книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

x(V,

F)=T(V,

F).

(4)

Формула

(4) — это

теорема

Римана — Роха

для

алгебраического

многообразия

V и

комплексно-аналитического одномерного

рас­

слоения F над V.

для F является

Вспоминая

(см. 15.9), что классом

когомологий

первый класс Чженя для С*-расслоения, ассоциированного с F,

можем сформулировать полученный результат так:

Т е о р е м а .

20.3.2.

Пусть V — алгебраическое

многообразие

размерности

п

и

F — комплексно-аналитическое

одномерное

рас­

слоение

над

V с классом когомологий

[ Е Я 2

( У , Z). Группы

кого­

мологий

НЦУ,Р)

для

V с коэффициентами

в

пучке ростков

голо­

морфных

сечений

расслоения

F

являются

конечномерными

ком­

плексными

векторными

пространствами, которые

равны 0

при

і > п. Характеристика

Эйлера

—

Пуанкаре

X(V,

F) =2(~1) г dim H l {V,

F)

может быть следующим

образом

представлена

в

виде

многочлена

от класса

когомологий

f

и

классов

Чженя

с^ многообразия

V:

X(V,

F) =

*n

її

(4*)

i=l

1

Формулу

(4*)

надо

понимать так:

Запишем

формально

1 + с

, х + . . .

+ с

„ х "

=

( 1 + Y l x )

. . . (1+упх),

Сі є

Н21

(V,

Z).

(5)

В выражении

в

квадратных

скобках

рассмотрим

член

степени

п

от f и Yr Он симметричен

по уг и является,

следовательно,

много­

членом

от f

и СІ с рациональными

коэффициентами.

Если

произ­

ведения

понимаются

в смысле

w-произведения

кольца

когомологий

H*(V,Z),

то полученный

многочлен

представляет

собой

элемент

из

Н2п(

V, Z) <8> Q. Значение

этого

элемента

на

2п-мерном

цикле

мно­

гообразия

V,

определяемом

естественной

ориентацией,

и есть

це­

лое

число

х(У, F) •

Эта

теорема при F — 1 (/ =

0)

дает

теорему

20.2.2.

Формула

(4*) может

быть

записана

также

в следующем

виде

(см.

1.7):

I I

%(V, F) =

KN

f+i

3 h Y,/2

(6)

У,-/2

(=1

гина

р ь

р2, . . .

многообразия

V,

которые зависят только

от глад­

кой

структуры

многообразия

V

(см. 4.6). Поэтому

мы

получаем

в качестве

следствия

%(V, F)

есть

многочлен

от /-{--^-с,

и

от классов

Понтрягина

pi многообразия

V.

В терминах

многочленов Л» (см. 1.6)

получаем из формулы (6)

x(v,

+{q)4(Pi. ••" Р ^ П

{Q*]

где суммирование распространено на

все г, s, такие,

что г - j - 2s =

— п = dim V.

Равенство %(V,F)=

T(V,F)

дает

в качестве непосредственного

следствия:

Число

%(V,F)

зависит

только

от класса

когомологий

f для F.

Этот

результат был доказан

Серром

и

К о д а и р о й

и С п е н ­

с е р о м

[4].

(см. 0.1—0.5).

Пусть F и G — два

фиксированных

комплексно-аналитических

одномерных расслоения

над

алгебраическим многообразием V.

Тогда %(V, F ®,Gf t ) есть целое

число,

зависящее от k. По теоре­

ме 20.3.2

%(V,

F®Gk)

= T(V,

F®Gk).

%(V, F®

Gk) =

a0 + aik-T- . . .

+ank\

a0 =

%(V,F),

an = ±g"[V}.

( 7 )

З а м е ч а н и е . Тот

факт,

что

x ( K ^ ® G f t ) есть

многочлен

по k, и формулу для ап

можно легко вывести непосредственно из

теоремы 19.2.1. Формула

(4*)

для

этого не нужна.

Разумеется,

многообразия V

%(V,F<8>Gk) является

многочленом

по k, и от­

сюда вывел с помощью многообразия Пикара для V,

что %(V, F)

зависит только от класса когомологий / для F (см. конец преды­

дущего пункта).

G — положительное

Пусть теперь

одномерное

расслоение

(см.

18.1). Тогда

найдется

целое

число

kQ,

зависящее

от F

и G,

такое,

что одномерное расслоение

F <8> Gk

<8> К~х положительно

при

k~>k0

(К — каноническое

одномерное расслоение,

см. 15.3а). Та­

ким образом, по теореме 18.2.2

dim Я 0 (К, F®Gk)

= %{V, F ® Gk)

для

k ^ k 0 .

dim Я 0 {V,

F®Gk)

= a0 + a i k +

. . . + ankn;

(8)

коэффициент а0 не зависит от G и совпадает

с %(V,F).

В

случае

когда

G проективно индуцировано, т. е. принадлежит

классу ги­

перплоского сечения в подходящем вложении V в комплексное

проективное

пространство,

это — известные

факты

классической

теории

(гильбертова

характеристическая

функция,

постулирова­

ние).

В этом случае, как хорошо известно,

UQ В (8)

не

зависит

от G

(будем

писать а0 =

a0(F)),

и в рамках

классической

теории

%{V,F)

можно определить

равенством

%(V,

F) = a0(F).

(9)

Р а М = ( - 1 ) я

( - 1 +

ао(1))

и

Pa(V)

=

- ( - l ) n + a0(K).

(11)

Давно

было

открытой

проблемой,

совпадают ли pa(V)

и

Pa(V)?

Севери

(см., например,

С е в е р и

[1])

предполагал, что

для

связ­

ного

V

Pa (V) = Р а (V) = g n -

+

. . . + ( - I f " ' g i ,

т. е.,

что

Ра (V) =

Ра (V) =

( - 1 Г ( - 1 + X(V)).

(12)

Эти уравнения получаются из (10) при

F = 1. Равенства

(12)

утверждают,

что

три

определения для

арифметического

рода

в классической теории

совпадают

между

собой. Этот

результат

был получен

К о д а и р о й и С п е н с е р о м

[1] описанным

выше пу­

тем. Подробнее об истории вопроса

см. работы К о д а и р ы [1, 2, 5].

20.5. Пусть

V есть

n-мерное

алгебраическое

многообразие и

К — каноническое одномерное расслоение над V. Если С\ — первый

класс Чженя для V, то

по теореме 4.4.3 (см. также 12.2

и 15.9)

К имеет класс

когомологий

—си Определены кратные роды

для

Pl

=

dimH0(V,

К1),

где № — і-я степень

для

К

в

смысле

тензорного

умножения

век­

торных расслоений.

Имеем

Pl = dimH°(V,

K) = dimHn(V,

1) =

g = (геометрический

род

V)

(і в Р1 является индексом,

а

не показателем

степени).

В одном интересном частном случае кратные роды могут быть

вычислены

с помощью

теоремы

Римана — Роха

20.3.2

и

теоре­

мы 18.2.2.

А именно предположим,

что расслоение К положительно. Тогда

%{V,Kl)=Pl

для

i > 2 ,

П

г (V, к1) = *п

[ е х Р ( - і

{2i - 1 ) Cl) П

,

( 1 3 )

Это предположение выполняется, например, в случае, если

V есть

факторпространство

ограниченной

области

пространства

С и

по

дискретной группе автоморфизмов

области, не имеющей неподвиж­

ных точек

( К о д а и р а

[6]). Кратный

род Р'

в этом

случае

совпа­

дает с числом комплексно-линейно

независимых

автоморфных

форм веса

і.

Из этой

формулы

следует по определению виртуального рода

Тодда (и

с учетом

того факта, что виртуальные Т- и %-роды

dim Н° (V, F) — dim Я 1

(V, F) +

dim

Н° (V,

K®F~l)

=

=

Ті?2

+

NIV]

+ 72 (c i +

с1)Ш

а6)'

Чтобы выразить

это

в классических

обозначениях,

предположим

V связным. Определим избыточность для

F (см. З а р и с с к и й

[1])

равенством

sup(F)

=

dimHl(V,

F).

Целое число f2[V\

называется

виртуальной

степенью

g(F) для

F.

получаем

<ШпЯ°(У. F)+dimH°(V,

K®F~l)

=

=

%(V) + %(F)y +g(F)

+sup

F.

(17)

В классической терминологии x(F)—l—n(F),

где

n(F)

—

„виртуальный род для

F"

а x(V)

= 1 -r-Pa(V)-

Обратим внимание

еще на то (см. 15.2), что

dim I F |Ч-1 = dim H°(V,

F),

d i m l t f ® / 7 - 1 [ + 1 =

dim

Н°(У,

K^F"1),

может быть выражена

как

многочлен

T(V, W) от классов Чженя

СІ и

di

( в в - + . . . + л ) П -

1 - е

-V,--

1=1

Хя

=

T(V,

W).

(1*)

Уравнение

(1*)

следует

понимать

следующим

образом.

Рас­

смотрим

формальные

разложения

J W = I[(l+Yi*),

2 й*'=Й (!+*<*)•

Тогда

однородная

часть степени п для выражения

в

квадратных

скобках

является многочленом

от СІ и dt.

Этим определяется

эле­

мент

из

Н2п

(V, Z) ® Q,

ы надо

взять

его

значение

на

фундамен­

тальном

2п-мерном

цикле

многообразия.

Прежде

чем доказывать

теорему, сделаем несколько

замечаний

тические Gh(q,

С)-расслоения над V,

тривиальные

з

топологиче­

ском

смысле. Для q =

1 такое

алгебраическое

многообразие

су­

ществует,

оно

называется

многообразием

Пикара

для

V

(см.

С е р р

[1], К о д а и р а

и С п е н с е р [2]).

Теорема

21.1.1 известна

для

п=1,

т. е. для

алгебраических

кривых. В этом

случае

А. Вейль

доказал

следующее:

Т е о р е м а

21.1.2 (А. В е й л ь

[1]). Пусть W и W —

векторные

расслоения

над

связной

алгебраической

кривой

V

со

слоями

Сг

и

СГ'. Пусть di є Я 2

(V, Z) — первый

класс

Чженя для

W, a

а"! є

є

Я 2 (V, Z) — первый

класс

Чженя для

W.

Тогда

X {V, W ® W") = dim Я° (V, W ® W'*) -

dim Я 0 (V, K®W*®W')

=

= r'd\[V]-rd\[V]

+

rr'{\

-р),

где р — род V.

Д о к а з а т е л ь с т в о с помощью теоремы PP. Обозначим

фор­

мальные корни для W, W через 6 Ь

Ы

Тогда получим,

используя