книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

260

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Напомним, что ц{у) £ КА

Для каждого у £ Кл

• Так как пара

(К*,Ф*)

является СМ-типом, то, обозначая

через р комплексное сопряжение

в группе

К* и его очевидное

продолжение

на группу

Кл, получаем

(7.8.3)

ФМх)»

=

Nm

(х)

(х

6 кл).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.40. (1) Каждая

точка

конечного

порядка

на А

рациональна над каъ.

(2) Для х 6 кЛ

существует

такой

единственный

элемент

а

груп­

пы Кх,

что

а-[л{х)-1а

=

а,

ааР = N(il(x))

и

l{u(v))lx<

''1 =

Отображение

£>—>а

определяет,

очевидно,

некоторый

гомомор­

физм

группы

кЛ

в

группу

К*.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

к'

— поле,

порожденное

над

/с

координатами точек конечного порядка па А,

т. е. точками

l,{u(v))

для

всех

v £ К/а.

Для

х £ кл

обозначим через

т

такой

элемент

группы

Gsl(k'/k),

что

т =

[,г, к]

на к'

f] kub.

Положим

у

=

Nh/K(x).

Тогда

т =

[у, К*]

на

к'

(]

К^ь-

В

силу

теоремы

5.15

существует

такой

изоморфизм

группы

С'7м(и.(а:)-1а)

иа

Ах,

что

тройка

(Ах, %х,

0Т ) является тройкой типа (К, Ф; р.(ж)_1а,

N(il(y)%)

отно­

сительно

£'

и

t.(u{v))x

=

£'(u(u,(x)- 1 i;))

для

всех

у 6 /£/а, где

£

имеет

тот

же

смысл, что и в теореме 5.15. Так как т = i d на к, то (A*, 4DX,

Qx) = {A,

4S, 9).

Поэтому

можно

найти такое

линейное

преобразо­

вание

Т

пространства

С",

что:

(i)

Т(и{ц,(х)~ха))

=

и(а);

(ii)

£'

=

=

t o Г; (iii) Т коммутирует

с элементами из Ф(К);

(iv) Т

переводит

риманову

форму

Е

(см. (5.5.15)

в N{i\{y))

-Е.

В

этой

ситуации

Т

=

=

Ф(а)

при

некотором

элементе

а

пз К*,

так что

a•ц.(а:)"~1а

=

а.

В

сплу

(iv)

а а р

=

iV(il(i/))

= N(il(x)).

Из

(ii) следует,

что

Uu(v))x

=

t'{u(p{x)-*v))

=

и^-^хУМ)

(v 6 К/а).

Для каждого целого положительного числа п положим

(7.8.4)

Wn

=

{w £ КЛ\

wa = a,

mv =

v для

всех

v £ 7z_ 1 a/a}.

Пусть

W[

— проекция

группы

на неархимедову

часть

группы

КЛ

И Z — неархимедова

часть

элемента

a-u.(a:)_ 1 .

Тогда- z£W[

и

%{u(v))x

=

|(u(zz;))

для

всех

v £

i f / a .

Очевидно, элемент

z

группы

§ 7.8. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ АБЕЛЕВА МНОГООБРАЗИЯ СМ-ТППА

261

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.41. Для

X = 1,

. . ., п

определим

С*-значную

функцию

л|5>_ на кЛ

равенством

л\>к(х) =

(а/ц(х))х

(х

екЛ),

где

а — элемент

из

утверждения

(2)

предложения

7.40,

однозначно

определяемый

по

х;

символ

( )х

обозначает

компоненту

некоторого

иделя в %-архимедовом простом дивизоре

поля К

(при

произвольном

упорядочении).

Тогда

яр^ — непрерывный

гомоморфизм

из кА

в

С*,

тривиальный

на

/с"

(т. е. ярд, —

большой

характер

поля

к).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

%

— гомоморфизм.

Если

х £ к",

то

[х,

к]

=

i d в утверждении

(2)

предложения

7.40,

так

что

можно

положить

а

—

\.i(x);

следовательно, ty%{x) =

1. Если х

£

К,,

то

вновь

[х,

к]

=

i d

и а = 1,

так

что

яр^(ж) =

(и.(аг)-1)д,.

Возьмем

теперь

произвольное

целое

положительное

число

п >

2,

и

пусть

к"и

— поле,

порожденное

над

к координатами

элементов

^(u(v))

для

всех

v 6

ге-1а/а.

Так как к'™ а

каЬ,

то поле/с""

соответствует

\.i(x) £ Wn

и х а, =

1. Пусть а —

[х, к] и а — элемент из утверждения

(2)

предложеппя

7.40.

Тогда

а =

аа,

ааР

= 1,

и

если v £ п~га/а,

то

|(ф))

= 1Ш)а

= Ша-ф)-^))

=

Uu(av)),

так

что

(а — 1)асг па.

Заметим,

что

а — единица

поля

К, и,

согласно утверждению

(2) предложения 5.11, | ах

| =

1 для

каждого

изоморфизма т поля К в

С. Поэтому элемент а должен

быть корнем

из

единицы. Так

как

гс>2,

то

а =

1, так

что ярд, (я) =

1. Это дока­

зывает непрерывность

гомоморфизма ярд, (а

также то, что ядро ото­

бражения

х\-* а открыто). Доказательство

закончено.

Можно

сопоставить

с

каждым

гомоморфизмом

ярд, некоторую

обсуждения таких

L-функций см. Касселс и Фрёлих

[1] и А. Вейль

[10].) Для каждого

простого идеала р

поля к пусть

& р обозначает

р-пополнеиие к и

о р — максимальное

компактное подкольцо в /ср .

L(s, % ) =

Ш

- ^

( С Р ) Л Ч Р Г Т \

р

где произведение берется

по

всем

простым идеалам р, в которых

гомоморфизм ярд, иеразветвлен,

и где с р — простой элемент поля /ср .

262

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

следующий факт,

ставший классическим: функция L { s , ярх) голо­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть р и с р те же, что выше, и а =

=

[с к]. Предположим,

что А

имеет хорошую редукцию по модулю

р.

Определим фр , R'n

ft(Z)

для

каждого рационального

простого

числа I, как в § 7.6 (с Q и

I вместо введенных там F и 1). Пред­

положим,

что идеал р

взаимно прост с числом I.

В силу

предложе­

ния 7.23 идеал р неразветвлеи в

Так как

cz ка1>,

то авто­

морфизм

а индуцирует элемент

Фробениуса

группы

Gal(Sl(Z)/A-)

ложения

7.40,

то |(u(y))a

=

1(ц(а - р^р) - 1 ^)

для всех

v £ К/а.

Так как Z-компонента

элемента с р

равна 1, то

£(ы(у))ст =

0(a)•Км(у))

для всех

у £ l~na/a,

п =

1,

2,

. . . . Следовательно,

фр

= 0(a).

Если теперь X — переменная,

то

del [1 -

R\ (Ф

) X]

=

f ]

(1 - (а),Х) (1 - (a),X)

=

у

?.=i

= l l

(l-xh(ov)X)(l-b.(cp)X),

>.=i

Пусть

у £ о"

и

a — элемент

группы

К',

определенный для

у,

как в

предложении 7.40.

Пусть

# ( =

со

U 1~та- Предположим, что

многообразие А имеет хорошую редукцию

по модулю р. В силу

(7.8.5)

[у, k]

=

i d на

поле

ft(Z),

так

что

l(u{v))

= £ (u(y)) [ u '" ]

=

=

\{и(а• р,(г/) _ 1 у)) для

всех v £ Hja.

Но

тогда Z-компонеита элемента

a ,

^ ( l / ) - 1 равна

1 и а

=

1; следовательно, л\>к\у)

=

1. Обратно,

если

гомоморфизм

ip? i

неразветвлен

в р, то

ty\{y)

= 1

и

a = [i(y)\ —

1.

§ 7.8. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ АБЕЛЕВА МНОГООБРАЗИЯ СМ-ТППА

263

Поэтому

l{u(v)Y'J,h]

= l(u(v))

Д л я в с е х v^Hja,

т. е. [у,

к]

= id

на ft(Z)

для всех

у — о*.

Согласно (7.8.5), многообразие

А

имеет

ТЕОРЕМА 7.43. В прежних обозначениях

пусть F —

максимальное

вещественное

подполе

поля

К и

oF

— максимальный

порядок поля

F.

Предполоо/сим, что Q(oF) cz

End(/1) и естественное

вложение

К-+-

С

совпадает с

отображением

a

из предложения

7.41.

Тогда

Us;

Alk,

F)

=

L(s, yi)L(s,

%).

(7.8.6)

del [ 1 -

R{(фр)

X ] =

(1 -

aX) (1 - а Х )

=

=

[1-а|>, (ср ) Х ] [ 1 - М с р ) Х ] .

Теорема

доказаиа.

Пусть к' — подполе в к, содержащее К*.

Если тройка (-4,

%, 0)

рациональна над к', то можно

определить характеры гр>. иа

группе

к'А, как

выше

Тогда

легко

проверить, что

(7.8.7)

i k

=

ТЕОРЕМА

7.44.

В

прежних

обозначениях

пусть

М — подполе

поля к,

содержащее

поле К*.

Тогда следующие

условия

эквивалентны:

(1) существует

непрерывный

гомоморфизм

Ф

из

группы

Мл

в группу

С*,

тривиальный на Мх

(т. е. большой характер

поля

М),

для

которого

\\>^ =

ф °

(2) все

точки

конечного

порядка

многообразия

А

рациональны

над

Маъ

'к.

Если

эти

условия

выполнены,

то

для

фиксированного

X число

характеров

ф из

(1)

равно

[Маь

П & : М\.

Заметим, что случай М = К*

наиболее

интересен

(см.

рассуж­

дения после

доказательства).

§ 7.8. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ АБЕЛЕВА МНОГООБРАЗИЯ СМ-ТИПА

265

/ь< 1 1 )

П Маь-

Тогда Ua

S. Пусть s —

такой

элемент

группы

U, что

=

1 и

(.i'(s) е Wni

где 'Wn имеет

тот же

смысл,

что и в

(7.8.4).

показать,

что (px(s) — 1) откуда следует непрерывность

отображения

од.

Согласно

определению

сря,

имеем гр^, =

4>j,°Nk/M.

Так

как

S

= М*

•Nl,/M(k*l), то

гомоморфизм

ср^,: S -*- С

полностью

опреде­

ляется

характером \рк. Таким образом,

наша задача свелась к воз­

можности

продолжения

гомоморфизма

од на группу

МА.

В силу

равенства

\М*л'- S] =

[Маь

П & '• М\

такую

возможность

устанав

ливает

ЛЕММА

7.45. Пусть

G — коммутативная топологическая

группа,

Н

— открытая

подгруппа

в G конечного

индекса

и ср —

непрерывный

гомоморфизм из Н в С*.

Тогда

существует ровно

[G : Н]

непрерывных

гомоморфизмов

из G в С ,

совпадающих

с ср на П.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Разложим

факторгруппу

GIH в

произ­

ведение конечных циклических групп Pit

. . ., Рг порядков ту, . . .

. . ., тг

соответственно

и для каждого

i выберем в G элемент

аь

порождающий

группу

Pt

по

модулю

Н.

Пусть ct — произвольный

корень

??ггй степени из

ср(а™');

положим

ср' (ha^ . . . а?)

=

ср (К) с*»

. . . ср-

(Л б Н, ег

6 Z).

не имеет ни одного автоморфизма,

отличного от тождественного.

Для любых таких точек tt пусть

к'

— поле

модулей структуры ®

(см. стр. 169). Тогда

существует

структура

=

(А', Г ,

0';

t[, . . .,

t'r),

(7.8.8) все

точки конечного порядка многообразия А' рациональны

над

Каь-

266

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Чтобы

в

этом убедиться,

выберем

такой

изоморфизм

С'7н(а)—>-

А',

что тройка (А',

,

0')

имеет тип

(А, Ф; а, £) относительно

Пусть

а 6 Ant(C/A'ab)-

Применим

теорему 5.15

к

структуре

(£'

при

s

= 1. Тогда

найдется

такой

изоморфизм

£" из

Сп /ц(а)

в

А',

что

тройка

(А',

%',

В')

имеет

тип

(А",

Ф;

a,

Q

относительно

и t'(u(v))a

=

ё"(и(у))

для

всех

У (; А/а.

Мы

получаем

такой

авто­

морфизм

у

многообразия

А',,

что

£" = у о ^ ' .

Легко

видеть,

что

7 — автоморфизм

структуры

так

что

7

=

1.

Следовательно,

|' =

|", н

элемент

£ (u(v))

инвариантен

относительно

а

при

любом

у 6 А".-а. Утверждение

(7.8.8)

доказано.

Таким

образом,

многообразие А'

и поле

//

удовлетворяют

усло­

вию

(2) теоремы 7.44,

где М заменяется иа А"*. (Нам даже

известно,

что

A;' cz

К*ъ-)

Иногда

можно

взять

к'

в

качестве

поля

модулей

структуры

(А,

Х-, 8).

Например,

будем

считать

выполненными

следующие

условия:

(7.8 9)

(i)

ЕпсЦЛ) f]

=

О ("к),

г&е

»к — максимальный

поря­

док поля A ; (ii)

кольцо $к не содержит корней из единицы,

отличных

от

+ 1 ;

(iii)

кольцо

ок

имеет

такой

простой

идеал

I), что N(b)) =

3.

Возьмем

элемент

b

поля

А ,

порождающий

группу

t)- 1 a/a,

п положим t

=

t(u(b)).

Пусть 7

— автоморфизм структуры

(А, ¥,

8;

t).

Тогда

7

=

0(e),

где

е — кореиь

из

единицы,

содержащийся

в о к ,

и

t =

yt,

так

что

гЬ =

b mod а.

Так

как

е =

±

1 и

b имеет

порядок

3, то е = 1. Следовательно,

(А,Хс

,

0;

I)

не

имеет

авто­

морфизмов, отлпчных от тождественного. С другой стороны,

(7.8.10)

{А,

0;

t) п (А, Чё, 0) имеют

одно и то же поле

модулей.

причем этому

условию

удовлетворяют лишь

точки

±t,

поэтому

g-ijja _

Следовательно,

либо

б,

либо

—б задает

изоморфизм

структуры

(A,

r<f, 0; t)

в (Аа,

%а,

0 a ;

f),

и

утверждение

(7.8.10)

доказано.

структуру

(А', <&', 0'; t'), изоморфную (А,

9g, 0; t), определенную

над полем

модулей

структуры (А, %, 0) и удовлетворяющую усло­

вию (2) теоремы 7.44

при М, замененном на

А* .

§ 7.8. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ

АБЕЛЕВА МНОГООБРАЗИЯ СМ-ТИПА

267

характеров

группы КА

типа

описанных в условии (1) теоремы 7.44

равно lK{j)

: К], т. е.

числу

классов поля К. Для К = QQ^—d),

эллиптическая кривая Е, определенная пад полем

K(jE),

точки

конечного порядка которой рациональны над КаЬ.

Пусть

Е' —

эллиптическая кривая, определенная над K(jЕ)

и изоморфная

кри­

вой Е над полем Q. Предположим, что Е'

также

удовлетворяет

порядка иа Е'

рациональны над Каъ-

Тогда легко видеть, что любой

изоморфизм X кривой Е в кривую Е'

рационален над КаЪ.

Однако

это не всегда

так, потому что наименьшее поле определения для

X, содержащее

K(jЕ), не обязательно

содержится в КаЬ. (Например,

возьмем любой элемепт р, для которого р 2 £ K(jЕ)

и р (| КаЬ,

и опре­

делим изоморфизм X в соответствии с предложением 4.1.) Таким

образом,

кривая Е' при таком выборе

X не может удовлетворять

условию

(2) теоремы 7.44 с К в качестве

М.

Для произвольной эллиптической кривой Е с комплексным умно­

жением

Донрпнг [3,IV] определил дзета-функцию кривой Е над по­

лем, не содержащим рассматривавшегося

только

что мнимого квад­

ТЕОРЕМА 7.46. В

обозначениях

теоремы

7.43

пусть к0

— поле

алгебраических

чисел

конечной степени,

над которым пара (А, %)

рациональна.

Предположим,

что многообразие

А

простое,

0(oF ) с=

сг End(/1), каждый элемент из 0 (oF)

рационален

над к0

и к0

|~| К* —

максимальное

вещественное

подполе

в К*.

Определим

характеры \рх

группы (к0К*)2, как выше,

заменяя к

на

к^К*.

Тогда

функция

множителей с функцией L(s, xpi). Точнее,

для

почти

всех

простых

дивизоров (| поля

kQ

эйлеров

([-множитель

функции

£(s; A/k0,

F)

равен произведению

эйлеровых

^-множителей

функции

L (s,

ijjj),

где р — простой

множитель дивизора q в поле

к0К*.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим к =

к0К*.

Тогда [к : к0] =

= 2. Пусть

р — комплексное сопряжение

и т — элемент

группы

Ga\{kab/k0),

нетривиальный

па к. Так как В(К) =

E n d Q ( ^ ) ,

можно

определить

автоморфизм е

поля К, положив 0(а)т = 0(ае ).

Имеем