книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

гладким (соотв. голоморфным)

гомеоморфизмом.

Мы будем говорить о непрерывных, гладких или комплексно-

аналитических

расслоениях

или

G-расслоениях в

соответствии

с тем, какой из пучков

G c , Gb, G m рассматривается.

Пусть

W —

непрерывное,

гладкое

или

комплексно-аналитическое

расслоение

над X с проекцией я. Сечением

для

W над открытым

множеством

U

называется

непрерывное,

гладкое или

голоморфное отображе­

ние

s:-U —> W, такое,

что ns — тождественное

отображение.

Если

существует

сечение над

всем

X,

то

мы будем просто говорить,

что

W обладает

сечением.

З а м е ч а н и е . Общую схему

п. 3.2а

можно

использовать

для

определения

многих других

типов

расслоений

(например, веще­

пучок G c

соответствующим

пучком. Вообще можно говорить о рас­

слоениях

с заданным структурным

пучком ( Г р о т е н д и к

[1],

Х о л ь м а н

[1]). Для целей

этой книги

достаточны пучки

G c , Gi>

и Go).

3.2с. Рассмотрим непрерывное действие топологической

группы

G на топологическом пространстве F, не являющееся эффектив­

ным. Элементы h из G, действующие тривиально

на F (т. е. такие,

что hf =

f

для всех f^F),

образуют замкнутую

нормальную

под­

группу N группы G. Имеется эффективное непрерывное действие

топологической группы G/N на F.

Если

G — вещественная

группа Ли,

то такова

же всякая

замк­

Если

G — комплексная

группа

Ли, то

замкнутая

подгруппа

группы G не обязана быть комплексной группой Ли. Однако, как

легко доказать, замкнутая нормальная подгруппа группы G, опре­

деленная

голоморфным

действием

на комплексном многообразии

F, является комплексной группой Ли. В этом случае имеется эф­

фективное голоморфное

действие

комплексной

группы

Ли G/N

на

F.

Имеют место естественные отображения [см. 3.1(2)]

t:

W(X,

Gc)->Hl{X,

(G/N)c),

если X—топологическое

пространство,

t: Hl{X,

Gi)^Hl[X,

(G/N\),

если X—гладкое

многообразие,

t: Hl(X,

G^-^H^X,

(G/N)a),

если J—комплексное

многообразие.

F,

ассоциированном с

g. Аналогичное

замечание относится к Gb

и

Go,.

3.2d. Следующие замечания равно относятся к непрерывному,

гладкому

и комплексно-аналитическому

случаям.

Пусть

Е — главное

расслоение над

X со структурной группой

ставлении

Е

в

виде

U X G

(т. е. в допустимой карте)

действие

элемента

a^G

задается

формулой

(и X g)a

=

« X go-

Это дей­

ствие

элемента

а є б

на

Е не зависит от выбора

допустимой

карты, так как координатные преобразования

(3),

(3*)

опреде­

ляются левыми

сдвигами.

G

Рассмотрим

действие

(необязательно эффективное)

группы

на F. Мы покажем теперь, как построить расслоение W над X со

слоем F, исходя из главного расслоения Е. Образуем прямое про­

изведение

Е X F

и отождествим

еа X / с e\af

для

всех Й Є О ,

с є £ ,

f є

F.

Факторпространство

UP

естественным

образом

яв­

ляется расслоением над Л' со структурной группой G и

слоем

F.

Расслоения

W

и

Е

ассоциированы

с

одним

и

тем

же

G-pac-

слоением.

3.3. Пусть

X,

У — топологические

пространства,

<р: У

X

—

непрерывное

отображение

и

G — топологическая

группа.

Тогда

имеется естественное

отображение

Ф*: W(X,

Gc)-+Hl(Y,

Ос).

(4)

Если в открытом

покрытии

VL = {Ut}{eI

пространства

X

элемент |

представлен U-коциклом {gij},

то

<р*| представляется

в

открытом

покрытии qp-1U = {ф~"1£//}/<=/

пространства У ф- 1 Ц-коциклом

{g^/ф};

Ф*| называется G-расслоением,

индуцированным

из

G-расслое-

ния | с помощью отображения ф.

Пусть

W — расслоение

над X со структурной

группой

G, слоем

F и проекцией я, ассоциированное с §. Следующая

конструкция

дает

расслоение

q>*W над

У,

ассоциированное

с

ф*|

и

имеющее

слой

F.

(p*W — подпространство

Yy(W,

Пусть

в

состоящее

из

точек

у X w є

У X

U7, таких, что

Ф ( # ) = я (до). Оно

будет

расслоением

над У с проекцией, индуцированной

проекцией

на

первый множи­

тель в произведении.

Пусть ф: Y—*X-—гладкое

или

голоморфное

отображение

глад­

ких или

комплексных

многообразий

X

и У. Пусть

G — веществен­

Ф*: Hl(X, Gb)-*Hl(Y,

Gb) или Ф *: Я 1 (X, GJ-+H1 (У,

GJ.

(4')

Определение ф* и построение расслоения cp*W таковы

же,

как и

в непрерывном случае.

3.4а.

Пусть

G'

— замкнутая

подгруппа

топологической

груп­

пы G . Рассмотрим пространство G/G'

левых классов

смежности

xG', X G E G ,

и

естественное отображение

о: G - + G / G ' .

Обозначим

через е ЄЕ G —

единичный

элемент. Утверждение

о:

G — > G / G '

допускает

локальное

сечение

(5)

означает,

что

имеются открытая окрестность V элемента 0(e) в

GIG'

и

непрерывное

отображение

~s: U - > G ,

для

которых

as —

тождественное

отображение

Т е о р е м а

3.4.1

(С т и н р о д

[1], 7.4). Если

имеет

место

(5),

то G

можно

естественным

образом

рассматривать

как

главное

расслоение

над

G/G'

со структурной

группой

и

слоем

G'

и

с про­

екцией

а.

Т е о р е м а

3.4.2.

Пусть

G' — замкнутая

подгруппа

веществен­

ной

группы

Ли

G. Тогда

G' является вещественной

группой

Ли и

a: G—*GjG'

допускает локальное

гладкое

(даже

вещественно-ана­

литическое)

сечение.

Можно естественным

образом

рассматри­

вать

G как

гладкое

главное

расслоение

над

GIG'

со

структурной

группой

и слоем

G' и проекцией

о.

Т е о р е м а

3.4.3.

Пусть

G' — замкнутая

подгруппа

комплекс*

ной

группы

Ли

G. Тогда

о: G—+G/G'

допускает

локальное

голо­

морфное

сечение.

Можно

естественным

образом

рассматривать

G

как

комплексно-аналитическое

главное

расслоение

над

G/G'

со

структурной

группой

и слоем

G' и проекцией

о.

Существование

гладкого

(голоморфного)

локального

сечения s

в теоремах

3.4.2 и 3.4.3 можно доказать

с помощью

канонических

координат

в окрестности

точки

е є

G .

В

частных

случаях,

встре­

ное многообразие, смотря по тому, какой

случай рассматривается.

Пусть G' — замкнутая подгруппа

группы

G . В непрерывном хлу-

чае будем предполагать, что выполнено

(5). В комплексно-анали­

тическом

случае предполагаем,

что G'', G — комплексные

груп­

пы Ли.

С о г л а ш е н и е .

Пусть

W — расслоение со структурной

груп­

пой G и слоем F, ассоциированное с G-расслоением |

над X

(см.

3.2а и 3.2с). Обозначим через h естественное вложение

множества

G'-расслоений над X в

множество G-расслоений над

X, индуци­

рованное

вложением

G'

в

G (см. 3.1). Если найдется

G'-расслое-

ние І над X, такое, что

Л.| =

| , то мы будем говорить,

что

структурную группу

расслоения |

можно

редуцировать

к G''. Если

Т е о р е м а

3.4.4.

Можно

естественным

образом

рассматривать

Е как

главное

расслоение

над

E/G'

со

структурной

группой

и

слоем G'

и

проекцией

о.

Пусть

І — соответствующее

G'-расслое­

ние над

E/G'.

Далее,

E/G'

можно

естественным

образом

рассматривать

как

расслоение

над

X со

структурной

группой

G,

слоем

GIG' и

проек­

цией р {при этом G действует на G/G' слева, см.

3.2с).

Расслоение

E/G' ассоциировано

с

G-расслоением

|.

Пусть

h

—

отображение

множества

G'-расслоений

над

E/G'

в множество

G-расслоений

над E/G',

введенное

выше. Тогда

hi =

р%

(6)

т. е. после

«поднятия»

с

помощью

р структурную

группу

для

|

можно

естественным

образом

редуцировать

к

G'.

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

из

теорем

3.4.1,

3.4.2

или

3.4.3

чить

(6). Пусть

W — подпространство

в

E/G'XE,

состоящее

из

точек CX.d

в EIG'y^E,

таких,

что

р (с) =

я (d).

Согласно сказан­

ному

в 3.3,

W

есть

главное

расслоение

над

EJG'

со

слоем

G,

ассоциированное

с р*£. Согласно 3.2d,

имеется

расслоение ^

над

E/G',

получающееся

из

Ey^G

отождествлениями daXa^g

— d~Xg

для

всех а є С ,

d є

£,

g e G ;

ffl

имеет

в качестве

структурной

группы С и в

качестве слоя G. Действие G'

на

G

задается

ле­

выми переносами, и поэтому ^

можно

рассматривать

как главное

расслоение

над

E/G'

со структурной

группой

и

слоем

G, ассо­

циированное с hi. Формула

k(dXg)=

o(d)y(Ldg

задает

корректно

определенное отображение

k: W—+W, являющееся

изоморфизмом

главных расслоений, чем завершается доказательство формулы

(6).

Т е о р е м а

3.4.5.

Структурную

группу

для

|

можно

редуциро­

вать к G' тогда и

только

тогда,

когда

расслоение

E/G'

над

X

имеет сечение

s. Если

сечение

s расслоения

E/G'

задано,

то

G'-рас­

слоение

Т| =

5*(1)

отображается в | при вложении

G' —> G. В

этом

случае

имеются

открытое

покрытие

VL = {Ui}i^I

пространства

X

и

система

допу­

стимых карт

UІ X G

для

Е,

такие,

что координатные

преобразо­

вания

gti-

UidUi-^G

отображают

U{ f]Uj

в

G'

и

в

каждой

карте

Ui\G

сечение

s

задается

отображением

u^Ui

в

точку

и \ е

из

E/G',

где е

є

б

—

единичный

элемент.

Коцикл

{gij}

представляет

G-расслоение

|,

если gij

рассматривать

как

отображение

в

G,

и

представляет

G'-расслоение

г\,

если

gtj

рассматривать

как

отображения

в

G',

Д о к а з а т е л ь с т в а

теорем

этого

пункта

можно

найти

у С т и н р о д а

[1] и Х о л ь м а н а

[1]. Существенным

фактом

в

непрерывном

случае

является

предположение

(5)

о том, что

G/G'

допускает локальное

сечение. В остальных

двух

случаях

аналогич­

всегда

существует.

3.5.

Естественное

действие комплексной

группы

Ли

GL(q,

С)

на

комплексном

векторном

пространстве

С„

(см.

0.9)

непрерывно

и

эффективно.

Векторным

расслоением

над X

называется

рас­

слоение

W над

X со

структурной группой

GL(q,

С)

и

слоем

С„.

пологическим пространством

X, гладкие

векторные

расслоения

над гладким многообразием X и комплексно-аналитические век­

торные расслоения над комплексным многообразием X (см. 3.2Ь).

Если q = 1, то W

называется

расслоением

на прямые

или одно­

мерным векторным

расслоением.

I)

— пучок

ростков

непрерывных

сечений

в

непрерывном

векторном

расслоении

W

над

топологическим

пространством

X.

Канонический предпучок для (£(№) сопоставляет всякому от­

крытому множеству

U из

X

С-модуль

всех

непрерывных

сечений

для W над

U.

II)

21 (W) — пучок

ростков

гладких

сечений

для

гладкого

век­

торного расслоения

W над

гладким многообразием

X.

III)

Q(W)

— пучок

ростков

голоморфных

сечений

комплексно-

аналитического

векторного

расслоения

W

над

комплексным

мно­

гообразием

X.

Пучок (5(№) является тонким, если X паракомпактно. Пучок

%(W)

всегда

тонок. В обоих

случаях при'определении

пучковых

гомоморфизмов hi

(см. 2.11)

можно умножать

локальные сечения

на (непрерывные

или

гладкие)

функции

из разбиения

единицы.

Пусть

W — векторное

расслоение

над

X,

ассоциированное

расслоение Е

над X со структурной группой

й

слоем

GL(^, С),

ассоциированное

с \:

Слой

для

Е

над

л є і

есть

множество

всех

изоморфизмов

между фиксированным

векторным

пространством

Cq

и

слоем

Wx

в W над

х.

расслоения W

GL(q,

Векторные

со структурными

группами

R)

и GL+(q,

R)

и слоем

R9

(см. 0.9)

определяются

аналогично.

По­

горным,

таково же, как и в случае комплексного слоя.

3.6а.

Пусть

А

и

В — произвольные

конечномерные

векторные

пространства

над

полем

К. Прямая

сумма А © 5

и

тензорное

произведение

A <8> В

являются снова векторными

пространствами

над К размерности

dim (Л ф В) =

dim А + dim В и

dim(,4<8>B) =

= dim A -dim В.

Векторам

Й Є А , b^B

соответствуют

векторы

й ф і є Л

ф В

и

й й б є Л

Произведение а <8> b

линейно по

каждому множителю и векторное пространство А ® В

порождается

элементами

вида

а® Ь. Имеется

также

векторное

пространство

Н о т ( Л , Б ) над

К, элементами которого

являются

линейные ото­

По

определению

Л* = Н о т (Л, К);

как

хорошо известно,

Аш(А*)

— dim Л.

Определено

также

пространство

ЯМ

р-векторов.

Векторы

а р

а2,

а р е Л

определяют

вектор

ах/\а2/К...

... Л а р

є

А,М,

линейно

зависящий

от

каждого

аргумента. При

перестановке

векторов

аи

а2,

...,

ар

вектор

ах

Л

а2 Л . . . Л

ар

умножается

на

знак перестановки,

и а.\ Л а2

Л

. . . Л

ар = 0, если

два

множителя

совпадают.

Элементы

вида

а\ Л а2 Л . . . Л ар

и

порождают

№А.

Если

dxmA =

q,

то

d i m A , M = ( p ) .

(Подробнее

относительно

этих определений

из

мультилинейной

алгебры

см.

Б у р

б а к и

[1].)

3.6b. Пусть W — векторное

расслоение над X. Слой Wx

над точ­

кой х^Х

является

комплексным

векторным

пространством,

изо­

морфным стандартному слою Cq.

Пусть

W

— другое

векторное

расслоение над X со слоем W'x

и типичным

слоем СЧ' (см. 3.5).

Естественным образом

можно

определить

векторные

расслое­

ния

(сумму

Уитни W и

W),

W ® W

(тензорное произ­

ведение),

Hom(W, W),

W*

(двойственное

расслоение)

и

№W

(расслоение р-векторов).

Слоями

над

точкой

х у этих векторных

странства WX®W'X,

WX®W'X,

Horn (Г*,

W'x), W*x

и XPWX.

Век­

торное расслоение

№(W*)

называется расслоением

р-форм на

W.

В

терминах

допустимых карт

U X Cq

для W

и U X <V

для

W

допустимой

картой

для

W ® W

является

произведение

U X (Cq ® Cq'). Координатные

преобразования для W, Wr индуци­

руют

естественным

образом

координатные

преобразования

для

W ® W.

Аналогично

и

в других

случаях.

Это общий принцип,

сформулированный

Милнором

(см. Л е н г [1], гл. I I I , § 4 или М ил-

н о р

[8]).

Если

W и

W

являются

оба

непрерывными,

гладкими

или

тическом

случаях.

Т е о р е м а

3.6.1.

Пусть

W,

W, W" — векторные

расслоения

над

X. Тогда

имеют место

изоморфизмы

(W © W)

© W" ~

W © (Wr © W"),

W © W as W

0

W,

(W ® W)

® W" <s W ® (W

® W"),

W ® W

as W

®

W,

(W 0

W)

®

as (W ® W") © (W ®

W"),

(W®W)'e*

W®W'\

(W ®W')*s*W

®W'\

Horn (W,

W)

as I T ® W",

(IT)* as

Г .

£с/ш

W

имеет

размерность

слоя,

равную

п,

то

для всех р,

0 < р < я ,

[xpwT

~

я р (№*)>

я" (г*) ® ЯР1Г as хп-р

(W*).

Для

доказательства

этой теоремы

см.

Б у р б а к и ,

Алгебра,

гл.

I I I , указатель

терминов,

Канонические

изоморфизмы.

І Ф 1 '

(сумму Уитни расслоений

| и £') и

GL(qq\

С)-расслоение

| <8> I '

(тензорное произведение

расслоений

£ и £')•

Эти расслое­

тическими

соответственно рассматриваемому

случаю.

Пусть

W,

W — векторные

расслоения,

ассоциированные

с £

и £'. Тогда

£ 0 1 ' определяется

как

Gh(q

+ <?', С)-расслоение,

ассо­

циированное с

W ф U5". Оно

зависит только

от

£

и

£'. Пусть

U =

{Ut}{є/

— открытое

покрытие

пространства X, для

которого £

и £'

могут

быть представлены U-коциклами

(g^.},

{g^},

Si,

'• UІ

-> GL («7,

С),

g', : Ut

П tf, -

GL (<?',

C).

Тогда GL((7 +

<7',

С)-расслоение

£ © £ '

представляется

U-коцик-

лом

{hij},

где

М * ) =

(

о

^ w

j e G L ( 7

+ 9 ' ,

С)

• для

х є { / , п и , .

гї/ (*) = (яг/ (*))*є

G L fo> с )

« л я

х є

^ л и,

— матрица, симметричная

к обратной для

gi,{x).

Аналогично

определяется

как GL ((

р) > CJ-расслоение,

g\Pt(x) = gii(xf)^GL[(qp),

С) для

* є £ / , Л £ / /

.

— матрица миноров размера рХр

в матрице

gij{x).

следовательно, на

ч т о

д а

е т

голоморфный гомоморфизм

ф р

группы

GL(<7, С) в GL (( ^ )»

с )

•

Тогда

кр1

представимо коцик­

лом

typ(gu).

Мы

будем писать

С* —GL-(1,

С). Ясно, что Я°| является три­

виальным С'-расслоением. Для

Oh(q, С)-расслоенйя

£

С*-расслое-

ние

%% представимо

U-коциклом

{g\f},

где

gff (х) —

определитель

матрицы gu(x),

x^UtftUj.

Определения этого пункта немедленно переносятся на QL(q,

R)-

и G L +

(q, ^-расслоения.

3.7.

В случае q=

1 группа

GL(1, С) = С* совпадает

с .мульти­

произведение g ® I ' двух С*-расслоений

| и £'

будет снова С*-рас-

слоением. Если

% и \ '

представимы

U-коциклами

{g^} и {g'{j}, то

| ® I ' представляется

U-коциклом

{g^g^}

(нигде

не

обращаю­

щиеся в нуль

комплексные функции

g{j,

g'tj

на

Ut f)

непре­

ваемого случая). Таким образом,

групповой операцией в Я 1

{Х,

С*),

н'(х, с;), Н1(Х, СІ) в смысле

теории пучков (см. 2.5

и

2.6)

ЯВЛЯеТСЯ ТеНЗОрНОе умножение. ЕСЛИ | ПреДСТаВИМО КОЦИКЛОМ

{gtj},

то обратный элемент £ - 1

есть С'-расслоение, представленное {g^}1 }.

На самом

деле,

£ _ 1

= | \

так что

| ® | * = 1 .

3.8. Мы приведем здесь несколько замечаний о С*-расслоениях,

рассматривавшихся

в 2.5.

Если

пространство

X

паракомпактно,

то имеет

место

точная

когомологическая

последовательность

. . . -+Н1{Х,

Сс)-*Н1{Х,

С * ) - > Я 2 ( Х ,

Z)^H\X,

Се)-> . . .

Согласно

сказанному в

2.11,

пучок Сс тонок,

поэтому

группы

ко-

гомологий

Н1(Х,

Сс )

и

Н2(Х,

Сс )

равны

нулю. Следовательно,

61

является изоморфизмом

между группой

непрерывных

С*-расслое-

Н]{Х, СІ)^Н1{Х,

с;)

из 3.1 (1)

есть изоморфизм.

Если

X — комплексное

многообразие,

то

имеет

место точная

последовательность

. . .

-> я 1 (х, с») -> я 1

(х, с ; И > Я 2

(X,

Z) -> Я 2

(X, C J .

Эта последовательность будет рассмотрена в

15.9,

ментальной теореме Б о р « л я [2] о когомологиях

классифицирую­

щих пространств. В п. 4.5 определены классы

Понтрягина для

непрерывных О (q) -расслоений.

ваться следующими

обозначениями.

Пусть L r есть

r-мерное

под­

пространство в Сд,

определенное

в

координатах Z\,

Z2, . . . , zq

ра­

венствами z r +

l = z r

+

2 = •••

=zq

=

0.

Обратимые

q X (7-матрицы,

отображающие

L r

в

себя,

образуют

подгруппу

GL(r, q — г; С)

группы GL(<7, С). Матрицы

из GL(r, q — г; С) имеют вид

где /4'<=GL(r, С), Л " є

GL(</ — г, С),

а

В — произвольная

комп­

лексная матрица с г строками

и q — г столбцами.

Аналогично

определяется

подгруппа

GL(r, q — г; R)

группы

GL(q, R). Матрицы из GL(r, q — г; R) имеют

указанный

выше вид,

где Л ' є GL(r, R), A"^GL(q—

г, R)

и

В — произвольная

веще­

ственная

<"Х(<7— О-матрица.

Обозначим

через GL+(r,

q — г; R)

подгруппу,

состоящую

из тех

Л є

GL(/', ? —

г; R),

для

которых

A'^GL+(r,

R),

A"^GL+(q—

г, R).

Факторпространство

®(г,д-

г,

С) =

GL (q,

C)/GL (г, q — г;

С) =

U (q)/{i

(г) XV

(q-r)

© (г,

q - г;

R) =

GL (q,

R)/GL (г, q — г; R) =

О (q)/0 (г) XO(q-

г),

© + ( r ,

q - r ,

R) =

GL+(q,

R)/GL+ (r, q - r ,

R)

=

=

SO (9 )/SO ( O X SO

{q-r)

странств в Rg и многообразие r-мерных линейных

ориентирован­

ных подпространств в R? соответственно.

Обратимые

комплексные

q X «/-матрицы,

отображающие

L r

в себя для

всех

г, образуют

подгруппу Д(<7, С) группы

GL{q,

С).

Ясно, что Д(<7, С) состоит из

всех треугольных

матриц из

GL{q,

С)

(матриц, у которых коэффициенты ниже диагонали равны 0).

Группа

Т? =

Д(<7, С) Л U(<7)

унитарных

диагональных

матриц

представляет собой

(/-мерный

тор;

F(q)

=

GL(q,

С)'/Д(q, С)

=

— V(q)lTq

является

многообразием

флагов

в Сд.

Всякий

такой