книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

мологической последовательности,

которые нам

будут нужны

в

гл. IV. Пусть. К —некоторое поле

и © — пучок

К-модулей над

X

ствами

над К. Через

d i m # ? ( X ,

©) будем

обозначать

размерность

над К.

О п р е д е л е н и е .

Пучок

©

К-модулей

над

X

имеет

тип

(F),

если группы когомологий

НЯ{Х,

©) являются конечномерными

век­

торными

пространствами

над

К и если

dim Hq(X,

©) =

0 для

всех

достаточно больших

q.

Если

© имеет тип (F),

то может

быть

определена

характери­

стика Эйлера — Пуанкаре

оо

X (*,•<»)=

2

( - 1 ) * dimH"(X,

©).

<7= 0

Т е о р е м а

2.10.2. Пусть

0 - > © ' - > © - > © " - > - 0 — точная после­

довательность

пучков

над

паракомпактным

пространством

X.

Если

два из

пучков

©', ©,

©"

имеют

тип

(F),

то и третий также имеет

тип (F)

и

%(Х,Є)

=

х(Х,&)

+

1(Х,<В")-

Это доказывается непосредственным применением теоремы

2.10.1.

Т е о р е м а

2.10.3. Пусть

0 - > © ! - > 6 2 - > . . . ^ © „ - ^ 0

— точная

последовательность

пучков

над

паракомпактным

про­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим через

$ г ядро

гомоморфизма

из ©г в © r + i и применим

теорему 2.10.2 к

точной

последователь­

ности

О п р е д е л е н и е . Пучок

©

над паракомпактным

простран­

ством X называется

тонким пучком,

если для всякого локально ко­

нечного

открытого

покрытия

ІІ =

{£Л-}І Є /

пространства

X найдется

система

[НІ)ШІ гомоморфизмов п{:

6 - *

6, такая, что

I) Для

всякого

і

1 найдется

замкнутое

множество

At

є

X,

такое,

что AiCi UІ

и hi(SX)

=

0 для хфАі,

где

SX

— стебель

в <5

над

х.

II)

2

hi

тождественно

равна

единице

(сумма

имеет

смысл,

так как покрытие U локально

конечно).

Т е о р е м а

2.11.1. Пусть © — тонкий пучок

над

паракомпактным

пространством

X. Тогда

группы

Hq (X, ©) = О равны

нулю

для

q ^ 1

Д о к а з а т е л ь с т в о

(см. К а р т а н

[4],

сообщение

XVII). Так

как X паракомпактно, то достаточно доказать, что группы Нч

(Ц, @)

равны

нулю при q~^\

для любого локально

конечного

открытого

покрытия

и =

{ [ / і } г є / . Определим для

q~^\

гомоморфизм

(гомо-

топию)

kq:

Cq(\X, <В)-^С"-1Гй,

@)

следующим образом. Пусть

/ е С ' ( И ,

©). Тогда

коцепь

kqf

сопо­

ставляет каждому

набору (г0,

/„_,)

сечение

(kqf){i0,

/?_,)

пучка

©

над

Uto(] .. . flUt

. Для

всякого

индекса і є

/

пусть

t(i,

г'о, . . . ,

iq-i) совпадает

с

сечением

©

над

Uig П . •. П

Uiq_v

которое

равно

hi(f(i,

i0, ...

iq-\))

на

меньшем

множестве

Ui П Ui0

Л • • • П

и

равно

нулю

вне его.

Здесь ht— гомомор­

физмы,

обладающие свойствами I)

и

I I ) . Положим

(kqf)(i0,

/,_,)= 2

Hi,

io, •••>

кограничный

гомоморфизм Cq(U,

©)—* C ? + 1 ( U , ©). Легко

доказать,

что для

<7 ^

1 гомоморфизм

kq+i6q + б 7 - 1 /е?

совпадает

с тожде­

ственным

отображением, чем

и

завершается

доказательство.

тами) для

симплекса.

Рассмотрим теперь над паракомпактным пространством X пу­

чок Сс (см. 2.5, пример 2). Пусть

U — произвольное

локально

ко­

нечное открытое покрытие X. По теореме 2.8.4 существует подчи­

ненное ему' разбиение еДИНИЦЫ {ф,Ь<=/. С ПОМОЩЬЮ фуНКЦИЙ

ф;

можно следующим образом определить отображения

he

Сс

—> Сс .

Пусть Sv

— С-модуль

комплексных

непрерывных

функций

на

U.

Для / e S u

положим

hi(f) = cfif. Этим определяется

гомоморфизм

hi предпучка

{Sv}

в себя, а следовательно, и гомоморфизм

ht

пучка

Сс в себя. Эти гомоморфизмы ht удовлетворяют условиям

I)

и II)

из определения тонкого пучка. Тем самым

доказана

Т е о р е м а

2.11.2.

Пучок С с ростков

комплексных

непрерыв­

ных функций

над

паракомпактным

пространством

X

тонок.

0 - > & p - * © p - > t f p + 1 - > 0 ,

(26)

р ^ О .

Так как группы

когомологий

Hq(X,

6 Р ) равны 0 для q > О,

точная

когомологическая

последовательность

для (26) дает

есте­

ственные

изоморфизмы

Н«-1(Х,

9lp+l)^Hq(X,

Лр )

для

<7>2.

(27)

Так

как $о — ©, повторное применение

формулы (27) дает

H ' ^ . J I J a f f ' ^ S )

для

<7>1 .

(28)

Выпишем

отрезок

точной

когомологической

последовательности

для

(26) (с р замененным

на q — 1)

Я"(X, ©

,

_

,

)

• Я 0

(X, Я,) - > Я 1

(J , V i ) -> о.

<2 9 >

Так

как

Я°(Х,

совпадает

с

ядром

гомоморфизма

hq

и

Я°(Х,

©,_]) =

Г (X,

то теорема следует

из (28) и (29).

Пусть

X — гладкое

многообразие

(см. 2.5, пример

3),

и пусть

W — пучок

ростков

гладких

р-форм

над X (см. конец

п.

2.11).

Если

U — открытое

множество в X, то Г (U,

%р) — это

R-модуль

гладких р-форм, определенных на U. Внешняя

производная

является

гомоморфизмом

из Г ( [ / , % р ) в Г (U',

Шр+1).

В

терминах

локальных

координат внешняя производная р-формы

со =

2

U

,

dx,

А

• • • Л dx.

it<...<ip

'і- ••- 1Р

'і

1P

есть

p +

1-форма

2

rff,

dco =

,

A dx,

A

• • • Л dx. .

/,<...<fp

'p

'i

'p

Пусть

R —

постоянный

пучок

вещественных

чисел, h — вложение

R в пучок

$ 0

ростков

вещественных

гладких

функций

и № : % Р - *

_>

— гомоморфизм,

определяемый

внешней производной.

Т е о р е м а

2.12.2

(лемма Пуанкаре).

Последовательность

0 -> R—^

%° — > %1 —•>

. . . —>• а р

— - > . . .

точна.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как

=

0, то hP+lhv =

0 для р ^ О .

Поэтому

достаточно

доказать

следующее.

Пусть

ю —р-форма

( р ^ 1 ) ,

определенная

на

открытом

множестве V. Если

(/со ~

О,

Т е о р е м а

2.12.3

(де

Рам) . Пусть X —

гладкое

многообразие,

и пусть

АР, / 7

^ 0 , —

R-модуль гладких р-форм,

определенных

на

всем X.

Пусть

Z P —

ядро

R-гомоморфизма

d:

АР-^-АР+К

Тогда

dAP-1 a ZP для

р ^ 1 и

Н° ( I , R ) a Z ° ,

Нр (X, R) & Zp/dAp~1

для

р > 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Точная последовательность, построенная

З а м е ч а н и е .

Точно

так

же

доказывается

соответствующий

результат

для

комплексных гладких

р-форм. Пусть А Р

— С-модуль

р-форм, определенных на всем X с гладкими комплексными функ­

циями в качестве

коэффициентов. Пусть ZP — ядро

С-гомоморфиз-

ма d: AP-+AP+1.

Тогда имеют место

изоморфизмы

H°(X,C)^Z°,

НР(Х,

C )

s Z

W

для

р > 1 .

§ 3.

Расслоения

3.1.

Пусть

X — топологическое

пространство.

Пучок

групп

© = ( S ,

я, X)

(не обязательно

абелевых)

определяется,

как и в 2.1,

свойствами

I ) — I I I ) ,

последним из

них в

следующей слегка

видо­

измененной

форме:

III)

Всякий

стебель

является

группой.

Групповые

операции

сопоставляют

точкам

а и р из Sx

элементы

сф

и а р - 1

из Sx,

при­

чем а р -

1

непрерывно

зависит

от а

и р. (Отсюда

следует, что

\ х

не­

прерывно

зависит

от

j

и что оф

и ог'р

непрерывно

зависят

от

а и р . )

лены группы Г (£/,©)

сечений пучка © над открытым множеством

U и гомоморфизмы

ограничения rty. Единичным элементом груп­

пы T(U,©)

служит сечение х~*\х.

(Если

U пусто, то по определе­

нию Г(£Д©)

состоит

из одного единичного

элемента.)

для

случая самого пучка <©.

К о г о м о л о г и ч е с к о е м н о ж е с т в о

# ' ( U , © )

Пусть

U =

{Иі)ШІ

—

открытое покрытие

пространства

X.

W-коциклом

называется

функция

/,

сопоставляющая

упоря­

доченной

паре

i, j элементов из I элемент

Іц є

Г (Ut {] 0/,

©)

таким образом,

что

ftiUk^fik

в

Utr\U,[\Uk

для

всех

i,

/,

k є= I .

Равенства такого

типа

всегда

понимаются

как

равенства

между ограничениями сечений на общую область

определения. Из определения

с л е д у е т ,

что

fu

равняется

единич­

ному Э л е м е н т у

В

T(Ui,

© )

И

ЧТО fij

=

fji.

Множество U-коциклов будем обозначать через Z1 (II, <5). Ко­

циклы f

и f

называются эквивалентными,

если

для любого

і є /

найдется

элемент

^ , е Г ( ( / ;

,

©), такой,

что

Уц=

SfftiSt

в Ulr\Ui

для всех

i,

j є= /.

Когомологическим

множеством

Я 1 (U,

©)

называется

множество

классов эквивалентности U-коциклов. Пусть

23 = {

V

—

покры­

тие,

вписанное

в U, и пусть

т — отображение

из 7 в I , такое, что

Vr с Uxr

для всех

г є

/ . Тогда

U-коцикл / определяет 23-коцикл x*f

равенством

(т*/)г, 5 = fxr, is в

Уг Л V,

ДЛЯ ВСЄХ

Г, S.

(V/)r _ a =

g'1

(т7)Г і sgs

в

Vrr\Vs

для всех

r,

s^J

между

4 7

и т7-

Следовательно, отображение

не зависит от

выбора

отображения т.

Когомологическое множество Н1(Х,

©) представляет собой пря­

мой предел

множеств

Я 1 (11,©)

по' отношению

к

отображениям

t%, когда

U пробегает

все собственные открытые

покрытия прост­

ранства

X (см. 2.6

и начало

§ 2). Можно показать, что если по­

крытие 23 вписано в U, то отображение

4 взаимно однозначно, т. е.

Я ' ( и , 6 )

можно

рассматривать

как

подмножество

в Я 1 (23, ©) .

Если U и 23

конфинальны, то

Н1(\Х, ©)

естественным

образом

отождествляется с Я 1 (23, 6 ) . Отсюда следует,

что Н1(Х, <5)

можно

рассматривать

как объединение

множеств

Я 1

(11,6), когда

U про­

мент 1 є Я ' ( І , 6 )

представим-

коциклом

= 1 е

Г(^/4 иf/j,<5)

для любого открытого покрытия

U = {[/f}i e =7 .

Рассмотрим теперь частный случай, когда G— топологическая

группа, а © — пучок

ростков функций со значениями

в G. Функ­

символами Gc , Gb,

Gm ,

что согласуется

с обозначениями

из

2.5.

Если

X — топологическое

пространство

и

G — топологическая

группа, то

Gc

есть

пучок,

для которого

Г(£/, Gc )

совпадает с груп­

пой непрерывных отображений из 0 в G.

Если

X — гладкое многообразие

(см. 2.5)

и G — вещественная

группа Ли,

то

Gb

есть

пучок, для

которого

T(U,Gb)

совпадает

с группой

гладких

(т. е. дифференцируемых

класса

С°°, см. 2.5)

отображений U в G.

Если X — комплексное

многообразие

(см. 2.5),

a

G — комплекс­

ная группа Ли, то GM есть пучок, для

которого

Г (С/, бщ)

совпа­

дает с группой

голоморфных

отображений из U в G.

С о г л а ш е н и е .

Если

речь идет

о пучке

Gb над

пространством

X, то мы будем молчаливо предполагать, что

X — гладкое

много­

образие,

a

G — группа

Ли. Если речь идет

о

пучке

Ga

над

X, то

X предполагается комплексным многообразием, a

G — комплекс­

ной группой Ли.

Пучок GiHap, X есть подпучок пучка Gc . Пучок GM над X есть

подпучок пучка Gb. Имеем естественные отображения

Н\Х,

Gb)^Hl(X,

Gc ), W(X,

G e

)

G

b

)

,

(1)

а также

их композицию

W{X,

Ga)-*Hl(X,

Gc).

Gc->GC ,

б ь -> Gb,

G b - > G o j

и естественные

отображения

Я'(Х, G't)-*Hl(X,

Gc ),

W(X,

GO-*

->Hl(X,

Gb),

Hl(X,

0'ш)^Н1(Х,

G(o). (2)

Если

G'=G

и /г является

внутренним

автоморфизмом,

/г (g) =

a~lga

(g є

G), определяемым элементом а є

G, то

все естественные отображения (2) — тождественные ото­

бражения.

(2*)

3.2а. Пусть X — топологическое

пространство и G— топологиче­

ская группа с единичным элементом

е ЄЕ G.

Рассмотрим

эффек­

тивное

непрерывное

действие

группы

G на

топологическом

прост­

ранстве

F. Здесь

непрерывное

действие

означает непрерывное

ото­

бражение

G XF-*F,

переводящее

g Xf

^= G X F

в

gf

є F,

такое,

что gi(g2f)

— (gig2)f

и ef =

f

для

всех

f e f .

Эффективность

озна­

чает, что если gf = / для некоторого g

и всех f, то g =

е.

О п р е д е л е н и е .

Топологическое

пространство

W

вместе

с

не­

прерывным отображением

(проекцией)

я: W—>Х

называется

рас­

слоением

над

X

со

структурной

группой

G

и

слоем

F, если

суще­

ствует

система

координатных

преобразований,

т. е. если

I)

имеются

открытое

покрытие

и =

{ £ / г } . є / пространства

X

и

гомеоморфизмы

/г,-: я - 1 (Ut)

-> {]t

X

Л

которые

отображают

„слой11

я~' (ы)

на

и У, F;

/ є= I

имеются

элементы

gtj є Г

II)

для

всех

г,

(£/,• f) t 7 G c ) ,

такие,

что

{hihj1)

(uXf)

=

uXgu

(и) f

для

всех иє=

Ut()U

h

f є= F.

(3)

З а м е ч а н и е .

Так как

действие

G

на

F

эффективно, то

эле­

рим тривиальное расслоение с W = X X F,

где

я — проекция про­

изведения на сомножитель. Всякое открытое покрытие

U = {Ui}l

є ;

удовлетворяет условию I ) , а функции

gn

=

1 є

Г (Ui f)

Ge)

удовлетворяют

условию I I ) . В этом случае

g

совпадает

с отмечен­

ным элементом в когомологическом множестве Я'(Ц,

Gc ).

Чтобы завершить определение расслоения над X, надо еще

указать, при

каких условиях различные

системы

координатных

физм

hv: я - 1

(£/)-> V X

F, где С/ — открытое множество

в X, назы­

вается

допустимой

картой

для системы

координатных

преобразо­

ваний

I ) , I I ) , если

для каждого

г ' е /

найдутся

элементы

gu

t є=

є Г(£/ П С/р

Gc ), такие,

что

(Лс/ЛГ1) (и X /) = " X

& ы

(") /

Для всех и є= С/ П

/ є

F.

(З*)

О п р е д е л е н и е .

Две

системы координатных

преобразований

превращают

W в одно

и то же расслоение W над X со структур­

ной группой

G и слоем

F тогда

и только тогда,

когда

всякая

до­

О п р е д е л е н и е .

Пусть W с проекцией я и W

с

проекцией

я' —два расслоения

над X со структурной группой

G

и слоем F.

Изоморфизмом

k

расслоения

W на

расслоение W

называется

го­

меоморфизм k:

W-+W,

такой,

что для

каждой точки

х^Х-

I) слой л~1(х)

отображается

на

слой

л'~1(х);

II) найдутся

окрестность

U точки х,

элемент § „ є Г ( У ,

Gc) и

допустимые карты пи: л'1

(C/)-» U X

F для W и Н'ц. я ' - 1

(£/)->£/

X F

для

W,

такие, что

h'ukhu1 (" X f) — и X ёи (и) f

для

всех

u<=U,

f ^

F.

Если

задано

открытое покрытие

ll =

{Ut}lsl

пространства

X и

U-коцикл g =

fei)}eZl(U,

Gc ), то можно

построить

расслоение

We

над X со структурной

группой

G и слоем

F. Достаточно

рас­

смотреть дизъюнктное объединение произведений UI'XFH

ото­

ждествить точку « X / ^

U jX

F с точкой

иХ

ёц(и)!

^

UtX

F для

всех и ^

U ((] U j .

Полученное

пространство

будет

расслоением

с

проекцией,

индуцированной

проекцией

UiXF—>Ui.

Если

J E Z 1 (И, Gc ) и / і е Z 1 (It, Gc ), то Wg

изоморфно Wh

тогда

и только

мологическом

множестве

Я 1

(X,

Gc ).

Всякое

расслоение

над

X

со структурной группой G и слоем F

изоморфно расслоению

Wg

для некоторого

Тем самым

получена

Т е о р е м а

3.2.1.

Классы

изоморфизмов

расслоений над X

со

структурной

группой

G и слоем

F

(с

заданным

эффективным

не­

прерывным

действием G на

F)

находятся

в

естественном

взаимно

однозначном

соответствии

с

элементами

когомологического

мно­

жества Hl(X,

Gc ).

Тривиальное

расслоение

W = XXF

соответ­

ствует отмеченному

элементу

І є Я 1 (X,

Gc ).

С о г л а ш е н и е . Элементы

из

Я 1

(X, Gc )

будем

называть

G-расслоениями.

С другой стороны,

слова расслоение

или

главное

расслоение

будут относиться

к индивидуальным

расслоениям, а не

к классу

изоморфных

расслоений.

3.2b. Определение

и результаты

п. 3.2а переносятся

на

диффе­

ренцируемый

и

голоморфный

случаи. Пусть X — гладкое

(соотв.

комплексное)

многообразие,

a

G — вещественная

(соотв. комплекс­

ная) группа Ли. [По

поводу

групп

Ли

см., например,

П о н т р я -

ги н [1].] Рассматривается эффективное

гладкое

(соотв. голоморф­

ное) действие GX.F-+F

группы G на

гладком

(соотв. комплекс­

ном) многообразии F. В остальных определениях нужно только

заменить

всюду

і.учок

Gc на пучок

Gb (соотв. на Gffl)

над X. Рас­

слоение Сбудет

тогда автоматически гладким (соотв. комплексным)