книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

если р: Y-*~X — расслоение со слоем

Pg _i(C), ассоциированное с

U (q)-расслоением

(см. Г р о т е н д и к

[4]).

расслоения g определяются согласно а). Следует доказать

(см.

теорему

классификации

и

замечание

после

аксиомы

I V ) ,

что

с (1)

= Р , ( 1 +

^п)

зависит

только

от

g и

не

зависит

от

специаль­

ного

выбора

fun.

Ясно,

что

c(g)

удовлетворяет

аксиоме

I I

для

U(І)-расслоений

g. Для

U(q)-расслоения

g

класс

c(g)

опреде­

ляется с помощью

(8).

А

именно,

пусть

Е—• главное

расслоение

со

слоем

U(<?),

ассо­

циированное с g, и пусть

Yi =

Е/Тч.

По

теореме

3.4.4

имеется

Т<г-

расслоение g над У^, отображающееся

в

p*g

при

вложении

Т« сг

czV(q).

Обозначим

через

gi,

=

gQ

диагональные

U(^-расслое­

ния

для

I ,

и

пусть

c(gi)

1 +

Y*-

Так

как

отображение

р*: Н*(Х,

Z) —>-Я*(К^, Z)

мономорфно,

то

c(g)

можно

определить

формулой. (8), если

показать,

что

элементарные

симметрические

функции сг,- от уг лежат в образе р*.

Пусть

N — нормализатор

Т =

Те

в

U(<7),

так

что

N

=

= ( « e U ( ? ) ;

а - 1 Та = Т}.

Известно,

что

iV/T

есть

конечная

груп­

тов. Каждый

элемент

а ЄЕ Ф, представленный

элементом

а ЄЕ

N,

определяет

послойный

гомеоморфизм

а:

Y% —* У|.

По

отношению

к карте

V X ( U ( ^ ) / T ) ,

где V—-открытое

подмножество в

X,

а

за­

дается

правым

сдвигом:

для

v ЄЕ V,

g e U

(д),

g ( T ) e l )

(^)/Т.

Так как гомеоморфизм а действует послойно,

то

он

определяет

автоморфизм а* кольца когомологий H*(Y\,

Z),

ограничение

кото­

рого

на

р*Н*(Х,

Z) является тождественным

отображением.

Кро­

ме того,

имеется

внешний автоморфизм

t->a'lta

для

Т,

который

зависит только от а и индуцирует автоморфизм

а *

на Я 4 (У|,

Тс )

(см.

3.1

(2)). Так

как

этот внешний автоморфизм

является

пере­

становкой диагональных

коэффициентов

в диагональных

матрицах

( є Т ,

то

диагональные

(7(1)-расслоения

в

а * |

получаются

из

gi, . . . ,

gg

применением

той же

перестановки.

Можно

показать,

что

а*| == а*|,

где

а

индуцировано из а, как в

3.3.

Следователь­

но,

а*

переставляет'диагональные

U(l)-расслоения

| г ,

а

авто­

морфизм

в когомологиях

а* переставляет

уІ

(по аксиоме

I I , кото­

рая

уже

доказана

для

U(I)-расслоений).

Таким

образом, Ф

дейст­

вует как

группа

всех

перестановок

из

уь

• • • > Уд- Д л

я т о г °

чтобы

элемент

х є Я * ( У {

, Z)

лежал в р*Н*(Х,

Z),

необходимо,

чтобы

он

был

инвариантным

относительно

всех

операций

из

Ф,

По

разе •р*. Таким образом, это условие и достаточно.

Классы

Чженя

для £ можно теперь определить

равенством ctj =

p*Cj(£).

Ясно,

что они

не зависят

от

выбора Е

и удовлетворяют

аксиомам

I , I I

и IV.

Остается

проверить,

что выполнена аксиома I I I . Пусть

|

есть

U(q)-расслоение над X, которое является суммой Уитни

U(l)-рас­

слоений

%[,

І'

над X. Пусть

& — i-e диагональное

U(l)-pac-

слоение

для

£. Тогда расслоение

имеет сечение

s: X -*

F|,

та­

с (І) =

sYc

(£) = s*f[c

(£,-) =

f[c (£9.

З а м е ч а н и е . Для универсального U (q) -расслоения £ простран­

ства

X —

N;

С) и У| триангулируемы. Следовательно,

если

для

непрерывных

U (q)-расслоений

над

триангулируемыми

про­

странствами X определены классы с(£), удовлетворяющие аксио­

мам

I — IV, то

они

должны

совпадать с

классами

Чженя.

Если

X

триангулируемо,

то

характеристические

классы сг-(£)

е

e W 2 i

( I , Z) для

U (q)-расслоения

£

над

X

можно

определить

с

помощью

теории

препятствий

(см.

С ти нр о д

[1]).

Рассматри­

вается

расслоение

£ / U ( i — 1),

ассоциированное

с £ и

имеющее

в

качестве слоя многообразие Штифеля © ?

)

,• = U (q)i'H {і—1)

уни­

тарных

(q — і +

1)-реперов

в

Cq.

Первой

отличной

от

нуля

гомо­

топической группой для <5g ,i является

группа

я2 г-і(©д, І ) ,

изо­

морфная

бесконечной

циклической группе.

Этим

определяется

пер­

вое

препятствие

для

существования

сечения

в

расслоении

E/U(i—

1) над 2 г'-мерным остовом

пространства

X

ct&)<=HSi(X,

я * - , (©,.,)).

Для того чтобы представить Cj(£) как

элемент

из

H2i(X,

Z),

НаДО

ВЫбраТЬ КаКОЙ-НИбуДЬ

ИЗОМОрфИЗМ

М е Ж Д у

Я2г-і(©д, г)

и

Z.

менту 1 є

Z, определяется

следующим способом.

Выберем и за­

фиксируем

(q — і)-репер в

Cq . Дополнительное

подпространство

ентировано. Единичная сфера

S2 i _ 1 в С* также

ориентирована.

Дополняя каждую точку этой сферы до

фиксированного

репера,

получаем (q — і + 1) -реперы,

т. е. точки

из ©д,». Таким

образом,

определено отображение ориентированной

сферы

S2 l _ 1 в

©9 ,,-, ко­

торое и является требуемой образующей

группы

Я2г-і(@д, <)• Это

4.3.

Аксиомы I — I I I

однозначно

определяют классы

Чженя,

если

определен

класс

для 11(1)- или С*-расслоения |

(аксио­

ма I V ) . В этом

пункте

мы

приведем два других определения для

предполагая, что базисное пространство X допустимо.

Т е о р е м а

4.3.1.

Пусть | є Я ' ( Х ,

С*с) — непрерывное

^-рас­

слоение

над

X.

Если

6J: Я 1

(X,

С*)-> Я 2

(X,

Z) — изоморфизм,

опре­

деленный

в

3.8,

то cl

(|)

=

61 (g).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как б] коммутирует с отображе­

ниями,

достаточно

доказать,

что

(r]„) = ft„ для расслоения г\п

из аксиомы

IV. Для га ^ 2

вложение

/: Р„_, (С)—> Р„(С)

индуци­

рует

изоморфизм

/*: Я 2 ( Р „ ( С ) , Z ) - * Я 2

(Р„_[ (С), Z).

Поскольку

Г&1(іп) =

ЬЦ*(Чп)

и

—

достаточно

доказать, что

b\(T\{)=hi

для

сферы

Римана

S2

=

P!(C).

ствующей

естественной ориентации S2)

и сопоставляющей

0 ос­

тальным

2-мерным симплексам. Имеется естественный

изоморфизм

между симплициальными когомологиями и когомологиями

Чеха.

Сферу S2 можно рассматривать как комплексную плоскость, ком­

пактифицированную точкой

сю

и параметризованную

параметром

2 — ZI/ZQ.

Триангулируем S 2

как

тетраэдр

с вершиной

в z — 0 так,

С*-расслоение

ці

можно

задать

следующими

отображениями

fTS из Sr П Ss

в С*:

!ОА =

їов — foe =

z>

ЇАО =

ЇВО —

ЇСО~2~1:

все другие

/ r s = l .

Далее,

6J(r^)

по-определению

представлено

коциклом

Crst =

g^T

frs

+

l o g

fst + b g

ft,),

области S R Л S S . Например,

выберем

logfoA

произвольно

и

опре­

делим log /ов, log/ос как результат

аналитического

продолжения

log/oA в положительном направлении вокруг начала

координат

(log/АО =

—l o g / ОА , . . . ) • Если г и

s

оба

отличны

от

нуля,

то

log frs — 0.

Следовательно,

С0 СА == 1,

crst

—

+ 1 (соотв.

—1),

если

г, s, t образуют четную (соотв. нечетную)

перестановку

0,

С,

А,

и

тации S2 и, следовательно,

С0СА

представляет

класс

когомологий

hi. Этим завершается доказательство теоремы 4.3.1.

Пусть

| — некоторое

U (1)-расслоение

над

ориентированным

компактным

многообразием

X.

Рассмотрим

ассоциированное

с

ним

расслоение

В->Х,

слоем

которого является единичный круг

| г | < ;

1, г є

С. Элемент

е 2 я

і ф є

U ( l ) действует

на

В

по формуле

z-+eZni(fz.

Единичный круг

естественным

образом

ориентирован.

Многообразие

В является

ориентированным

многообразием

с

слоя. Обозначим через S границу В. Тогда

S—>Х

является

рас­

слоением со слоем S1,

ассоциированным

с

|. Пусть

s:

Х - > В —

— S — вложение многообразия

X в качестве нулевого сечения

в В.

Следуя Т о м у

[1], рассмотрим

гомоморфизм

Гизина

s.:

Н'(Х,

Z)-*Hit2{B-S,

Z),

/ > 0 .

Вторая группа представляет собой когомологий

с

компактны­

ми носителями. Если обозначить через Dx

изоморфизм

Пуанкаре

групп когомологий с группами

гомологии дополнительных размер­

щий изоморфизм для когомологий и гомологии с компактными но­

сителями

в B

—

S,

то st(a)

— DB-S(SXDX{O)),

где

и є Я 1 ' ^ , Z);

Пусть В—

компактное

пространство, получаемое из В стягиванием S

в точку.

Имеется

естественный

изоморфизм

g*: Hlp(B

— S,

Z)—>

- > # ' ( . § ,

Z)

при j

>

0.

Расслоение

g, рассматриваемое

как

рас­

слоение

над В,

тривиально

над

В—

s(X)

и, следовательно,

мо­

жет

рассматриваться

как

расслоение

|

над

В. В

этих

обозначе­

ниях имеет место

Т е о р е м а

4.3.2.

Пусть

1єН°(Х,

Z)—единичный

элемент.

Тогда

г Ч ( і) = Мі)

*Ч (!) = *,(£).•

Второе

равенство

означает,

что класс

Чженя

Сі(|)

является

огра­

ничением

на s(X)

класса

когомологий

(с

компактными

носителя­

ми)

из

5 — S,

соответствующего

классу

гомологии

(с

компактны­

ми

носителями),

представляющему

ориентированное

подмногооб­

разие

s(X).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Второе

уравнение

следует

из

первого.

Определение Т о м а

[1] показывает, что s*

коммутирует с непрерыв­

ными отображениями,

поэтому первое равенство достаточно до­

казать

для расслоения

г\п

над Р П ( С ) . В

этом

случае

(см. замеча-

как

X

совпадает

с

естественно

ориентированной

гиперплоскостью

Р„(С)

В P n + 1 ( C ) ,

ТО

g*S*(l)

=

Лп+1 =

C i ( r ) „ + i )

=

C i ( f j „ ) ,

что и

требовалось доказать.

4.4.

В этом пункте мы покажем,

как

вычислять

классы

Чже­

ня

расслоений £*,

| ф | ' ,

і <8> I ' ,

kpl

(см. 3.6), зная

классы

Чженя

для

|

и I ' . С этой

целью

мы докажем

одну лемму, которая

позво­

Л е м м а

4.4.1.

Пусть | j — непрерывные

U (qx) -расслоения

над

допустимым

пространством

X

(см. 4.2)

(С пробегает

конечное

мно­

жество

1,2,

N). Тогда найдутся допустимое пространство Y

и непрерывное

отображение

<p:

Y —*Х, такие, что

I)

ф*: Н*(Х,

Z) - * # * ( F ,

Z)

—

мономорфизм;

II)

ф*|,- для

каждого

і есть сумма U (1)-расслоений.

Д о к а з а т е л ь с т в о

получается

повторным

применением

кон­

струкции из

части

Ь)

доказательства

единственности

классов

Чженя

(4.2).

Л е м м а

4.4.2. Пусть

gt,

\г — два

U(1)-расслоения

над

допусти­

мым пространством

X.

Тогда

Ci(£i ® |г) =

М Ы

+

Ci(g2 ).

Это следует из сказанного в п. 3.7 и теоремы 4.3.1.

Примем

следующее

соглашение.

Пусть

ait

bit

с{,

...,

і =

менные. Положим

ао =

bo =

Со =

...

=

1, и рассмотрим

формаль­

ные разложения

ft

ft

m

m

2 а,*< = П

О +

a/*),

2 M ' =

П

(1 +

М )

и

т -

Д-

Всякий

многочлен,

симметричный

по

каждой

группе

переменных

a j . Pi.

Yj. • • •. можно

однозначно

записать в

виде

многочлена от

ные элементы

из кольца

когомологий.

Т е о р е м а

4.4.3. Пусть

| — некоторое U(q)-расслоение,

а

£'—

некоторое

U (q')-расслоение

над

допустимым

пространством

X.

Рассмотрим

формальные

разложения

2^(|)*< = П ( 1

+

^ ) >

2 M S ' ) * ' =

fi (1 + 6**).

Тогда,

с

учетом

принятого

выше

соглашения,

I)

i c , . ( s ' ) * ' = r [ ( i - Y / * ) ,

т.е.

с,(Г)

=

( - 1 ) 4 ( 1 ) ;

(=0

/=1

П)

q+q'

Я

+

Ч'

( ! + « * * ) .

2 ^ ( Ш Г ) ^ =

П ( 1

Y;*) П

i=0

/=1

fc=l

<7<Г

г. е.

с(ЕФГ) =

с ( £ М П ;

l<k^q';

HI)

2

сЛі<8>І')*' =

П ( 1

+

1</<<7 >

г=0

~

/, ft

IV)

.

S

с , ( П

)

=

ГІ (і

+

(Y 7 I

+ • • • +

ylp)x),

где

произведение

берется

по

всем

^^комбинациям

1

^

/ i < . . .

• • • < / Р

<

Я-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По теореме

4.1.1,

лемме

4.4.2

и

аксиоме

III

из 4.2

эти формулы имеют

место,

если

|,

g'

являются

суммами

U (1)-расслоений. Следовательно,

по лемме

4.4.1

они

выполняются

и в общем

случае.

З а м е ч а н и е .

Формула

II)

есть

формула

умножения

Уитни

(иногда

называемая

«формулой

двойственности»;

см.,

например,

Ч ж е н ь

[2]). Из

формулы

I I I ) при q'

— 1 следует

формула

К у н -

д е р т а

[1]. Если

g— фиксированное

U(q)-расслоение

над X, а' | '

пробегает

группу

всех

U (1)-расслоений

над

X, то

g<8>g'

пробегает

множество

всех

U (q)-расслоений

над X, которые совпадают с g

как

PL! {q)-расслоения,

где PU(#) — проективная унитарная

груп­

па. Следовательно, для всех этих

U (q)-расслоений

могут

быть вы­

числены

классы

Чженя. Это

и

составляет

содержание

формулы

Кундерта.

4.5.

В

этом

пункте

определяются

классы

Понтрягина

для

О (q) -расслоения

g над

допустимым

пространством

X

(см.

4.2);

они

определяются

через

классы

Чженя

унитарных

расслоений.

Согласно

4.lb IV, этим

определяются

также

классы

Понтрягина

для GL(g, R)-расслоений над X. Если

W — векторное

расслоение

над X со

слоем

R«, ассоциированное

с g, то

классами

Понтрягина

для

W по определению

служат классы

Понтрягина

для g.

V(q)

-*

0(2?)

О (?)

- U f a )

I

I

I

I

(9)

GL (q, C) -> GL {2q,

R)

GL {q, R) -> GL (q,

C).

В первой диаграмме горизонтальные~стрелки обозначают вло­

жения,

получающиеся, если

линейное отображение

пространства

Сд с координатами

г ь

. . . , zg

рассматривать

как

линейное

отобра­

жение

пространства

R2« с

координатами

xit

,,,,

Хц,

положив

ными коэффициентами.

Hl(X,

0(q)c)

Вторая

диаграмма

определяет

отображение ip из

в Hx(X,\}(q)t)

(см.

3.1(2)).

Для О (q)-расслоения

g над

X по­

ложим

Hl) = c (i|> (I)) =

І

СІ (ар {І)) є Я* (X, Z)

1=0

доказать,

что

2с2 і+і(гр(І)) =

0 ( Б о р е л ь

[2],

Р о т е н б е р г

и

С т и н р о д

[1]). Элемент p,(g)<= НМ(Х,

Z)

называется

/слас-

сом

Понтрягина

ОО

для £.

Сумма p ( g ) — 2 р г ( І )

называется

(пол-

ным)

классом

Понтрягина

для

| . Из

свойств

классов

Чженя

сразу

же следует,

что

I) Ро(І)==1.

II)

р(П)

—

f*(p(l))

Для

любого

непрерывного

отображения

/: Y—*X и любого

0(q)-расслоения

|

над

X.

Ш)

P(h@h)

=

p(h)p(l2)

Для

g, є= Я '

О (?,)( )

и

6а

є

є Я ' ( І , О (<72)с),

где І і Ф І г — сумма

Уитни

^

и

£2 .

З а м е ч а н и е .

Класс

Понтрягина

p(g)

не удовлетворяет

фор­

муле умножения

I I I . Однако

верно, что

P(h

(В h)—p(h)p(h)

п

о

модулю элементов

порядка

2 в

H*(X,Z).

Первая

из

диаграмм

(9)

определяет

отображение

р

из

Hl(X,

V(q\)

в

Я 1

(X, 0(2q)c).

Если \ есть

U(q) -расслоение

надХ,

то p(g)

есть О (2q) -расслоение

над Я.

Т е о р е м а

4.5.1. Пусть | есть V(q)-расслоение

над

X.

Тогда

/5(Р ( S ) ) = l - P i (p(i)) +

P 2 ( p ( i ) ) - p 3 ( p U ) ) +

. . •

•

= ( l + c , ( i ) + c 2 ( g ) + . . . ) ( l - c , ( g ) + c 2 ( 6 ) - . . . ) .

£сли

C{ рассматривать

формально

как

элементарные

симметриче­

ские

функции

от уи то p,(p(g))

будут

элементарными

симметри­

ческими

функциями

от yj

(см.

1.3).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

вложения

U (q) cz 0(2q)

cz

czU(2q).

Элемент

A^V(q)

определяет

элемент

из

\J(2q),

ото­

бражающийся

хорошо

известным

автоморфизмом

группы

U(2<7),

А

0\

не зависящим

от А, в элемент L

-д).

Так

как

матрица

А

уни­

тарна,

то

комплексно

сопряженная

матрица

А

совпадает

с

З а м е ч а н и е .

Если

£ есть

О(q)-расслоение,

то

это

же

рас­

суждение показывает, что p(i|)(£)) =

g ф £. Однако

если

g ориен­

тировано, то,

как легко

проверить,

естественные

ориентации

на

— q {q—U

рі|>(£) и | ф |

отличаются на

множитель ( — I ) 2

4.6. Пусть

X— гладкое m-мерное

многообразие,

необязательно

ориентируемое

(см.

пример

3.2.5). Пусть U =

{ t / j i

e /

— открытое

покрытие X, такое, что каждое £/,• допускает гладкую систему ко­

ординат

х\1\

х(£. Контравариантным касательным

GL(m, R)-

расслоением

R 0 для

X

называется

гладкое расслоение,

задаваемое

U-КОЦИКЛОМ

f

=

{fij},

где

(10)

и где fa

— якобиева

матрица

координатных преобразований

от

Uj

к

Ui. Расслоение

R9 есть элемент из когомологического

множества

Я 1

(X, GL(m, R)t), и

мы

будем

его

просто называть

касательным

расслоением

для

X.

к

X — это

Допустимая карта

для

гладкий

гомеоморфизм

от­

крытого

подмножества

UH

из

X

на

открытое

подмножество

Vu

ности, можно

рассмотреть

открытое покрытие

U =

{ £ / и } и є /

с ,

где

К— множество всех допустимых карт для X.

По

формуле

(10)

МОЖНО ПОСТРОИТЬ U-КОЦИКЛ / =

{fij}.

С помощью коцикла / можно построить (см. 3.2а)

векторное

расслоение

я £

над

X

со

слоем

R M

и структурной

группой

GL(m, R ) .

Расслоение д $

представляет

собой векторное расслое­

ние контравариантных касательных векторов к X. Согласно 4.5(9),

fij можно

рассматривать

также

как

отображения

Ui Л Uj

в

GL(m,C) . Тогда коцикл f определяет векторное

расслоение

Д

со

слоем Ст,

которое называется

комплексификацией

расслоения

RZ.

О п р е д е л е н и е .

Классами

Понтрягина

pi (X) є

Нн

(X,

Z)

гладкого многообразия X называются классы

Понтрягина

каса­

тельного расслоения нб над

X.

X можно

Ориентированное

m-мерное

гладкое многообразие

по­

стемы координат х\{),

х^,

согласованные с

ориентацией

(ориентация определяется

порядком

х\1)

х<£у

Отображения

fij из (10) для такого покрытия

дают

коцикл

UІ

(\.U

-* GL + (m,

R),

тературе

несколько

отличаются

от

данного здесь

(см.,

например,

С т и н р о д

[1]). Приведенное определение достаточно для целей

настоящей работы.

Из теоремы 4.5.1 немедленно следует

Т е о р е м а

4.6.1. Классы

Чженя

ct

почти комплексного

много­

образия

X связаны

с классами

Понтрягина

р{

для

X,

рассматри­

ваемого

как

гладкое

многообразие,

соотношением

оо

оо

оо

/ * = 2 ( - I ) ' P < = 2 2( - I

г=о

г=о

/=о

4.7. Пусть

теперь X — комплексное

многообразие

комплексной

размерности

п (см. 2.5, пример 4).UДопустимая) 4

карта

для

к —

это голоморфный гомеоморфизм

открытого

подмножества

UK из X

на открытое

подмножество

VK

из_ С п .

Карта

определяет

на

£/„

комплексные

координаты. Пусть U =

{ £ /,J x e E / < — открытое

покры­

тие X,

где К — множество всех допустимых карт для

X.

9 для X

Контравариантным касательным GL(n, С)-расслоением

называется

комплексно-аналитическое

расслоение,

задаваемое

U-КОЦИКЛОМ f = {fij}, где

fdz{l)\

f<! = [jjn]'<

tfi№-*GL(n,

С).

Как и

в 4.6(10), fa — якобиева

матрица

координатных

преобразо­

ваний

из

Uj

в

и{.

Согласно сказанному в п. 3.2а, с помощью коцикла / можно

построить над X векторное расслоение

£

со слоем

С„,

ассоцииро­

ванное

с 0.

Расслоение 2 является векторным расслоением кон-

травариачтных

касательных

векторов к X,

Аналогично

с

помощью