книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

части). Как и в примере 2), эти группы образуют некоторый

пред-

пучок

{Sv, г"}. Пучок

Сь, порожденный

этим

предпучком,

назы­

вается

пучком

ростков

комплексных дифференцируемых

функций.

Аналогично определяется пучок

Сь ростков

нигде

не

обращающихся

в нуль

комплексных дифференцируемых

функций.

Точно

так же,

как в примере 2), показывается,

что пучки Сь и Сь связаны

точной

последовательностью

0 - > Z ^ C b - > C j - * 0 .

(10)

4)

Пусть,

наконец,

X — комплексное

n-мерное

многообразие.

гладкого многообразия

(см.

А. В ей л ь

[2]): хаусдорфово прост­

ранство X со счетной базой

называется

комплексным

многообра­

зием,

если для каждой

точки

х е ! указаны некоторые

комплекс­

ные

функции, определенные

в окрестности этой точки

(своей для

комплексно-аналитическими)

в

точке

х є і ,

должны

удовлетво­

рять следующей

аксиоме:

Существуют

такая открытая

окрестность

U точки

х

и

такой

гомеоморфизм g

окрестности

U на открытое подмножество

прост­

ранства

С„, что комплексная

функция

/,

определенная

в

окрестно­

сти V произвольной

точки у е U, тогда

и только тогда

голоморф­

на, когда

функция

fh~l, где

h =

g\U[]V,

голоморфна

(в

обычном

смысле)

в точке

g(y).

гообразия определен

пучок С и ростков

голоморфных

функций:

в

соответствующих определениях следует лишь принять за Sv

адди­

тивную группу комплексных функций, голоморфных в U. Анало­

гично

определяется

и пучок

С© ростков

нигде не

обращающихся

в нуль

голоморфных

функций,

связанный с пучком

С ш точной

по­

следовательностью

0 ^ Z - * C a - > C ^ 0 .

(Н)

З а м е ч а н и я .

Пучки

Сс , Сь, С м

можно

рассматривать

и

как

пучки

С-модулей.

Однако

говорить

о точных

последовательностях

данном

пучке © над пространством X. Построение производится

в

три

этапа. На первом

этапе

строятся группы

когомологий

Hq

(U, ©)

произвольного

открытого

покрытия It =

{Ui}i є

j простран­

ства X

с

коэффициентами

в данном

предпучке

@. Затем группы

когомологий # ? ( U , © )

покрытия U с коэффициентами в данном

пучке

©

определяются

как

группы

когомологий

этого покрытия

группы

когомологий

Нч(Х,®)

и Я<?(Х, ©) пространства

X

опреде­

ляются как прямые пределы групп Нч(УХ,Щ

и

Я « ( и , © )

соответ­

ственно по «всем» открытым покрытиям

пространства X.

Г р у п п ы к о г о м о л о г и й

Hq (U, @) и

Hq (U, ©)

Пусть

® = {5у, г^} — произвольный

предпучок

над

топологи­

ческим

пространством

X и U =

{£/;}.є /

— произвольное

открытое

покрытие

пространства

X. Функция

/,

сопоставляющая

каждой

(q + 1)-членной последовательности

(/0 ,

iq)

индексов

из

мно­

жества / некоторый элемент f(i0,

L)

группы

S(u.

а ...

пи- \,

называется

q-мерной

коцепью

(покрытия

U с

коэффициентами

в предпучке

©).

Все

g-мерные

коцепи

очевидным

образом

обра­

зуют аддитивную группу С (U, ©). Формула

где f f= С

(U, ©),

определяет,

очевидно,

гомоморфизм

б": Cq(U,

@ ) - > C ' + , ( U , ©),

Группы

когомологий

Нч (U, ©) с коэффициентами

в пучке

©

определяются теперь как

группы

когомологий с

коэффициентами

в каноническом предпучке

пучка

©.

Г р у п п ы

к о г о м о л о г и й Hq

(X, ©) и Нч (X,

©)

Пусть

покрытие ® =

{ 1 / / } / є /

вписано в покрытие

U = {Ul}i

е / .

Рассмотрим

произвольное

отображение т: / - » / ,

обладающее

тем

свойством, что VjCzUxf

при любом / е

/ . Формула

(т7)(/0 .

h) = ri'(f(rj0,

т.д),

где

/ є С ( U , ©), определяет, очевидно,

гомоморфизм

%': C ( U , Щ->С{Ъ,

©).

Здесь положено W=*Vf0[)

...'[\Vi

и

= t / T / p n

••• ПС/т/, так

что

І Г с Г ' .

*

Для любого q^O имеет место

коммутативная

диаграмма

C 9 + I ( U ,

© ) ~ > C " + I ( 2 S , ©)•

Следовательно, гомоморфизм т* индуцирует

гомоморфизм

й:

Я*(П,

©).

Л е м м а 2.6.1. Гомоморфизм

t% зависит

только

от открытого

покрытия

U и

вписанного

в

него

открытого

покрытия

Ъ и не зави­

сит от выбора

отображения

х:

Кроме

того, гомоморфизм t\

является

тождественным

отображением

и

для любого

открытого

покрытия

Ш,

вписанного

в

покрытие

23,

имеет место

равенство

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть т

и х'

— два отображения

из /

в I,

обладающие

тем свойством, что Vt

cr Ux! П С///. Для каждого

q ^

1 определим гомоморфизм (оператор гомотопии)

формулой

где

/ є С

(U, ©). Здесь

положено

^ = ^ /

о п . . .

n v ,

^

= с ч л

• • • п с / т / А л с / ^ / д п с ^ х - / А + 1 л •• • n t / t V l ,

так

что W с Wh.

Ясно,

что

k^

=

{x')"

~х\

6 « - ^ Ч ^ + ,

в « =

( т У - т *

для

Этим доказана первая часть

леммы. Остальные утверждения

те­

О п р е д е л е н и е .

Группой

когомологий

№(X,

®)

топологиче­

ского пространства

X

с коэффициентами

в данном

предпучке

©

называется прямой предел групп # ? ( U , ©) по отношению к гомо­

морфизмам

t%, где

U пробегает

все собственные

покрытия

про­

странства X.

Группой

когомологий

Я«(Х, ©) пространства

X

с

коэффициен­

тами в пучке

©

называется

группа

когомологий

этого простран­

ства с коэффициентами

в каноническом предпучке для ©.

Группа когомологий H°(U, ©) по определению представляет

собой группу функций /, сопоставляющих

каждому

индексу і <= /

некоторое сечение fi

пучка ©|£/* и обладающих тем свойством, что

fi = fi на

Uif)Uj.

Следовательно,

#°(U ,

<гэ)=Г(Х,

©) . Иными

словами, имеет

место

Т е о р е м а

2.6.2. Группа

когомологий

#°(Х,

©)

естественно

изоморфна

группе

Т(Х,

©) сечений

пучка

© над пространством

X.

Т е о р е м а

2.6.3.

Группы когомологий

Hi{Y, ©)

и

Нч(Х,<5)

естественно

изоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Каждое открытое

покрытие

U =

{ £ / J i ( S /

пространства

X определяет некоторое открытое покрытие

U \Y =

= {UІ Г) У}/є /пространства Y, причем любое

покрытие подпростран­

ства Y может

быть

так получено. Далее, для каждого открытого

множества U пространства X группы T(U Л Y, ©) и T(U,

©) есте­

морфизмами ограничения

для V а 0.

Следовательно, для всех

а имеют место изоморфизмы

C(VL\Y,

S ) s C ' ( U ,

§) ,

сов {С4

(U | Y, ©)} и {С (U, ©) и потому,

индуцирующие изомор­

физмы

Hq{\\\Y, <S)s* Hq{\\,

©).

Теорема

доказана.

A.: Hq{\\, Щ^Н"(\\,

©).

H"(U,

®)—+Hq(\\,

©)

4

4

(12)

Я " (S3,

(«В, © ) ,

тельность предпучков над пространством X (см. 2.4):

О -> ©' — > © - >©" - >• О

(13)

Здесь 0 — нулевой предпучок, сопоставляющий каждому

откры­

тому множеству пространства X нулевую группу. Пусть

U — произ­

вольное открытое подмножество пространства^. Предпучки

©', @ и

@ " СОПОСТаВЛЯЮТ ЭТОМУ МНОЖеСТВу НеКОТОрЫе ГруППЫ Su,

S(j

и Sy,

0 - *C'(U , © ' ) — > С ? ( U , ©) - ^ - >C 9 (U, ®")-+0,

(14)

индуцированная последовательностью (13), также является

точ­

ной.

логий

о - > я ° ( и ,

©0 — > я ° ( и ,

© ) - ^ я ° ( и ,

©")—*-> я 1 (U,

© ' ) - *

•••

. . . ->Hq(U,

©') — i> Н" (U, © ) я 9

( U ,

©") — > я 9 + ! ( U ,

©о - > .. .

(15)

Здесь гомоморфизм б'

определяется

следующим

образом. Пусть

6 е Я ' ( i t ,

©"), и пусть

/ є С ' ( U ,

©") — произвольный представи­

тель класса когомологий Ъ. В

силу

точности

последователь­

ности (14)

существует

такая коцепь g <= Cq (U, ©), что

ht(g) = f.

Так как 6gf~0,

то htdqg

— 0 и,

следовательно,

коцепь

dqg при­

надлежит

подгруппе

Cq+l

(U, ©')

группы

C 7 + 1 ( U ,

©).

Поскольку

б7 4 "1

{tfg) =

0.

коцепь

б9 определяет некоторый

элемент

группы

Нч+Х

(It, ©')"• Этот

элемент

и принимается

за

6qb.

Ясно,

что

для

любого

открытого покрытия

93,

вписанного

в покрытие U, имеет

место коммутативная

диаграмма

Я ' ( И ,

® " ) - ^ > Я " + ! ( и ,

©')

'

4

4

(16)

У

У

Я"(93, © " ) - ^ > Я " + 1 ( 9 3 ,

©')•

б?: Hq(X, ®")->Hq+1(X,

©0.

.н"(п,

© о - ^ я ' т ,

©)-*** я ' ( и ,

©") — > я " + 1

( и .

©о-

А

А

А

А

(17)

'si

'щ

гщ

гш\

У

У

У

У

Я«(93,

© ' ) — % Я * ( и ,

@ ) - * І > Я * ( » ,

© " ) - £ > Я , + 1

( » ,

© ' ) -

Л е м м а

2.7'.1.

Каждая

короткая точная

последовательность

0 _ * © ' - > @ ^ @ " - > 0

предпучков

над топологическим

пространством

X естественным

образом определяет

точную

последовательность

групп

когомоло­

гий

0->Н°(Х, © ' ) - > Я ° ( Х / © ) - > Я ° ( Х ,

© " ) - > # ' ( * , © ' ) - > . . .

... ->Hq(X,

®')->Hq(X, ®)->Hq(X,

®")^+Hq+x{X,

©0-*... (18)

С л е д с т в и е .

Если точная

последовательность

0 - > © ' - > © — • >

о предпучков

над

топологическим

пространством

X

обладает

тем свойством,

что

=

©'0 = 0

Н"{Х,

для

всех

q^O,

то гомоморфизм

Л.:

НЦХ,

®)-+Hq{X,

©)

является

изоморфизмом

(для

всех

q ^ 0).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

h(®)—образ

гомоморфизма

h.

Тогда имеют место точные последовательности

0 ^ © ' - > © - * / г ( © ) - > 0

и О-» Л ( © ) - > © - • в * - * 0,

и

потому^ отображения

№(Х,

©)-> НЦХ,

h(®))

и НЦХ, h(©))->

О п р е д е л е н и е .

Открытое покрытие

и = { £ / ; } г < = ;

простран­

ства X

называется

точечно

конечным,

если

каждая

точка

про­

странства X принадлежит лишь конечному числу множеств

Ui.

Покрытие

Ц

называется

локально

конечным,

если

каждая

точка

пространства X обладает открытой окрестностью, пересекающейся

лишь с конечным числом множеств

Ui.

О п р е д е л е н и е .

Топологическое

пространство

X

называется

паракомпактным,

если оно хаусдорфово и

в

любое его открытое

покрытие можно вписать локально конечное покрытие.

Т е о р е м а

2.8.1

( Д ь ё д о н н е

[1],

теорема

1).

Каждое

пара-

компактное

пространство

нормально.

- Т е о р е м а

2.8.2

( Д ь ё д о н н е

[1], теорема

3). Каждое

локаль­

но компактное

пространство,

являющееся

объединением

счетного

числа

компактных

подпространств,

паракомпактно.

В

частности,

каждое

локально

компактное

пространство

со

счетной базой

пара-

ческие пространства

и все клеточные разбиения (см. М о р и т а [1]

и [2]).

Т е о р е м а

2.8.3

(теорема сужения, Д ь ё д о н н ё

[1], теорема

6). Для любого точечно конечного

открытого покрытия

U ~{и{}{

є /

нормального

пространства X существует такое открытое покрытие

23 =

{К,-},Є /

с тем же множеством

индексов

I , что Рг- сг U{ для

лю­

бого

і е /.

Носителем

suppcp

непрерывной

функции

ф: X—*R

называется,

функция ф равна

нулю:

supp ф = {х (= X;

ф (х) ф 0}.

О п р е д е л е н и е .

Пусть

U =

{

U

— произвольное открытое

покрытие топологического пространства X. Семейство {фЛг<=/ Дей­

ствительных

непрерывных

функций,

определенных

на простран­

стве X, называется разбиением

единицы,

подчиненным

покрытию U,

если

1) фі(х)^ - 0 для любой

точки

х^Х;

2)

supp ф, сг UІ для любого

і є

/;

3)

каждая

точка х є Х

обладает

открытой окрестностью,

пере­

секающейся

ЛиШЬ С КОНечНЫМ ЧиСЛОМ МНОЖеСТв SUpp фі",

4)

для любой

точки х є

X имеет место

равенство

2 Ф< (*) = і •

(Сумма имеет смысл-в силу условия 3).)

Т е о р е м а

2.8.4. Пространство

X

тогда и только тогда

пара-

компактно,

когда

оно хаусдорфово

и

для

любого

его открытого

покрытия существует

подчиненное

этому

покрытию

разбиение

еди­

ницы.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

пространство X

паракомпактно,

и пусть U =

{£/(}г -є /

— его

произвольное

открытое

покрытие. По

ствуют

такие

открытые

покрытия

23 =

{ К , } г є / и 2В =

{Wi}ieI

про­

странства X,

что W{ а

Vі и Vi а

1]\ для любого

і е

/. Так как

WiCzVi,

то по лемме Урысона на

пространстве

X

существует

такая

вещественная неотрицательная

непрерывная

функция

ф£,

вляет

собой непрерывную функцию,

очевидно,

всюду

отличную

от нуля. Ясно, что функции фг. = ф^/г|5

обладают

всеми

свой­

ствами

1) —4).

Обратно, предположим, что любое открытое покрытие

U = { t / / } . 5 /

пространства X обладает подчиненным разбиением единицы

{ ф Л І Є / .

Пусть

VІ — внутренность

замкнутого

множества

suppqp;. Из свой­

ства 4) немедленно

вытекает,

что семейство

23 — { I / J . ^

открытых

множеств пространства X является его покрытием. Согласно

свойству 2), это покрытие вписано в покрытие U,

а согласно-

свойству 3), оно локально конечно.

Этим

доказана

паракомпакт­

ность

пространства

X.

2.9. Группы когомологий паракомпактных

пространств.

Пусть

© — произвольный

предпучок

над топологическим

пространством X

и © — порожденный

им пучок (см.

2.2).

Пусть,

далее,

© — кано­

нический предпучок

пучка

© и h: © —* © — построенный

в 2.3 есте­

ственный

гомоморфизм.

Для

любого q ^

0

этот

гомоморфизм

определяет

гомоморфизм

/г*: Нч(X,

®)-+Нч(Х,

©) =

НЧ(Х,

©)

со­

ответствующих

групп КОГОМОЛОГИЙ.

Т е о р е м а

2.9.1. Если

пространство

X

паракомпактно,

то

для

любого

предпучка

© над

пространством

X

естественный

гомомор­

физм

А.: Н«(Х,

®)-*Н"(Х,

©)

Л е м м а

2.9.2. Пусть

© — предпучок

над

паракомпактным

про­

странством

X,

порождающий

нулевой

пучок,

и пусть

U =

{Ui}ieI

—

произвольное

открытое

покрытие

пространства

X.

Тогда

для

любой

коцепи

/ є

С4 (11,

©) существуют такое открытое покрытие

23 = {Vi}j(B]

пространства

X, вписанное в

покрытие

U,

и такое ото­

бражение

т: / - > - /

с ViC:Uxj

при / є / ,

что коцепь

т 7 ^ С ? ( 2 3 , ©)

является

нулевой

коцепью.

Д о к а з а т е л ь с т в о

(см.

С е р р [ 2 ] ,

стр. 218).

Пусть

© ==

= [Sv,r^.

Условие, что предпучок © порождает нулевой пучок,

означает,

что

для

любой

открытой

окрестности

U произвольной

точки

х

и

любого

элемента

g e S y существует

такая

открытая

окрестность

V

точки х, что rtyg — Q.

гласно

теореме

2.8.1)

существует

такое

открытое

покрытие

28 = {W;),«=/ пространства

X,

что 1Гг с=[/2 . Пусть

J =

X,

и

пусть

т: X-+I

— отображение, для которого х <= Wxx.

Для каждой

точки

ї є і

выберем

открытую

окрестность

Vх

точки

х ^

X,

удовле­

творяющую следующим условиям:

a) Если х^и{,

то

VxcUi.

Если

х є ? ; ,

то

VxczWi.

b)

Если

Vx

П Wi

непусто,

то

VxczUt.

c)

Если

х є

/7го

Л

•••

П t/<

. то

элемент / ( / 0 , . . . ,

iq),

рассма­

триваемый как элемент из Svx,

равен

нулю.

Условиям а) и Ь) можно удовлетворить,' так как U и 2В—локально

конечные покрытия

и

WiCzUi.

По замечанию, сделанному в на­

чале

доказательства,

Vх

можно

выбрать

настолько

малым,

чтобы

выполнялось с). Пусть % =

{Ух}х(=х-

Покажем,

что

коцепь

т*/ =

С (23,

©)

равна

нулю,

т. е.

что

для всех

(х0,

xq)

элемент

f(rx0,

txq),

рассматриваемый

как элемент из SVx

п ••• n v, ,

равен

нулю.

Если

Vx

П •••

f\Vx

пусто, то доказывать нечего. Если

У хй[\

•••

П VXq

непусто,

то

непусто и VXof]Vxk

для

всех

k, 0 < & < < 7 .

По

a)

VxQ[\WXXk

не­

пусто

и,

следовательно,

по

b),

Vx

czUxxk

для

всех

k.

Из

с)

вытекает

поэтому,

что

элемент

f(xx0,

tx4),

рассматриваемый

как элемент из Syx

,

равен

нулю. Это

же

верно

и

для

меньшего

множества

VXof\ . . .

П Ух-

Лемма

доказана.

З а м е ч а н и е .

В

частном

случае

q = 0

теорема

2.9.2

справед­

лива для произвольного топологического пространства X. Доста­

точно выбрать

такое открытое

покрытие

23 =

{Vx}x^x

и т

а к

о е ото­

бражение т: X-+I,

что

Vx

есть

открытая

окрестность для

х,

Уха

Uхх и \(тх)

как элемент

из

Sy

равен

нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

2.9.1.

Используемый

метод

принадлежит Серру.

Пусть

© — канонический

предпучок

для

©

и © —> © — кано­

нический гомоморфизм. Имеет место

точная

последовательность

предпучков

0 - * © ' - ^ ©

—^ © - > © " - > 0 ,

(19)