книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

280

ГЛ. 8. ГРУППА КОГОМОЛСТИЙ

|х

т

х

*(2 «*) =

2 <*h(tk)+

2 (в,-1)*}

i =

l

fc=i

( = 1

Sj

при

некоторых ah,

fiT£G и

некоторых

£Ai.

В

этой ситуации

группа

G

порождается

элементами

6г и

ahnha,hl,

а

группа

А2

— элементами

y(at)

для всех

i и всех у

6 G. Поэтому

любой

элемент

и

группы

Z 2 ( K , X ) определяется значениями

и(аг).

и

Положим

u{F)

=

2

u(ai)

и

допустим,

что

u(F) 6 Y.

Тогда

суще-

i=l

ствуют такие элементы yk

и z( группы

X ,

что

(8.1.29)

lu (*•) =

2 ( < w £ «

- 1 ) г/,4

+

2

(PJ - 1 )

*

i .

h=l

,. 1=1

Можно

найти такой элемент

w группы

AQ(X),

ЧТО и =

du>, w(th)

=

=

( я й

—

l j a j i ^ i ,

и

u;(s;)

=

zj.

Действительно,

определим

сначала

значения w на элементах th

и s£ , как требуется.

После

этого

значе­

ния отображения w на 1-симплексах,

лежащих

внутри

области F,

определим одно за другим с помощью равенства

u(aj)

=

w(daj).

Это

Ai,

используя

равенство

wy

=

yw,

верное для всех у

£ G.

Итак,

и 6 BQ(K,

X),

если u(F) б Y. Обратно, если и — dw при w £

AQ(X),

то

т

х

u[(F)

=

w (dF) =

2 w (af t

(**)) + ! S

(PI — 1 ) Ш

(S,) 6

У .

ft=l

4=1

Доказательство

закончено.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.3. Предположим,

что

В. — поле

и X

— конечно­

мерное векторное

пространство

над

R. Пусть g — род

поверхности

G\JQ*,

a Y

имеет

тот же

смысл,

что в предложении

8.2.

Обозначим

С =

d i m ( Z G ) ,

X'

=

Aim(X/Y),

I)

=

dim({x

6 X

I &jx =

x})

(/' = 1,

. . ., r),

T)FT

=

dim((n f e

—

l)X)

(k

=

1,

. . .,

m),

§ 8.2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ

281

группы G в указанном

выше

смысле. Тогда

d i m (I-PQ (К,

X)) =

(2g -

2) dim (X) + £ +

+

т

г

+ 2

T i k + 2 ( d i m ( X ) - E , ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ft=i

j = i

Пусть К имеет прежний смысл ж Nt —

N0-Nl+N2+m

=

2-2g,

г

d i m (А0 (X)) = N0 • d i m (X) -

2 (dim (X) - Ь),

m

Тогда

(8.1.30)

НР (G, X) = Н1)

( G , X ) .

=

Z Q { G , X ) .

Для доказательства достаточно установить, что Zp(G, X )

Очевидно,

что

ZP(G,

X ) cz ZLQ(G,

X ) . Пусть

и 6 Zfe(G,

X )

и я

6 <?•

Тогда ц(я)

=

(я — \)х

при г 6 X , так что, согласно формуле (8.1.1),

и(пт) = (1 +

я

+ . . . + я ш _ 1 ) и ( я ) =

( я т — 1)х для любого целого

положительного

числа т, и

в

силу

формулы (8.1.3) и(п~т)

=

— —пти(п~т)

=

( я - т

— \)х.

Поэтому

для

каждого

а 6 G и

для

каждого U - 6Z имеем и(ая^а - 1 ) =

( а я ^ а - 1 —

1) (ах —

и(а)).

Примем

имеет вид а я ^ а - 1

при некоторых я £ (?, а

£ G,

р. 6 Z. Поэтому

и 6 Zp(G, X ) , так

что Zp(G, X ) = Z\(G, X ) ,

и мы

получаем тре­

буемое.

Для

u l

6 С2

и для произвольного

целого п ^ 0 определим

V

(п - j - 1)-мерный

вектор-столбец

равенством

' и

u n - V ,

v

14У

Тогда

можно определить

представление

p n :

GL2 (C)

G L n + 1 ( C )

pa-

венством

" и '

'

и

(8-2.1)

Р л ( а )

=

\[а

_ V _

V

Если п =

О, то подразумевается, что

=

1 и р0 (а)

=

1 для каж­

дого а £ G. Существует

единственная

невырожденная

билинейная

форма

на

C'l + 1 , представляемая некоторой вещественной матрицей

в , такая,

что

т" и' п

п

(8.2.2)

• в „ .

" X

=

'и

X

. У

det

У.

V _

У

Легко видеть, что Э 0

j 1 и

(8.2.3)

' 9 П

=

( - 1 ) ' 1 в п ,

(8.2.4)

a(z)

*р„(а)вп рп (а) =

det(a)»0 n ,

(8.2.5)

=

1 (а. г)"'1

р„ (а)

z

( a € G L 2 ( R ) ,

* б # ) ,

1

1 .

G L 2 ( R )

П Кег(рп ) = {

{12 },

} I

если

п

нечетно,

{ ±

1 2

если

п

четно.

Пусть

Г — дискретная

подгруппа

группы

SL 2 (R),

являющаяся

фуксовой

группой

первого

рода,

и

Г

= Г/(Г

П { ± 1 } ) «

Пусть

Р

(соответственно

Р)

— множество

всех

параболических

элементов

группы Г

(соответственно группы Г). Пусть X — некоторый

Г-мо-

дуль,

который

мы

будем

рассматривать естественным

образом

как

Г-модуль.

(Это

означает,

что если

— 1 £ Г,

то — 1 действует

как

тождественное

отображение

модуля

X.)

Рассмотрим

следующее

условие на модуль

X:

(8.2.6)

если

х £ X

и

2х =

0,

то х

=

О

При выполнении этого условия из включений — 1 6 Г и и 6 Z\T,

X)

следует,

что

0 =

и{(—I)2)

= и(—1)

+

и{—1),

так

что

и(—1)

=

0.

В этом случае элемент и можно естественным образом

рассматривать

как элемент из группы Z\T,

X).

Поэтому группу Zp(T,

X)

(соответ­

ственно .б^Г,

X))

можно естественным образом отождествить с

груп­

пой Zp(T,

X)

(соответственно с

БХ (Г,

X)),

так

что

НР(Т,

X)

отож­

дествится

с Яр(Г,

X).

Рассмотрим

теперь представление

W группы Г в группу

GL r (R)

при произвольном

г >

0,

удовлетворяющее следующим

двум

усло­

виям:

(8.2.7)

W отображает

Г

в компактную подгруппу

группы

GL r (R);

(8.2.8)

ядро

отображения

W

имеет

конечный

индекс

в

группе

Г,

если

последняя

имеет

параболические

точки.

§ 8.2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ

283

Обозначим через Sh(Y,

W) векторное пространство всех голоморфных

отображений

/ полуплоскости

в пространство

С ,

удовлетворяю­

щих следующий!

двум

условиям1

(8.2.9)

/(сф));(а,

z)~k

= ¥(a)/(z) для всех

а 6

Г;

(8.2.10)

если группа

Г

имеет

параболические

точки,

то

компоненты

отображения

f

принадлежат

пространству

1 ?/,(Кег(Чг )).

(Это имеет смысл в силу (8.2.8).)

Векторное

пространство

Sh(T'0,

яр)

из §

3.5

доставляет

пример

пространства

Sh(T,

¥ ) .

В § 9.2 мы дадим такой пример

представле­

Если

представление

Y абсолютно

неприводимо

и

— 1 £ Г,

то

Sk(Y,

W)

Ф {0} лишь тогда, когда

¥(—1) =

( — l ) h .

Далее, если

¥

является

прямой суммой двух представлений 4% и г Р 2 , то простран­

ство

Sk(T,

Y)

можно отождествить с

прямой

суммой

пространств

Sk(T,

Wi)

и Sh(T, ¥ 2 ) .

Поэтому,

почти не

теряя

в

общности,

мы

будем

впредь

считать, что

(8.2.11)

=

( - 1 ) й

если

— 1 6 Г .

(/, £ ) = f lfPg-yh-2dxdy

(f,g£Sh(r,4); z = х + iy).

г\$

сматривать пространство Sn+2(Y,

х¥) при неотрицательном целом

числе

п.

Основная

цель

настоящего

параграфа — отыскать

изо­

морфизм

из

5 П + 2 ( Г ,

X F) в группу когомологий НР(Т,

X)

при

под­

ходящим

образом

выбранном

Г-модуле X. Зададим

сначала

для

каждого

элемента

/

£ Sn+2(T,

W) голоморфную

векторную диффе­

ренциальную

форму

Ь(/)

со значениями в

Сг

сЗ> С ' + 1 :

(8.2.12)

b ( / ) = / ®

z

n

1

Если

n =

0,

то b(/) = f(z)dz.

Положим

(8.2.13)

W =

P

cg> e n ,

%(a)]=

¥ (a)

eg) pn (a)

(a

£ Г).

§ 8.2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ

285

Поэтому t(a$) = t(a)

+

%(a)t($),

так

что

t £ Z*(r,

Хс).

Заметим

также, что изменение вектора v (и, следовательно, точки z0 )

сказы­

вается на t лишь прибавлением некоторого элемента

из 2?Х(Г,

Хс)-

Предположим, что группа Г имеет параболическую точку s.

Выберем

Г1 ЪГ

р 6 SL2 (R)

так, чтобы

p(s) =

оо

и

элемент

р - 1

О 1

р

при

h >

О

порождал группу

{у

£ Кег(¥)

| y(s)

=

s)

(см. § 2.1).

В

силу

(8.2.10)

можно

считать,

что

/ ( р - 1 ,

z)~n ~2 /(p- 1 (z))

=

Ф(д),

где

Ф(д) — голо­

морфная

С-значная функция переменной q = enizlh.

Полагая p(w)

=

= Я р - 1 ,

w

) n

•р~1 (и; )",

получаем

z

p(z)

j

/

(w) №'1 dw =

j

/ (р-1

(ш)) у (р-1 , г ) - " " 2 р (w) dw =

го

Р(*0)

P(z)

Jg*).

По

этой

причине

имеет

смысл

выражение

F(s)

= l i m F(z).

Тогда

Z-*S

F(s)

=

F(n(s))

= X(n)F(s)

+

t(n).

Этим

доказано,

что

t £ Zp(T,

Xc).

Беря

Re(b(/))

вместо

b(/),

положим

z

(8.2.19)

f ( z ) = J R e ( b ( / ) ) + a ,

ZO

где a — произвольный

фиксированный

элемент

из

X.

Тогда

(8.2.20)

f(a(z))

=

Х ( а ) f(z) + u(l)

(a

£ Г),

где и £ Zp(T, X).

Как было показано выше, класс когомологий эле­

точки z0 . Поэтому можно определить

R-линейное

отображение

<р

из £ П + 2 ( Г ,

¥ ) в Ер(Т, X) равенством

ф(/) = класс когомологий элемента и.

ТЕОРЕМА 8.4. Для каждого (четного

или нечетного)

целого п ^

0

it каждого

представления

Чг группы

Г, удовлетворяющего условиям

(8.2.7), (8.2.8), (8.2.11),

отображение

<р является

Т{.-линейным

изо­

морфизмом

пространства

Sn+2(T,

Ч;)

на пространство

Нр(Т,

Х%).

Результат такого же

типа,

но в

несколько иной форме впервые

286

ГЛ. 8. ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ

ление W тривиально. В данной же форме эта теорема при разных

ограничениях

была доказана в следующих статьях:

I . Шимура

[3, теорема 1], для четного п и тривиального Y;

I I .

Шимура [6, теорема 2], для четного п и группы Г без пара­

болических точек. Метод этой

статьи применим

и для

нечетного

п.

I I I .

Мацусима и Шимура

[ 1 , предложение

4.4],

для группы

Г

Пусть / и g

— элементы

пространства

5 П + 2 ( Г , W). Определим

f и и,

как в формулах

(8.2.19) и (8.2.20). Аналогично положим

i 2

8 ( 2 ) = ' J R e [ b ' ( / ) ] + b

с произвольным

фиксированным

Ь £ X.

Тогда

(8.2.21)

g(a(z)) = x (a)e(z)

+ v(a)

(a 6 Г)

при

некотором

v из

ZP(T,

X).

Так

как

dt = Re[b(/)] и dg =

= Re[b(g)l, то

A(f,g)=

j

' d f A ^ d g .

ремы 2.20,

дИ =

2

t^x — o \ ( 5 0 1 i г Д е S

K С У Т Ь

1-симплексы и эле-

менты о\

группы

Г

таковы,

что

A(f,g)=yA

J f W d g - ^

j

l\Wda.

§ 8.2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ФОРМЫ И КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ

287

(8.2.22)

Л ( / , я) = 2 (

" К ' ) ^

\

ft.

Предположим теперь, что ф(/) =

0. Тогда, выбирая

подходящим

образом постоянный вектор а в (8.2.19), мы можем положить и =

0.

Но тогда

из (8.2.22)

следует,

что

A(f,

g)

= 0 для

каждого

g 6

6 5 П + 2 (Г, х ¥). Так как

форма A(f,

g)

невырождена, элемент / должен

Далее, вычислим размерность пространства Нр(Т,

X ) ,

предпола­

гая,

что представление

W тривиально.

В

этом

случае

X =

i?""f l

и %=

Рп-

(Условие «¥(—1)

=

(с — 1)",

если

— 1 £ Г»

означает

тогда,

что

— 1

$ Г,

если

п нечетно.)

Мы

покажем, что

(8.2.23)

размерность

пространства

Нр(Т,

X)

над

полем

R

равна

удвоенной

размерности

пространства

5 П + 2 (Г) над

полем С.

Пусть

е1 ? . . .,

ег

и

пх,

. . .,

лт

определены для Г в соответ­

ствии

с § 8.1. Пусть

т] к , £ и £'

те же, что в предложении 8.3. Так

как Яр(Г,

X)

=

Нр(Т,

X),

то, согласно

равенству (8.1.30)

и

пред­

ложениям

8.2

и

8.3,

(8.2.24)

d i m (ЛИГ,

X)) =

( 2 g - 2 )

( п + 1 ) + £ +

£'

+

m

т

+

2

л**

2

(п+1-Ь).

Предположим

сначала,

что

п =

0.

Тогда

чь — 0 и

£; =

£ =

С' = 1;

следовательно,

d i m (Яр (Г, X)) =

2g

и (8.2.23)

верно. Далее,

пред­

положим,

что

гс>>0.

Жорданова

нормальная

форма

(матрицы,

представляющей

преобразование)

я& имеет вид

или

— 1

1

0

- 1

в зависимости

от того,

является

соответствующая параболическая

точка

регулярной

или

нет

(см.

§ 2.1).

Поэтому, учитывая вид

Рп

1

1

^,

мы легко

устанавливаем,

что

0

± 1

f)n[Sj)

имеет п + 1 характеристических корней со'1, со'1 - 2 , . . .,

со2 - '1 ,

<о- п

при некотором корне из единицы со, порядок которого равен

е}

или 2e^ в зависимости

от того, нечетно или четно в]. Поэтому

п

+

+ 1 — \з — число

таких корней, отличных

от 1. Мы можем

пока­

зать,

что

п +

1 -

\} = 2Л{п +

2)(е, -

1)/2в,],

где

[х] — наибольшее

целое число,

не превосходящее х. Мы

опу­

элементарно и довольно утомительно. Наконец,

£ =

£'

=

0.

Чтобы

это показать, рассмотрим х

6 Хт,

т. е. элемент х,

удовлетворяющий

равенству рп(а)х

= х при любом а £ Г. Положим p(z) =

'а;0п

z

1

Согласно

(8.2.5),

p(a(z))j(a,

z)n

=

p(z)

для

всех

а

£ Г.

Поэтому

р 6 £-п(Г), если группа

Г не имеет параболических

точек. Если

же

^ — параболическая

точка

группы

Г, то возьмем такой элемент р

группы SL 2 (R),

что

p(s) =

оо

и

р - 1

Г1 h~

р порождает

группу {у 6

6 Г

| y(s)

=

s).

Положим

t(z)

=

p(p - 1 ( z ))/(P _ 1 » ZT-

Тогда

t —

много­

член от z и t(z +

2h)

—

t(z).

В силу сказанного многочлен t

должен

быть1 константой. Следовательно, р

£ (?_П (Г). Так как (?_П (Г)

=

{0}

для

ге>0в

соответствии с теоремами 2.23 и 2.25, то р — 0, так что

х

=

0. Это означает, что

Хт

=

{0};

следовательно,

— £

=

0.

Чтобы

показать

справедливость

равенства

£' = 0, рассмотрим

модуль

Y

из предложения 8.2. Пусть х — такой элемент из X,

что гу®пх

=

0

для всех у £ У. Тогда для каждого

w £Х

ш каждого

а

£ Г

0

=

'[(р„(а-1 ) -

i)w)6nx

= 'и>еп(рп(а)

-

1)х,

так

что

(рп (а)

— 1)ж =

0;

следовательно,

х 6 Х г .

Так

как

Хт

=

=

{0}, этим

доказано

равенство Y

= X;

отсюда

— £ '

=

0.

Итак, мы определили необходимые нам

г|ь, £ и £'.

Подставляя

эти

числа в

(8.2.24)

и

сравнивая результат

подстановки

с

числом

d i m ( 5 n + 2 ( r ) ) ,

найденным в теоремах 2.24

и 2.25,

получаем

(8.2.23).

ставления Y.

Случай нетривиального ¥ будет рассмотрен в следую­

щем параграфе.

§ 8.3. Действие двойных смежных классов на группе

КОГОМОЛОГИЙ

Пусть r f

и Г 2 — соизмеримые фуксовы группы первого

рода,

заданные как подгруппы группы SL 2 (R), и Л — полугруппа,

содер­

жащаяся в

G L ^ R ) и содержащая 1\ и Г2 , причем группа

а Г ^ а - 1