книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

b) Пусть теперь X — компактное ориентированное

гладкое

мно­

гообразие

размерности 2п. Мы хотим

показать, что теоремы

4 . 1 1 . 4

и 8 . 2 . 2 следуют обе из теоремы 2 5 . 3 . 1 .

Пусть

цХс — комплексификация

вещественного

ковариантного

касательного векторного расслоения

(см. 4 . 6 ) . Положим

d: Г (W)

Г (W)

является

дифференциальным

оператором

степени

1

(см.

2 . 1 2 ) .

Уравнение ( 3 ) показывает,

что

если

v =

df,

n(v) — x, f(x) = Q

и ш є Г ( ^ ) , то символ для d задается

формулой

a, (d) (v, со (x)) =

(v, iv

А

со (x)).

Риманова

метрика на X определяет

гомоморфизм

*. A-R-i-c -"*• Л

R^C

и, следовательно, гомоморфизм *: T(W)-*T(W).

Так как X

имеет

четную размерность, то формальный сопряженный

б к d в смысле

п. 2 5 . 2 определен равенством

6 =

— К

а

к

и в

15.4, мы имеем

dd = бб =

0 и (й + 6) (d +

б) = d6 + 6d =

А . Форма

to из

T(W)

называется

гармонической,

если

Лео =

0.

Форма

со

гармонична

тогда и только тогда, когда

da = бсо =

0.

Если

через

ВТ(Х)

обо­

значить векторное пространство

гармонических

форм

степени г,

то имеет место естественный изоморфизм

(де

Р а м [1], Х о д ж [1];

(см. 1 5 . 7 )

dim

ВГ(Х)

=

ЬГ(Х),

где ЬТ(Х) есть г-е число

Бетти для Я.

б: Г (W) —• Г(W)

самосопря­

Дифференциальный

оператор

d +

жен,

поэтому естественно

искать

разложения

W = Е ф F, такие,

что оператор

D =

d + b:

T(E)-+T{F)

эллиптичен. Рассмотрим

эндоморфизмы пространства

W,

опреде-

_

.г(г+1)—л

. г » '

«2п-Г(>'

-т.

v

ляемые с помощью * и

а =

і

*: A R ^ C - * ^

R*C- Так как А

имеет

четную

размерность,

то

** =

( — 1 ) Г

и

а2

= ( — 1 ) Г * * = 1.

Собственные пространства для инволюций ** и а

и дают

требуе­

мое разложение для W.

^ = SA,2 S + RJC И

1)

Положим

£ = 2 ^ R 2 c ,

D =

d + 6:

r{E)~+T{F).

5

5

Нп(Х,

R) =

Bn+,R(X)(BBn-,R(X),

где В±, R — подпространство

{со є В± (X) | со =

со} в В± (X).

Скалярное

произведение

(соь со2) —- J"

Л * со2

на

В\ (X) =

х

— Нп(Х,

R) положительно

определено,

и если п четно,

то

В+,ц(Х)

и В-

ц Ш ортогональны

относительно

этого

скалярного

произ­

ведения. Квадратичная форма Q(CU!, сдг)^ { ш і

Л Щ положительно

X

определена на B+, R (X) и отрицательно определена на

В-,ц(Х).

Следовательно, если п четно, то dimB+(X)

и dim £ !L (X) совпа­

дают

с

числами р+

и р_

положительных и

отрицательных соб­

ственных

значений

для

Q. Поэтому,

x(D) = p+ — р_

совпадает

с индексом многообразия X, определенным в 8.2.

Вычисление

на классифицирующем

пространстве

©+(2п, /V; R),

ностями у П а л е

[1], показывает, что

ch Е -

ch F =

П

{e~yi

-

eyl),

где

Р ( * ) = = П ( І + 4 $ ,

« ( / ) = П ^

и, следовательно,

по 24.3(7) и

24.4(7)

Ф Г 1 с Ь / ) = Д -е-у1-еу1

/=1

у (D) = к2п ( - і ) " П

Є - у і

- е У і

У!

•у,

У/

'

1 - е

п

I I

У

І—J—

,2«

/=1

sh — ^

/=1

2n

0/

4=1

Следовательно,

из теоремы

25.3.1 следует теорема 8.2.2. Слу­

чай нечетномерного

X снова покрывается

леммой 25,3.2.

ства теоремы 8.2.2, кратко изложено

у А т ь и

и

З и н г е р а

[ I ] 1 ) .

Подробности

можно найти у

П а л е

[1] и

К а р т а н а

и Ш в а р ­

ца

[1]. Второе доказательство

должно

появиться

в новой

работе

Атьи и Зингера2 ) .

Исходным пунктом для обоих доказательств служит тот факт,

что

формула

(8)

определяет

индекс

у(Ь)

для

любого

элемента

b ЄЕ К(В(Х),

S(X)).

Мы

хотим

распространить

аналитический ин­

декс

x(D)

аналогичным

образом, так

чтобы

он

стал

функцией

т: К (В (X),

S(X))

—* Q. Известно, что

гомотопные

операторы

имеют

эллиптических дифференциальных операторов.

Необходимо

вве­

сти эллиптические интегральные операторы3 )

(см. С и л и

[1]).

Этот класс включает в себя эллиптические

дифференциальные

тический

индекс определяет гомоморфизм т: К(В(X),

S(X))—*Q,

который

всегда принимает целые значения.

казать, что два гомоморфизма

у:

K(B(X),S(X))->Q,

т:

K(B(X),S(X))->Q

на

а)

По 25.4 Ь) существует дифференциальный

оператор

D0

X,

топологический индекс которого совпадает с L-родом. Пусть

Ь0 є

К(В(Х),

S(X))

— соответствующее

разностное

расслоение.

Кольцо

K(B(X),S(X))

является

К(Х)-модулем

(24.5),

и

функ­

ция

у

полностью

определена

своими

значениями

на

подгруппе

К(Х)

-Ь0 конечного индекса. Определим функцию у(Х,

) : K(X)-*Q

формулой y(X,b) =

y{bba)•

В

действительности

это

не

что

иное,

как /^-характеристика для b

при

у =

1 (она

определена

и

для

гладких

многообразий,

и

по

12.2(13)

определение

может

быть

')

Полное

изложение см. в А т ь я

и З и н г е р [2]. — Прим.

перев.

2 )

См. А т ь я и З и н г е р

Щ. — Прим.

перев.

3 ) Которые также часто называются псевдоэллиптическими

операторами. —

Прим.

перев.

естественным образом расширено на элементы Ь^К{Х)).

Этот

гомоморфизм

обладает следующими

свойствами:

1)

у(ХY,

b ~\-с) =

у(Х, b)-\-y(Y,

с),

где в левой части ра­

венства «-f-» обозначает

дизъюнктное объединение;

2)

y(XXY,b

® с) =

у(Х,Ь)у(Х,с),

где

<3> — тензорное

произ­

ведение; это следует из 12.2(14) при у =

1;

3)

у(Х,

Ь) —

0,

если

существуют

многообразие

X'

с

границей

дХ' = X и элемент Ь'^К(Х'),

ограничение

которого

на

X

совпа­

дает с 6; это доказывается с помощью

более

сложного

варианта

теоремы

7.2.1;

4)

y(S 2 n , h) =

2",

где

h є= K(S2n)—

определенный

в 24.5

эле­

мент,

такой,

что

>c2 n [ch/i] =

1;

по

12.2(10)

мы

имеем

у (S2 r a , h) =

п2п

[ 2

e26i]

= 2 V n [ch h] =

2n,

если

ch h =

2

e6'>

5) у(Ргп(С), 1 ) =

1. Это

следует

из теоремы 1.5.1.

Следующий

и

самый

трудный

этап

доказательства

состоит

в том, чтобы показать, что аналитический индекс т также

обла­

дает свойствами 1)—5).

Наконец,

показывается,

что

функция

K(X)-+Q

однозначно

определяется

свойствами

1)—5). Как

и в 7.1,

мы рассмотрим группы кобордизмов Qn.

Для всякого

п ^

0

груп­

па Qn

строится

из пар

(X, Ь),

где X — компактное ориентированное

n-мерное гладкое многообразие, а Ь^К(Х).

Пара

(X, Ь)

является

границей, если

существуют

многообразие

X

и элемент

Ь' є

К(Х'),

такие, что

X =

дХ'

и

b =

b'\X.

Группы

Qn

® Q вычисляются

так

же, как и в теореме 7.2.3: элемент

из й„ <8> Q

однозначно

опреде­

ляется смешанными числами Понтрягина — Чженя

р,

(X) ...

p.

(X)

• chft

(b) ...

ch, (b) [X].

' 1

'Г

1

у

s

Свойства

1)—3)

показывают,

что

определяет

функцию

ОО

Q =

2 Q „ - * Q .

rt=0

Свойств 4), 5) достаточно, чтобы определить у на образующих

кольца

Q ® Q

и,

следовательно, чтобы

определить

у

однозначно.

Общую

теорию

таких

групп

кобордизмов

для

пар можно

найти

у К о н н е р а

и Ф л о й д а

[1]. Теорема

для

нечетномерного

X

следует

из рассмотрения

X X

S1.

Ь) Второе доказательство того, что гомоморфизмы у и т совпа­

дают, не использует теории кобордизмов. Согласно 25.3,

расслое­

ние на единичные шары В(Х)

является

почти

комплексным

мно­

гообразием

с

границей

S(X).

Для

удобства

мы

будем

писать

Т*Х вместо B(X) — S(X)

и

К(Т*Х)

вместо

K(B(X),S(X)).

Пусть

V == RN,

так

что

K(T*V)

=

K(S2*,

у0 ) =

Z. Вложение

XczV

опре­

деляет вложение /: Т*Х—*T*V. Теперь

из

подходящего

аналога

теоремы 24.5.3, относящегося к многообразиям с краем,

следует,

что существует

гомоморфизм

/,:

( r X ) - > / C ( n / ) = Z, .

такой, что jfi — ^'"[cha-td-n],

где

m — размерность

X и т)-—ка-

сательное GL(m, С)-расслоение

для

Т*Х. По 25.3(5)

гомоморфизм

/ совпадает с гомоморфизмом

у:

К(Т*Х)—>Q. Заметим, в част­

ложения

теоремы

Атьи — Зингера к теоремам

целочисленности

(см. 26.2

и М а й е р

[1]) доказательства в полном

объеме не тре­

буется.

т|

т|

т|

т|

^

id

rj

Id

^

I

Z

rj

Id

—->

z

—->

Z

—-> Z

в которой U является трубчатой окрестностью X в V, ср; —изо­

морфизмы

Тома (см. 24.5)

и г!

индуцировано

отображением

T*V —*T*U,

стягивающим

все,

что вне TU,

в точку.

Вторая и бо­

разом.

Пусть X — компактное пространство,

G— компактная

груп­

па Ли,

действующая на

А'. Тогда векторное

G-расслоение

над X

состоит

из

комплексного

векторного расслоения Е

над

X

вместе

с действием

G на Е, согласованным с действием

G на

X , т. е.

задаваемого

линейными

отображениями g:

Ex-+Egx,

g e G ,

х^Х.

приводят

к кольцу

Гротендика

KG(X)

векторных

G-расслоений

над X . В частном случае, когда G состоит из единичного элемента,

KG(X)

совпадает

с К(Х).

Когда

X — точка, то

Ка(Х)

совпадает

с кольцом

R(G)

представлений группы G. Если У есть

G-инва-

риантное замкнутое подпространство в X , то определены отно­

сительные

группы

K G ( X ,

У). Заметим,

что

группы

Ко(Х),

K G ( X ,

У)

зависят не только

от G, X , У, но

и

от действия

G

на

X . Все

ре­

зультаты /(-теории, упомянутые в § 24, распространены

(Атьей и

Сигалом) на случай /С0 -теории.

Предположим теперь,

что

X — компактное гладкое

многообра­

зие

и что

G действует гладко

на

X . Если Л —гладкое

векторное

(gs)(x)==g-s(g-lx),

ge=G, s s r ( £ ) , Ї Є І

из кольца

представлений

R(G)

группы G. Если G состоит из од­

ного тождественного элемента, то R(G) —

Z

и

это

определение

совпадает

с 25.2(4).

топологический

индекс

С

другой

стороны,

можно

определить

y(D)en R(G),

который

сводится

к определенному

в 25.3, если

G —

единичная

группа. Определение

зависит не

только от

символа

D

и классов Понтрягина для X,

но и

от множеств

Xs

неподвижных

точек для

элементов g є

G.

Второе

доказательство

теоремы

Атьи •— Зингера

об

индексе

(см.

25.5)

может быть

проведено в

рамках

/(й-теории.

Оно

пока­

зывает, что x(D) = y(D)

для

всякого

эллиптического

дифферен­

циального

оператора

D,

согласованного

с

действием

группы

G.

На X существует G-инвариантная метрика,

и,

следовательно,

на

В(Х)

существует действие

G,

при

котором

S(X)

G-инвариантно.

Эллиптические

интегральные,

или псевдоэллиптические

операторы

Сили позволяют определить

гомоморфизмы

т:

KQ(B(X),S(X))->R(G),

у:

Ka(B(X),S(X))->R(G),

о которых доказывается, что они совпадают.

Рассмотрим

частный

случай,

когда

G — циклическая

группа

и

когда образующая g: X—*Х

имеет

только

простые

неподвижные

точки (простой

неподвижной

точкой х

называется

такая

неподвиж­

ная

точка,

что

det (1— dgx ) ф

О, где

dgx

— индуцированное

ото­

деления

следует,

что

х — изолированная

неподвижная

точка).

В этом частном случае равенство

x(D) =

y(D)

получается

также

из теоремы Лефшеца

о неподвижной

точке,

принадлежащей

Атье и

Ботту.

Эта

последняя

теорема,

которая доказывается

совсем другими методами, применима

к

более общим отображе­

ниям

/: X—*Х (снова имеющим только

простые

неподвижные

точки,

но не обязательно являющиеся

образующими

циклической

Точная

последовательность

0—•Z—*2—*Z2 —*0 определяет

кого­

мологический

кограничный

гомоморфизм

б, такой, что bw2i(X)

=

= Wu+\(X).

Поэтому элемент d^H2i(X,Z),

ограничение

кото­

рого mod2 есть w2i(X),

существует

тогда и только

тогда, когда

W2i+\(X)=0.

В частности,

теорема

26.1.1

применима,

только

если

W3(X) = 0.

Если

m нечетно, то

А {х, -jd, r\j = 0 .

Поэтому достаточно до­

случая, в которых она уже была доказана

в 24.5.

1) Пусть

X — почти

комплексное многообразие с

касательным

GL (я, С)-расслоением

0 и

ц — непрерывное U (q) -расслоение

над

X. Пусть d =

Ci(&) и pi =

pj(p(0)). Тогда

равенство

1.7(12)

пока­

зывает, что

t d 0 = 6

2 d | ] ^ ( P l ,

pj)

1=0

по модулю 2 совпадает с w2(X),

то из теоремы 26.1.1 следует

тео­

рема 24.5.4: характеристика Тодда Т(Х, г|) является целым

числом.

2)

Пусть г) — непрерывное

U (q)-расслоение

над 2п-мерной

сфе­

рой

S2". Классы Понтрягина

p,(S 2 n )

равны

нулю

для і >

0

(тео­

рема

(7.2.1))

и,

следовательно,

A (S2 ", 0, г\) =

x 2 n

[ch ті] =

= (ch„r|)[S2 n ]. Таким

образом,

из теоремы 26.1.1

следует

тео­

рема

24.5.2: (ch„r|) [S2 n ] является

целым числом.

26.2. Теорема целочисленности 26.2.1 сама является

частным

случаем

нестабильной

теоремы

целочисленности,

принадлежащей

М а й е р у

[1]. Пусть

g— SO(k)-расслоение

над X

с

k =

2s

или

2s +

1- Рассмотрим

формальное

разложение

р ( | ) == П (1 +

У2).

Т е о р е м а 26.2.1 ( М а й е р

[1]). Пусть

d — элемент

из Н2(Х, Z),

редукция

которого

mod2 совпадает

с

w2(X) -f- tw2 (I),

о. ц —

непре­

рывное

GL(q, С) -рйсслоение над X.

Тогда

2 V

ch т] • Д ch { j y t

}

• 2) \ (р„

pj)

i=\

1=0

является

целым

числом.

Иногда

теорема

26.2.1 может быть улучшена на

множитель 2

( М а й е р

[1]). Вот

некоторые

следствия

теоремы

26.2.1:

1)

если

| =

0, то получается теорема

26.1.1;

2)

если

k =

m

и | — касательное

расслоение

к

X, то

полу­

чается

целочисленность L-рода

(см. 1.5 и 8.2);