книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

флаг — это последовательность

0 =

Е0

cz Е\

cz ... cz Eq

=

Cq

ли­

нейных подпространств (d\mEk

= k)

в

С,.

Отметим,

что

в

опи­

ходящие

через

начало

координат.

4.1b. Некоторые результаты о расслоениях над топологическим

пространством X зависят от предположения, что X

паракомпактно

(см.

2.8).

Пусть

/ — единичный

интервал

О ^ ^ ^ І .

Два

непре­

рывных отображения /о, ЇГ- X—*Y

называются

гомотопными,

если

существует

непрерывное

отображение

F: Х \ 1 —> У,

такое,

что

F(x,Q)

=

fo(x)

и

F(x,

1) =

/і(х)

для

всех

хєХ.

Клеткой

назы­

вается

пространство,

гомеоморфное

для

некоторого

N.

I)

Пусть

X — паракомпактное

пространство,

W —

непрерывное

расслоение

над

пространством

У и /0 ,

/ь

X-*Y

— гомотопные

ото­

бражения.

Тогда

индуцированные

расслоения

f*0W, f\W

(см.

3.3)

изоморфны.

Доказательство

этого

утверждения

можно

найти

у

Д о л ь

д а

([3],

7.10);

у Х о л ь м а н а

([1], VI.2.3);

у К а р т а н а

([1], сооб­

щение

V I I I ) — в

случае,

когда

X локально

компактно

и параком­

пактно;

у

С т и н р о д а

([1],

11.5) — в

случае,

когда

X

локально

компактно

и

обладает

счетной

базой,

и

у

А т ь и

и

Б о т т а

([1],

предложение

1.3) — в

случае,

когда

X

компактно,

a

W — вектор­

ное

расслоение.

II)

Пусть

X — паракомпактное

пространство

и

А—замкнутое

подпространство

в

X

(возможно

пустое).

Пусть

W —

расслоение

над

X, слоем

которого

является

клетка.

Тогда

всякое

сечение

s

над

А

может быть продолжено

до

сечения

над

X.

Если предположить, что сечение s уже распространено на не­

которую

окрестность

множества

А

в

X

(как это

бывает в

боль­

шинстве приложений), то утверждение II) является частным слу­

чаем

теоремы Д о л ь д а

([3],

2.8).

Другие

доказательства

можно

найти

у Х о л ь м а н а

([1],

VI . 3.1);

у

К а р т а н а

([1], сообще­

ние

VIII) —

для

локально

компактного

и

паракомпактного

X;

у С т и н р о Д а

([1],

12.2)

—для

нормального

X

со

счетной

базой;

у А т ь и

и

Б о т т а

([1], лемма

1.1) — для

векторного

расслоения.

Пусть теперь G— вещественная группа Ли

и

G0

— замкнутая

подгруппа,

для

которой

G/G0

— клетка. Вложением

G° cz G

инду­

цируется

отображение

Н'(Х,

G?)-*#,(X,

Gc ).

(1)

III)

Если

X

паракомпактно,

то отображение

(1)

биективно.

Д о к а з а т е л ь с т в о

( С т и н р о д

[1],

12.7).

В

силу

теорем

3.4.2 и 3.4.5 из свойства продолжимости сечений II)

вытекает,

что

всякое расслоение над X со структурной группой G изоморфно

расслоению W со структурной группой G0 . Следовательно, отобра­

жение

(1)

сюръективно.

Предположим

теперь,

что

W,

W — рас-

-> G° и для

некоторых

непрерывных

функций

hi'.

Ui~>G

ё'ц =

h~ig[jhj

в UiC\Uj

для

всех

і,

/ є= / .

Пусть теперь / — единичный

интервал O s ^ s ^ l и

С/?, il\

— откры­

тые подмножества

в I X A

определенные

равенствами

u°t = {(x, t)<=xxi;

х

^

и

и

о < г < і } ,

и\

=

{{х,

t)(=xxi;

хє=

и І,

о < г < 1 } .

Построим

расслоение

W

над

XXI

со

структурной

группой G и

координатными

преобразованиями

gff-

U\r\U]->G*,

8\r

U\(]U)^G°,

г д е

g«}(x,

t) =

gfil(x),

g\)(x,

t) =

gii{x),

gft(x,

t) =

hi(x)g'tl(x)

=

gtj{x)hl{x).

Тогда W имеет структурную группу G, которая над замкнутым

подмножеством

А =

X X {0} U X X 0 }

в

редуцирована к G0 .

По теореме

3.4.5

и

утверждению

I I ) ,

примененным

к

параком-

пактному

пространству XXI

и замкнутому

подпространству

А,

расслоение

изоморфно

расслоению

со

структурной

группой

G0 ,

ограничения

которого

на

X X {0},

- ^ Х О )

совпадают

с W,

W

соответственно.

Рассмотрим

отображения

/о, /і : X -> X X /

с

fo(x) = х Х М ,

Ы * ) =

*Х{1}-

Согласно

I ) ,

W

изоморфно

W.

Если

X — гладкое

многообразие,

то X

паракомпактно

(см.

2.8.2). Пусть

G — вещественная

группа

Ли,

G0 — замкнутая

под­

группа,

для

которой

G/G0 — клетка.

Тогда

имеет

место

[см.

3.1(1),

(2)] коммутативная

диаграмма

Hl{X,

G§->Hl(X,

Gb)

I

I

(Г)

Н\Х,

G?)->tf'(*,

Gc ).

IV)

Каждое из отображений

в

(1*)

биективно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нижняя

горизонтальная

строка

биек­

тивна,

согласно I I I ) . Прямое доказательство

биективности

верти­

кальных

отображений

приведено

у

Х о л ь м а н а

([1],

V I . 1.1).

GL(r, q — г; C ) c G L ( a , С),

которое имеет

подрасслоение

%' и

фак-

торрасслоение

k-\i

Пусть

ф&: А(д, С) — *С* — гомоморфизм,

выделяющий

диа­

гональный элемент aftft в треугольной матрице

Л є Д ( й , С ) .

Со­

гласно

3.1(2),

гомоморфизм

щ сопоставляет всякому

А (о, С)-рас­

слоению g С*-расслоение

Упорядоченное

множество

g b

| 2 , . . . ,

£,

называется множеством диагональных

С*-расслоений

для

g.

С о г л а ш е н и е .

Утверждение

«GL(^, С)-расслоение g. имеет

в

качестве диагональных С*-расслоений расслоения

g b

. . . ,

g,»

озна­

чает,

что

имеется А (о, С)-расслоение,

которое

при

вложении

Д(а, С)cz GL(o, С)

отображается

на g и для которого

упорядочен­

ное

множество

диагональных С*-расслоений есть gi, . . . ,

g,.

Т е о р е м а

4.1.1. Предположим,

что GL (q, С)-рассло;ние

g н,иеег

в

качестве

диагональных

С-расслоений

gt ,

. . . ,

g9 ,

a GL(<7', С)-рас-

слоение

g'

имеет

в

качестве

диагональных

С-расслоений

\\,

\'q.

Тогда

|*

имеет

в

качестве

диагональных

С-расслоений

g~',

g["',

|

ф

\ г

имеет

q -\- qr диагональных

С-расслоений

g p

g , | j

g£,,

І

®

І '

имеет

qq'

диагональных

С-расслоений

^<8>|у,

A,pg

имеет

J

диагональных

С-расслоений

.. . <8>g^

< . . . <

/р <<7).

4.1 d. Дальнейшее также

справедливо в непрерывном,

гладком

и комплексно-аналитическом

случаях.

Пусть W — векторное

расслоение

со

слоем

С,

над X,

и пусть

Е — состоящее из изоморфизмов Сд

в

W главное

расслоение (со

слоем GL(q, С)) над X, построенное

в 3.5. По теореме 3.4.4

имеется

расслоение WW = E/GL(r,

q — г; С)

над

X, слоем

которого

служит

многообразие Грассмана

®(r,q — г; С). Слой

WWX

можно

отожде­

плексного

векторного пространства

Wx.

Расслоения W, Е, МЦ7

все

ассоциированы с одним и тем же GL(q,

С)-расслоением | .

Предположим теперь,

что W W

имеет сечение «.Тогда s каж­

дому х^Х

сопоставляет

г-мерное

линейное подпространство

W

тично)

от х. По

теореме

3.4.5

сечение

s

определяет

некоторое

GL(r,q

— г; С)-расслоение

с

подрасслоением

g' и факторрасслое-

нием g

. Объединение

всех

Wx

является

векторным расслоением

W' над

X, ассоциированным с GL(r, С)-расслоением g'. Объедине­

ние всех W'x — Wx/Wx

образует

векторное расслоение

W" над X,

ассоциированное

с GL(q

— г, С) -расслоением

| " .

З а м е ч а н и е

1. Всякая

точка

хеХ

обладает

открытой окре­

стностью U, над

которой

W

изоморфно

произведению

U X Сд .

Этот изоморфизм

можно

выбрать

так, чтобы W

определялось

в

U X С 8 уравнениями

zr+\

= ...

= zq = 0. Здесь

Cg —

векторное

пространство наборов г ь . . . , zq q комплексных чисел; вид изомор­

физма' следует из теоремы

3.4.5.

Пусть W, W — векторные

расслоения

над X.

Гомоморфизмом

W-* № называется

непрерывное

(или гладкое, или голоморфное)

отображение из W в W, линейно

отображающее

каждый

слой

Wx

0-+W-+W^>W"-+0

(3)

называется

точной, если для всякого

А ' є Х точна

соответствую­

щая последовательность

0 _ > г ; - > 1 Г * - > Щ - > 0 .

(3*)

В этом случае

мы будем писать W" — W/W и называть W под-

расслоением,

a W" факторрасслоением

расслоения W.

Пусть W — векторное расслоение над X со слоем

С,. Сечение s

расслоения

WW определяет естественным образом

точную после­

довательность

(3) с подрасслоением

W (слой Сг )

и факторрас­

вательность определяет сечение в ИW. Если W,

W и W" ассоции­

рованы

с

GL(r, С)-расслоением

GL(g, С)-расслоением

|

и

GL(q—

г, С)-расслоением

соответственно,

то точная

последова­

тельность

(3) существует

тогда и только

тогда,

когда £ имеет под-

расслоение

и факторрасслоение

| " .

З а м е ч а н и е

2. Согласно замечанию

1, точная

последователь­

ность (3)

удовлетворяет

следующему

условию:

для

каждой

точки

х <= X

найдется

открытая окрестность

U,

над

которой

W,

W и

W" изоморфны

соответственно {У X Cr,

U X' Cq

и U X С,-,, и над

которой

точная

последовательность

(3)

соответствует точной

по­

следовательности

0 -> Сг -> С г 0 С,_, -> С,_, -> 0.

Следующую теорему предлагается доказать читателю

(см. 3.6).

Т е о р е м а

4.1.2.

Рассмотрим

точную

последовательность

век­

торных

расслоений над X

0-+W-*W-+W"^0.

(3)

Пусть

W — еще' одно

векторное

расслоение

над X.

Тогда

имеют

место точные

последовательности

0 -> Horn (W, W) -> Н о т (W, W) -> Н о т (W, W") -> 0,

(4)

Q^W®

W-+W ® W->W" ® # - * 0 ,

(5)

получающиеся

естественным

образом

из (3).

Кроме

того,

имеет

место точная

последовательность,

двойственная

к (3):

О —>• (W")*

(W')f -> 0.

(6)

Т е о р е м а

4.1.3.

Точная

последовательность

векторных

рас­

слоений над X

в которой

F—

одномерное

векторное

расслоение,

определяет

есте­

ственным

образом точную

последовательность

О ^ А р _ У

® F~>XPW

- + k "

W

"

'

(7)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеются

естественные

гомоморфизмы

№W-*ЯРW"

и №~lW ® F-+%PW.

Последний равен

нулю на

ядре

естественного

гомоморфизма

из %p-LW <8> F в №-LW"

<S) F и, следо­

вательно, индуцирует

гомоморфизм Я Р - 1 W" ® F-*%PW.

ЭТИМ

опре­

слоениям, получаем утверждение теоремы.

Т е о р е м а

4.1.3*. Точная

последовательность

векторных

рас­

слоений

над X

0->W'^W-*F->0,

в которой F — одномерное

векторное

расслоение,

определяет

есте­

ственным

образом

точную

последовательность

0 - * А Р № ,

- > Я р и 7 - * Я р _

У ® F->0.

(7*)

- 4.1 е. Следующие

результаты

опять

справедливы

в непрерыв­

ном, гладком и комплексно-аналитическом

случаях.

Рассмотрим

ситуацию,

изучавшуюся

в

начале п.

4.Id, и, ис­

ходя из

векторного

расслоения

W (со слоем

С 9 ) , построим

рас­

слоение AW =

E/A(q,

С) над X

со структурной

группой

GL(q, С)

и многообразием

флагов

v

F(<?) =

GL(<7, С)/Д(<7, С)

в качестве слоя.

Слоем AWX

является многообразие флагов в комплексном

век­

торном пространстве Wx. Расслоения

W и AW ассоциированы

с од­

ним и тем ж е GL(q, С) -расслоением

| .

Предположим

теперь,

что AW имеет

сечение

s. Тогда

s

сопо­

ставляет

каждой

точке Ї

Є

Х флаг

s(x)

в Wx,

который

зависит

непрерывно (или гладко,

или комплексно-аналитично)

от х.

Флаг

s(x)

представляет

собой возрастающую

последовательность

xLQcz

axL\CZ

...czxLq

= Wx подпространств в Wx с

dimxLr

= r (см.

4.1а). Дл я каждого

г объединение

( J xLr,

согласно 4.Id, ЯВЛЯЄТ-

ся

векторным

расслоением

W&) над X со слоем

Сг . Имеет

место

Тождественный

гомоморфизм

W" -» W"

определяет

элемент /

Є

є

Н° (X, Н о т (W", W"))

и,

следовательно,

элемент

6°(/) є= Я 1

(Я,

Н о т (IF", W')). Из

ТОЧНОСТИ последовательности

вытекает,

что по­

следовательность

(3)

расщепляется

тогда

и

только

тогда,

когда

д°(/) =

0,

значит,

W изоморфно

W'QW",

если

о°(/) = 0.

В не­

прерывном

и

гладком

случаях

пучки

Є (Нот(ft?", W'))

и

%(\\om(W",W')),

определенные в 3.5, являются тонкими и по­

тому Я 1 (X, Horn(W", W))

~ 0. Этим доказана теорема

4.1.4. По­

вторное применение этого результата доказывает теорему 4.1.5.

4.1g. Результаты п. 4.Id, а

также

теорема

4.1.4

справедливы и

в вещественном

случае. А именно, верна

следующая

Т е о р е м а

4.1.6. Пусть

g

есть GL(#, R)-расслоение

над

X

и

W — ассоциированное

векторное

расслоение

со слоем

R9.

Рассмот­

рим главное

расслоение

Е

(со

слоем

GL(<7, R))

изоморфизмов

R<?

в

W. Расслоение

МW — E/,GL (г, q—

г; R) имеет

в

качестве

слоя

над х е

X

грассманово

многообразие

линейных

(неориентирован­

ных) r-мерных подпространств пространства Wx.

Если

M W имеет

сечение

s,

то объединение

подпространств

s(x)

образует

векторное

расслоение

W

над

X,

ассоциированное

с

GL(r, R)

-расслоением

Объединение

Wx/s

(х)

образует

векторное

расслоение

W"

над

X,

ассоциированное

с

GL(q—

г, R) -расслоением

\".

При

этом

£ со­

впадает

с

суммой

Уитни

£' ф

другими

словами,

W

изоморфно

W

© W".

Теорема

остается

верной,

если

везде

GL заменить

на

GL*,

паракомпактно

(см. 2.8.2). В третьем условии мы используем сле­

дующее определение размерности: пространство X имеет

размер­

ность

^.п,

если во всякое открытое покрытие it пространства X

можно

вписать

покрытие S3, такое, что каждая точка

из X лежит

не более

чем

в п + 1

открытых

подмножествах из

S3.

Гладкое

«-мерное

многообразие

,(см. 2.5)

имеет размерность пив

смысле

этого определения.

В

дальнейшем

мы будем

предполагать,

что все

рассматривае­

мые

расслоения

определены

над допустимыми

пространствами.

Классы Чженя будут определены как

некоторые

целочислен­

ные классы когомологий пространства -X. Если явно не оговорено

противное, то под группами

когомологий

пространства X с коэф­

(см. 2.5, пример 1). В

этом случа-е Н'(Х,А)

совпадает

с і-мерной

группой когомологий

пространства X в смысле Чеха

(с

произволь­

ными носителями) с

коэффициентами в А. Если

А—коммутатив­

ное кольцо, то прямая

сумма ^Н1(Х,

А)

является

градуирован-

і

гий пространства

X

с коэффициентами

в

пучке <5

могут быть

также

определены

с

помощью

знакопеременных коцепей (С е р р

[2]), следовательно,

НЦХ,

©) =

0 для і >

п =

dimX.

В

частности,

Н*(Х,А)

=

0 для і >

п.

Если

X — локально

конечный

полиэдр, в

частности

если X — гладкое многообразие,

то Н{(Х,А)

естествен­

пам когомологий ( С т и н р о д

и Э й л е н б е р г

[1],

стр.

250).

Унитарная группа

V(N)=

1 ХЩА?)

является нормальной

под­

группой

в V(q)XV(N).

Следовательно,

U (q +

N)/U

(N)

есть

глав­

ное расслоение со структурной группой V(q)

над

многообразием

Грассмана

®(q,N;C).

Однородное

пространство

U (q +

iV)/U (М)

является

многообразием

Штифеля

унитарно

ортогональных q-pe-

перов

в

пространстве Сч+к-

Гомотопические

группы

m{\J{q-\-

+ N)/U(N))

равны

нулю

для

1 <

і ^

2N

( С т и н р о д

[1],

25.7).

Расслоение U ( q - \ - N)/U(N)

ассоциировано с

некоторым -i){q)-рас­

слоением

над

®(q,

N;C),

которое

называется

универсальным

U (q)

-расслоением.

Пусть

X — допустимое пространство

с dim A'sg: 2./V. Классифи­

кационная

теорема (см. С т и н р о д

[1],

19.4;

К а р т а н [1], сообще­

ние VIII)

утверждает,

что

U (q)-расслоения

над

X

находятся во

взаимно однозначном соответствии с гомотопическими

классами

непрерывных отображений

из

X в

©(<?, N;C).

Более

точно,

всякое

U (q) -расслоение

над

X

может

быть

индуцировано

таким

отобра­

жением

из универсального

U (q) -расслоения

и два

отображения

же U (q) -расслоение.

Для того чтобы определить

классы Чженя

для произвольного

U (q) -расслоения над X, достаточно определить

классы Чженя

для

универсального U (q)-расслоения

над ®(q,N;C).

Мы изберем

не­

подход

позволяет

избежать

путаницы

со

знаками

(сравнение

с другими

определениями

классов

Чженя

можно найти у

Б о -

р е л я

и

Х и р ц е б р у х а [1]).

Аксиомы классов Чженя

таковы.

А к с и о м а I . Для

всякого

непрерывного

U(q)-расслоения £

-над

допустимым

пространством X

и для

всякого

целого

і ^ 0

определены

классы

Чженя

с,-(£)<= H2i(X,

Z). Класс

с0 (§)

равен

единичному

элементу,

с 0 ( | ) =

1.

Мы

будем

писать

с ( | ) = 2

ci

(%)• Так как X конечномерно,

то

г=о

H*(X,Z)

это конечная сумма. Элемент с(|)

из кольца

когомологий

называется (полным)

классом

Чженя для |. Непрерывное отобра­

жение

/:

YX

индуцирует

отображение

l*:Hl(X,

U ((?) с ) —>-

-*Hl

(У,

U (<7)с) и

гомоморфизм

Z)-*H*(Y,

Z).

/*: 1Г(Х,

А к с и о м а

I I

(естественность),

с(/*£) =

/*с(g).

А к с и о м а

I I I . £с/ш

| ь

| 9

— непрерывные

U(1)-расслое­

ния

над

X, то

с ( S i © ••• 0 Е , ) = = с ( | , ) . . .

c(g,).

Пусть

( г 0 ' 2] : . . .

.' zn)

— однородные координаты

в комплекс

ном

проективном

пространстве

Р„(С). Открытые

множества

U{

определенные

условием г(Ф0,

образуют

открытое

покрытие,для

Р„(С). Пусть

т]„ — С*-расслоение,

определенное коциклом

{gtj}

=

= [z/z7"1}.

Расслоение

цп

комплексно-аналитично,

но его

можно

как U (І)-расслоение над Р„ (С). Гиперплоскость z0

=

0 с индуци­

рованной ориентацией изоморфна Р„_!(С) и представляет

собой

(2п — 2)-мерный целочисленный класс гомологии

в

Р„ (С).

Соот­

ориентации

Р„ (С)

обозначим

через

hn.

Класс А„ является обра­

зующим

для

Я 2 ( Р „ ( С ) , Z) = Z.

А к с и о м а

IV

(нормализация),

с(т)„) =

1 - f

hn.

З а м е ч а н и я .

Пусть /: Р„_, (С) -> Р„ (С) — вложение

гиперпло­

скости.

Тогда ' /*А„ = hn-x

и Гпя

=

Ля-і

в

соответствии

с

аксио­

мой II) . Дадим две геометрические

интерпретации

для

U(^-рас­

слоения

т)„. Пусть

Р„(С)

вложено

в

P„+i(C)

как

гиперплоскость

z n + 1 = = 0 ,

и

пусть л: 0 <=Р г е + 1 (С)

—точка ( 0 : 0 :

. . . : 0 : 1 ) . Имеется

непрерывное

отображение

я: Р „ + 1

(С) — {л:0}->- Р„(С), определенное

равенством

я (zQ:

. . . : zn : zn+i)

=

(z0

'• •••

'• z„). Определим гомео­

морфизм

hi.

я - 1

(Ut)-*- Uі

X С

формулой

M z „ :

••• •zn:zn+l)^(z0:

...

: z n

: 0 ) X ^ .

Тогда

hthT\(z0:

. . . :zn:0)Xw)

=

(z0: . . .

:zn:0)X^w.

Следовательно,

P„ + i(C) — {xo}

представляет собой

векторное рас­

слоение

Н над

Р„(С) со

структурной

группой

С* и слоем

С. Оно

ассоциировано с 0 (1)-расслоением

цп.