Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

15.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

270 ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

где р — любое рациональное простое число, не делящее г и распа

дающееся на m/f простых идеалов в поле к,

а и — переменная. Если

р — такой

простой

идеал в к,

то срр

(соответственно

лр)

— эндо

морфизм

Фробениуса

степепн

/V(p)

(соответственно

р)

редукции

J 4 s . Пусть

Щ обозначает

Z-адическое представление

кольца

E n d ( y l s ) .

Тогда

т.

П de t[ 1 -

vlR'i

( Ф р ) ] =

П de t [ 1 -

и • Xi (р)

R',

(пр)].

Щр

1 = 1

со

Поэтому,

если

положить

/ (z) =

Tj апе2лШ^

£Sh

(Г"),

то

n=i

со

L(s,

/, х)=

S в„-х (»)»"*»

как и в

§ 3.6;

если

же

п=1

набор

из (7.5.4'),

то дзета-

{ / i b . . ., /ги }

—

функция

кривой Vs

(или многообразия

A s)

над полем

совпадает

с точностью до конечного числа эйлеровых множителей с произве дением

т	у.
[ [	П L(s,	fev, Xi),
1 =	1 v = l
голоморфным на всей s-плоскостп		и удовлетворяющим некоторому

функциональному уравнению, о чем свидетельствуют замечание 3.58,

предложение 3.64 и теорема

3.66.

( I I ) Далее,

рассмотрим

пропзвольное

квадратичное

расширение

к поля Q с кондуктором (г). В силу результата А. Вейля [5] можно

построить такое абелево многообразие Вs,

определенное

над

полем

и такой изоморфизм X из As

на

Bs,

определенный

над

к,

что

Ха = —X для образующей а группы Gal(/t7Q). Пара (Бs,

един

ственна с точностью до изоморфизма над Q. Если грр

— эндоморфизм

Фробениуса степени р редукции Bs,

то

для почти всех р имеем.

гррЛ. = х(р) Хлр,

где %— характер

группы

(Z/rZ)*,

соответствующий

полю к. Поэтому дзета-функция многообразия

над

полем

совпадает с точностью до конечного

числа эйлеровых

множителей

произведением

•л

П L(s, Av. X), v=l

голоморфным на всей s-плоскости и удовлетворяющим некоторому функциональному уравнению. Разумеется, можно провести анало гичные рассмотрения и для множителя А многообразия A s , вве денного в теореме 7.14.

§ 7.9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	271
Б. Рациональные точки эллиптической	кривой

Группа рациональных точек эллиптической кривой, определен ной над полем алгебраических чисел, пад функциональным полем или над локальным полем, по сей день является предметом широких исследований. Великолепный обзор этой темы содержит статья Касселса [1], где читатель может найти ссылки на литературу, вышедшую до 1966 года. Мы ограничимся лишь формулировкой гипотезы Бёрча и Свиинертона-Дайера.

ГИПОТЕЗА БЁРЧА и СВПННЕРТОНА-ДАЙЕРА						[1]. Если дзета-функция
£,(s; E/Q) эллиптической				кривой	Е, определенной		над Q, имеет нуль
порядка	h ^	О при s = 1, то группа рациональных						точек кривой Е
над полем Q имеет ранг				h.
Эта гипотеза			проверена для многих кривых и, в частности, для
кривых	вида у2		= х3 — Dx.
Если	Е — кривая Vs			рода	1, изоморфная		факторпространству
T 0 ( N ) \ ! Q * ,		где число N принадлежит множеству						значений (7.5.G),
то функция		£(s; E/Q) задается			(возможно,	с точностью до «плохих»
множителей)		равенством
			со		со
			2 апп~° = Г (s)-1 (2я)8 j / (iy)				dy
			n = i		0
					C O
при некотором			элементе	/(z) =	2 a n e 2 3 I f n z	пространства 52 (Г0 (ЛГ )).
					71=1
Последний интеграл сходится для всех s						(см. доказательство тео
ремы 3.66). Так как кривая Vs					имеет род 1, то div(/(z)dz) = 0, так

что дивизор div(/) может быть получен из формулы предложения 2.16. Проверяя эллиптические точки группы r 0 ( i V ) , легко убеждаемся в том, что функция / не имеет нулей па мнимой осп, отличных от оо.

оо

Так как функция f(iy) = 2	я п е ~ 2 я п " принимает		вещественные зна-
71=1
чения, то £(s; E/Q) не обращается в нуль при s =			1. Бёрч установил,
что этот факт согласуется с приведенной		выше	гипотезой.
В. Эйлеровы множители	для простых	дивизоров; в которых
многообразие,	имеет плохую	редукцию

Для определения дзета-функции кривой или абелева многообра зия мы рассматривали лишь такие простые дивизоры, в которых многообразие имеет хорошую редукцию. Поэтому естественно задать ся вопросом об отыскании эйлеровых множителей п для «плохих»- простых дивизоров. Нерон [1] показал, что произвольное абелево многообразие над локальным (или глобальным) полем имеет модель, с «наилучшим поведением» в процессе редукции по модулю рас сматриваемого простого дивизора. С помощью этого результата.

272 ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

можно определить кондуктор абелева многообразия над числовым полем и его эйлеровы множители для плохих простых дивизоров (по крайней мере для эллиптических кривых). По поводу деталей мы отсылаем читателя к Оггу Серру и Тейту [1] и А. Вейлю [9]. С помощью этих множителей п понятия числа Тамагавы можно сфор мулировать гипотезу Бсрча п Свиииертона-Дайера в более точной форме (см. Бёрч и Свиннертон-Дайер [1] и статью СвиннертонаДайера в книге Касселса и Фрёлиха [1]).

Г Л А В А 8

ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ, АССОЦИИРОВАННАЯ С ПАРОБОЛИЧЕСКИМИ ФОРМАМИ

§ 8.1. Группы когомологпй фуксовых групп

Мы построим сейчас некоторую группу когомологий, изоморф ную пространству Sh(T); впервые ее нашел Эйхлер. Здесь к — произ

вольное (нечетное или четное) целое	число,	большее или равное 2.
Мы начнем с обычного определения	группы	когомологий #'((?, X)

при произвольной группе G и произвольном левом G-модуле X. Зафиксируем ассоциативное кольцо R с единицей и обозначим через R[G] групповое кольцо группы G над R. В дальнейшем кольцо R будет или кольцом Z, или полем. Мы будем считать, что X является /?[С]-модулем, и будем обозначать через Cl(G, X) для любого целого

£,

большего

или равного 0,

.ff-модуль

всех

отображений

группы

= G X . . . X G (произведение i экземпляров) в X;

подразуме

вается, что C°(G, X) =

X. Для и б Cl(G, X)

определим

следующим

образом элемент ди модуля Cl+1(G,

X):

ди (а) = (а — 1) и,

если

i = 0;

ди ( а 4 , а 2 , . .. , а г + 1 ) = at

• и ( а 2 , . .. , ai+i)

2 ( — l ) ' " ( a

i »

• • •»aJ-u

ajaj+u

. . . , а,-+ 1 ) +

3=1

(— 1 ) г + 1 и ( а ь

. . . , а г - ) ,

если £ > 0 .

Легко проверить, что 55 = 0. Положим

(G, X) = {и е С* (G, Х)\ди = 0},

Б1

(<?, X )

[ 0,

если i = 0,

= 1 diC^iG,

X)),

если £ > 0 ,

Hl(G,X)

Z* (G, X)/Bl (G, X),

Xй

= {х£Х\ах

= х для всех

а £ ( ? } .

Группу R~l(G,

мы называем

i-й группой

когомологий

группы G

коэффициентами

в модуле

Очевидно, что H°(G, X) и Z°(G, X)

могут быть

отождествлены

Xs.

Заметим,

что группа

Z\G, X)

состоит из всех таких

отображений и группы G в модуль X, что

(8.1.1)

u(aB) = u(a)•+

ait(8)

(а, В £ G),

18-01118

274	ГЛ. 8. ГРУППА К0Г0М0Л0ГИМ
а группа	B \ G , X) состоит из всех			таких отображений и группы G
в X, что
(8.1.2)	v(a) =	(а -	1)яг„	(а € G)
при некотором элементе х0		модуля X, не зависящем от а. Из формулы
(8.1.1) получается, что и(\) =			0 и
(8.1.3)	u(a - x )	= — a - 4t(a)		(а 6 G ) .

Зафиксируем теперь произвольное подмножество Q группы G, которое может быть и пустым, и через CQ(G, X) обозначим Л-под- модуль в C \ G , X), состоящий из элементов и, обладающих следую щим свойством:

(8.1.4)		и(л) £ (л — 1)Х		для каждого я 6 (?•
Положим
		Zb(G,X)=&(G,X)		П	Ci,(G,X),
		B l ( G ,		X)=d(Cb(G,X)),
		Hl(G,		X)=IP(G,X),
		HLQ(G,X)=ZLQ(G,X)/B'			( G , X),
		Hb(G,X)	= Z2(G,X)/Bl(G,		X).
Заметим,	что	B \ G , X) cz 7?q (<?, X).			когда G — фуксова		группа
Будем	теперь рассматривать			случаи,	когда G — фуксова		группа
первого рода. Мы подразумеваем здесь, что G — подгруппа							группы
S L 2 ( R ) / { ± 1 } ,		но не группы SL 2 (R) . Обозначим через				Р множество
всех параболических элементов				группы	G и построим «изогению»
группы HQ ( G , X), где Q — некоторое подмножество						из Р , в неко

торую группу когомологий, определенную относительно симпли-

цпального	комплекса	на Jp. Если	пространство G\SQ	компактно
и группа	G не имеет	эллиптических	элементов, то такая	изогения

на самом деле является изоморфизмом, и притом частным случаем хорошо известного изоморфизма Хопфа, Эйленберга, Маклейна и Эккмана. Таким образом, наша цель состоит в том, чтобы модифи цировать стандартные соображения и избежать трудности, возни кающие в связи с параболическими и эллиптическими элементами группы G .

Пусть {е*, . . ., 8Г } — множество представителей эллиптических элементов группы G , т. е. такое минимальное мноя^ество, что каждый эллиптический элемент группы G сопряжен в G с некоторой степенью какого-нибудь 8;. Пусть ej — порядок элемента е7- и Е — наимень шее общее кратное чисел el t . . ., ег . Положим Е — 1, если мно жество {SJ} пусто. Пусть <§* — объединение полуплоскости <Q и параболических точек группы G . Пусть с4 , . . ., ст — точки факторпространства G\^g*, соответствующие параболическим точкам группы G . Возьмем малый открытый круг D H HaG\§*, содержащий

§ 8.1. ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ ФУКСОВЫХ	ГРУПП	275
ch и такой, что замыкания всех таких кругов Du	. . ., Dm	попарно

не пересекаются. Например, если оо — параболическая точка груп


пы G , соответствующая точке ch,			круг Dk	можно выбрать как	образ
множества {z £ jg* \| Im(z) > у}			для подходящим образом взятого у,
как это делалось в	§ 1.3. Пусть		^ 0 — прообраз множества G\!Q* —
т		отображения		— > - G \ $ Q * . Мы	строим
— ( U Dk) относительно
симплициальный комплекс		К на пространстве £ 0 так, чтобы выпол
нялись следующие	условия:

(8.1.5) каждый элемент группы G индуцирует симплициалъное ото бражение комплекса К на себя;

(8.1.6) неподвижная точка преобразования е;- на полуплоскости § является О-симплексом комплекса К; мы будем обозначать ее через dy,

(8.1.7) существует 1-цепъ th комплекса К,

отображающаяся

на

границу

круга

Dh;

(8.1.8)

существует

фундаментальная

область

факторпространства

G\$Q0,

замыкание

которой

состоит

из конечного числа

сим

плексов

комплекса

К.

Такой комплекс К можно построить, взяв, например, фундамен

тальную область

для

$$*IG,

как

доказательстве

теоремы

2.20,

сдвинув

части,

соответствующие

кругам

Dh.

Пусть (Ai,

д,

а) — цепной комплекс с коэффициентами в кольце

, полученный из К,

с обычным граничным оператором д и (единич

ным) пополнением

а,

определенным

равенством

S SJ

для Sj 6 R и 0-симплексов

p j . Так как пространство

, § 0

гомеоморфно

евклидовой

плоскости, мы

получаем точную

последовательность

(8.1.9)

0 - > 4 2 ^ 4 , - t

i 0 A n ^ O .

силу

условия

(8.1.5)

группа

превращается

Д[(7]-модуль,

и оператор д коммутирует с действием кольца

[ G

] .

В силу

утвер

ждения

(8.1.7)

(8.1.10)

dtk

= nk(qh)

— qk

(к = 1,

. . .,

т)

при некотором 0-симплексе qh и некотором элементе nh из Р. Таким образом, каждый параболический элемент группы G оказывается сопряженным с некоторой степенью одного из nh. Положим Q =

Пусть	А1(Х)	— модуль		R[G]-линейных		отображений группы	At
в X я оператор д: А1(Х)			—>• А1+ЦХ)		определяется равенством ди =		ид
для и dA'(X).		Пусть	Aq(X)	— подмодуль, состоящий из всех таких
элементов	и группы		Аг(Х),	что	u(th)	£ (nh — 1)Х для любого	к.

18*

276	ГЛ.	8.	ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ
Положим
	Z\K,	X)	=	{и е А\Х) \| ди = 0},
	В\К,	X)	=	М * " 1 ^ ) ,

щ к , х) = z1^, z) п ^Ь(^).

	Щ(к,	X )	=	дАЬ(Х),
	Щ(к,	х) = z°(ff, х),
	Н})(К,	X)	=	Z ^ Z ,		Х)1В\К,	X),
	Н Ь ( К ,	X)		= Z \ K , Х)/ВЦК,			X).
Заметим, что в силу (8.1.10) В\К,						X)czZ1Q(K,		X).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8 . 1 . Для				i-—0,	1,	2 существует		R-гомоморфизм
g{ из НЪ(К,Х)	в Hi,(G,X)			и	R-гомоморфизм			f из	HlQ{G,X)

вH Q ( K , X), для которых

(тождественное отображение^

* ' ° ' '

^ г р у п п ы

HlQ(G,X)

)

(тождественное

отображение \

°gl=lE'{группы

HQ (К,

частности,

если

— поле,

характеристика

которого

равна 0

или взаимно

проста

Е, то

группа

HQ (G,

изоморфна

группе

H'Q

(К,

X).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

сначала

хорошо известный

цепной

комплекс

( М г ,

д,

а),

состоящий

из

следующих

частей:

(8.1.11)

для

любого

целого

i ^

представляет

собой

свободный

R-модулъ,

порожденный

всеми упорядоченными

множествами

[а 0 ,

с*!, .

. ., at]

из

i +

элементов группы

(8.1.12)

оператор

д: Mt-^-

задается равенством

д[а0,

. ..,

а,-]=

(— l ) v

[ a 0 ,

.. .,

a v - i . a v + 1 ,

. • ., ccj];

v = 0

(8.1.13)

a ( S b v [ a v ] )

S b v

для

^\bv[av]eM0,

b4eR;

(8.1.14)

группа

действует

на

модуле

правилу

р[а0 , . . .

. . .,

а г ]

= [ра 0 ,

. .

8 а г ] .

Хорошо

известно,

что

(8.1.15) .. .^M2-^Ml-^M0-^R-^0

—точная

последовательность.

Обозначим

через

Мг{Х)

модуль

всех

7/?[(3]-линейных

отображений

из

в X

определим

оператор

д:

Мг(Х)

-*• Mi+1(X)

равенством

§ 8.1. ГРУППЫ КОГОМОЛОГПЙ ФУКСОВЫХ ГРУПП

277

ди = ид. Для каждого и £ Cl(G, X) положим

и ([о0 , . . . , at}) — C6Q• и (a^cci, о^осз, • • •, аТДа;).

Тогда отображение и t-> и задает некоторый Д-изоморфизм группы

С*(б, X ) на группу М\Х)

3U =

ди.

Определим

теперь

такое

R-линейное

отображение /: At^y

Mt,

что

(8.1.16)

af =

Еа, fd

df,

£ G),

.j-i

(8.1.17)

/ (dj) =

(E/ej).

[ej]

(j =

1, . . . ,

r ) ,

v = o

(8.1.18)

f(th)

£ - [ 1 ,

я к ]

(к

. . .,

те).

Такое отображение / можно получить стандартным образом индук

цией по i (при этом нужно следить за элементами dj и tk).			Действи
тельно,	определим сначала	f(dj) по формуле (8.1.17) и	положим
f(a(dj))	= af(dj) для всех a	£ G. Далее, возьмем конечное множество

S0 О-симплексов с таким расчетом, чтобы каждый О-симплекс, отлич ный от эллиптических точек группы G, можно было записать в виде

а(р) при единственном р £ S я единственном a

6 G. Включим

точки

qh, удовлетворяющие равенствам (8.1.10), в множество S0-

После

этого положим f(a(p))

= Е Ла] для

всех

а £ G и всех р

S0.

Аналогично

фиксируем

конечное

множество

г-симплексов

(i = 1, 2) так,

чтобы

элементы a(s)

для

всех

£ G и

всех

£ St

образовали свободный Л-базис в At.

Включим

точки

5 t .

Оче

видно, что af =

Еа. Поэтому

af(ds)

0 для каждого s £

силу

(8.1.15)

можно

определить

элемент

f(s)

так,

чтобы

3/(s)

f(ds).

В частности, мы можем положить

/(2Й)

= £ - [ 1 ,

я ь ] ,

не

приходя

при этом

к противоречию. После этого мы полагаем,

что f(a(s))

—

=ccf(s) для каждого а £ G. Далее, для s £ Sz справедливо равенство

df(ds) = 0; следовательно, можно определить f(s) так, чтобы df(s) =

=f(ds), согласно (8.1.15). После этого мы полагаем /(a(s)) = a/(s).

	Произвольному элементу					и 6		X) поставим		в соответствие
элемент		w группы Аг(Х)			с помощью			равенства	w =	и ° /. Если	и 6
6	Cp(G,	X),	то	u>(2fc) =	E-u(nk)		6 (яь — 1)Х;		следовательно,		и £
6	. ^ ( Х ) .	Кроме		того, легко		видеть,		что соответствие u--w			ком
мутирует с			д и	поэтому	определяет			гомоморфизм р		из # Q (G, X )
в Н% (К,		X).

С помощью аналогичных соображений можно определить Л-ли-

нейное	отображение			g:	Mt^-Ai,			удовлетворяющее		следующим
условиям:
(8.1.19) ag = a, gd			=	dg,	ga	=	ag	(a 6	G),
(8.1.20)	g([l,	nk]) =	tk	+	( я й	—	l)&h,	где	bh — такая	1-цепъ, что
	dbk	= Po —	qk.

278	ГЛ. 8. ГРУППА КОГОМОЛОГИЙ

Вэтой ситуации р0 — фиксированный О-симллекс в S0. Для

определения отображения g положим сначала

g([a]) = а(р0)

для

всех

£ G,

потом определим g([l,

а])

так, чтобы dg([i,

a]) =

сс(ро) — Ро, и положим

g([a, В]) =

g([l,

сс _ 1 Р]).

частности,

эле

мент

g([l,

лк])

можно

определить,

как в (8.1.20). Поскольку

dg(d[l,

а,

Р]) =

элемент

g([l,

а,

PJ) можно

определить

так,

чтобы

dg([l,

Р]) =

g(d[l,

a, p])

силу

точности последователь

ности

(8.1.9). Положим g([a,

р, у])

= a g ( [ l , a _

p ,

а - 1 у ] ) .

Произвольному элементу х 6 АГ(Х)

поставим в соответствие такой

элемент

£ C'L(G, X),

что

= х о

Если

х £ AQ(X),

то

у{лк)

у([1,

лк])

x(th)

(лк

— l)x{bk)

£ ( я й — 1)Х

и,

следовательно,

у £ CQ(G,

X ) . Кроме

того,

легко проверить,

что соответствие х\—*-у

коммутирует с действием оператора д и, следовательно, определяет

некоторый гомоморфизм gl группы

H Q ( K ,

X )

H Q ( G ,

X ) .

Построим теперь /?-линейное отображение U: М"г ->- Mt+i,

обла

дающее

следующими

свойствами:

(8.1.21)

б G ) ,

(8.1.22)

fog

— E-(тождественное

отображение)

Ud,

(8.1.23)

J7([l,

nk))

6 ( я к -

1 ) M 2 .

Сначала

заметим,

что

f(g(x))

для

а: £ M 0 .

Полагая

(7 = 0

на

М0,

мы видим, что на М0

условие

(8.1.22)

выполняется.

Пусть

—

произвольный элемент группы G, отличный от лк.

В силу равен

ства

З И П ,

а]))

-E[l,a]}

f(g(d[l,

а]))

£<3[1,

а]

мы можем, используя (8.1.15), определить элемент U([l,

а])

так,

чтобы

дЩИ,

a])

/ ( g ( [ l ,

а])) -

о ] .

Если а

лк,

то элемент U([l,

а]) следует выбрать несколько иначе.

Так как df(bk)

0, можно найти

такой элемент пк

в М2,

что

= f(bh).

Положим

U([l,

лк])

(лк

— 1)пк.

Согласно

формулам

(8.1.18)

(8.1.20),

№ .

Ш ,

я ^

(Як -

1)/(Ьк )

= дЩИ,

я ^ ) .

Положим

(7([a,

р]) =

aU{[\,

а _ 1 р ] ) .

Тогда

равенство

(8.1.22)

вы

полнено

на Mt.

мы должны определить

элемент

U([l,

а,

р])

так,

чтобы

дЩИ,

а,

р])

f(g([i,

pi))

E l i , a,

Р] -

Щд[1,

а, Р]).

Осуществить это возможно потому, что граница цепи, стоящей в пра вой части, равна 0. Полагая U([a, Р, у]) = a t 7 ( [ l ~ \ р, a _ L y I ) . мы получаем требуемое отображение U.

§ 8 . 1 .

ГРУППЫ КОГОМОЛОГИЙ ФУКСОВЫХ ГРУПП

279

Пусть

х £ Z L

(

G , X).

Тогда

существует такой элемент у группы

CL~1(G,

X),

что

y=*x°U.

силу

формулы*

(8.1.22)

xofog

—

— Ex

ду.

(Если i ^ 1, то

у = 0.)

Если i =

то

y(nh)

x(U([l,

nh\))

( n h

— i)x(nh)

6 ( я ь — 1)X;

следовательно, у

£ C Q ( G ,

X).

Это говорит о том, что g1 о f

Е «(тож

дественное отображение) для i = 0, 1, 2.

Аналогичным

образом

мы

получаем Д-линейное отображение

У: ^ j - ^ ^ l i + i ,

обладающее

следующими свойствами:

(8.1.24)

Уа

= а У

(а'и € G),

(8.1.25) go /

— Е-(тождественное

отображение) = ЗУ +

УЗ,

(8.1.26) V(th) = 0.

Так

как

a°g°f

= E-a,M&

А0,

мы

можем определить

для

£ <$о

элемент

y(s)

так,

чтобы

ЗУ(я) = g(f(s))

— Es.

частности,

можно

положить

V(qh)

Ebh.

Что

же касается элементов dj, то возьмем

1-цепь hj

на Ai

так, чтобы 9 ^

= рп

— d}, и положим

V(dj)

(E/ej).

e j ( ^ ) .

v=0

Тогда можно считать, что V(a(p)

аУ(р) для а £ (? и для произ

вольного

0-симллекса

не приходя к противоречию. Проводя

построения, аналогичные применявшимся при конструкции отобра

жения U, мы определим отображение				У на множествах Si и Sz	так,
что	окажется	выполненным	условие	(8.1.25), и положим V(a(s))	=
=	aV(s) для	а £ G , s £ St.	Выбор	отображения У, обладающего

свойством (8.1.26), возможен в силу формул (8.1.18) и (8.1.20).

Заметим, что У =	0 на	Аг.
Пусть и 6 Zl(K,	X).	Тогда и о / о g — Ей =	д(и ° У). Если £ = 2,
то ы(У(^)) = 0; следовательно, и ° У £ ^4Q ( X ) .			Это доказывает	равен
ство /* о g - ' == Е -(тождественное отображение)			и завершает	доказа

тельство предложения 8.1.
На самом деле изоморфизм групп						H Q ( G ,	X) и HQ {К,			X)	можно
выявить сразу. Действительно, если w 6 Z ° ( K ,							X),	то w(p)		не зависит
от р.	Поэтому yw(p)			= w(y(p))	= w(p)	для всех у £ G и,			следователь
но,	w(p)	£ XG	= HQ ( G , X).		Обратно, любой		элемент		из	Xе	соот
ветствует некоторому элементу группы HQ (К,							X).	Таким		образом,
группа		H°Q(K,	X)	всегда изоморфна		группе Н% =		HQ	(G,	X).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.2. Пусть Y есть R-подмодулъ модуля X, порож денный элементами (а — 1)Х для всех а £ G . Тогда группа HQ (К, X) изоморфна факторгруппе X/Y.

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 3328 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ