книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

Как и в 9.2,

отсюда

далее следует, что

(3)

R(y;

v)%T,(y,

Cl(Mn),....

С /

( а

д

(4)

Формула

(4) при

г/ =

1 переходит в формулу

9.2

(4)

в силу

1.8 (16).

При у = —\

получается

формула для эйлеровой характе­

ристики

E(Vn-i):

(_1)«-і £ ( V n _ , ) = 2

( - 1 ) ' о я - ' с , ( В Д Л І я ] .

(5)

Разумеется,

формулу (5) можно вывести и непосредственно

из (1).

Для у = О получаем

Г (7Л _1 ) =

хя [(1 - e - * ) t d ( e ( M „ ) ) ] .

(6)

Д ля v u

О Г Ё Я ! ( М „ ,

Z) положим

оо

Г у ( о ь . . . . vr)M = xn

R(y,

Vi)...R(y;vr)

2> Т, (у;

сг(Мп),c/(Af„))

L

/=о

Из 1.8

следует, что Ty(v\,

ип)м

является

многочленом

с ра­

циональными

коэффициентами относительно

у степени п — г. Так

как

R(y;x)

делится

на х, то Tv(vu

.... vr)M

=

0 для г > п.

Для

г =

п имеем

Ty(vu

vn)M

= ViV2 ...

vn[Mn].

Мы

будем

назы­

вать

Ty(v\,

VT)M

виртуальным

Туродом

для

(vu

vT).

Вир­

туальный 7^-род не зависит от порядка vu

...,

vr. Мы будем да­

лее

называть

виртуальным

почти

комплексным

подмногообразием

элементов из Н2(Мп,

Z) . Мы будем

писать

Т„{Щ,

о , ) ж = 2 І

T"(vu

vr)Myp.

(8а)

Рациональное

число

ps=0

7 > „

. . . . vr)M =

Tu(vlt

vr)M

= TQ(vu

о г ) ж

(8b)

будет называться

виртуальным родом

Тодда виртуального

под­

многообразия

( V \

vr). Выполняется

формула

двойственности

Tp(vu

vr)M

= {-ir~rr-r-p{vi,

v,)M;

(9)

§ 12. Г-характеристика GL(q,

С)-расслоения

12.1.

Пусть

| — непрерывное

GL(<7,

С)-расслоение над Мп.

Так

как

всякое

гладкое

или

комплексно-аналитическое

GL(q,

(^-рас­

слоение

можно

рассматривать

как

непрерывное

GL(q, С)-расслое-

ние,

то

все

определения

и

теоремы настоящего

параграфа

при­

менимы

и в дифференцируемом и комплексно-аналитическом

слу­

чаях. Пусть

c{Ma)=%cti

i=0

c(t)=Zdh

(1)

t=0

где с,,

Я 2 ' (Мп,

Z) и

с0 =

d0

= 1.

с помощью

равенства

Определим

рациональное

число

Г (М„, £)

Г(М П ,

g) =

«„[ch(l)td(9(Af„))].

(2)

Т(Мп,

I)

называется

Т-характеристикой

GL (q,

С)-расслоения |

над

Мп.

В

частном

случае

С*-расслоения

£

с

классом

Чженя

1 -4- d, d є Я 2 ( M n , Z) равенство

(2)

переходит в

равенство

Г(М„, g) =

x n (e d td(6(M„))] .

(3)

Так

как

С*-расслоения над Мп

взаимно

однозначно

соответствуют

элементам

d

из Н2(Мп,

Z) (по

3.8),

то

в

формуле

(3)

вместо

Т{Мп, | )

мы будем писать также Т(Мп,

d).

Из

определений

сле­

дует, что

Т(М,

d) =

T(M)-T(-d)M.

(4)

Если

| есть

GL(<7, С)-расслоение, а

£' есть GL(^', С)-расслое-

ние

над

Мп,

то

из

первого

уравнения

10.1 (4) вытекает, что

Т (Мп,

1®%')

=

Т (Мп,

1) +

Т (Мп,

г).

(5)

Если £ есть GL(q, С)-расслоение над V„, а г| есть GL(r, С)-

расслоение

над

Wm , то по 10.1(2) и

10.1(4)

Т (Vn

X Wm,

Г (I) ®

(Л)) = Г (Vn;

1) Т (Wm,

г,),

(6)

U c / J t ^ I I O + Y / * )

и

2,d,xl

=

U(l+6{x)

1=0

i=\

\=0

1=1

(см. 12.1 (1)). Тогда классы Чженя для

0*

будут элементарными

симметрическими

функциями

от

— yit

а

классы Чженя для

Т(Мп,

ХРЮ) = Тр(Мп).

(7)

Рассмотрим, далее,

тензорное

произведение

расслоения

Яр (6*)

с \ .

Рациональное

число

Т (Мп, Кр (9*) ® £)

обозначим

через

Г Р (М„, | ) и положим

ТУ(МП,1)=%ТР(МП,1)УР.

(8)

Ту(Мп,

£) называется

Т^-характеристикой

GL(<7, С)-расслоения £

над М л . Из равенств

(2) и 10.1 (4) следует, что

Тр

(Мп, £) = х„ [ch (|) ch (lp (9*)) td (9 (M„))].

(9)

Тривиальное

обобщение

вычисления, использованного

в 1.8

для доказательства формулы

(15), дает

i e

^

^ f

S M j r . r

, ,

•••• с,)]

(Ю)

fc=i

/ \ / = о

Заменяя

в формуле

(10) у на

и умножая обе части равенства

на

(— у)п,

найдем, что правая

часть

(10) перейдет

в

S e - "+")«l)(Sr / ( y ; C l , . . . , * /

)

и

с помощью теоремы 4.4.3,1)

получим

формулу

двойственности

ynTL{Mn,

1) = {-\)пТу{Мп,

Г) .

У

Следовательно,

тр(мп,

і) = {-\)птп-"{мп,

Г) .

(її )

В частности, при р = 0

Т(МЯ,

| ) = ( - 1 ) " Г ( М „ , Г

(8*)® 6*).

(12)

Обратно (11) можно

вывести

из (12): заменим в (12) | на 1®ЯР (9*)

и вспомним, что Я Я (9)®(|®Я Р

(9*))*==Г®Я"(9*)®ЯР (Є)=Г®Г-/ '(Є*).

Расслоение Я" (9*) является

С*-расслоением и называется

кано­

ническим

С*-расслоением

для Мп.

По теореме

4.4.3 его класс

Чженя

равен 1 — ct (М„). •

Для

расслоения

| над А/„ с формальными корнями Ь ь

bq

положим

ch(,) (|) = e{i+y)

e' +

• •. + е(і+у)

6ч є= Я* (Aln , Z) ® Q.

= ch( i / ) (I) • ch(i,) (g')'> и

з

этих соотношений

следует, что

7\,(М„,

1 0 1 ' ) =

^

(Л<д,

+

1%

(13)

Г , ( У „ Х ^ ,

Г(1)®г, (т1)) = Г , ( У | Р

£ ) Г „ ( Г т >

ті).

(14)

В равенствах (13) и (14) мы воспользовались

теми

же'обозна­

чениями, что и в равенствах

(5) и (6) из 12.1.

12.3.

Пусть I есть Oh(q,

С)-расслоение над Мп. Для vit

vr є

є Я 2 ( М „ ,

Z)

можно

определить виртуальную

/^-характеристику

для

£ относительно

виртуального

подмногообразия

(vh

vr)

(ср. 11.2). Обобщением равенства 11.2(7) является

следующее

определение:

Ty(vu

vr

І, І).

ch( j / )

(S) П R (у;

vt)

2

Т,

{у;

с, (Мя),

...)

.(15)

м •

і=1

/=0

Как

и

в

11.1, мы

М,

если

ясно,

будем

опускать

индекс

о каком

многообразии

идет речь. Если

І — тривиальное

GL(<7, С)-

расслоение, то Ty(vu

vr\,

Q = qTy{vu

vr).

Естественно,

при у = 0 мы будем

писать

Г 0 (о„

. . . . vr\,

| ) =

Г(о „

or |,

6)

и называть Г ( У ь

ог

|, £) виртуальной

7'-характеристикой.

Обобщением

теоремы

11.2.1

является

следующая

Т е о р е м а

12.3.1.

Пусть

! / „ _ , — почти комплексное

подмного­

образие многообразия

Мп, /: Vn-l

-»• Mn —вложение и v^H2(Mn,

Z)—

класс

когомологий,

соответствующий Vn-\.

Пусть,

далее, заданы

элементы

v2

vr

є= Н2 (Мп,

Z). Наконец,

пусть

|

— G L ^ , С)-

р'асслоение

над

Мп.

Тогда

Ty(j*v2,

/ 4 1 , У*6)и =

^ ( о , о2 >

и,|, | ) ж .

В частности,

Ty(Vn-»

j%) =

Ty{v

I,

|

V

Функциональное уравнение из теоремы 11.3.1 также может

быть

перенесено на

случай

виртуальной

Г-характеристики.

Т е о р е м а

12.3.2.

В

обозначениях

теоремы

11.3.1

пусть

| —

GL(<7, СУрасслоение

над

Мп.

Тогда

Ty{Vi,

vr,u

+ v\, l)M

=

Ty(vl,

vr,

и\, l)M

+

+

Ty(vu

vr, v\,

l)M

+

(y — l)Ty(vt

vn

u, v I, l)M

—

— yTy{vx,

...,

vr,

u,

v,

и -\- v

\,

l)M.

скобках

в

формуле

(15),

из которого виртуальная

^-характери­

стика

получается

применением

х„,

всегда

содержит

множитель

ch( V )£.

vr\,l)M

п — г

по у

Ty(v\,

является

многочленом

степени

с рациональными

коэффициентами. Он равен тождественно 0, если

г >

п. Если г =

п, то

Ty(vu

о „ | , | ) м = < / - ( О і ,

o „ [ A f „ ] ) .

Для

виртуальных

подмногообразий

выполняется

также

и

фор­

мула двойственности:

,

y«-'T±{vu

vr\,

t)M

=

(-l)n-r

Ty(vu . . . .

(16)

У

Т е о р е м а

12.3.3. Пусть

ц — С*-расслоение

над

Мп

с

классом

Чженя

1 + v,

v є

Я 2

(М„,

Z).

Яг/сгб £ — GL (q,

С)-расслоение

над

Мп

и

vu

vr

—элементы

из

Н2(Мп,

Z). Тогда

имеет

место

формула

Ту (о,, • • •,

»r I. Юм =

^ у

(°ь

• • •,

vr,v\,

l)M

+

+

Ту (vh

vr

I, I ® r r % +

У^Л0 »»

• • •' v"

v

І» І ® T ' W

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

формуле для

виртуальной

^ - харак ­

теристики

(15)

выражение

в квадратных

скобках содержит мно-

00

житель

^EiTj(y;

Ci(Mn),

. . . ) . Этот

множитель

является

одним

и

тем

же для всех

четырех

членов

доказываемого

равенства. Ана-

т

логично все четыре члена содержат общее произведение Ц R(y;

vt),

а так как chiy)

(I ® Г]- 1 ) = ch{y)

(l)chiy)

(ті)-

,

то также и множи­

тель

ch^d). Поэтому

достаточно

доказать,

что

1 =

R (у; х) +

ch(„) (ті"1) +

yR (у; v) ch(y)

(тр

Ho

ch{j,) (т)- 1 ) =

e~(l+y)

°,

поэтому

предыдущее

равенство

следует

из

11.1 (2).

Рассмотрим

теперь частный случай

предыдущей

теоремы,

когда

г =

0. Пусть

класс

когомологий

v е

Н2(Мп,

Z) соответствует

почти

комплексному

подмногообразию

V n _ i многообразия

М п ,

и

пусть

/ — отображение

вложения;

далее,

пусть

х\— С*-расслоение

над

Мп

с классом

Чженя

1 +

v. Тогда

по теореме

12.3.1

Ту(Мп, l) = Ts(Vn.lt

П) + Ту(Мп, | ® т г ' ) +

+

yT8(Va-u

Г(1®Ц-1)).

(17)

Сравнивая

коэффициенты,

получим

Тр(Мп,

!)

=

- = r p ( V . - „

/*|) +

Г р (Л1 я >

S ® r f I

) +

r p - 1 0 / * - i ,

/ ' ( б ® Л"'))-

(18)

ситуации (7).

c) Структурная группа расслоения г|;*| может быть

естествен­

ным

образом редуцирована

к

G L ( l , g — 1;С). Таким образом, над

X определены С*-подрасслоение х\

и GL(q—1,

С)-факторрасслое-

ние |. Расслоения Е и Я над X ассоциированы с £, а расслоение Е

над

Я

ассоциировано

с

| .

Расслоение

ф*|

над

Е

допускает

&(q— 1, С)

в качестве

структурной

группы. Соответствующие

диа­

гональные

С*-расслоения

равны | 2 ,

£з, • • •,

1д-

Далее, ф*т) =

£i.

d)

Рассмотрим

теперь

главное

расслоение

Т, ассоциированное

с касательным

расслоением

к

комплексному

многообразию

Р в - , ( С ) :

Т - > Р , _ , ( С ) ,

слой

G L ( < 7 - 1 ,

С).

(9)

Группа

GL(q, С)

действует

на

Р ^ - ^ С ) , а

поэтому

также и

на Т.

этому

Т

можно

представить

как факторпространство

группы

GL(q,

С), а именно как факторпространство по подгруппе Н тех

элементов,

которые фиксируют

заданную точку у0 из

Т. Если эле­

мент

из GL(o, С)

оставляет неподвижной точку

уо,

то,

очевидно,

он оставляет на месте весь проходящий через у0

слой

в (9). Пред­

берем

в

качестве

г/о точку

из

слоя расслоения

(9),

лежащую

над

точкой

из

P? _i(C),

соответствующей

классу

смежности

G L ( 1 , < / - 1 ; C ) .

И будет тогда подгруппой группы

Требуемая

подгруппа

GL(1,<7—1;С), и

легко

видеть,

что

Н совпадает

с подгруппой

матриц

следующего

вида:

/

а

\ а1 2 ,

alq

\

/ — единичная

матрица.

— І

I

а/

,

V О

/

И является

нормальной подгруппой группы G L ( l , g — 1 ; С)

и сов­

падает

с

ядром

гомоморфизма,

отображающего матрицу

А

на

а~хА"

(в

обозначениях из

а ) ) . «Поделив» в формуле (5) числи­

тель и знаменатель

на Н,

получим

(GLfo, C)/tf)/(GL(l, q - l ;

С)///) =

Р,_,(С).

Таким

образом,

(9) совпадает

с

Т =

GL(<7,

С)/Я - *(GL(о,

C)/tf)/(GL(1,

q - l ;

С)/Я).

(9*)