |
(z). |
|
||||||||||
Так как бо 6 U, из формулы (1) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Г$о) (Z) = ; ( 2 ) |
|
= / ( 6 ( z ) ) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а в силу (2) это означает, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Л'(во) (z) |
= |
/i(6(z)) |
|
для |
всех |
h £ %• |
|
|
|
|
|
||||||||
Если a и a 0 |
те же;е, что в формулировке теоремы, |
то аб 1 |
6 Gq+; зна |
|||||||||||||||||||||
чит, |
полагая |
/У = |
7ih - (~ '>) = |
|
h о а б |
- |
, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x( Ta6 a 1 |
|
|
|
|
|
- 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/г^«хо) ( z ) |
= |
/jT(a6-i)x(6o) |
( z ) |
= |
fe'T(60) ( Z ) |
= |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
/г' |
( б ( г ) ) = / г ( с ф ) ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
что доказывает утверждение (i). Утверждение (ii) следует непосред
ственно из (i) и ( 6 . 7 . 6 ) .
СЛЕДСТВИЕ 6 . 3 9 . Пусть |
К — мнимое квадратичное поле, q — нор |
мализованное погружение |
поля К в алгебру M 2 (Q) и z — неподвижная |
|
|
|
§ G.9. ДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТА ГРУППЫ G( |
|
|
|
|
207 |
|||||||||||||||
точка группы q(Kx) |
|
на полуплоскости |
<д. Пусть |
9} — |
нормализатор |
||||||||||||||||||
группы |
q{K") |
в группе |
GQ. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(1) |
[3h q{IC)\ |
= |
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( 2 ) |
det(a) < |
0 |
к |
cc(z) |
= |
|
z |
для |
каждого |
а 6 31 — |
|
|
|
|
|
|
|||||||
(3) |
h(z) = |
/гх<ао) (z) |
для |
каждого |
h е Й' u |
каждого |
а 6 31 — |
|
q(Kx). |
||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
В |
соответствии с рассуждениями |
|
§ 4 . 4 |
|||||||||||||||||||
существует |
такой |
элемент |
|
р |
группы GQ, ЧТО det(P) <с 0 , |
P(z) = |
z |
||||||||||||||||
и q(a) |
= |
Р"х ?(а)Р |
для всех а 6 J5T. Тогда р 6 Зс — q{Kx). |
Пусть а |
6 ft- |
||||||||||||||||||
Так как a~kq(K)a |
= |
|
|
|
можно |
определить автоморфизм |
а |
поля |
|||||||||||||||
К равенством q(aa) = a~1q(a)a |
|
для |
всех |
а е К. |
Если |
а = |
i d , |
то |
|||||||||||||||
элемент а должен содержаться в группе q(K), потому что q{K) |
совпа |
||||||||||||||||||||||
дает со своим коммутатором |
в |
M 2 ( Q ) . |
Поэтому, |
еслп |
а (f q(K), |
то |
|||||||||||||||||
аа — а для |
всех |
а е К, так |
что |
a^~1q(a) |
= |
дг(а)аР- 1 для всех |
а 6 Я . |
||||||||||||||||
Тогда |
а р - 1 |
£ |
|
|
|
Поэтому |
91 = |
q{K*) |
(J ?(^Х )Р; |
следовательно, |
|||||||||||||
доказаны |
утверждения |
(1) |
|
и |
( 2 ) . Последнее утверждение |
следует |
|||||||||||||||||
из утверждения |
(i) теоремы |
|
6 . 3 8 |
и из ( 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ЗАМЕЧАНИЕ 6 . 4 0 . |
Так как группа G_JQXG«, |
естественно изоморфна |
|||||||||||||||||||||
группе |
G,.i+/Q*Gco+, |
можно |
|
определить такой гомоморфизм т' груп |
|||||||||||||||||||
пы G..i |
в |
группу |
Aut(g) |
с |
|
ядром |
Q*G«., |
что т = |
т' |
на |
G A + . |
Однако |
такое продолжение отображения т не сохраняет одного из а основ
ных свойств ( 6 . 6 . 2 ) . Чтобы |
в этом |
убедиться, возьмем |
и а 0 , как |
в теореме 6.38, и положим |
а — а0а^. |
В соответствии с |
утвержде |
нием (i) теоремы 6.38 преобразование т(а0 ) совпадает с комплексным сопряжением на Q a b . Так как a(a) = i d , то
a(a») = |
a ( a 0 ) _ 1 = |
т ( а 0 ) - 1 = |
комплексное сопряженпе (на Qa b)- |
|
С |
другой |
стороны, |
т'(сбсо) = |
i d согласно нашему определению, так |
что |
т'(схоо) ф ст(а<») |
на Qa {,. |
|
|
|
Поэтому для рассмотрения группы GA В целом необходимо (и это |
вполне естественно) рассмотреть больше функций, чем их содержится
в поле %. Сделать это можно так. Пусть <§- |
обозначает нижнюю ком |
||||||
плексную |
полуплоскость, т. е. |
|
|
||||
|
|
|
<§- = |
{z 6 |
С | Im(z) < |
0 } . |
|
Для |
каждой комплексиозпачной функции /, определенной или на ,<g, |
||||||
или |
на |
зададим /* |
равенством /*(z) = |
/(z). Положим |
|||
|
|
Г = |
{/* |
i / e g } , |
|
||
|
|
= |
% © |
%* |
= |
{(/. g)\fe%, |
ge%*}- |
Тогда ?у* — поле мероморфиых на <Q~ функций, а ffi можно рас сматривать как кольцо функций, мероморфиых на <Q [) ft*. Пусть Aut(3t) обозначает группу всех автоморфизмов кольца 9?. Опреде лим отображение
X: G A - > A u t (Ш)
20S |
|
ГЛ. |
6. МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ ВЫСШЕГО |
УРОВНЯ |
|||||||||
равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(/, |
/г*)М*> = |
(/«*), |
|
|
( X е |
|
/ 6 |
д., |
/г |
е |
g.), |
|
|
(/, |
ft*)M*) |
= |
( № > , |
(/«*»>)*) |
(а: 6 |
- |
GA+, |
|
/ |
6 g , h 6 Й). |
||
Тогда легко |
проверить, |
что |
А — гомоморфизм |
и |
|
||||||||
( 6 . 9 |
. 1 ) |
|
|
Кег(л-) |
= |
Q*<?»+, |
|
|
|
|
|
||
( 6 . 9 |
. 2 ) |
|
(я, |
о)М«) = |
а«*>, |
а<*0) |
(я € £ ь а 6 |
|
Qab), |
||||
( 6 . 9 . 3 ) |
|
|
г««> = |
г о а |
|
(г 6 |
Ш, а |
6 |
GQ). |
|
|
|
Последняя формула следует из формулы ( 6 . 6 . 1 ) и утверждения (i) теоремы 6 . 3 8 . Если определить вложение i : ->- 9? равенством *(/) = (/, / * ) , то
( 6 . 9 . 4 ) |
i(f^) |
= |
ие%, |
хеGA*). |
Далее, прямыми рассуждениями можно показать, что
( 6 . 9 . 5 ) K{GA) — коммутатор группы K(GJ) в группе Aut(SR).
ЗАМЕЧАНИЕ 6 . 4 1 . Пусть К, q, z и У1 те же, что в следствии 6 . 3 9 . Очевидно, поле Каь является расширением Галуа поля Q и группа Gal(7i'a b /Q) неабелева; группа Gal(Kab/K) является подгруппой индекса 2 в ней. Положим
|
Ш = q(KAm |
= q(K*A) U g( £ i)P , |
|
|||
где Р — |
некоторый элемент |
из У1 — |
q(K"). |
Тогда можно |
определить |
|
отображение |
р: |
G a l ( / I a b / Q ) |
|
|||
|
|
|
||||
равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
р(Ф)) |
= |
К] для s £ |
КА, |
|
|
|
р(Р) = |
комплексное |
сопряжение, |
|
||
|
р(агР) = р(аг)р(Р) для |
а: 6 (К-Кл). |
|
|||
Согласно |
утверждению |
(i) |
теоремы |
6 . 3 |
1 , утверждению |
(3) след |
ствия 6 . 3 9 и формулам |
( 6 . 9 . 3 ) и |
( 6 . 9 . 4 ) , |
для некоторой фиксирован |
ной точки z |
|
|
|
r(z)Pto) |
= rM0(z ) |
(г 6 |
у£Ш). |
Отсюда следует, что р — гомоморфизм. |
Таким образом, мы получили |
|||||
коммутативную |
диаграмму |
с точными |
строками |
|
||
1 |
— |
q (Кй) |
> Ш —> |
Ш/q {КА) - Ь 1 |
|
|
|
|
\ |
1Р |
|
\ |
|
1 |
— |
Gal (Я о Ь /Я) - > Gal (/Ta b /Q) - > Gal (ff/Q) |
1 |
Г Л А В А 7
ДЗЕТА-ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ I I АБЕЛЕВЫХ МНОГООБРАЗИИ
§ 7.1. |
Определение дзета-функций алгебраических кривых |
и абелевых многообразий; цель настоящей главы |
|
Пусть |
V — проективная неособая кривая рода g, определенная |
над полем алгебраических чисел к конечной степени. Для каждого
простого |
идеала р поля |
к обозначим через p(V) |
кривую, |
получен |
|||||||||
ную |
из |
V редукцией по модулю |
р. Существует конечное множество |
||||||||||
23 простых |
идеалов поля к, обладающее следующим свойством: кри |
||||||||||||
вая |
p ( F ) — пеособая |
(и |
кратности один), если р (J ЯЗ. Можно |
пока |
|||||||||
зать, что |
род кривой |
p(F) для таких р равен g (Шимура и Танияма |
|||||||||||
[ 1 , |
§ 10.4, |
предложение |
И]) . Дзета-функция Z(u; р(7)) кривой |
||||||||||
p{V) |
над полем вычетов |
х Р |
идеала р имеет вид |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Z(u; \>{V)) = |
Ff{u)/[(1 |
- |
u)(l - |
N(p)u)). |
|
|
||||
Здесь и — переменная, |
Ar(p) — число |
элементов |
поля к Р |
и |
— |
||||||||
многочлен |
степени 2g, |
свободный член которого равен 1. |
Дзета- |
||||||||||
функция |
кривой V над полем к (формально) определяется |
как бесконеч |
|||||||||||
ное |
произведение г ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Us; |
VIк) = |
П |
|
FP(N(p)-T\ |
|
|
|
|||
где s — комплексная |
переменная. |
В действительности |
можно |
анало |
гичным образом определить дзета-функцию (дзета-функции) произ вольного (проективного иеособого) алгебраического многообразия над к. Однако здесь мы будем рассматривать лишь дзета-фуикцип кривых и абелевых многообразий.
Для определения дзета-функции абелева многообразия А, задан ного над к, заметим сначала, что существует такое конечное множе
ство |
ЗУ простых идеалов поля к, что |
для каждого р (J ЯЗ' многооб |
разие |
А обладает хорошей редукцией |
по модулю р в смысле Серра |
и Тейта [1], или, что эквивалентно, многообразие А не пмеет дефекта в р в смысле Шпмуры и Таниямы [ 1 , § 11]. Пусть р(Л) — абелево многообразие, полученное из А редукцией по модулю р, яр — эндо морфизм Фробеипуса на р(А) степени iV(p) и Д , - некоторое Z-адиче- ское представление кольца End(p(^l)), где I — простое рациональное число, взаимно простое с идеалом р. Тогда одномерная часть дзета-
функции |
многообразия р(А) |
над полем хр задается равенством |
||
|
|
|
F'v(u) = |
d e t t l — Д-(яр) и]. |
|
*) |
Х о т я мы п пренебрегаем |
в рассуждениях «плохими» простыми идеалами |
|
р, |
па |
деле |
оказывается важным рассматривать и для них эйлеровы множители; |
|
см. |
§ |
7.9, |
В. |
|
14—01118