книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

250

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Итак,

(а-баб-1 )

=

р

*

mod Т,

0

р

Щ {а.8~1о8)

=

' р

*

mod t.

О

р

Поскольку

баб 1 =

8 1 а б =

( — 7 - )

на

из

равенства

x = ( _ ^ j ~ " )

следует,

что

т — а - б а б - 1

= а - б - 1 а б ,

так

что

хх

— рх

для

каждого

( I I I )

Пусть

т — целое

положительное

число,

взаимно

простое

с N(c)N,

и а

=

(-j^y-) • Можно

найти простое

рациональное число р,

взаимно

простое

с

N{c)N,

для

которого

р =

т mod N(c)Nh/q

(f),

где

f — конечная

часть кондуктора

поля F над полем к. (Заметим,

что

JVfc/Q (f)

делится

только

на

простые

множители

числа

N(c)N,

так как каждый простой идеал в к, взаимно простой с N(t)N,

не раз­

ветвлен

в

F.)

Тогда

а =

i и >

следовательно,

в

силу(1)и(П)

ха

=

рх

— тх

для каждого

х 6 5-

Доказательство

закончено.

СЛЕДСТВИЕ

7.31.

Пусть

с П

Z =

qL при некотором

положитель­

ном целом числе qut,

— первообразный корень

q-й степени

из

единицы.

Тогда

£ 6

i 5

,

u

F ф

&(£).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

р — простой идеал в к, не

де­

лящий

qN.

Если

а = (—р—-) =

i d ,

то

ga

=

ha

=

1 mod с,

откуда

iV(p) =

1 mod gZ. В

силу теории

полей

классов это

означает,

что

k(t,)a

F.

Выберем такое простое рациональное число р,

не

делящее

N,

что р =

— 1 mod qZ, и положим т = ( - ^ у - | . Тогда т =

i d на

k(Q;

и(а) группы иделей кл

поля к,

положив

(7.7.14)

и(а)

=

{(хр)

е П

гр

| х?

— 1 6 гр а

для

всех

р} .

ЛЕММА

7.32.

Пусть

F — абелево расширение

поля к и

iv —

подгруппа

группы

кЛ,

соответствующая

полю F. Предположим,

что

u(aln ) cz го

при

некотором

целом

идеале

а в поле к, некотором

про­

стом

идеале {

в к и

некотором

целом числе

п^>1.

Предположим,

далее,

что

число

[F:

к)

взаимно

просто

с N(\). Тогда

u(al) cz

to.

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ

ПОЛЕЙ

КЛАССОВ

251

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Это

утверждение

вытекает

непосред­

ственно

из равенств

IF

: к]

=

Ikl :

to], lu(ot) : u(atn)l =

Положим q =

TV(c). Дальнейшую информацию о кондукторе

поля

F мы получим,

сделав

следующие

предположения:

(7.7.15)

(i) число

q

просто;

(ii) число N

свободно

от квадратов;

(iii)

число N взаимно

просто

с q(q — 1);

(iv) ip(a)

=

Тогда k

= Q_('[/"N).

Так

как ap(—1) =

1, то

TV =

1 mod(4).

Согласно

предложению

7.28,

qr = qqE

при

различных

(главных)

простых

идеалах q и qE поля к.

Заметим,

что

группа

о'/с

канонически

изоморфна

группе

Z/gZ.

Поэтому числа g a

, h a из (7.7.11) могут быть взяты из кольца Z по мо­

дулю gZ. Таким

образом,

имеет место

инъективный

гомоморфизм

(7.7.16)

Gel{F/k)

Эт ~

(gx,

hx) 6

( Z / g Z ) * 2 .

Отсюда следует,

что

число

[F : к] делит число

(g — I ) 2 .

ТЕОРЕМА

7.33.

Пусть

i — произведение

двух архимедовых

про­

стых дивизоров поля к. Тогда кондуктор

поля F

над

к равен

qqe i.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

f — кондуктор

поля

F

над

к.

В

силу следствия

7.31

кондуктор

t должен

иметь

вид

f =

i-qa (c,E )b -

П

шс

m|jv

при некоторых целых

а >

О,

Ъ >

0,

с ^ 0

(с

зависит

от

т ) ,

где

т

пробегает

множество

всех

простых идеалов поля к, делящих ТУ.

Так как число [F : к] делит (g — I ) 2

, то из (7.7.15) и леммы 7.32 выте­

кает, что

а,

Ь, с меньше или равны 1, а кондуктор f

имеет

вид

iqqit

при некотором свободном от квадратов

идеале

п, делящем число TV.

Для доказательства

равенства

п =

т возьмем любой простой идеал

ш, делящий

TV,

и такой идеал

т ' ,

что

mm' =

] / T V - T . Пусть х

£ т„,.

Так как группа

i / m m ' изоморфна

группе Z / T V Z , можно найти

такое

положительное целое рациональное число у, что у =

х mod m и у ==

=

1 mod gm'. По

теореме 7.30

( y j y )

=

1- Пусть х'

— образ элемен­

252

Г Л . 7. Д З Е Т А - Ф У Н К Ц И И

Наша следующая

цель — выяснить, действительно

ли поле F

максимально среди полей классов лучей с кондуктором

iqqE . Пусть

"о — фундаментальная

единица поля к и v„ — такое

наименьшее

положительное

целое число, что и%п вполне положительно и и^п =

=

1 mod (qqe )n . Пусть далее Fn

— максимальное поле классов лучей

по

модулю t-(qqe )'1 над полем к, т. е. подполе поля каЬ,

соответствую­

щее подгруппе

/Wv^+.u^qq6 )1 1 )

группы /«Л, где и( )

имеет тот же

смысл, что и в (7.7.14). Если ск

— число классов поля к, то

что ul — 1 =

i / 0 - T r h / Q

(u 0 ),

если NK!Q

(и0) = — 1 .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.34.

Предположим,

что

N),/Q (и0)

=

— 1

и

и~ — 1 делится

на q. Пусть

qm — наивысшая

степень

q,

делящая

Tt'ft/Q (и0), и $р — объединение

полей

Fn

для всех п. (Другими слова­

ми, зр — наибольшее абелево

расширение

поля к, в котором

развет­

влены только

q, qB и архимедовы простые дивизоры.)

Тогда

поле

ер

порождается

над Fm корнями

qn-u степени

из единицы

для всех

п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

it* =

1 +

qmv

при некотором

показать, применяя индукцию по п, что v „ + m

= 2qn, и, следователь-

но,

[Fn+m:

к] = ch{q -

l ) V + 2 m

- 2

в

силу

(7.7.17).

Положим

=

ехр[2ш/<7п ].

Тогда k(Z,n+m)

Г) Fm

= Щт).

Дей­

ствительно, если k(t,n+m)

f| Fm

больше,

чем к(£,т),

то Fm

должно

содержать к(с,т+1).

Возьмем такое

простое

рациональное

число

р,

что

р = 1 - f qm mod(g m + 1 )

и ip(p) =

— 1 . Тогда

простой

идеал

pi

поля к полностью распадается

в Fm,

ио не в / i ( £ m + 1 ) ,

так как

р2ф

ф

1 mod(f7m 'f l ). Следовательно,

поля

k(Z,n+m)

и Fm

линейно

разделе­

ны над k(tm),

так что

iFm&n+m)

••

k] =

qn-[Fm:

k] =

[Fn+m:

к].

Так как Fm{t,n+m)a

Fn+m,

то Fm{t,n+m)

=

Fn+m;

предложение

дока

зано.

Заметим,

что каждый

элемент

группы

(r/gr) x

представляется

некоторым вполне

положительным

элементом группы г. Для каж­

дого вполне положительного элемента а группы х, взаимно

простого

с q, рассмотрим число сг=(

) , а также

элемент (ga, ha)

группы

(о'/с)*2

из (7.7.11)

или группы

(Z/gZ)x 2

из

(7.7.16).

Заметим, что

группа

т/gr изоморфна

(Z/gZ)2 . Следовательно, мы получаем точную

последовательность

гомоморфизмов

(7.7.18)

(Z/gZ)x 2 +

( t / g r ) * - > Gal (F/k) - >

(b'/c) x 2 - ^(Z/gZ) x 2 ,

§ 7.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ КЛАССОВ

253

ностью

до

множителей.

Напомним

также,

что отображение а и-»•

|—*• (gcu ho)

не

зависит

от

выбора

точек

s

и t. Для каждой пары

(х,

у) £

(Z/qZ)"2

при х

и

у из

(Z/qZ)x

обозначим через

(g(a;, i/),

/г(£,

г/))

элемент группы

(Z/qZ)"2,

соответствующий паре (я,

jy) отно­

чился

гомоморфизм

(7.7.19)

(х, у)

^

(g{x,

у), h{x,

у))

группы

(Z/gZ)*2 в себя. Естественно поставить следующий вопрос

(при числе классов поля к, равном 1):

(7.7.20)

является

ли отображение

(7.7.19)

тождественным с точно­

стью до

изменения

х

и у?

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.35.

Если

[F : к]

=

(q — I ) 2

,

Nh/Q{u0) =

— 1 и

число классов поля к равно 1 , то F

=

^

u и\ — 1 делится

на q.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

F cz

F^ и

vt

^ 2,

то

[F

: к] <

[Ft : к]

= 2(q -

l ) 2 / v j

<

(q -

l ) 2 .

Поэтому,

если

\F :к]

=

(q —

I ) 2 , то

vt = 2 и F

=

Fi.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.36. Отображение

(7.7.19)

обладает

следующими

свойствами:

(а)

g{x,

х) =

h{x,

х)

= х;

(б)

g(x,

y)h(x,

у) =

ху\

(в)

g(x,

у) =

h{y,

х).

1 Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое

свойство

следует

из

теоре­

TVfe/Q(a) было простым

рациональным числом р и не делило qN.

Если

х =

a mod q

и

у =

a mod qE ,

то

у =

a e mod q,

так

что

ху

=

=

р mod qZ.

Из

(7.7.12)

мы

получаем

сравнение

р

=

== #(а;, y)h(x,

у) mod gZ и,

следовательно,

свойство

(б). Из доказа-

тельства

теоремы

, п

видно, что

если

/

F/k\

и

I

F/k

\

то

7.30

ст=^—pj

т = ^ — ^ - j ,

ga

=

hx,

ha == gx

mod с. Свойство

(в)

доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.37. Существует

такое

целое

рациональное

чис­

ло

Ь, что

g(x, у)

== х^У,

Цх,

у)

=

Л 1

" " -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как группа

(Z/qZ)x

циклическая,

то

g(x, у)

=

хауь,

h(x,

у) =

хьуа

при некоторых целых числах

а,

Ь,

(а) мы получаем

а + Ь з= 1 mod(g — 1), и предложение доказано.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

7.38. Ответ на вопрос (7.7.20) утвердителен тогда

и только тогда, когда

(7.7.21)

ар = T r f c / Q ( a ) mod с

Тогда T r f t / Q ( a ) =

х0 +

у0 mod gZ

и

g(x0,

Уо) +

Чх0,

уо) =

ga + К =

ар

mod с

в силу (7.7.12). Поэтому, если отображение

(7.7.19) тождественно,

мы получаем (7.7.21). Обратно, предположим,

что условие (7.7.21 )>

выполнено

для

некоторого а и элемент а/аЕ

имеет порядок q — 1

в группе

(r/q)x .

Тогда

х0

+ у0 =

g(x0,

Уо) +

h(xQ, у0)

mod qZ.

необходимости

изменив

х и

у, что

Zo =

g(x0,

Уо),

Уо =

Цх0,

у0)

mod qZ.

Если

Ъ — число

из

предложения 7.37,

то

х0

= xl~by^ mod qZ, так

что

(х0/у0)ь

=

1 mod qZ\

следовательно,

Ь =

0 mod(g — 1). Поэтому

g(x,

у) = х,

h(x,

у)

= у

для

всех х

и у

из

(Z/qZ)x.

Доказательство-

закончено.

Таблица на стр. 255 дает коэффициенты Фурье ар для всех про­

стых уровней N

^

97 при тр(х) =

Заметим, что

S2(T0{N), гр) =

256

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

со

с точностью до сопряжения над Q,

форма / = 2

я „ е 2 я ' п г

еДИИСТВеИ-

r ^ l

на с точностью

до сопряженности

коэффициентов

ап над

Q. Имеем

[К

: Q] = 2 Л К ' : Q] = dim(52 (r0 (iV), г|>)).

уравнения для них

относительно фиксированного

поля,

сопряжен­

ного

к К,

и фиксированного изоморфизма

0.

Заметим,

что число и\ — 1 =

и0 •TI , I,/Q(«O)

делится

на

iV(c)

для всех указанных N. Например, если N =

61, то а2 = ] / * — 4— ] ^ 3 ,

так

что с = ( — 4 —

|/3) и N(c) = 13. С

другой

стороны,

и0

=

= (39 -г 5"|/"б1)/2;

следовательно,

NhlQ(u0)

=

39.

Мы видим,

что

ТЕОРЕМА

7.39. Следующие

утверждения

справедливы (по

крайней

мере)

для N

= 29, 53, 61, 73, 89, 97.

(1)

Отображение

(7.7.19)

тождественно

с

точностью

до

изме­

нения

х и

у.

(2)

F =

F i , т. е. F — максимальное поле классов над k =

Q(YN)

с кондуктором qqE i.

(3)

Не

существует

абелева

многообразия,

определенного

над

Q

и изогенного

многообразию

А'

над

Q.

(4)

Многообразие

А'

простое

и

E n d 0 (А')

=

Q'(K').

(Это

утвер­

ждение верно

также и для N =

37, 41.)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы обсудим здесь лишь случай N = 97;

остальные

можно

рассмотреть

аналогично

и

даже

проще.

Если

N =

97, то, как

показывает

таблица, К'

=

Q(7- ), г =

—(со +

со- 1 ),

со =

e2ni<<i,

q = 467.

Число

г

удовлетворяет

уравнению

(*)

X3

-

3 Z -

1 = О,

корни

которого

суть

г,

2 — г2

= —(со2

+

со- 2 ),

г2 — г — 2

=

единственный простой идеал, являющийся общим

делителем

чисел

20 — ?• и 467. Выбирая подходящим образом

изоморфизм 0,

можно

взять

этот простой идеал в качестве идеала с. Таблица показывает,

что а3

— корень

уравнения

(*). Имеем

г =з 20,

2 — г2 =

69, г2 — г — 2 =

378

mod с.

258

ГЛ. 7. ДЗЕТА-ФУНКЦИИ

Для доказательства утверждения (3) рассмотрим произвольное

абелево многообразие В,

определенное над Q, и некоторую

изогению

X

из

А'

в В,

рациональную

над Q. Можно

найти такую

изогению

X'

из

В

в

А',

что Х'Х =

deg(A-) чсЦ',

где id..i> — тождественное

ото­

бражение

многообразия

А'.

Пусть

£ — ограничение

отображения

0(а5 )

на

А'.

Так

как а5 £ Ь0 п

NK/Q

(а ) =

467, то

| —

изогения

из А'

в Л ' е

степени 467. Продолжим е до некоторого автоморфизма 6

поля

Q.

Тогда Х'Х6^ — эндоморфизм

многообразия

А',

так

что

Х'Х&Х =

б'(е)

при

некотором

элементе

е из

о'.

В силу

(7.6.1)

W K V Q H 2

= deg(6'(e)) =

deg(rxeg)

=

467 -deg^)8 ,

ар == T r f t / Q ( a )

mod с3

вместо

(7.7.21). Тогда координаты некоторых точек порядка 5*

на

А

будут порождать поле F3

над

полем к.

Касселман

[1] доказал, что

абелевы

многообразия А' для N =

=

29,

53, 61,

73, 89, 97 имеют хорошую

редукцию для всех простых

что функции

£(s;

A'Ik)

есть

не

что

иное,

как

со

г»

L (s, /) L (s, /р) =- (

У

a n n - ) ( S

« £ « - ") .

71=1

71= 1

если Лг = 29. В теореме 7.25 мы

видели, что множители

Эйлера

функций

£(s;

A'Ik,

К')

и L(s,

f)L(s,

/ р ) совпадают для всех простых

идеалов

в

к,

отличных от

n =

VN-г.

Теперь

же

заметим,

что

А'

и А'г

имеют одну и

ту

же редукцию

по модулю п.

Еслн a £ о

и

аР =

—а, то отображение

9(a) определяет изогению

из А'

в

А'а.

Беря

ее

по модулю п, мы получаем элемент

кольца

End (п(<4')),

который

вместе с Q'(K')

порождает подполе Ш в кольце E n d Q

(п(А')),

изоморфное

полю

К.

Пусть

ф — эндоморфизм

Фробеииуса

степени

N

многообразия

п(А').

Так

как

элементы из

Й |~|

Еш](п(А'))

определены над

про­

быть, содержится в К, согласно предложению 1 из

книги Шпмуры

и Таниямы [ 1 , стр. 39]. (Если N = 29, то dim(-A') =

1, и наше утвер­

теореме

Вейля,

| ф^|2

=

N

для

каждого

изоморфизма

т

поля

К

в С. Если N =

29, то

К =

Q (]/"^5), и

из

условия

| <р0_|* =

29

следует,

что ф0

= ± 3

±

2 ) / —5.

Положим a

= (29 +

5

У29)/2=