книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

]_Щ

слой

GL ((7-І, С) ^

слой

^ / с л о й

PQ-{

(С)

\

/

X

Над каждой точкой из X имеем ситуацию,

описываемую

диаграм­

мой (9).

_

•

L/H

является главным расслоением

над

А'. Из

с)

и d)

следует,

что оно

ассоциировано

с и - 1

® | . Мы будем называть

тр 1

<8> |

рас­

слоением вдоль

слоев

Pg_i(C)

расслоения

X

(ср.

(8)).

f) Мы проведем теперь конструкции, описываемые

формулами

(1) — (4), для

GL(q—1,

С)-расслоения

І

над

X

и

все,

что

ка­

жим m =

{q— \) (q — 2)12.

Имеем т = q(q

— 1)/2 == in + (q — 1).

Легко

показать,

что

структурную

группу

GL(m, С)-расслоения | А

(расслоения вдоль слоев

F(q)

расслоения

Е)

можно

редуцировать

к группе GL(m, q—

1; С),

причем

так,

чтобы

| л

(расслоение

вдоль

слоев

F(<7—1)

расслоения

Е)

было подрасслоением, аф* (тр1

®|) —

факторрасслоением. Здесь т р ' ® 1 является расслоением

вдоль слоев

Pg _i(C) расслоения X.

теорема

уже

доказана

для

Мы

предполагаем

теперь, что наша

q—1.

Так как

ф| имеет

в

качестве диагональных

С*-расслоений

последовательность

І2, • • •,

Ід, то

| д

допускает

в качестве

струк­

турной

группы

А ( т , С)

с

диагональными

С*-расслоениями

І/ ® IJ1

( г " > / ^ 2 )

в последовательности,

указанной

в

формули­

ровке теоремы. Но

Ф*(л~' ® 1)==£Г'

®

Поэтому

ф * ( т р ' ® | )

допускает

группу

A(q—

1, С)

в

качестве

структурной группы с диагональными

расслоениями

б 2 ® ІГ1 .

^ ® £ Г ' -

Тем самым теорема

доказана.

Т е о р е м а

13.2.1.

Пусть X — комплексное

многообразие,

£ —

комплексно-аналитическое

GL(q, С)-расслоение

над X и

L —

глав­

ное расслоение

над X,

ассоциированное

с |. Рассмотрим

расслое-

ние

E =

L/A(q,C),

имеющее

многообразие

флагов

F(q) —

=

GL(q,

C)/A(q,

С)

в

качестве

слоя:

qp: Е->Х,

слой F (q).

(Г)

Е является

комплексным

многообразием,

и

<р — голоморфное

ото­

бражение

Е

на

X. Структурную

группу

комплексно-аналитического

расслоения

ф*|

над

Е

можно

естественным

образом

(комплексно-

аналитически)

редуцировать

к

A(q,

С).

Обозначим

q

диагональ­

ных

комплексно-аналитических

С*-расслоений,

в их

естественном,

порядке

следования,

через

| ь

| 2 .

• • • >

Тогда

расслоение

| д

вдоль

слоев

расслоения

(1*)

является

комплексно-аналитическим

GL(m,

С)-расслоением

(m =

q(q—1)/2),

структурная

группа

ко­

торого

может

быть

комплексно-аналитически

редуцирована

к

Д ( т , С);

при

этом

m

диагональных

комплексно-аналитических

С*'-расслоений совпадают

с £г

®

| ~ '

(/ >

/)

в

порядке

следования,

указанном

в теореме

13.1.1.

З а м е ч а н и е : В

предыдущем

пункте

мы

привели

прямое

до­

рема

Ли

гласит

(см. Ш е в а л л е

[1]):

Пусть Н — разрешимая

связная

комплексная

группа Ли

up

—

голоморфный

гомоморфизм

Н

в

GL(m, С). Тогда существует

эле­

мент a e G L ( m ,

С),

такой,

что ap(H)a~l

а

А(ш,

С).

Интересующее нас утверждение

о | А

получается

отсюда сле­

дующим

образом.

Выделим

в

F(q)

=

GL(q,

С)/Д(q, С)

точку,

соответствующую

классу

смежности

A(q,

С),

и

обозначим

ее

через

е0.

Группа

GL(q,

С)

действует

на

F(q),

и

A(q, С)

совпадает с

подгруппой,

жается

в GL(ra, С),

m==~ q(q — \ ) . Так как группа

A(q,

С)

раз­

решима,

то

из теоремы Ли мы получаем, что в Ст(е0)

можно

найти флаг

линейных

подпространств L 0 <zz L x <zz ...

с: L m =

Ст(е0),

Обобщения

теоремы 13.1.1 и связи

с теорией корней для групп

Ли обсуждаются в работе

Б о р е л ь

и Х и р ц е б р у х

[1].

13.3. Пусть

X — почти

комплексное

многообразие

комплексной

ответствующее

факторрасслоение

изоморфно

ф*8(Х).

Пусть

I,-,

f =

1,

q — диагональные С*.-подрасслоения

расслоения qp*|

над Е,

и пусть

с(| { ) =

1-f-уь

\i^H2(E,Z).

Из

теоремы

13.1.1

следует, что полный класс Чженя многообразия Е равен

с(Е)

=

<р*с(Х)

П

( 1 + Y / - Y / ) -

(Ю)

Если в качестве | выбрано касательное расслоение Q ( X ) , то

почти комплексное

многообразие Е

будет

обозначаться через X * .

В

этом

случае

ф*| =

ф*0(^)

допускает

в качестве

структурной

группы

А (га, С) и соответствующие га диагональных

С*-расслоений

совпадают

с

gi,

. . . ,

| „ .

Следовательно,

0 ( f )

допускает

Л (га (га -4- 1) /2, С)

в качестве структурной группы, и соответствую­

щие диагональные

расслоения

равны

®

%п

(n~^i>

> / ^ 1 ) . Из

(10)

следует, что

полный

класс Чженя

многообразия

X А

равен

с ( * А ) =

П ( 1 + У / )

П

0 + Y / - Y / ) .

(П)

13.4. Рассуждения предыдущего пункта переносятся на ком­

плексно-аналитический случай. Пусть

X — комплексное многообра­

зие

комплексной

размерности га с касательным комплексно-анали­

тическим расслоением

Q(X),

и пусть g — комплексно-аналитическое

GL(g, С)-расслоение над X . Тогда Е будет естественным

образом

комплексным

многообразием

комплексной

размерности

га + /га,

m = q(q—1)/2,

которое

проекцией

ф голоморфно

отображается

на X , и Е является комплексно-аналитическим

расслоением

над X

со

слоем . F(q).

Касательное

комплексно-аналитическое

GL(ra +

-f-гаг, С)-расслоение

0 ( f ) допускает

в качестве

структурной

группы

GL(/n, га; С),

так

как Е обладает комплексно-аналитическим по­

лем гаг-мерных касательных

элементов

(поле касательных

к

слоям

мулой (10) предыдущего пункта. В частности, если

1 =

В(Х)

есть

касательное

расслоение,

мы снова положим Е — X А .

В

этом

слу­

чае как подрасслоение £л , так и факторрасслоение

<р*£ = ф*0(Х)

допускают

в качестве

комплексно-аналитической

структурной

казано,

что

и структурная группа

комплексно-аналитического рас­

слоения

0 ( ^ л ) может быть комплексно-аналитически

редуцирована

к

А (я (л +

1)/2, С).

Соответствующими диагональными

расслое­

ниями

являются

комплексно-аналитические

С*-расслоения

It

<8> £,Jl,

£ь

In

(пі^ i>

j ^

Классы

Чженя

для

X А

за­

даются

формулой (11) предыдущего пункта, если

с(|*) =

I +

у{.

13.5а. Почти комплексное многообразие X комплексной размер­

ности я

называется

расщепляющим

многообразием,

если

его глад­

кое касательное расслоение

0(^)

допускает

А(п,

С)

в

качестве

расслоений I , ,

^ є Я ' ( І , СJ)

и в(Х)

является

суммой Уит­

ни расслоений li.

Положим c ( | j ) =

1 + аи

at^ H2(X,Z).

Тогда

с ( *) =

Й (1+а<) .

(12)

13.5Ь. Комплексное многообразие

X

комплексной размерности

п называется комплексно-аналитическим

расщепляющим

многооб­

разием,

если комплексно-аналитическое

GL(я, С)-расслоение

Q(X)

допускает в качестве структурной группы группу

Л (я, С),

т.

е.

если 0(^)

лежит в образе

отображения

W(X,

А (я,

C)J^W(X,

GL(n,

C)J.

Тогда

определены

я

диагональных

расслоений

ІП

є

є Я ' ( І ,

Сщ). Вообще

говоря,

Q(X)

не

является

комплексно-ана­

литической

суммой Уитни

расслоений

£ ь

£„. Однако если рас­

сматривать

все расслоения как непрерывные

(или

как

гладкие),

то

Q{X)

совпадает с

суммой

Уитни

£і ф ... ф

£„.

Класс Чженя

для

X задается формулой

(12).

(1+у)пТ(Х)=%у1

1=0

л

S

Т

(

а

, а

Л

1/Х

(13)

Г < < ,

<

...

<

^ < n

У \

'

Для доказательства воспользуемся определением виртуального

Г^-рода из 11.2(7), применим

(12)

и

получим

для

правой

части

формулы

(13)

'[[(l+yR(y;

at))JlQ(y\ а,)

ад

+ aty)

i=\

i=\

С +

У)ai

T T

аЛ

П 1 - е х р ( - ( 1 +у)

at)

0

+

Л х я

X X

1 — ехр (— аг-)

i=i

=

(1 +

у)пт(х).

При

у =

1 виртуальный

Г г р о д

переходит

в

виртуальный

индекс

2пТ

(X) =

S

(13*)

Так как виртуальные индексы являются целыми

числами

(теоре­

ма 9.3.1), то отсюда

следует

Т е о р е м а

13.6.1.

Род

Тодда

компактного

почти

комплексного

расщепляющего

многообразия,

умноженный

на

2п,

является

це­

лым

числом.

Формулу (13) можно обобщить на случай виртуального 7'-рода.

Если

Ь\,

...,

br<= Н2 (X, Z), г ^

я,

то

(l+y)n-rT(bu

Ь2,

Ьг)х-

JlRiy;

bMl+yRtr.bM^Tla+.yRiy;

a,))JlQ(y;

ak)

• (И)

І=І

i=\

fc=i

• •

Из (14)

и

определения виртуального

Города

следует,

что

(1 +

у)п~тТ(Ь\,

br)x

можно

представить

в

виде

линейной

коэффициентами.

Полагая

в

(14)

у =

1, получим

представление

2n~rT(b\,

br)x

в виде

линейной комбинации виртуальных

ин­

дексов с целыми коэффициентами. Тем самым

доказана

Т е о р е м а

13.6.2.

Пусть

X — компактное

почти

комплексное

расщепляющее

многообразие,

и

пусть

Ьи

Ьт

— элементы

из

H2(X,Z).

Тогда виртуальный

род

Тодда

Т(Ьи

br)x,

умножен­

ный на

2п~\

есть целое

число.

§ 14. Мультипликативные свойства рода Тодда

14.1. Некоторые алгебраические замечания. Пусть

с ь

сп

—

переменные

над

полем

К

характеристики

0.

Рассмотрим

поле

К ( с ь

сп).

Воспользовавшись

новой

переменной

х,

напишем

разложение

1+<?,* +

. . . +спхп

=

(1 +

Yi*) • • • О +

Уях)

и

добавим

элементы

уь

Уп),

\ п

к

полю

K ( c i , . . . , с„).

Получим

поле

К(сі,

cn ) (YI,

которое

является

алгебраическим

расширением

степени га! поля

K(ci,

с„). При этом га! элемен­

тов

Y^'Y"2 • • • YnlT1 '

0 ^ а г

^ я

—t,

образуют

аддитивный

базис

этого

расширения. Легко

доказать

следующую

лемму.

Л е м м а

14.1.1.

Всякий

формальный

степенной

ряд

Р

от

У\, • • •, Уп с коэффициентами

в

К может быть однозначно

записан

в

следующем

виде:

Р=

2

P

E -

. . E

Y W

(і)

г ^ Є

Ра а

а

— формальные

СТЄПЄННЬІЄ

ряды

ОТ

С Р

. . . ,

с

коэффициентами

из

К. £СУШ Р

имеет целые

коэффициенты,

то

и

степенные

ряды

р„

„

имеют

целые

коэффициенты.

а 1 ••• аП-1

Определим индикатор

р(Р)

равенством

P ( P ) =

( - i r (

" - 1 ) / 2

P „

\.п-2

Г

Для

всякой

перестановки

s: (Y,, Y2>

•••>

Y„)-> (Y/ . Y / •

•••>

Y / )

имеем

представление,

соответствующее

(1),

P=

2

pfa..a

Y №

• . . Y f " -

(IS)

и

s-индикатор для P

определяется

равенством

р<*>(Р)^( - 1Г

„_2

/г!

элементов

Y/'Y?2

• • •

Y ? N - , » 0 < a , < r a

—г

также

образуют

'I

'2

1

'

базис

нашего

расширения,

и

ясно,

что все эти элементы, кроме

Y/- 1 Y7~2 » •••>

Y;-

>

имеют

индикатор

0.

Индикатор

элемента

Y;- 1 Yf~2 > •••>

Y/

равен

±

1.

Отсюда

следует, что

P(*>(P) =

p(s(P)) =

± p ( P ) .

(2)

Л е м м а

14.1.2.

Если

существуют

различные

і и

у,

такие, что

Р остается инвариантным

при перестановке

уі

и у},

то

индикатор

р(Р)

равен

нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Лемму, -очевидно, достаточно доказать

только для многочленов Р. Если Р остается инвариантным

при пе­

рестановке

уі и УІ, і ф

\,

то в силу (2)

можно,

не умаляя

общно­

сти,

предполагать,

что

і =

п—1, / =

п.

По

теории

Галуа

много­

член Р принадлежит тогда полю, порожденному над К(си

...

сп)

элементами

уи У2, • • •,

Уп-2-

Следовательно,

его индикатор

равен

нулю.

С л е д с т в и е .

Пусть

s — перестановка

(уи

у2,

уп)-*

V

\

}

Т о г

д

а

Р ( У Г ' Y r 2

• • • Y„_,) =

sign (s) p (s(y n ~Y 2 - 2

• • • Y„_,))-

(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Формулу

(3)

достаточно

доказать

для

случая, когда s является

транспозицией

(і, у). В этом случае

v r w r 2

• • • Y „ _ , -h Y ^ - ' Y ; - 2 - • • Y / N _ T

щей леммы. Теперь легко получить

формулу для р(Я). Из (2) и

(3) видно, что

р (Р) = sign (s) р<*> (Р) =

sign (s) • р (s (Р)).

(2*)

Отсюда

n!p(^) = p ( S s i g n ( s ) - s ( P ) j ,

(4)

ггсе суммирование ведется по всем п\

перестановкам 5.

Выражение

2 sign(s) • s(P), очевидно, знакопеременно.

Отношение

q (Р) = ( 2

sign (s) • s (Р)) IП

(Ъ - у/)

\ s

Iі 1> і

пенным рядом

от С\, с2 ,

сп-

Таким

образом,

«!р(Р) = р ( П

(Уі ~У,))<\(Р).

(4*)

Полагая

Р = у

^

у ^ _

у ^

п о л у ч а

е м

р(Р) =

( — l ) " ( " - I ) / z и

2

sign (5) • s (Р) =

( - 1 Г i

n ~ m

П (yt

~ Y/)-

s

•

і > f

Из (4)

следует

тогда,

что р[ П

(v« — Y/)j =п\

и (4*) дает

для

произвольного степенного ряда Р искомую формулу

p(P) = (Ssign(s) - 5 ( Р ) ) / П . ( у г - у / ) .

(5)

Л е м м а 14.1.3. Пусть P

= J[ exp (vj -

vl) - 1

' Т о г д а 9 ( Р ) = 1 "

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим 2а =

2 (Y»—

Y/)- Тогда по 1.7

И 2 s h ( ( Y i - Y / ) / 2 )

и по (5)

Р (Р) = (2

sign,(s) ^ <«>) / П 2 sh((Y l -

Y/)/2).

Положим xt=exp(—у

І/2).

Тогда

14.2. Теперь вернемся к

многообразию

флагов F(n) =

=

GL(n, С)/Д(п, С). Применяя

теорему 13.2.1 к тому случаю, ког­

да

X является точкой, мы видим, что F(tt) есть

комплексно-анали­

c(F(n)) =

II

( 1 + Y i - Y / ) .

(6)

і > І

где

у, —элементы

из

H2(F(n),

Z), C ( | 4 ) =

1 +

Y< (CM. 13.2) и

2 ( 1 + Y < ) = 1 -

(7)

По

А. Б о р е л ю

[2] кольцо

когомологий

#*(F(n),Z)

порождено

элементами у* с

(7)

в качестве

единственного

соотношения, т. е.

/T(F(n),

Z) = Z [ Y „

-

Y„]//+ (c,

ся ),

где

уь • • •. Yn рассматриваются

как переменные, а /+

обозначает

С],

с„ от YtПрименяя результаты из

14.1, легко видеть, что

п\

элементов Y?'Y22 ••• Y°i7'> 0^.аі^.п—-і,

образуют аддитив­

ный базис кольца

когомологий

H*(F(n),Z).

Произвольный

многочлен

Р от уг с целыми коэффициентами

Эйлерова характеристика

для

F(n)

равна

я!, так

как

//*(F(«),Z)

содержит

только

элементы четных

степеней. Поэтому,

согласно формуле (6)

и теореме 4.10.1,

л 1 =

П

(Y* — Y/)[F(")]-

(8)

В

14.1

было показано,

что р ^ П ( Y / —

Y/)j —

Отсюда

сле­

дует,

что

(—\)п ( п ~1 ) І 2 у1~1 у^~2

. . . Y„_I

является

Образующим

эле­

тации. Наконец,

из

леммы

14.1.3 и из (6) следует,

что

род

Тодда

для

F (п) равен

1.

14.3. Вернемся

снова

к

ситуации,

описанной

в

13.3.

Т е о р е м а

14.3.1.

Пусть

|—гладкое

GL(q,

С)-расслоение

над

компактным

п-мерным

почти комплексным

многообразием

X. Пусть

L — главное

расслоение,

ассоциированное

с

|.

Расслоение

Е

=

=

L/A(q,C)

имеет

в

качестве

слоя

многообразие

флагов

F(q)

и

естественным

образом

может

рассматриваться

как

почти

комп­

лексное

многообразие

размерности

«+-j<7(<7 — 1).

Проекцию

Е

на

X

обозначим

через

ср.

Пусть,

далее,

задано

GL (/, С) -расслое­

ние

£ над X.

Тогда

для

Т-характеристики

для

£

имеем

Т (Е,

<р-£) =

Т (X,

£) Т (F (q)) =

Т (X,

£).

(9)

Пусть

заданы

элементы

Ь И

ЬгєН2(Х,

Z). Тогда

для

вирту­

альной

Т-характеристики

имеем

следующее

обобщение

форму­

лы

(9):

Т(ф*6„ . . . . ф*6г

|, <РХ)Е = Т { Ь Ь

...,ЬГ\,

Ох-

(Ю)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

(9)

есть

частный

случай,

то

достаточно

доказать

формулу

(10). Пусть

с(ф*|) =

1 +

Ф*^і + . . .

і

. . .

+

ф*св

=

П (1 +

УІ)>

и

пусть

m — q(q—

1)/2. Из определения

12.3(15) и

формулы

13.3(10) следует, что