книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

также Х и р ц е б р у х

[8] и М а й е р [1]). Имеется

точная

последо­

вательность

1 —>- U (1) —> G2„—• SO (2/г) ~> 1,

и касательное

расслоение RO к

X ассоциировано

с <52 п -расслое-

нием тогда и только тогда, когда

w2(X) является редукцией

mod2

целочисленного класса d^H2(X,

Z). Доказательство теоремы 26.1.1

проходит

теперь

аналогично

доказательству теоремы

26.3.1, но

с использованием

неприводимых

представлений группы

G2n-

Ана­

логично,

R8 0

g ассоциировано

с G2n, h-расслоением

тогда

и только

тогда, когда w2(X)-{-^

является

редукцией mod2

целочисленного

нием

неприводимых

представлений группы G2n, ftИначе, теоремы

26.1.1 и 26.2.1 могут

быть получены прямым применением теоремы

26.3.1

к некоторым

расслоениям над X (см. Р о б е р т е [1]).

ставления

и теорему

Атьи — Зингера,

было дано

М а й е р ом [1]

(см. также

П а л е [1]).

Т е о р е м а

26.3.2.

Пусть

X — компактное

ориентированное

гладкое

многообразие,

такое,

что

dimX==4mod8

и w2(X) = 0.

Пусть

.1 — непрерывное

О (k) -расслоение

над

X.

Тогда

А(Х, О, і]з(|))—четное

целое

число.

26.4. Второе доказательство теоремы 26.1.1 можно найти в час­

тях I I и

I I I работы Б о р е л я

и Х и р ц е б р у х а

[1]. Они

выводят

теорему 26.1.1 из целочисленности рода

Тодда.

Доказательство

целочисленности

рода

Тодда

(по модулю

степеней

двойки)

было

дано в 14.3; оно основано на

теореме

об индексе

(8.2.2)

и,

следо­

вательно, на теории кобордизмов. Другое,

прямое

доказательство

целочисленности

рода

Тодда

было

дано

М и л н о р о м

[3]; оно

дизмов (см. библиографические замечания к

гл. I I I ) , из которого

следует, что для каждого почти комплексного многообразия

мож­

но найти алгебраическое многообразие

с теми

же числами Чженя.

По теореме

Р Р род Тодда будет тогда

целым

числом

и для

почти

комплексных

многообразий.

26.5. Более прямое доказательство теорем

целочисленности

принадлежит

А т ь е и Х и р ц е б р у х у

[1]. Как было

замечено в

25.5, для теорем целочисленности не

необходимо

использование

полной теоремы Атьи — Зингера; достаточен

метод п. 24.5.

Всякое m-мерное гладкое многообразие можно

вложить в S2 m .

Из теоремы

24.5.2 следует, что (chm £>)[S2 t f l ]

будет

целым для

всех

6 e / ( ( S 2 m ) .

Следовательно,

теорема

26.1.1

является

следствием

теоремы 24.5.2 и следующего

обобщения теоремы

24.5.3.

Т е о р е м а

26.5.1.

Пусть

X,

У— компактные

связные

ориенти­

рованные

гладкие

многообразия,

такие, что

dim У — dim X — 2N,

у. X-+Y

— вложение

и d^H2(Y,Z)—

элемент,

редукция

которого

mod2

равна

w2(X)

— j*w2(Y).

Тогда

для

всякого

а^К(Х)

най­

дется элемент \\а, такой, что

ch/,a-

І

AMY),

....

Pi(Y))

=

1=0

= /, (ch a • Д d

£

Ai (Pl

(X), . . . , P l

(X)j,

(1)

где

/„: H* (X, Q)-> H* (Y, Q) — гомоморфизм

Гизина.

Пусть

v — нормальное SO {2N)-расслоение

для X в У. Редук­

ция

mod2

для d совпадает

с w2(v),

и

(1) может

быть

записано в

виде

ch/1 a

= / . ( c h a . ( e " ^ i ^ ( p I ( v ) , . . . ,

Pl(v))j

) .

(Г)

Пусть

В

и S — расслоения

на

единичные

шары

и

единичные

сферы, ассоциированные с v; отождествим В

с трубчатой

окрест­

ностью

X

в У. Имеется отображение г: Y—*B/S,

получаемое стя­

гиванием

дополнения

к В — 5

в

У в точку,

и, следовательно,

опре­

делен гомоморфизм ru. К(В,S)—*K(Y).

Чтобы

построить

элемент

jfL^.K{Y),

удовлетворяющий

(1*),

достаточно

построить

элемент

b (= К (В, S),

такой,

что

ch * =» <р. ({е~* d

S

А(

(Pl

(v),

Pi(v))

где ф*: Я ' (X,Q)-*

Hl+2N(У,

Q) — изоморфизм

Тома

(24.3).

Суще­

ствование

такого b доказывается с помощью представлений груп­

пы Spinc (2iV), упомянутых в 26.3.

Этот же

метод,

примененный

к

кольцу

Гротендика

веществен­

теоремы 26.3.2. Теорема 26.5.1 также

может

быть обобщена:

Т е о р е м а

26.5.2

( А т ь я

и Х и р ц е б р у х

[1]): Пусть

X,

У —

компактные

связные

ориентированные

гладкие

многообразия,

та­

кие, что dim X =

dim У mod 2. Пусть

f: X-+Y

— непрерывное

ото­

бражение,

и

пусть

d^H2(X,

Z) — элемент,

редукция

которого

mod2

совпадает

с

w2(X) — f*w2{Y).

Тогда

для

всякого

элемента

а^К(Х)

найдется

элемент

f^a^K(Y),

такой, что

оо

/

J_

оо

ch /,а

• 2 At

(pi (У),

...,pi(Y))=r(cha-e2

2

At(Pl(X),

...,Pi(X))

где f„: H*(X,

Q)—>Я*(У, Q) — гомоморфизм

Гизина.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Разложим /

в

композицию

вложения

X—>}"XS2N

И проекции

Y X S2 i V

-*Y.

Теорема

справедлива

для

вложения (теорема 26.5.1)

и для

проекции

(теорема

24.5.1). Сле­

довательно, она верна для f.

X,

Y — связные

В

частном

случае, когда

почти

комплексные

многообразия

и

d =

Ci(X) — f*ci{Y),

теорема

26.5.2

дает

следую­

щий гладкий

аналог

теоремы

Гротендика — Римана — Роха:

для

всякого

элемента

а^К(Х)

существует

элемент

ftaeK(X),

такой,

что

ch/ I a - td(F )

=

/ t ( c h a - t d ( J ) ) .

либо

на следующих источниках: М и л н о р [8], Б о т т

[6], А т ь я, Б о т т и З и н ­

г е р

[1], Х и р ц е б р у х , Б р и с к о р н ,

Л а м о т к е

и М а й е р

[1],

П а л е [1],

А т ь я

[8], А т ь я и С е г а л

[1]. Превосходный обзор

многих работ,

упомянутых

в этом приложении, можно найти в серии рефератов Б о т т а [7].

Теорема Атьи — Зингера

об индексе

для случая

действия компактных

групп

Ли и формула неподвижных

точек Атьи — Ботта были только

вскользь

упомя­

следующие работы: А т ь я и .Б о т т

[3]

и доклад Б о т т а [8] на семинаре Бур-

баки. Кроме того, в заметках А т ь и

и С е г а л а

[1] приведена явная

конструкция

для топологического индекса y(D)

в

случае,

когда G — тор или

циклическая

пактной группы Ли.

В обзорной лекции Х и р ц е б р у х а

[7] эти теоремы

сформулированы

для

гладкого

отображения

/: X -> X

в двух случаях: когда /

имеет

только

простые

неподвижные

точки

(формула для неподвижных

точек, см. 25.6)

и когда

f имеет

конечный

порядок

(теорема об

индексе

для циклической

группы G). Основная

часть лекции посвящена приложениям к случаю, когда

Vп — компактное

ком­

плексное

многообразие,

К — каноническое одномерное расслоение и /<•>: Я1 '(У,

Кг)->

->- H'(V,

Кг) —отображение, индуцированное /: V-*-V. Рассматриваемые

теоремы

дают в этом случае явное выражение для комплексного числа

%(V, Кг,

/) = 2 (-O'trace /(£)

через характеристические классы для V и неподвижные множества для /. Эта

формула

сводится к теореме Римана — Роха

%(V,Kr)=

T(V,Kn),

если f — тожде­

ственное

отображение.

Намечено

приложение, принадлежащее

совместно

Атье, Ботту и Хирцебруху,

к дискретным группам Д, действующим

в ограниченной однородной симметриче­

ской области М и удовлетворяющим условиям

(а) и

(Ь)

п. 22.2. Формула

для

%(V,Rr,f)

применяется

в этом

случае

к

V =

М/Т,

где Г — подгруппа

в Л,

такая же, как в теореме 22.2.2.

Это позволяет

вычислить

размерность Пг (М, А)

полученными впервые Л а н г л е н д с о м [1], и сводятся к результатам

п. 22.3,

если Д действует свободно на М.

') Такое полное изложение появилось: А т ь я и Б о т т

[4]; см. также

библио­

графические замечания переводчика в конце книги. — Прим,

перев.

ности

ХгР°Да (8-0 и d-когомологий многообразий Калаби —

Экмана

(9.5).

Предполагается знакомство со спектральными последователь­

Пучки

на

многообразии

М

всегда

суть

Ct, (М) -модули

(где

Съ(М) — пучок

ростков гладких

комплекснозначных

функций

на

М), и тензорные произведения

пучков

берутся

над

Съ(М).

1.2.

Пусть

М — комплексное

многообразие,

W — комплексное

векторное

расслоение

над

М и

2В — пучок

ростков

гладких

сече­

ний для W. Пусть A°Mq(W)

— пространство гладких внешних

диф­

ференциальных

форм

на

М типа

(р, q) с

коэффициентами

в

W

(см.

15.4), и пусть

^Mq(W)—пучок

ростков

таких

форм.

Если

W = 1—тривиальное расслоение Л1ХС, то мы будем

опускать W

в указанных выше обозначениях. Имеем

Kiq

(W) - 28 ® %li \

АРй q(W)^Y{%VMq(W)).

(1)

Пусть AM (W)

обозначает сумму

АРмч (W) для р + q =

і, AM(W) —

отождествить (и отождествлено)

с тривиальным расслоением U X

X С<г. Напомним, что AP)Q(W\U)

можно канонически отождествить

(р, q) на U. Если

со є

Ац 4 (W У) соответствует

(сої,..., со^), то да>

соответствует

(дац,...,

dcoi).

Предположим

далее,

что U

является

координатной окрест­

ностью с локальными

координатами zu ...,

zn.

Для подмножества

/ = {t'b . . . , ih)

из { 1 , . . . , п)

положим

dzj

— dztl

А

•••

A dzik,

dz, = dztl

Л • • • Л dzik.

Тогда формы ШІ могут быть однозначно

записаны в виде

ю< = 2 Л\ /, і • dzj

A

dzj,

(2)

1.3. Прямая

сумма

пространств НР'Q

(М)

(соотв. HP'Q(M,

W)

см.

15.4) обозначается

через Н^{М) (соотв. Я^(М , W)), a h p , q

или

hP'Q{M)

(соотв. hP'4{W)

или hP,Q(M,

W)) обозначает

размерность

НР'"{М)(соотв.

Я р ' " (М,

«7)). Пространство Я5 (ЛГ)) можно есте­

ственно

рассматривать

как

антикоммутативную

биградуирован-

ную

алгебру.

Если

W = М У F — тривиальное

расслоение,

то

Hg (М, W)

Н-Д

(М) ® F,

как

следует

сразу

же из

определений.

1.4. Предположим теперь М компактным,

Тогда

пространства

НР'Ч(М, W) конечномерны

(15.4.2). Пусть,

далее,

G— группа Ли,

непрерывно действующая на М биголоморфными

преобразова­

ниями,

и

пусть

ф: G —•AutAf — отображение,

определяющее

это

действие. Тогда

ф индуцирует

непрерывное

представление ф° груп­

пы

G на НР'Ч(М).

Если

М

кэлерово,

то

ф° постоянно на каждой

связной

компоненте

для

G; действительно, в

этом

случае

(М)

канонически отождествляется

с

обычной

алгеброй

когомологий

Н* (М, С)

для М (см., например,

А. В ей л ь

[2], гл. 4); отожде­

тирует с естественным действием

G на TIg{M) и на

Н*(М, С);

наше утверждение является тогда

следствием аксиомы

гомотопии.

1.5.

Пусть \ =

(Е, В, F, я ) — комплексно-аналитическое

расслое­

ние

(см. 3.2),

где Е — пространство

расслоения, В — база,

F —

слой

и я: Е-*В

— проекция. Мы будем предполагать, что слой F

компактен и связен. По определению

(см. 3.2) структурная

группа

G для I — это комплексная группа Ли, действующая

на F посред­

ством

голоморфного отображения

G\F-*F.

Пусть |

опреде­

лено

с

помощью

координатных

функций

/ а & : £/а ГШр —*G,

где

(иа)а<£л

~ подходящее покрытие

для

В.

Ясно,

что

[ J Н"'q

{Fb)

ь&в

слоения

над В,

координатные функции

/а р которого

получаются

композицией

/ a g

с

заданным

представлением

(р° группы

G а

G L ( # P ' q

(F)).

ЭТО векторное

расслоение

мы будем обозначать че­

рез Нр ' q

(F),

а прямую сумму 2

Нр ' q (F) — через

H^(F).

Если

ф° постоянно

на

связных

компонентах

группы

G, в

част­

ности если слой

кэлеров,

то Щ (F)

будет голоморфным

комплекс­

ным векторным

расслоением

над В

(с локально

постоянными

ко­

ординатными

функциями).

Действительно,

в этом

случае

/°р будут локально постоянными

морфные отображения иаГ\и$

в

GL[H^(F)).

§

2. Спектральная

последовательность

2.1. Т е о р е м а .

Пусть | = (Е, В, F, я) —

комплексно-аналитиче­

ское

расслоение,

в

котором

Е, В, F связны и F компактно.

Пусть

W — комплексное

векторное

расслоение

на

В

и

W = ri*W — его

прообраз

на

Е. Предположим,

что каждая

связная

компонента

структурной

группы

G

расслоения

% действует

тривиально

на

#-j (F). Тогда

существует спектральная

последовательность

( E R ,

d.)

{г ^

0) со следующими

свойствами:

1) Ет 4-градуированно:

по степени

слоя,

степени

базы

и

по

типу. Пусть

р' 4Ер 1 — подпространство

элементов

из Ег

типа (р, q)

степени

слоя

s и степени

базы t.

Тогда

QESr

' =

0,

если

р -f- q ф

s + t или если

один

из индексов

р, q, s,

t < 0. Диф­

ференциал

dr

отображает P'QESR'T

в

Р-1+1Е$Г+Г-*-Г+\

2)

Если

р + q =

s + t, то

QES2

F

S

Н1' s~l (В, W «> Нр ~' q~s+i

(F)).

3)

Спектральная

последовательность

сходится

к

H^(E,V^).

Для

всех р, q ^

0

имеем

2

Р,<7£~'

GvHp'4(E,W)

=

s+t=p+q

для

некоторой фильтрации

группы

НР'Ч(Е,

W).

4)

Если W —

1, то (Er, dT)

являются

дифференциальными

ан­

тикоммутативными

алгебрами,

и изоморфизм

3) сохраняет

умно­

жения.

v

2.2.

З а м е ч а н и я .

1)

В наших

предположениях

о G расслое­

ние

(F) голоморфно, поэтому свойство 2) имеет смысл. Это

свойство автоматически выполнено, если F кэлерово.

2)

Свойство

2.1,2)

показывает,

что

в Е2 есть 4-градуировка,

более

тонкая, чем указанная

в 2.1,1), а именно 4-градуировка, за­

даваемая типом дифференциальных форм на В и на F. Доказа­

тельство показывает, что эта 4-градуировка

имеется

и в Е0

и Ех.

3.1. По § 6 включительно g, W,

№, G будут

такими

же, как и

в 2.1; 2В — пучок ростков гладких

сечений для

W; Сь

обозначает

Фа: W\v -> Ua X С т

(а є

si)

а

— допустимые тривиализации

и

(а <= £ф)

Фар"

t / a n ^ p - > G L ( m , С)

(а,

р є

sf)

и

(а,

р є

бФ)

!—соответствующие

функции

перехода.

я„,< = 2 Д

t t

hldz*Adz«,

где / и /

пробегают

соответственно

подмножества,

состоящие из

с и d элементов множества { 1 , 2

, . . . , п}, и где я а ,

е $Fa'ь {Ua) —

послойная форма типа (а,Ь) на

Ua.

Таким

образом, ha

отождествлена

с 1^-дифференциальной фор­

мой типа

(а + с, Ь +

d)

на я - 1 ( £ / а ) . Конечно, это отождествление

зависит существенно

от локальных тривиализаций, и саму форму

h нельзя

рассматривать

как дифференциальную форму. Точнее, я а

^аР и

ЛарОднако

если мы хотим описать

дифференциальную

форму

па на U$[)Ua

с помощью локальных

координат (zf) и ло­

ные tya[} по 2. Поэтому в новых координатах ha

будет

равно сумме

«3 и дифференциальных форм, степень базы

которых

>c-\-d.

менты из Ма'ь'"'

d

как формы на В типа

(с, d)

с

коэффициентами

в векторном расслоении.

Действительно,

Ар'ь является

естественным

образом

простран­

ствами

Фреше

(см. С е р р

[3]), и

всякий

автоморфизм

многообра­

зия F

индуцирует

гомеоморфизм

Ар'ь.

Таким образом,

функции

"Фа, р: Uа П U§

Aut Ар ь

позволяют

определить

над

В

ассоции­

рованное расслоение ца'ь

со слоем А%'ь.

Далее,

эти

функции

яв­

ляются

гладкими

в том

смысле,

что

если

р:

Ua f]

-> Ар'ь

—

разом,

имеет смысл

говорить о гладких сечениях расслоения

ца - *.

Можно

проверить,

что элементы

из Ма'

ь' °'d

являются в

точности

формами на В

типа

(с, d)

с коэффициентами в W ®

\ла-ъ.

3.6. Пучок

Ш<&%%а

локально

свободен

над Сь следовательно,

последовательность

0->Ш eg) 3°' Ь ® Ъ

%

®

" ® %У d->Ж

® др ІХ'")

®

5tB'd ->0,

(2)

полученная из

3.2(1) тензорным

умножением

на S B ® 5 l g d ,

также

точна. Более того,

так

как пучок

Щій

тонкий

(см. 3.5),

то

после-

в пучок $a'b(F)

ростков гладких сечений

расслоения

Ha,h(F),

определенного в

1.5. Мы утверждаем, что

последовательность

0-^др ( s a ' 6 - , ) _ ' * 3 e ' 6 - £ > $ e - * ( F ) - * o

( a > 0 , b >

1)

(4)

точна.

То, что a ° 1=0, ясно. Далее, так как Ha'b(F)

конечномерно,

то

Это сводится к следующему

утверждению.

Пусть

z є

В

и U — открытая

окрестность

точки z

в В, со — по­

слойная форма

типа (а, 6)

над U, т. е. отображение,

сопоставляю­

щее х є У форму ©(х) типа

(а,Ь)

на F, гладко зависящую

от х.

Предположим, что для каждого х существует

форма

vx

на F типа

(а, Ь— 1), такая,

что ю(%) =

6Yc. Тогда найдутся окрестность V

точки z и послойная форма

т

на

V типа

(a,b — 1),

такие, что

(о(х) = дх(х)

для

всех х є У . Другими словами, можно

выбрать

vx гладко

зависящим от х. Но это утверждение содержится

в „тео­

ремах 7, 8 работы

К о д а и р ы

и С п е н с е р а [7].

3.8. Точно так же, как точность последовательности

(3)

была

выведена

из

точности последовательности

(1), выводится

из 3.7

точность

последовательности

0 - > Г (SB ® др

{Ъа'

® %%d)

Г (SB ® 3 а - ь

® Я§ 'О ^ >

- > Г ( 2 В ® $ в , ь ( Р ) ® Я § < ' ) - * 0 .

(5)

С другой стороны,

существует естественный

изоморфизм

2В® !Qa'b{F)

= <S{W ® Н а ' 6 ( F ) ) ,

(6)

где ©(И? ® H a , 6 ( F ) ) —пучок

ростков

гладких

сечений пучка

I F ®

® Н ° ' ъ (F). Следовательно

мы имеем

Г (SB ®

6 (F) ® Ъ%d) = ^

d {W ® H a

6 (F))

е Г ( б ( и 7 ®

H e ' * ( f ) ) ® « B d ) .

(7)

в»