книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

форм иа Е

одномерно над С. Пусть

О Ф

со 6 3)(Е). Для

каждого

а 6 Encl(Z?)

справедливо включение

со°а

6 £Р(Е), так что

со о а =

ствлена с комплексным

тором C/L,

где L — некоторая

решетка

в С, и если и обозначает

переменную

на поле С, то со =

c-du при

ражению

и и-*- (.ш,

как

в

§

4.4,

то

cooa = c-d(\.m) =

c\x.-du =

=

u-co,

так

что

ц. = ц„. Таким образом, можно

выбрать

изомор­

физм 0 поля

К

из

EndQ (Е),

который

полностью

характеризуется

условием

(5.1.1)

© о 6(H)

=

|i(o,

ц

6 Я , 8((i) 6

End( £ ) .

Заметим, что это условие не зависит

от выбора со. Назовем пару

(Е,

0) (или просто

изоморфизм 0)

нормализованной

(нормализован­

мализованная пара при том же поле

К,

то

каждая изогения X

кривой Е в кривую Е' удовлетворяет равенству

(5.1.2)

ь е ( ц ) =

Q'(\.i)°x,

u. е

к.

Действительно,

еслн

со

(соответственно

со') — дифференциальная

форма иа Е (соответственно на Е'),

такая же, как

рассматривалась

выше, то со' о X — Ь(£> прп некоторой константе Ь, так что

со' оХо 0(ц.) =

=

Ьц.со =

со' о 0'(|х) °Х, п, следовательно, справедливо (5.1.2). В

ка­

честве

другого

приложения

этой

идеи приведем

доказательство

следующего

утверждения:

(5.1.3)

если

кривая

Е

определена

над полем

к,

то каждый

элемент

кольца

End(£')

рационален

над

кК.

Чтобы это показать, заметим, что

можно

выбрать

форму

со,

рациональную над к. Пусть a £ Aut(C/kK),

u. £ К,

Q(\i £

End(£').

Так

как

Е,

со

и

ц. инвариантны

относительно

а,

то

сйо0([д,)°

=

=

(соо0(ц.))°

=

(JXCO)0 =

(хсо == соо0(|д.)

(см.

дополнение,

п. 8),

так

что 0(j-i)CT

=

0(j.i).

Отсюда

следует, что

элемент

0(f.i)

рационален

над

кК.

Пусть

(Е,

0) и К

означают то же,

что выше, и пусть" кривая Е

теперь

определена

уравнением

г/2

• 4а;3 — с2х

—

с 3

при

с 2

и

с 3

из

поля

алгебраических

чисел

к конечной

степени,

содержащего

К.

(В силу

теоремы

4.14 в

заданном

классе

кривых

Возьмем в к простой

идеал р, взаимно

простой с числами 2 и

3,

для которого кривая

Е имеет хорошую

редукцию по модулю р

х ) .

§

5.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ

РАССМОТРЕНИЯ

151

Под этим мы подразумеваем, что с 2 и с 3 являются

р-целыми

числа­

ми,

а с\ — 21с\ является р-адической

единицей.

По

определению

кривая

Е по модулю

р — это

эллиптическая

кривая

г/2 - Ах3

— сгх — с3 ,.

где знак ~ указывает переход к классам вычетов по

модулю

р.

Будем обозначать

эту кривую через р (Е) или

через Е,

если идеал

р

фиксирован.

Очевидно,

что j

(Е)

— класс

вычетов

числа /

(Е)

по модулю р. Для произвольной точки t кривой

Е,

рациональной

над

к,

можно

естественным

образом определить

точку

р (t) =

—

t

=

(t mod (p))

на

E.

Можно

показать, что

t *• р (t)

— гомо­

морфизм. Более

того,

(5.1.4)

если р (t)

=

0

и

Nt

=

0

при

некотором

целом

N,

взаимно

простом

с р, т о

£ =

0.

Элементарное

доказательство

приведено

в статье

Лготца

[1].

См. также Шимура и Танияма

[ 1 , § 11, предложение 13], где соот­

лю

р. Пусть X — произвольный

элемент

из

Hom(i?,

Е'), рацио­

нальный над к. Тогда можно естественным

образом определить X

=

=

${Х)

как элемент из H o m ( £ ' ,

Е).

Можно

показать,

что X н-*•

«—»• р (X)

задает

инъективный

гомоморфизм

из

Нош(2?',

Е)

в Н о т ( £ " , Ё) и

deg(l.) = deg(A,) (см.

Шимура и Танияма

[ 1 , § 11.1,

стр. 94, предложение 12]). В частности, если Е =

Е',

то

мы полу­

кольца Q{K) в E n d Q (Е) равен

в(К).

Если

со =

dxly,

то можно естественным

образом

определить

р(со) =

со

как

дифференциальную

форму

на

Е,

отличную

от 0.

Если с

— некоторое

})-целое число, то

положим

р(ссо)

=

ссо.

Можно

проверить, что формула 'р(соо^) = соо^

верпа для

каж­

дого % £ Hom( £ ", Е),

рационального

над к.

(См. Шимура

и Тания-

ма [ 1 , §

10.4].)

§ 5.2. Теория полей классов на языке

аделей

Прежде

чем изучать дальнейшие свойства

объекта

(Е,

0),

ческих

чисел и некоторые

фундаментальные

положения

теории

полей классов *).

Для произвольного поля алгебраических чисел К обозначим

через

К л

группу

иделей

поля

К,

через

А£,

архимедову часть

группы КА

И через

A ' i - i - связную компоненту единичного

элемента

группы

А'£, . Далее,

обозначим

через

КАЬ

максимальное

абелево

(5.2.1)

1->- КЧС^-*

КА

G a l ( A a b / A ) - > 1,

где

K*KZo+

— замыкание

группы

К*К%а+ 2 ) .

Будем

обозначать

через [s, К] элемент группы

G a l ( A a b / A ) , соответствующий

элемен-

ту s группы

КА- Для

произвольного

элемента х группы К А И ДЛЯ

конечной

простой

точки

р

поля

А"

через

х^

будем

обозначать

р-компоыеиту элемента х. В этих обозначениях

можно

определить

дробный

идеал

il(x)

поля

К

равенством

il(a:)p = х^о^ для всех

р,

где

Ор — максимальное

компактное

подкольцо

пополнения

А р

поля К в точке р.

Положим

£/(1)

=

{а: 6 КЛ

| д:р

€ Ор

для

всех

простых

дивизоров

р поля

К}

и для каждого целого идеала с в А

W(c)

=

{х

£ КЛ

I #р — 1 6 С0р для всех

р,

делящих

с},

(7(c)

=

(7(1)

П

W (с).

Так

как

A* (7(c) — открытая

подгруппа в КЛ,

содержащая

К"А£,+,

то существует конечное абелево расширение Fc

поля К,

характе­

ризуемое

равенством

Fc

=

{а

£ КАЬ

| at*.

=

а

для

всех

s 6

U(c)}.

J )

В этой связп мы отсылаем

читателя

к

книгам

Касселса

и

Фрёлпха

[1}

и А .

Вепля [10] . В основном мы

используем

здесь обозначения

последней.

2 )

Легко проверить,

что

если

К — либо

Q,

либо

мппмое

квадратичное-

§ 5.2. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ НА ЯЗЫКЕ АДЕЛЕЙ

153

совпадает

с

символом

Артииа

I FcIK

\

частности,

если

ы а

q — простой

идеал

в поле К,

взаимно простой с с, а и^ — простой

элемент

кольца Oq

и

up = 1

для

всех

р Ф

q,

то

элемент

[и, К]

индуцирует

элемент Фробениуса группы

G a l ( F c / A )

для q.

Пусть

а — произвольная

Z-решетка

в

К,

не обязательно

стого

числа р

положим

Кр

=

A

® Q Q p

И а р =

a (g)z

Z p . Тогда

ар

будет Zp-решеткой в Кр.

Для каждого х

£ КЛ

можно

говорить

о

/^-компоненте хр

пделя х,

принадлежащей

Кр , так как Кл

=

=

К

® Q Л 1 ) .

Заметим,

что

храр является

Zp-решеткой в

Кр.

Согласно хорошо известному принципу, существует такая Z-решет­

ка Ь в К, что bp =

храр

для всех р. Будем обозначать Ь просто

через

ха.

Другими

словами,

ха — это

единственная

Z-решетка

в

К,

характеризуемая

свойством

(хар)

= храр

для всех

р.

Можно

теперь

связать

с

х

некоторый

изоморфизм

из

К/ а

на К/ха. Для этого заметим

сначала, что группа К/а канониче­

ски изоморфна прямой сумме групп Кр/ар

по всем р.

(Действи­

тельно, Q/Z — прямая

сумма групп Qj,/Zp

по всем р,

а группа К/а

изоморфиа группе

QVZ2 .) Вместе с тем умножение на хр

определяет

некоторый

изоморфизм

группы

Кр/ар на

группу Kvlxvap.

Ком­

бинируя эти изоморфизмы друг с другом

по всем р, мы получаем

некоторый изоморфизм из К/а на

К/ха.

Будем обозначать

через

xw

образ

элемента w группы

К/а при этом изоморфизме. Описан­

,, 0 0N

Кр/аР — ^

Kp/Xjflp

К/а

> К/ха

где

вертикальные стрелки — канонические вложения.

Другими

словами, если и 6 К,

то

мы берем

такой элемент v из К,

что

v =

== хри mod храр

для

всех р,

и полагаем

х-(и

mod a) =

v mod ха

Этот

элемент мы

будем

также

обозначать через хи mod ха.

Хотя

оправдать,

потому что р-компонента элемента х°(и mod а) в груп­

пе Кр/храр

— это как

раз

хри mod храр.

Следует напомнить,

что

речь

идет

о локализации

относительно

простых рациональных

чи-

J )

Символ А обозначает кольцо аделей поля Q. Через К А обозначается коль ­

цо аделей поля К.— Прим.

перев.

сел.

Однако если

а — дробный идеал, то группа К/а канонически

изоморфна прямой

сумме модулей

К^/а? по всем простым

идеа­

лам

р в поле К.

Поэтому можно

определить указанный

выше

гомоморфизм

из К/а в К/ха с помощью коммутативной диаграммы,

аналогичной

(5.2.2), с простыми идеалами р вместо простых

чисел р.

ТЕОРЕМА 5 Л1).

Пусть

К, {Е, 0),

а и £ те же,

что выше.

Пусть

о" — автоморфизм

поля С над полем К и s — такой элемент

из Кл,

что

а — [s,

К] на КаЬ.

Тогда

существует

такой

изоморфизм

Еа,

что

t(u)° =

E'(s- 1 u) для

каждого и 6 К/а,

т. е.

диаграмма

К/а

Е

s " I

— ->

! 0

коммутативна.

K/s-Ч

Еа

Очевидно, |' определяется этим свойством однозначно, если

только фиксировано £.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В

приведенной формулировке не пред­

се изоморфизма эллиптических

кривых.

Сведем

доказательство

к случаю End(i?) =

9(о я ) при

макси­

мальном

порядке Ок поля

К.

Возьмем

произвольный

дробный

г ) Первоначально (на лекциях в Принстоиском университете) эта теорема

формулировалась в терминах конечного числа

точек на

Е, как

это

сделано

в работе автора [12, теорема 4 .3]. Данная формулировка для всех точек

кривой

Е предложена А . Робертом.

§

5.3. ОСНОВНАЯ

ТЕОРЕМА

155

идеал

Ь в

К, содержащийся

в

а,

и

пусть

Et — эллиптическая

кривая

с

некоторым изоморфизмом

^ : C/b-»-

E i . Пусть X: Еу->-

->- Е — изогеиия, для

которой

диаграмма

С

> С/о —

E i

К/Ъ

E i

K/s-Ч

—-^Е°

Далее,

Кег(Я)

= £,(а/Ь), так

что

Ker(a/»)

= Кег(л)а =

^(а/Ь)1 7 =

=

^'(s^a/s^b).

Поскольку

S _ 1 D с

s_ 1 a,

можно

найти

эллипти­

ческую кривую Е' и изогению X' кривой Е\ в кривую Е',

для кото­

рых диаграмма

С

> C/s~lb —

i

d

l

>

I

г,

J * '

С

С/в-Ч—^Е'

коммутативна.

Тогда

Кег(А/) =

^[(s^a/s'H)

=

Ker(A,°).

Поэтому

можно

найти

изоморфизм

е

кривой Е'

в

Еа,

удовлетворяющий

равенству гоХ' = Ха. Полагая \' =

Е°Т], МЫ получаем

коммута­

тивную

диаграмму

С

> С/в-Ч

— -

i

* E l

"

I

\

v

№

С

> C/s^a

— E

°

Наконец,

для

произвольного

и g К

имеем

l(u

mod a)CT =

№ {Ъ±(и mod bf)

=

=

ХсЦ'^и

mod s-Ч))

=

« mod a),

что

доказывает

наше

утверждение

для

Е.

Итак, можно считать,

что

a — дробный

идеал в i f

и 0(оя) =

=

End(E).

Кроме того,

как

было

замечено в начале

доказатель­

дого ji возьмем эллиптическую кривую

Et, для которой ](Е,) =

j t

и поле определения которой совпадает с

QC/г) (см. § 4.1). Положим

Е = E i и возьмем произвольное положительное целое число т >

2,

Определим

абелево

расширение

Fm

поля К,

как в § 5.2,

заме­

нив с

на

ток.

Можно

найти такое

конечное

расширение

Галуа

L поля

К,

что

Fm

a

L , j

u

. . .,

j h

£ L и каждая точка порядка

т

на Е рациональна над L . Далее,

для

данного

автоморфизма

а

поля С над К

возьмем такой простой идеал ь $ в L , чтобы выполня­

лись следующие

условия:

(i) ограничение

автоморфизма

а на L

является

элементом

Фро-

бениуса

группы

Gal(L/K)

относительно

(И)

если р

=

^

П К,

то норма

N (р)

является

простым

рацио­

нальным

числом

и

идеал

р

неразветвлен

в

поле L ;

( i i i )

идеал

5$

не делит

6 т ;

(iv)

кривые

Ei

имеют

хорошую

редукцию

по

модулю

5)5

для

каждого

т

£

Gal(L/K);

(v)

классы

вычетов

чисел y'j, .

. ., j h по модулю

5$ попарно

раз­

личны.

Существование такого идеала s $

гарантируется

теоремой

Чебо­

тарева о плотности. Заметим, что

условия

( i i i ) — (v)

исключают

лишь конечное число простых идеалов.

Положим

р =

iV(p) .

Фактор

С/р- 1 а

изоморфен

кривой

Et

морфизм

1] из

С/р- 1 а в

Ei

и

возьмем

целый

идеал

j

поля

К,

взаимно

простой

с р

и

такой,

что

£р

= аок

при

а

6 ол -.

Так

как а с : р - 1 а

и

a p _ 1

a c z a ,

мы

получаем

коммутативную

диа­

грамму

(*)

с

изогениями

X и ц.

Очевидно,

\i<> \ = 0(a). Согласно

предложе­

нию 5.3, изогении X и ц. определены

над

некоторым

конечным

алгебраическим расширением L ' поля L .

Возьмем какой-нибудь простой идеал q в L ' , на который делит­

ся 5$, и рассмотрим

редукцию

по модулю q. Будем отмечать

редуцированные

объекты

знаком

-

(см. § 5.1). Пусть

со — голо­

морфная дифференциальная форма на Е,

рациональная над L , для

которой

со Ф 0

(см.

§

5.1.).

Тогда

со о

^

1 =

q(co

о 0(a)) =

=

q(aco) = aco

=

0,

так

как

a

£ q.

Следовательно,

изогения

р, о X в соответствии с предложением

5.1

иесепарабельна. Диаграм­

ма

(*)

показывает, что

Ker (ц.) =

r)(a - 1 a/p _ 1 a )

= rj (£~1 p~1 a/p-1 a),

и

порядок этой

подгруппы

равен

/ V ( E ) . Так как идеал £ взаимно

§ 5.3.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

157

прост с

р,

это

означает,

что изогения \х сепарабельна;

следова­

тельно, изогения X должна быть несепарабельной.

Так

как

группа

Ker (X) = £ ( р_ 1 а/а) имеет

порядок N (р) = р,

то

deg(/V) =

— &eg(X)

=

р,

и изогения

X чисто

несепарабельиа.

Обозначим через ср автоморфизм возведения в р-ю

степень

уни­

ния

в р-ю

степень

кривой

Е в кривую # ф . Согласно предложе­

нию

5.2,

существует

такой изоморфизм е кривой Et в кривую Ev,

что

еоХ

=

я. В частности, Et

и Е^ имеют один и тот же инвариант.

Поэтому ii

=

j p

— 5$ (]'а)

в силу

условия

(i).

Таким

образом,

и

j

t ,

и

;'ст

принадлежат

множеству

{ / j , . . .

. . ., /д}. Согласно

(v), ji

=

j a ,

так

что

Et

и Еа изоморфны. Сле­

довательно, в диаграмме

(*)

можно

заменить Е, на Еа

и повто­

рить предыдущие

рассуждения

(возможно, заменяя L ' и q). Так

как $ ( £ а )

=

Е®,

то

отображения Я, и я являются изогениями кри­

вой Е

в кривую

Ev,

а потому

8 — автоморфизм кривой

Е®. Так

как

сг = i d на К,

то

для

каждого

а £ Оя справедливы равенства

CU°o

в (а)0

=

(со о

Q(a))a

=

(асо)с т

= асо0 , так что пара

(Я",

8а )

нормализована в смысле § 5.1.

Поэтому в силу (5.1.2) Х° 0(a)

=

=

0a (a) о X,

так

что X ° 0(a)

=

0(а)ф

° X для

всех a £

о к .

Итак, изогения я обладает тем же

свойством я о 0(a) =

0(а)ф о я

(см. дополнение,

(7.1)),

и,

следовательно,

е о 0(а)ф =

0(а)ф о е

для

всех

а £ Од-. Согласно

(5.1.5),

е =

0(7)ф

при

некотором

у из

Оя,

а

так

как

е — автоморфизм,

то

элемент

у

должен быть

обратим

в Ок.

Положим х =

0 (у)а

о X,

|*

=

0 (у)а

о г|. Тогда

и — некото­

рая

изогения

кривой

Е в Еа

и х

=

я. Заменяя теперь А,, т] на х,

Эта диаграмма

коммутативна.

Пусть

t — такой элемент группы точек кривой

Е, что mt — 0.

Тогда $Р (£a ) =

nt = (х). Так

как числа т и р

взаимно

просты,

то

ta

=

%t в силу

(5.1.4).

Для

и. £ m _ 1 a

положим

Ui =

u mod a

и

и 2

=

и mod

p _ 1 a .

Тогда

\ [щ)а

= х (E(uj))

=

Ъ*{иг). Пусть

с — такой элемент группы Кл,

что с р

— простой

элемент

в поле

К9

и c q

=

1 для

всех

q Ф р.

Тогда

ограничение

автоморфизма

а

на

Fm

равно

Is, К]

= [с, ./£],

так

что

с =

sde

при

некотором

d

£ К*

и

е £ U {ток),

где

(игоя)

имеет

тот

же смысл, что

и

в

§ 5.2

(только

с

заменяется

на ток).

Так

как

р _ 1 а

=

с _ 1 а

=

— d'h^a,

то

диаграмму

(**)

можно

расширить

до коммутатив-

I \

i d i

i

%*

i x

(***)

С

С/р^а —

- * £ о

если подходящим образом выбрать изоморфизм

Тогда для тех

же u, Uj и и2,

что и выше,

£(и])а = l*(u2)

= l'(du mod s_ 1 a).

Имеем ?/ш 6 a,

е £ С/ (то>к)

и d = s- 1 ce_ : l . Пусть q — произволь­

ный простой идеал в К. Если q

р, то cq = 1

так что

du = s^e^u == s"1^ mod s^a^;

если же q = p,

то

w 6 a p ,

так что

du =

s-Jc^u

6 s^CpOp = s;1 (pa)p .

du mod s_ 1 a =

s - 1 u mod s - 1 a .

Поэтому для каждого u £ "&"a

£(u mod a) a

=

\'(s~xu

mod s - 1 a ) .

Возьмем теперь вместо числа т его произвольное кратное л;

тогда получится некоторый изоморфизм £" фактора C/s- 1 a

в кри­

вую

Еа,

для которого

|(у)а =

5" ( S ~ M

П Р И

любом

v б >г_ 1 а/а.

Так

как

|" о g' - 1 _ автоморфизм

кривой Z?a, то £" =

0С Т (£) ° £'

при

некоторой

единице

£ кольца

О д ,

удовлетворяющей

включе­

нию £ а с= а. Но тогда для любого у £ m._ 1 a/a

КСУ )"

= е ш ^ н * ) = е ш ^ Г ^ ) )

= Г (s"ly) = £(y)a-

так что £i> = г; для каждого

У 6 т^а/а.

Отсюда следует, что £

= 1 mod m o K . Так как

т > 2 (это предполагалось

выше), то

| = 1 и ^ = 1 и потому

£' =

|". Отсюда К У ) 3

= £'(s_ 1 y)

для каж­

дого

у б ?г- 1 а/а

при любом

кратном

я числа

/п. Таким

образом,

отображение

обладает

требуемым

свойством, и доказательство

закончено.

§ 5.4. Построение полей классов над мнимым

квадратичным

полем

Выведем из теоремы 5.4 несколько

классических

результатов

о комплексном умножении, принадлежащих Кронеккеру,

Веберу,

Такаги и Хассе. Обозначим

через

/' (а), где

а — это

Z-решетка

в К,

инвариант

эллиптической

кривой,

изоморфной фактору С/а.

§ 5.4. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ

159

автоморфизма

сг на

поле КАЬ.

Таким

образом,

(5.4.1) / (а) 6

К-аь и

1 (a)[ s ' ж ] =

7 ( s _ 1 a)

для каждой

Ъ-решетки а

в поле К и для всех s £

КА-

рассмотрим кондуктор

с

порядка

о.

Если

а

—

собственный

о-идеал,

то, согласно предложению 4

.11, существует такой элемент

р, из К,

что

рл + со =

о. Пусть

р —

рациональное

простое

число.

Если

р

]

с,

то

о р

= ( 0 я ) р ,

так

что

а р

—

главный

Op-идеал.

Если р

\

с,

то

сор

cz рор,

так

что

ц.ар

+

рор

= о р .

Тогда

Op =

р.ар

+

p(\iap

+ рор)

=

ц.ар +

р2ор.

По индукции

можно показать,

что

и о р =

\iap

+

ртор

для

каж­

таким,

чтобы

ртор

cz

ияр .

Поэтому

\хар — ор.

Таким

образом,

ар — главный

ор -идеал

для

всех

р,

и,

следовательно,

утвержде­

ние (5.4.2)

доказано.

ТЕОРЕМА

5.5.

Пусть

К,

Е,

а и

£

те же,

что

в теореме

5.4,

и hE — функция

на кривой

Е,

определенная

в §

4.5.

Пусть

и —

любой

элемент

из

К/а и

W

=

{s

6 К A

I sa

=

a,

su

=

и].

Предположим,

что

кривая

Е принадлежит

классу

Тогда

поле

К{] Е , hE,

(l(u))

является

подполем

в

Каъ,

соответствующим

подгруппе

KXW

группы

К А -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим,

что

W — открытая

под­

группа

в

К А ,

содержащая К^.

Пусть F

обозначает подполе в

КАЬ,

соответствующее

группе

K*W,

и

а £ A u t ( C / & ) .

Выберем

такой

идель s 6 КЛ,

что

ст =

[s,

К] на КАЬ,

и изоморфизм

как

в тео­

реме 5.4. Положим t =

£(u).

(I)

Предположим, что

а — тождественное

отображение

на F.

Тогда

можно

выбрать

в W такой элемент s,

что sa =

а. Следова­

тельно, кривая Е° изоморфна кривой Е, так

что

/в =

j Е .

Далее,

можно найти такой изоморфизм е из Еа

в Е,

что

eo £ ' =

|. В

силу

(4.5.4)

hE(sf)

= hEa(ta)

=

hE(t)°.

Так

как

sta

=

e(£)u)f f ) =

= e(£'(s- 1 u))

=

l(u)

=

t,

то

hE(t)

= hlE(t)a.

Это

означает,

что

о — тождественное

отображение на поле КЦЕ,

Kbit))

и,

следова­

тельно,

K(jE,

hE(t))czzF.