книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

для всех u. £ К. (Мы рассматриваем поле К как поле

алгебраических

чисел в смысле пункта 0.4, так что К — подполе поля

С.) Отображе­

ние q мы называем нормализованным, если q(\i)

W

=

р.

для

_ 1 -

всех р £ К. Если g нормализовано, то и отображение q ,

«комплексно

сопряженное» с ним п определяемое равенством g'(u-) =

ff'(n),

нор­

мализовано. Таким образом, нетривиальные неподвижные

точки

группы GQ* на полуплоскости <Q находятся во взаимно

однозначном

которые там рассматривались.

В любом случае нас будут интересо­

вать значения автоморфных функций в этих точках.

Прежде чем обратиться к дальнейшему,

рассмотрим один пример

представления Ч ;

пз

§ 8.2.

Пусть

рг — проектирование группы GQ

в £-й сомножитель группы Goo. Заметим, что отображение pt

инъек-

тивно. Предположим, что g >

1, и пусть Г и Г'

те же, что в предло­

жении 9.3. Тогда

Pi — изоморфизм группы Г

в группу Г'.

Если

£>•

1, то Pi

отображает

Г в пространство Н". Хорошо

известно, что

существует

гомоморфизм / группы Н" на

SO(3)

=

{X

6 GL 3 (R) IгХХ

=

13 },

для

которого Кег(/)

=

{ ± 1 } -

Поэтому отображение

/ о р г о р ^ 1

для

i >

1 переводит

Г'

в

некоторую

компактную

подгруппу

группы

G L 3 ( R ) . Это

дает пример представления ХУ,

рассмотренного

в § 8.2.

Далее, можно получить интересные примеры Г'-модулей D,

удовле­

творяющих

условию

(8.4.3),

пз

модулей,

связанных с

f°Pi°PiX,

построения

таких

модулей.

Отождествим

FA

с некоторой

подгруппой

группы

GA

и

обозна­

чим через

Fc замыкание произведения F"F^+

в

FA.

Легко

прове­

рить,

что

FcGoo+

— замыкание

группы F*Gco+

в GA.

Обозначим

через

% множество

всех открытых подгрупп

S

группы

GA+,

содер­

S/F°Goo+ компактно. Для каждой группы S £ S

положим

(9.2.7)

Г 5

= 5 П

GQ+.

Заметим,

что F* cz Ts.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9.5. Для каждой

группы S

группа

Ts/F* как

группа преобразований полуплоскости

<д является

фуксовой

группой

первого

рода.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

группы Г в

u Ts- соизмеримы

для любых двух элементов S и S'

множества %, достаточно

доказать

§ 9.2. ФУКСОВЫ ГРУППЫ

301

где

о р =

о ® z Z p

и

Т =

R

[\ GA,

S =

Р*Я,

Г л

=

Л f ^ Q * ,

Г г =

Т П GQ. Тогда

5 £ S и

Г 5

=

Р Т Н .

Пусть £

— группа всех единиц в F. Тогда

v{x)

6 £ ,

если х

£ Г д .

Положим

£<2> =

{е2

| е £ £ }

и

Г'

== {у

£ Г л

| v(-y) 6 #<2 >}.

Тогда

число

[Г н

: Г']

конечно,

так

как

конечно

[Е : 2?<2 > ].

Если у 6 Г',

то V(Y) =

е2

при е 6 Е, так что г(е_ 1 у)

= 1 . Так как е £ R,

то элемент

e - 1 Y

содержится в Г т . Этим доказано

включение Г' сг ЕТТ.

Из

опре­

деления групп

Г'

и

Г т

следует,

что

ETTcz

Г',

откуда

Г' =

ЕТТ.

Поэтому

[ Г в

: F T r

] =

IFXTR

: FT]

< [ Г я

: Г']

< со.

Как мы видели выше, согласно предложению 9 . 3 , группа

Г т —

фуксова группа первого рода. Предложение доказано.

Определим гомоморфизм а из GA в группу

Gzd(Fab/F)

равенством

а(х) =

[v(x)~\

F]

(х

6

GA).

(По

поводу

обозначения

[s,

F]

при

s £ FA

см. § 5 . 2 . ) Очевидно,

Fx -v(S)

— открытая

подгруппа

в ~FA

конечного индекса

для

любой

группы 5

6 S.

Согласно

теории полей классов, этой группе соответ­

мы обозначаем его через ks.

В

такой

ситуации справедливы

лем­

мы 6 . 1 6 и 6 . 1 7 . Следует отметить, что лемма

6 . 1 5 остается

справедли­

вой, если заменить в ее формулировке SL2 (^4)

на GA,

что

обеспечи­

вается

аппроксимационной

теоремой

Эйхлера

[ 1 ] и

Кнезера [ 1 ] .

Теперь мы имеем все необходимое для формулировки первой

•основной

теоремы

этого параграфа,

обобщающей результаты

§ 6 . 7

и теорему 6 . 3 1 .

ТЕОРЕМА

9 . 6 . Существует

система

{Vs,

ф в , / Г 8 ( ж )

(5,

Т

£Z;

x£GA+)},

образованная

объектами,

удовлетворяющими

следующим

условиям:

( 1 )

для

каждой

группы

S £ Е пара

(Vs,

cps) представляет

собой

модель

факторпространства

$Q*/TS

в смысле

§ 6 . 7 , где

<Q* —

полу­

плоскость

<Q или

объединение

SQ I) Q U {СО} в зависимости от того,

является

алгебра

В

алгеброй

с

делением или

нет;

(2)

кривая

Vs

определена

над

ks;

( 3 )

отображение

JTs(x),

определенное

тогда

и только тогда,

когда

xSx'1

а

Т,

является морфизмом

кривой

Vs

на кривую

Vpx\

рацио­

нальным

над

ks

и

таким,

что

(За)

JTs(x)

— тождественное

отображение,

если х 6

S,

( 3 6 )

JTS(x)°(v)°JsR(y)

=

J T

R M

,

302

ГЛ. 9. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ ГРУППЫ

(Зв) J T s i a )

Ws(z)}

= Фг(а (2 ))

для каждого

а £ GQ+ и

каждого

z £ <р

(если

а 5 а _ 1 с г Г);

( 4 )

если

К — чисто мнимое

квадратичное расширение

поля F,

q — нормализованный

F-линейный

изоморфизм

поля

К в В и w —

неподвижная

точка

группы

q{Kx) на полуплоскости

<§ (см. предло­

жение

9 . 4 ) , то для каждой

группы

S 6 % точка <ps(w)

рациональна

над Каъ,

кроме

того,

для каждого

и £ КА

сргИ [ и ' Щ

= JTsiqiu)-1)

WsHl,

где Т =

q{u)-xSq(u).

Такая

система единственна в следующем

смысле.

ТЕОРЕМА 9 . 7 . Если

две системы

{VS, cps , JTs(x)}

И {V's,

фя,

J'TS{X)}

фё =

Ps ° <Ps>

J'TS{X)

° Ps = PfX)

°JTS(X)

при всех S, T из % и всех таких х £ GA+, что xSx^a

Т.

Легко

сформулировать обобщение

предложения

6 . 3 3 ; мы остав­

ляем это читателю в качестве

упражнения.

Далее,

чтобы

обобщить

теорему

6 . 2 3 , введем

в рассмотрение

множества

%s=

if-4>s\feks(Vs)},

% = U %s-

Кроме

того, /cs = Fab

Л %s и

^аь = С П

Для

каждого х £ GA+ можно

определить

автоморфизм х(х) поля

% над полем F равенством

( 9 . 2 . 8 )

(/ о Ф т

) « * >

=

f*

°

JTS(X)

О Ф

В

(/ е

ЫУт),

s

=

х-гтх).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9 . 8 . Символ х(х) обладает

следующими

свойствами:

(i) х(ху) =

х(х)х(у),

т. е.

х

определяет

гомоморфизм

группы

GA+

в группу

Aul(%/F);

(ii)

х{х) =

а(х) на

Fab;

( i i i)

/гт<а> (z) = h(d(z))

для каждого

h £

каждого

ос £ (?Q+

и

каждого z £ |3-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Свойство

(ii) вытекает прямо

из опре­

деления ( 9 . 2 . 8 ) ; (i) следует

из равенства

( 3 6 ) теоремы

9 . 6 ; (iii) —

из равенства (Зв) теоремы 9 . 6 .

Теперь теоремы 6 . 2 3 и 6 . 3 1 можно обобщить следующим

образом.

§ 9.2. ФУКСОВЫ ГРУППЫ

303

1 — > FCGX+^GA*

Л A u t (%IF) -> 1

( 1 ) S =

{х 6 GA+

| h4x)

=

h

для

всех

h е

g s }>]

т - е -

=

= G a l ( g / g s ) .

для

всех

х

S).

(2) г Ь =

{ h 6 2? I

= h

6

ТЕОРЕМА

9 . 1 0 . Пусть

К,

q и w те же,

что

в утверждении

( 4 )

теоремы 9 . 6 . Тогда

для каждой функции

h £

определенной

и конеч­

ной в точке w, значение h(w)

принадлежит

полю

КаЬ

и

h(w)lu-

к ] =

/гт ( 9 ( и ) _ 1 ) (и;)

для каждого

и £ КА.

ТЕОРЕМА

9 . 1 0 следует

непосредственно

из утверждения

(4)

тео­

ремы 9 . 6 .

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

9 . 9 . Тот факт, что /г.т(ж)

=

предположим,

что х(х)

=

i d на

% s . Согласно

свойству (ii) из

пред­

ложения 9 . 8 , х(х) =

i d на ks.

В силу упомянутого выше обобщения

леммы

6 . 1 7 х

=

sa

для некоторых

s £ G и а

£ GQ+. В этой

ситуации

для

каждого

/

£

K s ( V S )

f о cps = (/ о cps )T ( s < x )

= / о / S T ( s a ) о ф г = / о / S T ( a ) о ф г

,

где

Г

=

oc^iSa,

так

что

ф 8 =

/ s r ( a )

о ф г и,

следовательно,

tysi2) =

= cps(cc(z)) для всех z 6

Поэтому a

6 T s , так что х £ S. Этим дока­

зывается

первое

равенство

в

( 1 ) . Из сказанного вытекает,

что

Кег(т) =

П S =

FCG~+.

s=x

Повторяя

теперь доказательство

теоремы 6 . 2 3 , мы получаем

сюръек-

тивность

и непрерывность

отображения

т. Если

В Ф M 2 ( Q ) ,

то мы

можем обойтись без исследования параболических

точек. Равенство

(2) следует из ( 1 ) и

предложения 6 . 1 1 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

9 . 1 1 . (i)

Пусть

Gc

—

замыкание

группы

C7Q+ G00+.

в GA-

Тогда

Gc

=

F°GQ+Ga

=

{х

е

GA*

I v(x)

(E

FC}.

(ii)

Для

каждой

группы

S £ 2

пересечение

Gc f) S

является

замыканием

группы

Г8<?со+ в

GA.

(iii)

x(Gc

П S) =

{a

€ АиЩ/F)

| a =

i d

ка

F a b - g s }

=

=

Gsiffl

Fab-%8).

Для

доказательства

нам нужна

304

ГЛ.

9. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ

ГРУППЫ

ЛЕММА

9.12. Пусть

Е+

— группа

вполне

положительных

единиц

поля F,

Е0

— проекция

группы

Е+

на

неархимедову

часть

группы

FA и Е0

— замыкание

проекции

Е0 в FA

• Для

произвольного

положи­

тельного целого числа п

положим

Ё™ =

{хп

\х£Ё0},

Fcln)

=

{хп | х

е Fc}.

Тогда

F°

= E0FxFxa>+,

Ё0 = Е0Ё<0Ю

и

Fc

=

FXFC™

для

каждого

положительного

целого

числа

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

{Um}m=i

— семейство

компакт­

медовой части группы FA-

Пусть х 6 F°. Тогда для каждого т суще­

ствует

такой элемент

ут

группы

Fx,

что

утХ £ UmFl,+-

Положим

« т =

У?Ут-

При этом ет

£ Е+ и e'ly^x

6 UmFl,+.

Поэтому

пеархи-

медова

часть элемента у~хх принадлежит группе

Е0.

Это

говорит

о том,

что

F° с

E0F*Ft>+-

Так

как обратное включение

очевидно,

первое пз требуемых утверждений получено.

Далее,

так

как

группа {хп

| х 6 Е0}

имеет

конечный

индекс

в Е0,

то [Е0Е™

: Е[п)

] < . оо. Очевидно также, что

группа

Е™

зам­

кнута,

так как она' является образом компактного множества

Е0

при

непрерывном отображении

х t—*- хп.

Поэтому

группа

Е0Е™

легко получается из первых двух.

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р е д л о ж е н и я

9.11. Так

как

F* cz GQ+, ТО F C CZ G C . Сильная аппроксимационная теорема,

упо­

рует включение GA CZ 6?Q+ U ДЛЯ произвольной

открытой

подгруппы

U

группы

G A , так

что

GA CZ G C . Поэтому

FeG^Gl

cz Gc

cz

{x

6 GAB \ v(x)

£

Fc}.

Пусть

x 6 GA+

и

v (x) £ F°.

Согласно

лемме

9.12, v (x)

=

ab2

при

a

£ F*

и b £ Fc.

Очевидно,

элемент а

вполне

положителен. В силу

теоремы о норме в теории простых алгебр

(см., например, А. Вейль

[10,

стр. 206,

предложение

3])

а = v(a)

для

некоторого

а £ В* =

= GQ. Тогда

v(b - 1 a - 1 x)

= 1, так

что

х =

Ьа-(а^Ь^х)

£ F°GQ+G2

;

этим доказано

(i).

Далее, пусть

S £ %.

Для каждой открытой подгруппы U группы

GA+

имеем

GCCZGQ+U.

Поэтому,

если

UczS,

то

Сс П

5 с

cz (GQ+ П S)-U

=

TSU,

так

что

пересечение

Gc

{]

S

содержится

в

Г5 Ссо+. Так

как обратное включение очевидно, мы получаем (ii) .

В

силу

утверждения

(i)

Gc =

{х

6 GA+ I cr(x) =

1}.

Вместе

с

равенством

(1)

теоремы 9.9 это

доказывает ( i i i ) .

ПРИМЕР 9.13. Пусть

т равно

7, 9

или

И , и

пусть

F = Fm

=

=

Q(£ +

С- 1 )

П Р И

£ =

e2ni>m.

Тогда

[F

: Q]

равно

соответственно

306

ГЛ. 9. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ ГРУППЫ

классов поля К,

то существует ровно h точек Wi, . . .,

wh

по

модулю

Гд-эквивалентности, представляющих неподвпжные

точки

группы

q{Kx)

для всех

упомянутых

q, подчиненных включению

q{Qic) cz о.

Из

утверждения

(4) теоремы

9.6 мы получаем, что

точка группы q(Kx)

и

а = ( к(ч№))/к j _ Тогда из теоремы

9.10

или утверждения (4) теоремы 9.6 следует, что

(9.2.11)

<р(ы;)» = ф(а - х (2)) .

Заметим, что утверждения

(9.2.10) и (9.2.11) аналогичны теореме

5.5

{ф(н>1),

• •

ф(и'л)} — полное множество

элементов, сопряженных

с q>(u>i), не

только

над К,

но и над F. Таким образом,

ф — аналог

модулярной

функции

Условие

(9.2.9)

соответствует

условию

/(0

= 1,

j(e2ni/s)

=

0,

Доо) = оо.

Наконец, заметим, что в случае

т =

7 группа Ts/Fx

является

фуксовой группой

с наименьшей

мерой

фундаментальной

области,

о чем говорилось в конце § 2.5.

К

сожалению,

доказательство

теоремы 9.6 слишком

велико

и результаты, на

которые даются

ссылкп

в

тексте.

1. Зафиксируем

универсальную

область

Q,

являющуюся алгеб­

подразумеваем, если нет специальных оговорок, какое-либо

подполе

в Q, пад которым Q имеет бесконечную степень трансцендентности.

Если к — некоторое

поле

и х

= (xlt

. . ., хп) — множество

элемен­

тов пз Q, то через к(х) =

k(xi,

. . .,

хп) обозначается поле,

порож­

денное элементами xL,

. . .,

хп

над к;

это поле также является полем

Рассмотрим

аффинное пространство ЭДП и проективное

простран­

ство

^ п

над Q размерности

п с фиксированной системой

координат.

Пусть

а =

( а ь

. . .,

ап)

и

Ъ =

(Ь ь

. . .,

Ъп) — точки из

% п .

Точку

b называют

специализацией

точки

а

над

полем

к,

если

F(bi, . . .

. . .,

bn) —

0 для любого

многочлена F(Xi,

. . .,

Хп)

с коэффициен­

тами из к, для которого

F(au

. . .,

ап)

=

0. Далее, через

[а-*-

Ь; к]

обозначается кольцо всех элементов вида P(a)/Q(a),

где

Р и Q —

многочлены с коэффициентами из к, причем 0(b)

Ф

0. Для произволь­

ной

точки

х

=

(х0, Xi, . . .,

хп)

пространства

tyn

обозначают

через

ах(х)

точку (xjxx,

xjxx,

• • .,

xjxy)

пространства

s 2 I n + i i если

только

х% Ф

0.

Для

х £ $ п

и

у g '# п

точка

у называется

специализацией

точки х над к, если существует

такой индекс "К, что

хх Ф

0, у%ф 0

и ах(у)

— специализация

точки

ах(х)

над

к.

Более

общо, положим

1 = ф П 1

X . . . X %пг

X 2 I M I

X . . , X S t „ , s ,

ДОПОЛНЕНИЕ

309

и пусть

х

= (я( 1 ) ,

. . .,

xir+S))

и у

=

,

. . .,

/ / r + S ) )

—

точки про­

странства

ЭЕ, где

и г/( |)

—

точки в 2|jni

или в 2 t m i _ r

в зависимости

от того,

i ^

г или

i >

г.

Тогда точка у называется

специализацией

тонких

над

к,

если

у' =

(aX l (j/( 1 >),

. . .,

ax ,.(z/< r ) ),

/ / r + 1 \

. . .,

i / ( r

+ S ) ) —

специализация

точки

х' =

(а^Да;*1'),

• • •, «я,г(^<г>)>

£ ( Г + 1 \

• • •

. . .,

x{T+S))

над к при

некоторых

л.ь

. . .,

Я,г- Положим

[ж->-

у;

к] =

[х'

->-

I / ' ; /с],

поскольку

это

кольцо не

зависит от выбора Ки

. . .,

Кг. Через к(х)

обозначается поле /c(a,4 l (.z( 1 ) ),

• • •> ^ . Д ^ ' 0 ) ,

я ( Г + 1 > ,

• •v l

£ < r + S ) ) -

2. Множество У точек пространства

3!

называется

многообразием

(или

алгебраическим

многообразием),

если

существуют

такое

поле /с

и такая

точка

х на 9?,

что

(i)

У — множество

всех

специализаций

точки х

над

полем

к;

(ii) к(х)

— регулярное

расширение

поля

к.

рилось, то мы пользуемся следующей терминологией:

многообразие

У определено

(или рационально)

над к; поле к называется полем

опре­

деления

(или полем рациональности)

многообразия У;

точка х

назы­

вается

общей

точкой

многообразия

V над

полем

к;

многообразие У

называется геометрическим

местом

точки х

над

полем

к.

Степень

трансцендентности расширения к(х) поля к однозначно

определяется

многообразием У и называется размерностью

многообразия

У. Мно­

гообразие, содержащееся в У, называется подмногообразием

мно­

гообразия У. Точка

на

У

является

нульмерным

подмногообразием

в У, и обратно. Подмногообразие пространства

s 3 n

(соответственно

пространства

называется

аффинным

(соответственно

проектив­

ным) многообразием.

Мы

говорим,

что проективное

многообразие У

определяется

уравнениями

Ft(Xо,

• • •, Хп)

=

0

(i =

1,

. . .,

t),

если

эти многочлены порождают

над кольцом Q [ Z 0 ,

. . .,

Хп]

идеал

всех

многочленов,

обращающихся в нуль на

У.

3. Если заданы два многообразия

У и ТУ, то

можно найти общее

ческим местом точки (х,

у)

над к и, значит, многообразием. Подмно­

гообразие Т в У X W

называется

рациональным

отображением

из У в ТУ, определенным

над к,

если

к(и, v) = к(и),

где (и, v) —

общая точка многообразия

Т над к,

а и — общая точка многообразия

У над к. Мы говорим, что

Т определено

в точке а многообразия

У,

если существует точка Ъ многообразия

ТУ, для которой

(a, b) £ Т,

и

[ у - > •

Ъ; k]<zz [и-*-

а; к].