Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3330 31 32 33 > Следующая >>>

290	ГЛ. 8. ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ

что и требовалось доказать. Мы показали, что элемент v определяет некоторый элемент группы Н\>2 (Г2 , X), не зависящий от выбора множества { а ; } . Поэтому определим {Т^аТ^х K & K отображение, которое сопоставляет класс когомологий элемента v с классом когомологий элемента и.

Впрежних обозначениях пусть х¥ — мультипликативное ото

бражение полугруппы А в группу				G L r ( R ) ,	сопоставляющее группы
Tj	и Г 2	с компактными подгруппами в G L r ( R ) . Определим %(а)				для
а	£ А с помощью формулы (8.2.13) и положим к = п 4- 2. Предпо
ложим, что ЧЧ—1) =			(—1)™, если	— 1 £ А. Мы можем теперь опре
делить		С-лииейиое отображение [Г^Гг]^, т			пространства Sh(Tu	XY)
в пространство Sh(T2,			40, положив
(8.3.4)		/ 1 [ I > r 2 ] f t ,	v = det (a)k~1	j] Ч! (a,1) /	(a, (*)) j (a,, z)
					(fesh(ru	¥)).

Непосредственно проверяется, что правая часть этого равенства

принадлежит пространству Sh(T2,

*¥)

и не

зависит

от

набора

{at};

кроме

того,

(8.3.5)

Ь ( / | [ Г 1 о Г а ] к , т ) =

X(«S)b(/)oo, .

i = i

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

8.5. Диаграмма

•ЫГ . ,4')

[Г|КГ2]Й1 чг

Sh(T2,W)

Ф1

Ф2

я к ( r l f х)

я к (г2, Z ) ,

е которой ф ! и ф 2 — отображения,

определенные в § 8.2,

и X =

Хп,

коммутативна.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть / £ Sh(ru

X F) и g

| [Г^ссГг^лр-

Определим f

и и

с помощью формул (8.2.19) и (8.2.20). Пусть у £

Г2

и а,у =

ytaj

при Y ; £ Г ь

как выше. Тогда класс ф 2 ( # )

представляется

коциклом w,

задаваемым

формулой

w(y)=

Re(bte)).

Согласно формулам (8.3.5) и (8.2.20),

d Т(го)

^(V)=2x(«t) J R e ( b ( / ) ) o a , =

= H

			§	8.4. КОМПЛЕКСНЫЙ TOP	291
		d
		= 2 ХК)[!(аЛ'Ы)-КагЫ)] =
		i =	l
		d
		= 2	X Ю	If ( V i ^ (zo)) - f («i (*<>))] = '
		i =	l
		d
		= 2 X Ю		1» (7f) + X (Ti) f («J (zo)) - f («i Ы)1 =
		i = l
		d
		= 2	X K ) " ( Y ; ) i ' [ X ( Y - l ] a : .
	d
где a; =	2	X (a -) f ( a i (zo)) • Таким образом, коцикл			w принадлежит
	i = i	г

тому же классу КОГОМОЛОГИЙ, что и коцикл v,				определенный в (8.3.2).
Предложение доказано.
Завершим теперь доказательство теоремы 8.4 для нетривиального
представления W. Пусть Г0 =			Кег(Чг ) и Р0 — множество		всех	пара
болических	элементов	группы	Г0 . Рассмотрим класс		Г0 аГ,	взяв
в качестве а	единичный	элемент. Очевидно, пространство Sh(TQ,				W)
является прямой суммой г экземпляров пространства					Sk(T0);	сле
довательно,	отображение
	Фо:	Sh(T0,	¥ ) - ^ Я Р о (Го,	X)

сюръективно согласно уже доказанному. В силу этого обстоятель

ства и в силу предложения 8.5 достаточно показать, что

отображение

( r V l - r X y сюръективно.

Пусть поэтому

d{] T0at

n i g

ZP(T,

X).

i = i

Пусть u — ограничение

отображения

на

Г0 . Определим

коцикл

с помощью формулы (8.3.2)

при у £ Г

и у{

6 Г0 .

Тогда

v (У) =

X («V) * ( а ^ 1 ) = d-t

(у) + (Х(у)

-1)

* («Г1 )•

i = l

г=1

Отсюда следует, что v принадлежит тому же классу

КОГОМОЛОГИЙ,

что и d-t\ следовательно, отображение

(Г 0 '1"Г)х

сюръективно. Этим

завершается

доказательство

теоремы

8.4.

§ 8.4. Комплексный тор, ассоциированный с пространством

параболических

форм

Пусть Г — дискретная подгруппа

группы

S L 2 ( R ) ,

являющаяся

фуксовой группой первого рода, и Р — множество всех

параболи

ческих элементов из Г. Рассмотрим Г-модуль D, являющийся сво

бодным модулем

конечного

ранга.

Положим

CS>QR. Тогда

19*

292

ГЛ.

8. ГРУППА

КОГОМОЛОГИЙ

естественное

вложение

группы

Zp(T,

D) в

группу

ZP{T,

DR)

опре

деляет Z-линейное отображение

(8-4.1)

Я Р ( Г ,

D)^HHT,

DR).

Рассмотрим

группу

НЦТ,

DR)

как векторное

пространство

над

ПРЕДЛОЖЕНИЕ S.6.

Образ

группы

Нр{Т,

при

отображении

является

решеткой

(т. е.

дискретной

подгруппой

максимального

ранга) в Нр(Т,

DR),

и ядро

Кег(/)

конечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Группа

имеет

конечное

множество

образующих,

скажем

{ а ь

. . .,

а т } .

(Например,

элементы {у,,}

из формулы (1) в доказательстве теоремы 2.20 составляют

множество

образующих

группы Г; ср. упражнение 1.35.) Далее, каждый элемент

и группы ZP(T,

при произвольном Г-модуле X полностью

опреде

ляется элементами

и(а{),

. . .,

и(ат).

Это говорит о том, что группа

ZP{T, D) (соответственно ZlP(T, DR))

конечно

порождена

над

(соответственно над R). Кроме того, мы получаем R-линейное ииъек-

тивное отображение

у-*

{u(Oi),

. . .,

и(ат))

группы

ZP(T,

DR)

группу

DRl.

Условия

(8.1.1)

и (8.1.4)

можно

записать

виде

(1)

! j E h

u ( o t )

( Ь = 1 , 2 , . . . ) ,

где Ehi — это R-лпиейпые эндоморфизмы модуля DR, неподвижные относительно D. Аналогично группа Вг(Т, DR) характеризуется уравнениями

			т
(2)			S^««*(ff,)-0			( / 1 = 1 , 2 , . . . ) ,
где Fh! — отображения				того	же	типа. Положим
Z'	=	{и	Е ZP(T,	DR)	I и(у) 6 D для всех у 6 Г } ,
В'	=	Z'	П Б\Т,	DR).

Из формул (1) и (2) видно, что Z' (соответственно В') является решет кой в Zp(T, DR) (соответственно в 2?Х (Г, DR)), и, следовательно, факторгруппа Z'lB' может быть отождествлена с решеткой про странства ЯМГ, DR) = ZP{T, D^/B^T, DR). Пусть Q — конечное подмножество в Р, рассмотренное в § 8.1. Можно найти такое целое положительное число t, что

t-W П (п — l ) Z ? R ] c (Л - i)D

для каждого п £ Q- Точно так же, как в конце § 8 . 1, можно показать, что t-Z' cz Zlp{T, D). Поэтому образ группы НЦТ, D) содержит t-{Z /В') и содержится в Z'lB'; отсюда следует наше первое утвер ждение. Для доказательства конечности ядра Кег(/) определим ото-

8.4. КОМПЛЕКСНЫЙ

TOP

293

бражение X: DR

равенством

Х{х) =

((o"i -

1)х,

. . ., (от

1)х)

{х е

DR).

Тогда

можно

найти

такое

положительное

целое число

г, что

r-[X(DR)

Dm\cX(D).

Пусть

и 6 В'

/?).

Значит,

(u(ff,),

• • •, «(>m))

при

некотором

6 I

V Так

как

Х(х) £ A | D r )

П -О"1 , можно

найти эле

мент у

из

для которого

r-A,(a;) =

Х(у). В этой ситуации

г-и £

6 ^ ( Г ,

D ) .

Так

как группа Z^(T, Z>) конечно порождена над Z,

это означает,

что

ядро Кег(/) конечно. Доказательство закончено.

Из этого предложения, в частности, вытекает равенство

(8.4.2)

HUT,

DR)

НР(Т,

<g>z

Предположим теперь, что группа D удовлетворяет следующему

условию:

(8.4.3)

ШТ]-модулъ

изоморфен

прямой

сумме

конечного

числа

модулей

Xni,

• . .,

Xj*

шипа, рассмотренного

в § 8.2.

В силу теоремы 8.4 существует R-линейный изоморфизм ц. простран ства Нр(Т, DR) иа прялгую сумму

		© = 5 „ 1 + 2 ( Г ,		ф . . . ф 5 п в + а ( Г , ¥ . ) .
Положим	L	= (х(у'(Яр(Г,	Z)))). Тогда		L — решетка	в пространстве
©, и мы получаем комплексный тор
Пусть	а — такой элемент			группы	G L 2 ( R ) , что	группа	а - 1	Га
соизмерима		с Г. Тогда	класс	ГаГ действует и на пространстве				©,
и иа пространстве Нр{Т,			DR).	Это действие коммутирует с [х в			соот

ветствии с предложением 8.5. Кроме того, относительно него инва


риантно подпространство Hlp(T, D),							если	alDaD.	Поэтому действие
класса ГаГ определяет некоторый							эндоморфизм		пространства		6 / L .
	Например, пусть Г — подгруппа группы SL2 (Z) конечного индек
са	и D =		Z ' l + 1		при некотором п ^		0. Исходя из представления р,м
мы	можем		рассматривать • группу				D как Г-модуль. В этом случае
Rlrl-модуль				DR	есть ие	что ииое,	как	Хп при тривиальном			пред
ставлении х ¥, так что © =						5, 1 + 2 (Г) . Поэтому мы получаем решетку L
пространства				5 П + 2 ( Г ) , инвариантную				относительно		( Г а Г ) п + 2	для
каждого		а £ M 2 (Z) f] G L 2 ( R ) . Тем самым мы доказали утверждение
(3.5.20),		которое было нам нужно					при доказательстве			теоремы	3.48.
	В работе			автора [3] показано, что £ „ + 2 ( Г ) / £					обладает структурой

абелева многообразия, если п четно. В его же работе [6] этот резуль тат перенесен на случай факторгруппы <3/Ь более общего типа. В связи с дальнейшим обсуждением такого рода когомологпй мы отсылаем читателя к статьям, цитированным на стр. 285—286, а также к Вердье [1], Куге [1] и Делиню 111. Следует отметить и исследования в случае высшей размерности, проведенные Мацусимой, Мураками, Рафунатаном и Герлеидом.

Г Л А В А 9

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ ГРУППЫ

§ 9.1. Группы единиц простых алгебр

До сих пор в наших теоретико-числовых исследованиях мы огра ничивались фуксовыми группами типа конгруэнц-подгрупп группы GL 2 (Q) . Сейчас мы покажем, не вдаваясь в детали доказательств, что большую часть установленных выше результатов можно обоб щить на случай арифметических фуксовых групп, полученных из кватернионных алгебр. В этом параграфе будет рассмотрена группа единиц произвольного порядка в любой простой алгебре над полем алгебраических чисел.

Пусть В — простая алгебра иад полем Q. Мы можем определить кольцо аделей ВА и группу пделей Вл алгебры В следующим обра зом (ср. А. Вейль [7], [10]). Положим

В со = Вц = В <g)Q R)

	Bp = В	® Q Qp	(р — простое			рациональное		число).
Для произвольной Z-решетки j				алгебры В положим $ р				=	j ®%LP и
		M j ) = {а 6 Вр			I j p a c z
Тогда	Вл — это	подкольцо	в В с*		X [\ Вр,	состоящее из таких эле-
					р
ментов	( а » , . . .,	tip, . . .), что ар		£ о р (у.)		для	всех, за	исключением
(конечного числа,		простых чисел р.			Кольцо Вл		содержит		подкольцо
		о (г)	= Boo	X П о р (s).
					р
локально компактное относительно обычной топологии									произве
дения. Введем топологию на ВА,				объявив		о (у.)	открытым		подколь-
цом в	Вл- Можно Вл определить				и просто как В ®QA.				В этом

случае группа иделей В\ как абстрактная группа является группой

обратимых элементов кольца Вл-		Другими	словами, ВА	состоит
пз таких элементов (ЙОО, . . .,	ар,	. . .), что	ар 6 Ор(т.)*	для	всех,
кроме конечного числа, простых чисел р. Группа Вл содержит					под
группу
о(ъУ = ^	Х	П ° Р ( Е ) Х ,
		Р

локально компактную относительно обычной топологии произведе ния. Введем топологию на Вл, объявив о ($)* открытой подгруппой

		§ 9.1. ГРУППЫ ЕДИНИЦ ПРОСТЫХ АЛГЕБР						295
в В"А.	Определение топологического кольца				ВА и топологической
группы ВА		не зависит от	выбора решетки	т.. Следует		также	отме
тить, что		топология на ВА	не индуцируется		топологией кольца			ВА.
В	дальнейшем мы пишем GQ вместо Вх			и	полагаем
		С™ = 5 с ,	Gp = Bp ,	GA — Вл.
Группу GQ можно рассматривать как группу					Q-рациоиальных		точек
некоторой		алгебраической	группы G, определенной над			Q, a GA		—

как аделизацито группы G. Если читатель незнаком с общей теорией алгебраических групп и их аделизаций, то он может рассматривать

GQ И G A

просто

как

новые

обозначения

для Вх

В'А.

Обозначим

через G 0

неархимедову часть

группы

и через

G<»+

компоненту

единицы в Goo. Эти обозначения согласуются с обозначениями гл. 6 ,

если В =

M 2 (Q) .

Мы отождествляем В (соответственно GQ) С некоторым подмно

жеством

Вл

(соответственно

GA)

посредством

диагонального

вложения

н-*• (х, х,

х, . . . ) .

Пусть

F — центр

кольца

v — редуцированное

норменное

отображение из В в F. Отображение v можно естественным образом продолжить до отображения из ВА в FA, которое по-прежнему будет обозначаться через v. (Заметим, что v = det, если В = M2 (Q).) Положим

G% = {xeGA\v(x) = l},

G$ = { * 6 G Q | v ( x ) = l } .

Хорошо известна следующая фундаментальная теорема.

	ТЕОРЕМА		9 . 1 . ( 1 ) Группа			Gq	является дискретной		подгруппой
в	GA.
	( 2 )	Факторгруппа G Q \ G 1 компактна,						если В — алгебра		с деле
нием.
	(3)	Для	любой	открытой		подгруппы		S группы GA,	содержащей
Geo,	пространство			орбит	Gq\GA/S		конечно.
	(4)	Для	каждой	открытой		подгруппы		Т группы GA,	содержащей
группу		G^o, пространство			орбит		Gq\GA/T	конечно.
	Д о к а з а т е л ь с т в о					см.	у А. Вейля [ 7 ] , [ 1 0 ] . Эти			резуль

таты можно обобщить на редуктивные алгебраические группы; см.

Борель [ 1 ] , Борель	и	Хариш-Чаидра			[ 1 ] , Мостов и Тамагава [ 1 ] ,
Годеман [ 2 ] .
Пусть g — число простых архимедовых дивизоров поля F и F » =
= F cg> Q R . Тогда	мы	можем	положить
( 9 . 1 . 1 )	В о,	=[B«,T	®	. . . ®	В - , ,
( 9 . 1 . 2 )	Fco	= Foe,	е	• • • Ф	F-g,


296		ГЛ. 9. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ ГРУППЫ
где Fс», —	центр кольца В		поле Fo=i равно или R, или С; кольцо
В относится		к алгебрам одного		из следующих трех типов: M„(R),
МП (С), МП (Н),		где Н — кольцо с		делением гамильтоновых		кватер
нионов.	Положим (?coj =		5coj.	Тогда G оо	G оо I X . . .	X Geo,

и группа Geo; оказывается группой одного из следующих трех типов:


GL„(R),		GL„(C),	GL„(H).		Положим Gff = GA П G0 , G» =						G » П
GZ,i = С»,- П G U T .			Тогда		G £ =		GS,, X . . . X		G £ G .	Зафиксируем
теперь	произвольную			открытую			компактную		подгруппу Т в Go
и положим Т =			T0G%„	Г Т =		Т П GQ.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ			9.2. Пусть			Г — проекция		группы Г Т		е С » . Тогда
Г — дискретная			подгруппа		в G £ . Кроме того,				факторпространство
T\G%> компактно,			если В —		алгебра с делением.
Д о к а з а т е л ь с т в о .						В силу утверждения (1) теоремы 9.1
группа	GQ дискретна			в GA,		так что Г Т —		дискретная			подгруппа
в Г 0 X	GJJ,. Так как группа					Т0	компактна,	то в силу		утверждения
(3) предложения			1.10 проекция Г группы Г Г в G £ дискретна в G £ .
Согласно		утверждению		(4) теоремы 9.1, произведение						GQT является
открытым		подмножеством			в	GA.	Предположим, что			В — алгебра

с делением. Согласно утверждению (2) теоремы 9.1 и предложению


1.3, GQT = GQK при некотором								компактном подмножестве		К из	Т.
Так как Т =				T0G%,,	мы можем взять множество К в виде К					= T Q H ,
где П — компактное подмножество в G^ . Запишем каждый										элемент
группы GA в виде (х,						у), где я 6 Go и y£G£.			Так как G<»c=	GQTQH,
каждый			элемент (1, у), где у				6	можно записать в впде (1, у)			=
=	(a,	a)	(t, h), где		K E G Q ,		t£T0	и h £ Я . Но тогда а 6 G $ Л У			=
=	Г Г .	Так как y = ah,				из сказанного следует, что С £ , = Г Я .				Согласно
предложению				1.3,	факторпространство T \ G ^ компактно.
	§ 9.2. Фуксовы группы, получаемые из кватернионных									алгебр
	Под		кватернионной			алгеброй		над полем к мы подразумеваем
простую			центральную			алгебру над к ранга			4. Пусть к обозначает
алгебраическое замыкание поля к. Алгебра R над к является										кватер

нионной тогда и только тогда, когда алгебра R ® hk изоморфна алгеб ре М?(к) над к. Кватернионная алгебра R над полем к либо изоморфна


алгебре М2(А:), либо является алгеброй						с делением. Пусть t r и v —
редуцированный	след	и	редуцированная норма из R в к. Тогда
можно определить инволюцию					t алгебры R над полем к (т. е. /с-ли-
нейное взаимно однозначное отображение алгебры R в себя, для
которого (ху)1 =	у1х1,	х	=	(х1)1)	равенством
	а ; т		^	= tr(x)		(х 6 R).

Действительно, если /—произвольный /с-линейный изоморфизм алгебры R ® f t к в М2(к) и f(x) = с d , то, очевидно, tr(x) = tr(f(x))

				§ 9.2.	ФУКСОВЫ ГРУППЫ			297
и,	следовательно,
			/ (о-) = t r ( / > ) ) - / ( * ) =			d	~ Ъ
		0	— Г			•с	а
где	)	0	— Г	Таким образом, i определяет инволюцию алгебры R
где	)	1	О	Таким образом, i определяет инволюцию алгебры R
		1	О
над к, которую мы называем главной инволюцией								алгебры R. Можно-
легко проверить, что v(x) =					хх1,	(у~гху)1	= у_1х1у	для всех х £ R,.

yen*.

Возвращаясь к простой алгебре В и ее центру из § 9 . 1, сделаем следующие допущения:

(9.2.1) поле F вполне вещественно;

(9.2.2) алгебра В является кватернионной над F.

В этой ситуации все компоненты F и з разложения (9.1.2) должны быть равны R, так что компоненты В «>i из разложения (9.1.1) равны либо M 2 ( R ) , либо Н, потому что M 2 ( R ) и Н — единственные кватерииоиные алгебры над R. Изменяя при необходимости порядок алгебр- В оог-, можно считать, что

	-Do		, M 2 ( R )		( i < i < r ) ,
	-Do		Н		( r < i < g ) ,
			Н		( r < i < g ) ,
где g = [F	: Q] и г — число простых				архимедовых		дивизоров	поля
F, иеразветвленных в В		(см. ниже объяснение по поводу Рв).						В по
следующем изложении мы будем предполагать, что
(9.2.3)			г >	О,
и зафиксируем раз и навсегда отождествление						5 » ; с M 2 (R) или с Н_
Группы	G СО j G со-}- и	G£> в данном			случае	можно	записать	так:
	с?»	= G L 2 ( R ) r		х	(Н")г-Г ,
	Gcc+	=	GL\|(R)r	x	( H " ) * " ,
	GJo =		S L 2 ( R ) r	x	{Hu)*-r,

где H " = {x e H I v(*) = 1} .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 9.3. В обозначениях предложения 9.2 пусть Г' — проекция группы Г сомножитель S L 2 ( R ) r группы G°o+, и пустьвыполнены предположения (9.2.1) — (9.2.3). Тогда Г' — дискретная подгруппа в S L 2 ( R ) r . Кроме того, если В — алгебра с делением, то факторпространство r'\SL2 (R)r компактно.

Это следует немедленно из предложений 9.2 и 1.10, так как про странство Н" компактно.

298 ГЛ. 9. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФУКСОВЫ ГРУППЫ

Пусть

теперь

G L ^ R ) и

<g те же, что выше.

Тогда

GL^R)''

дей

ствует на

fQr

покомпонентно.

Положим

G..i+

G0G00+,

GQ+

GQ fl

G . . j + .

Определим действие " элемента а

группы

GQ+ на пространстве

Jgr

как действие проекции элемента а на сомножителе

G L K R ) 1 -

группы

G < » + . Заметим, что

группа

содержится

в группе

GQ+ И совпадает

с множеством всех элементов

группы

GQ+,

тривиально

действующих

на Jg'". Обозначим через

тг

вложение поля F в поле R, полученное

отождествлением

Foot

Тогда

G Q

{а

6 В

| v(a)*i >

(1 <

i <

г)}.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

9.4. Пусть

К — чисто

мнимое квадратичное

рас

ширение поля Fug

— некоторый

F-линейный

изоморфизм

из К

в В.

Тогда группа д(Кх)

содержится

в GQ+ и

каждый

элемент

группы

д(К)х,

не содержащийся

в F,

имеет единственную

неподвижную

точку

w на £)'", являющуюся общей для всех таких элементов

из

д(К").

Кроме того, д(Кх)

{у 6 GQ+ | y(w)

w}.

Обратно,

если

какой-

нибудь

элемент

группы

GQ+,

не содержащийся

в поле

имеет

неподвижную

точку

на £>г, то поле F(a)

изоморфно

чисто

мнимому

квадратичному

расширению

поля

Мы

называем

точку

w неподвижной точкой

группы

q{Kx)

на

<gr.

' Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть а £ К",

F, а

д(а) и а ( 1 ) , ...

. . ., а< Г )

— проекции

элемента а

на

В <*>\,

. . .,

В<»г. Пусть

о г изо

морфизм поля К в поле С, совпадающий с тг иа F. Так как поле К

чисто

мнимое,

собственные

значения

оператора a( i > суть

а°1

aa »p ,

где р — комплексное

сопряжение. Поэтому а<{) задает эллиптическое

преобразованпе на .<§ (см. § 1.2) и, следовательно, имеет единственную

неподвижную точку		wt	на ^ . Положим	w =	. . .,		wr). Пусть
6 6 q(K").	Тогда 6(u>) =		6сс(и>) = а($(и>)),	так что	B(u>) —		неподвиж
ная точка преобразования а на пространстве					@г.	Так	как w —
единственная неподвижная точка для а, то fi(w) =					w.	Предположим,
что y(w) =	w при у	£ GQ+. Заметим, что изотропная				подгруппа
		{ I	е GL+(R) \| l { w t ) =	w t }

изоморфна1 группе R* -SO(2) (см. § 1.2) и, следовательно, комму тативна. Таким образом, элемент у коммутирует с каждым элементом

группы д(Кх).

Поскольку д(К)

является своим коммутантом в В,

элемент у

принадлежит группе

q(K).

Обратно,

пусть

6 GQ+,

a $ F,

a(z) =

z при

z £

Пусть

— проекция

элемента a

иа В m i .

Заметим, что a^) ие принадле

жит

центру R

алгебры Boot.

Поэтому преобразования

с^1 ), . . .,

эллиптические,

ни

одно

из

собственных

значений операторов

с^1 ),

. . .,

не может быть вещественным;

следовательно,

первые

архимедовых простых дивизоров поля F, соответствующих

хи . . .

. .,

тг ,

разветвлены

в поле F(a).

Остальные g— г

архимедовых

§ 9.2. ФУКСОВЫ ГРУППЫ

299

простых дивизоров поля F разветвлены в каждом квадратичном подполе алгебры В, так как они соответствуют сомножителям Н алгебры В со. Тем самым мы получаем последнее утверждение.

Естествеиио поставить следующие вопросы: (i) Сколько можно получить кватерниоииых алгебр В над полем F для данного г? (ii) Какого типа квадратичное расширение К поля F можно погру жать в 5?

Для ответа на эти вопросы рассмотрим Fv — пополнение поля F относительно произвольного архимедова или неархимедова простого дивизора v поля F. Положим Bv = В (g> FFV. Пусть Рв — множество всех таких v, что Bv — алгебра с делением. Простой дивизор и,

содержащийся	(соответственно	не содер>кащийся) в Рв,	называется
разветвленным	(соответственно	неразветвленным) в В.	Справедливы
следующие утверждения:
(9.2.4) Множество Рв конечно		и состоит из четного числа простых
дивизоров.

(9.2.5) Для каждого конечного множества Р, состоящего из четного

числа

архимедовых

или

неархимедовых

простых

дивизоров

поля

существует

кватернионная

алгебра

В над

един

ственная

точностью

до

F-линейных

изоморфизмов,

для

которой Р =

Рв.

(9.2.6) Квадратичное

расширение

поля F

погружается

F-линейно

в алгебру

тогда

только

тогда,

когда

К ®FFV

—

поле

для каждого

простого

дивизора

v £

Рв.

Эти утверждения представляют собой частные случап теорем Хассе о простых алгебрах над полями алгебраических чисел (см.,

например, А. Вейль [10]). Заметим,					что множество Рв			содержит
ровно	g — г	архимедовых	простых		дивизоров,		соответствующих
сомножителям		В <*Т+\ =	• • • =	В *,g	= Н.	Множество		Рв	может
быть пустым; в этом случае В = M2{F).					Поэтому В		— алгебра с деле
нием, если РБ		непусто и, в частности, если g >				г.
Рассмотрим теперь случай г =				1. Здесь алгебра В либо				является
алгеброй с делением, либо изоморфна алгебре M 2 ( Q ) . Поэтому группа
Г' из	предложения 9.3 всегда есть фуксова					группа первого			рода,
а факторпространство Г'\^			компактно, если			алгебра В не изоморф

на алгебре M 2 ( Q ) . Будем рассматривать F как подполе в R и считать,

что проектирование поля F на первый сомножитель								G L ^ R ) группы
<?оо+ (т. е.	%i	в прежних			обозначениях)	является		тождественным
отобрая{ением		поля	F.	Это	предположение	не	так	уж необходимо,
но благодаря нему рассуждения становятся проще.
Пусть К,	q и w те же, что в предложении 9.4. В силу сделанного
предположения
		w~	= р		или q (р)	~w '	= р	~w'
		1	= р	1	или q (р)	1	= р	1

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3330 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ