книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

Открытое

покрытие

23 = { У /

} і є /

пространства X

называется

вписанным в

открытое

покрытие

U =

{ ( / ( } i ( S / или

измельчением

Ясно, что каждое открытое покрытие эквивалентно

некоторому

собственному

покрытию.

компактным,

Хаусдорфово

пространство

называется

если

из

любого его открытого покрытия U =

є /

можно выбрать конеч­

ное подсемейство {£7^,

также

являющееся

покрытием.

2.1.

Определение

пучков

и

их

гомоморфизмов.

О п р е д е л е ­

н и е .

Пучком

(абелевых

групп) над

топологическим

простран­

ством

X

называется

тройка

& — (S,n,X),

обладающая

следую­

щими тремя

свойствами:

I) 5

является

топологическим

пространством,

а я — его непре­

рывным

отображением

на

пространство

X.

II)

Каждая точка

a e S

обладает

в

S

открытой

окрестностью

N, такой, что ограничение

n\N

отображения

я

на N

является

го­

меоморфизмом

окрестности N

на

некоторую

открытую окрестность

точки я (а)

пространства

X.

называется стеблем пучка © над

Прообраз

я~'(л;)

точки

х є Х

этой точкой и обозначается символом Sx.

Каждая точка

простран­

ства S принадлежит одному и

только одному стеблю. Из свой­

ства I I , означающего,

что я

является локальным

гомеоморфизмом,

вытекает, что топология пространства S индуцирует на каждом

стебле дискретную

топологию.

III) Каждый стебель Sx

наделен

структурой

абелевой

группы,

так что для

любых

точек

а,

р є

Sx

определены

их сумма

а -\- |3

є

E S t

а

разность

а —

Эта

разность

непрерывно

зависит

от а и р.

Последнее условие расшифровывается следующим образом.

Пусть

S 0 S

— подпространство

пространства

5><5, состоящее

из

всех точек

(а, Р),

для

которых

я ( а ) =

я(Р) .

Тогда

отображение

S ® S — * S , определенное

формулой

(а, р ) - * а — р , непрерывно.

Из

этих

аксиом

немедленно

вытекает, что нулевой элемент 0Х

абелевой группы

Sx

непрерывно

зависит от х в том смысле, что

отображение

X—*S,

определенное

формулой

х-*0х,

непрерывно.

Аналогично

сумма

а +

р также

непрерывно зависит от а и р.

З а м е ч а н и е .

Можно

определить

пучки,

на

стеблях

которые

О п р е д е л е н и е .

Говорят,

что

над

топологическим

простран­

ством

X

задан

предпучок

(абелевых

групп),

если

каждому

откры­

тому

множеству U пространства X

сопоставлена

некоторая

абе-

лева

группа

Sv

и

любым

двум

открытым

множествам

V

и

V

с

V cz U сопоставлен

гомоморфизм

r^: S^-^S^,,

причем

выпол­

нены следующие

аксиомы:

I)

Пустому

множеству

отвечает

нулевая

группа:

если

U =

0,

то Sv

— 0.

II)

Гомоморфизм

г^:

Su-^-Su

является

тождественным

отобра­

жением.

Если

W czV

a

U,

то ^

=

г\гьч.

З а м е ч а н и е .

Ввиду

аксиомы

I)

группы

Sv

и

гомоморфизмы

достаточно

задавать

лишь

для

непустых

открытых

множеств

U

и

V.

Следующая конструкция позволяет каждому предпучку сопо­

ставить

некоторый

пучок.

a) Для каждой точки х^Х

обозначим

через

Sx

прямой

пре­

дел

абелевых групп SUt

л є [ / ,

по

отношению

к

гомоморфизмам

(см.,

например,

С т и н р о д

и

Э й л е н б е р г

[1], гл. V I I I ) . По

определению

это

означает,

что

для

любой

открытой

окрестности

U

точки

х

каждый

элемент

f є

Sv

определяет

некоторый

элемент

fx

є

Sx,

называемый

ростком

элемента

f

в

точке х, причем каж­

дая точка множества Sx

является

ростком

некоторого

элемента

и

два

элемента

| є 5 ( ,

и

g e S v ,

где

U и

V — некоторые

открытые

окрестности точки х, тогда и только тогда

определяют

один

рос­

ток, когда у точки х существует такая

открытая

окрестность

W,

что

W cz U,

W с= V и r"f

=

rvJ.

сам

b) Прямой предел Sx

абелевых

групп

естественным

образом

является

абелевой

группой. Пусть

5 — объединение всех групп

Sx,

л е ї ,

и

пусть

я: S—*Х

— отображение,

переводящее

каждую

из групп Sx,

х i= X,

в соответствующую точку х

еХ.

c)

Для

любой точки

у є

U каждый

элемент

f є

Sv

определяет

некоторый росток fv^Sy.

Пусть fv

— подмножество множества

S,

состоящее

из

всех

ростков

fv,

у є

U.

Семейство

всех

множеств

fa

(U

пробегает

всевозможные открытые

множества

пространства

X,

a f пробегает все элементы из Su)

образует

базу

некоторой

топо­

логии в множестве S. Будем считать 5 топологическим

простран­

ством, снабженным

этой

топологией.

Без

труда

проверяется,

что

построенная

так

тройка

<5 —

=

(S,л, X)

является

пучком

абелевых

групп

над

пространством

X. Мы будем называть его пучком, порожденным

предпучком

ft,.'?}.

[Sv,

г"}

Пусть

© =

и

@ =

[Sy,

— два

предпучка

над

про­

странством

X.

Гомоморфизмом

h

предпучка © в предпучок ©

называется

семейство {hy}

гомоморфизмов

hu\

Su-+Su,

переста-

новочных с гомоморфизмами г"

и г^, т. е. таких,

что f^hv

=

hvruv

при

V cz

U.

h называется

мономорфизмом

эпимор­

Гомоморфизм

(соотв.

физмом,

изоморфизмом), если

каждый

гомоморфизм

hv

является

мономорфизмом (соотв. эпиморфизмом,

изоморфизмом).

Предпучок © называется подпредпучком

предпучка

©, если для

любого

открытого

множества

U

группа

Sv

является

подгруппой

группы

Su,

а гомоморфизмы гу

— ограничениями

на

©

гомомор­

физмов г$%

В этом, случае определен факторпредпучок

©/©,

сопо­

ставляющий

произвольному открытому множеству

U факторгруп­

пу

Su/Su.

статочно, очевидно, построить

индуцированные им

гомоморфизмы

hx: SX—*SX

(см. формулу 2.1(1)). Рассмотрим элемент

a e S j , .

Этот

элемент

является

ростком

в

точке

х

некоторого

элемента

f e S y .

Мы

примем

за

hx(a)

росток

в

точке х

элемента

не

hv(f).

Легко видеть, что это

определение

корректно

(оно является

чем

иным, как специализацией для рассматриваемого

частного

слу­

чая

общего определения

прямого

предела

гомоморфизмов

hv).

2.3.

Канонический

предпучок

пучка.

Сечением

пучка

© =

= (5, я, X)

над открытым множеством U пространства

X

назы­

вается всякое непрерывное отображение s: U-+S,

для

которого

композиция

jts: U —» U представляет

собой

тождественное

отобра­

жение. Для каждого сечения s пучка © над множеством

U мно­

жество

s(U)

пересекается

с

каждым

стеблем Sx

точно

в

одной

точке.

Из

свойства

2.1

III)

немедленно

вытекает,

что

множество

V(U,

©)

всех

сечений

пучка © над множеством U

является

абеле-

вой группой, нулем которой служит нулевое сечение

X—*0Х.

Сопоставив каждому открытому множеству U пространства X

группу

T(U,

©)

сечений

пучка © над U (при

U =

0

группу

Г(и,

©)

по определению

считаем

нулевой) и любым

двум

откры­

тым

множествам

U,

V

с

V cz U,

гомоморфизм

T(U,

©)->

-> Г (V, ©),

относящий

каждому

сечению пучка © над U его

ограничение

на V

(при V = 0

по

определению считаем

г ^ = 0 ) ,

мы, очевидно, получим над пространством X некоторый

предпучок

{Г (U,

©), гЩ. Этот предпучок

называется

каноническим

предпуч-

ком пучка ©. Легко видеть, что пучок, порожденный

предпучком

[T(U,

@),

г^}, изоморфен

(см.

2.2)

исходному пучку

(5.

Действи­

тельно, в силу 2.1 I ) , II) каждая

точка

а є 5

принадлежит

по

крайней

мере одному

множеству

вида

s(U),

где U — некоторое

открытое множество пространства X, a

s — некоторое

сечение

пуч­

ка © над U. При этом если а є

s(U) Г) s'{U'),

где

s и s' — сечения

пучка © над множествами U и U'

соответственно,

то s =

5' на

не­

которой

открытой

окрестности точки я (а) . Таким

образом,

ростки

в точке х сечений пучка © над. открытыми окрестностями

точки х

находятся

во взаимно

однозначном

соответствии с точками

стебля

Sx.

Далее,

в

силу

2.1

I ) , II) семейство

всех

множеств вида

s(U)

образует базу топологии пространства S (см. 2.2с).

Предположим теперь, что пучок © порожден некоторым пред­

пучком

© = [ 5 у ,

r ^ j .

Любой элемент

f^Su

облагает

в

каждой

точке х є У

некоторым

ростком

fx

(см. 2.2а),

причем

отображение

x—*fx

есть

сечение hv(f)

пучка

©

над

U. Ясно,

что

отображение

hv:

Su-*T(U,<S>),

задаваемое'

формулой

f-**hu(f),

представляет

является ни мономорфизмом, ни эпиморфизмом

(подробнее

об

этом см. С е р р

[2], §

1, предложения 1 и 2). Тем не менее

он

индуцирует (см.

конец

п. 2.2) тождественный

изоморфизм

h:

О п р е д е л е н и е .

Тройка

©' =

(5',я', X)

называется

подпуч­

ком

пучка

© =

(S, я, X),

если

I)

Пространство

S'

является

открытым

подпространством

про­

странства

S.

. -

II)

Отображение я ' является

ограничением

отображения

я

на

подпространство

S'

и отображает это подпространство

на

все

про­

странство

X.

III)

Для

любой

точки х є= X

стебель

я'

1

(х) = 5 ' П я - 1

(х)

яв­

ляется

подгруппой

стебля

я - 1

(л:)

пучка

©.

Условие I) равносильно следующему условию:

1*)Для

любого

сечения

s

пучка

©

над произвольным

открытым

множеством

UczX

и любой

точки

a e s ( [ / ) f l 5 ' существует

такая

окрестность

V

точки

я (а),

содержащаяся

в

множестве

U,

что

s(х)єS'

для

каждой

точки ї

є К

л'

Из условий I*) и II)

непосредственно

следует,

что

отображение

является локальным

гомеоморфизмом,

а

из условия

III) — что

групповые

операции

в € /

непрерывны. Другими

словами,

тройка

(S',

л',

X)

сама является

пучком. Вложение

пространства

S'

в про­

странство

S определяет

мономорфизм

(см.

2.1)

пучка ® в

пучок

<Ъ', называемый

вложением

<ЪГ

в <5.

Пучок

(Х,л,Х),

где

я — тождественное

отображение,

а

также

любой

изоморфный

ему

пучок,

называется

нулевым

пучком

над

пространством X. Его стеблями являются нулевые группы, и он

служит подпучком каждого пучка © над X. Действительно, мно­

жество

S'

нулевых элементов стеблей пучка <5, т. е. множество

s(X) =

0(<5), где

s — нуль группы

Т{Х,<&),

является,

очевидно,

пространством нулевого подпучка пучка <5.

Для

любого

гомоморфизма

h:

©—*<5

между

пучками

<Э

=

=

(S,jt,X)

и ё

=

(5,й,Х)

тройка

(S'.n',*)

с

S'

=

/ г 1 ( 0 ( e ) )

и

n' = n|S'

является подпучком пучка ©. Этот подпучок обозна­

чается

символом

/г'(0)

и называется

ядром

гомоморфизма

«. Его

стеблями

являются

ядра

гомоморфизмов

hx: SX—*SX,

индуциро­

ванных

гомоморфизмом

h.

Аналогично

тройка

(5', л/, X) с 5'

=

=

ft(S)

и

я ' = я | 5 '

является подпучком

пучка .<£.

Этот

подпучок

называется образом

гомоморфизма

h. Его

стеблями

являются

об­

разы гомоморфизмов hx:

SX-*SX.

Пусть

{Л,} — последовательность

групп

(или

предпучков,

или

пучков), a

{hi}—последовательность

гомоморфизмов

he

Л,-—*Лі + і.

ключенные между двумя фиксированными пределами п0

и пи

при­

чем эти пределы могут быть равны —сю или -f-oo. Таким

образом,

группы АІ

определены при по < і <. П\,

а гомоморфизмы

ht — при

По < і <

«і — 1.)

Последовательность Л,-, h{ называется

точной по­

следовательностью,

если

ядро каждого

гомоморфизма

совпадает

с образом

предыдущего

гомоморфизма

(если, конечно,

этот

по­

. . . _ 5 < » _ > S < } + « ) _ > 5 i J + 2 , - > . . . .

(2)

В случае когда Л* — пучки над

X, свойство точности

означает,

что в любой точке х єв X стебли

пучков А{ составляют точную по­

тельностей

снова является

точной

последовательностью

(С т и н-

р о д и Э й л е н б е р г

[1], гл.

V I I I , теорема 5.4), справедлива

Л е м м а

2.4.1. Для

любой

точной

последовательности

. . .

- > © „ - > © „ + 1 - > © п + 2 ^ . . .

(3)

предпучков

над

топологическим

пространством

X

индуцированная

последовательность

. . . - > ® „ - > ® п + 1 - > 6 „ + 2 - > . . .

пучков,

порожденных

предпучками

®и

также является точной по­

следовательностью.

Особое

значение

имеют

короткие

точные

последовательности,

т. е. точные

последовательности

вида

О - » ® ' — © " - • ( ) .

(4)

Пусть

©' =

(S',

я ' , Х ) , ® =

(S, п, X)

и ©" = (5", я", X) — пучки над

пространством X. Первый нуль этой

последовательности обозна­

чает нулевой

подпучок пучка

©',

а

первая

стрелка — вложение

чает, что гомоморфизм h является эпиморфизмом. Для

каждой

точки х є і

точная последовательность (4)

определяет

соответ­

ствующую точную

последовательность

0 - ^ — > S * — ->S£->0

(5)

стеблей

над

этой

точкой,

так что группа S'x

изоморфна

фактор­

группе

Sx/Sx-

Далее легко видеть, что топология пространства S"

является

фактортопологией, определенной отображением h: S—*S"

(под­

множество пространства 5"

тогда и только тогда открыто,

когда

ствует

(с точностью до изоморфизма)

самое большее

один

пучок

©", для

которого последовательность

(4) точна. Этот

пучок

назы­

роением, но мы предпочтем определить

сначала

соответствующий

предпучок.

Итак, пусть

© — произвольный пучок

над

топологическим

про­

странством X,

а ©' — его произвольный

подпучок. Для любого

от­

крытого множества U пространства X

группа

Y(U,©')

сечений

пучка ©' над U является, очевидно, подгруппой группы сечений

пучка

©. Следовательно,

положив S'u =

T(U,

©)/Г(£/, ©'),

мы

по­

лучим

точную

последовательность

Q-+T(U,

@')-»Г(£ /, © ) - > S W 0 .

(6)

Для каждого открытого

множества V, содержащегося

в U, гомо­

морфизм

ограничения

T(U, ©) —• Г( V, @)

переводит

подгруппу

Г (£/,©')

группы Г (£/,©)

в подгруппу Г (У,©') группы

Г(У, ©) и

потому

индуцирует

некоторый гомоморфизм

г^:

Ясно,

что тем самым мы

получаем некоторый предпучок {5у, г£?} (фак-

Пусть

© " — пучок,

порожденный

предпучком

{5^, r f J

Согласно

лемме

2.4.1, точная

последовательность

(6) индуцирует

некоторую

точную

последовательность

вида (4), так что пучок ©" и является

искомым

пучком.

Тем самым

доказана

следующая

Т е о р е м а

2.4.2. Для

любого

пучка

© над

топологическим

про­

странством X

и любого

его

подпучка

©'

существует

единственный

(с точностью

до

изоморфизма)

пучок

©", обладающий

тем

свой­

ством, что имеет место точная

последовательность

0 _ » © ' - £ * @ - * > в " - * о ,

(7)

где

h' — вложение.

Для

любой

точки

х є X участвующий

в

этой

последовательности

гомоморфизм

hx

определяет

изоморфизм

фак­

торгруппы

Sx/Sx

на стебель

S"

пучка

©"

над

точкой

х.

З а м е ч а н и е .

Последовательность

(7) индуцирует

точную

по­

следовательность

О -> Г (U, ©') - >Г( £ /,

© ) - > Г (U, ©").

(8)

Подчеркнем, что гомоморфизм

T(U,©)—•

T(U,©")

эпиморфизмом,

вообще говоря, не является. Согласно

(6), образ этого

гомомор­

физма, т. е. подгруппа всех сечений пучка ©" над U, являющихся

образами

сечений пучка

©, естественным

образом

отождествляется

с группой

5у.

Пусть

теперь

У — произвольное

подпространство

пространства

X. Для любого пучка © = (S, я, X)

над X

тройка

( я - 1

(У),

я | я _ 1 ( У ) ,

У),

где

я - 1 (У) — подпространство

пространства

S,

являющееся

прообразом подпространства У при отображении

я, очевидно, яв­

ляется

пучком

над пространством

У. Этот пучок

обозначается

че­

рез

©| У

и называется

ограничением

пучка

©

на

подпростран­

ство

У.

Т

е о р е м а

2.4.3. Для любого

замкнутого

подпространства

У

пространства

X и

любого

пучка

© =

(5, я, У) над

У

существует

единственный

(с

точностью

до

изоморфизма)

пучок

<© над

прост­

ранством

X, обладающий

тем свойством, что

© | У =

©,

<&|Я— У = 0.

Для любого

открытого

множества U

пространства X группы

Г (С/, ©) и T(U

П У, ©)

изоморфны.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Единственность

пучка © очевидна. Дей­

однозначно

определяют все его стебли: Sx =

Sx при х є У и

Sx=0

при х ф. У.

Во-вторых, всевозможные множества вида

s(U[)Y)[J

[){(U(](X—

У))Х 0), где U — произвольное

открытое множество

пространства X, a s — произвольное сечение

пучка ©

над

множе­

ством U, образуют, как легко видеть, базу топологии

пространства

X. Этим не только доказана единственность пучка ©,

но и дан ме­

ства

X

группу §и =

Г(£/Г)У,6) и

каждому открытому

множеству

V cz U

гомоморфизм

ограничения

rv: Г (U f) Y, ©) -> T(V f) Y, в ) ,

мы,

очевидно, получим над пространством X некоторый

предпучок.

свойством,

что ©|У =

©. Кроме того,

поскольку

подпространство

У по условию замкнуто, каждая точка х є І - У

обладает

откры­

той окрестностью

U,

для

которой

U П Y =

0,

и потому

§и =

0.

Следовательно,

© | X — Y =

0.

О п р е д е л е н и е .

Построенный

пучок

©

называется

тривиаль­

ным распространением

пучка

©.

З а м е ч а н и я .

1)

Построенный

предпучок

{§и> rv) является

ка­

ноническим

предпучком

пучка

©.

2)

Если

в некоторой граничной точке подпространства

У сте­

бель пучка © отличен от нуля, то пространство S не хаусдорфово.

2.5. Примеры.

1)

пусть

X — топологическое

пространство,

а

А — абелева

группа.

Тройка

{Ху^А,п,А),

где

X Х>4 — прямое

произведение пространства X и группы Л, наделенной

дискретной

топологией,

а

я: Х\А—*Х

— проекция

этого

произведения

на

его

первый множитель,

является,

очевидно,

пучком над пространством

X (суммой

и

разностью

точек (х, а)

и

(х,

а')

пространства

будут

при

этом

точки

(х, а-{-а')

и

{х,а

— а')

соответственно).

Этот

пучок

называется

постоянным

пучком

над

пространством

X

со стеблем

А и, как правило, отождествляется с

группой А.

2)

Пусть

снова

X — топологическое

пространство.

Сопоставив

каждому непустому открытому множеству U пространства X ад­

дитивную

группу

Sv

всех

непрерывных

комплексных

функций,,

определенных на U, и каждой паре открытых множеств

V cz U го­

моморфизм

гЦ: Sy-^Sy,

относящий

функции

на

U ее ограничение

на V, мы, очевидно, получим над пространством X некоторый

предпучок

[Sy,

Гц.] Порожденный

этим

предпучком пучок

Сс

на­

зывается пучком

ростков

комплексных

непрерывных

функций.

жеству U мультипликативную группу Sh

не

принимающих

нуле­

вого значения комплексных

непрерывных

функций,

определенных

на U. Имеет место естественный

гомоморфизм 5у—>5у,

сопо­

ставляющий

функции / <= Sv

функцию

e2n'f

<= Sb-

Эти

гомомор­

физмы

определяют

гомоморфизм

предпучков

{Sy,

г ^ } - > { 5 у ,

г^}

и,

значит, гомоморфизм

пучков

Сс—>-С*

(см.

2.2).

Ядром

гомо­

морфизма Сс

-> С* является

подпучок

пучка

X X С, изоморфный

постоянному

пучку,

стеблем

которого является группа целых чи­

сел Z. Каждый элемент z0

мультипликативной

группы

С* отлич­

ных

от

нуля

комплексных

чисел

обладает

открытой

окрестностью,

в которой может быть выбрана

однозначная

ветвь

функции

log г.

ставить

росток

(2jTi)~'log&

из Сс .

Поскольку

при

гомоморфизме

Сс->С*

росток

( 2 m ' ) - I l o g £

переходит

в росток k,

тем самым

до­

казано,

что

гомоморфизм

Сс—>Сс" является эпиморфизмом

(с

яд­

ром Z). Другими словами, над пространством X имеет место точ­

ная последовательность пучков

0 ^ Z - > C c ^ C ^ 0 .

(9)

3)

Пусть

X

—

гладкое

n-мерное

многообразие.

Это означает

(см.,

например,

д е

Р а м

[1], Л е н г

[1]), что X

представляет

собой

хаусдорфово

пространство

со счетной

базой,

для

каждой

точки

х ^ X

которого

указаны

некоторые

вещественные

функции,

опре­

рять следующей

аксиоме:

Существуют

такая открытая

окрестность U точки

х

и

такой

гомеоморфизм g

этой окрестности на открытое подмножество

про­

странства R™, что вещественная

функция f, определенная

в

окрест­

ности V произвольной

точки у е

0, тогда и только тогда гладка в V,

когда функция

ftr\

где h =

g\U

(\ V, является

^-дифференцируе­

мой функцией

в точке g(y)

пространства

R™.

Здесь

//г 1

— вещественная функция,

определенная в

некоторой

открытой

окрестности точки g(y)

пространства

Rn . Такая

функция

точки g(y)

существуют все

ее частные

производные

и

эти

произ­

водные непрерывны.

Фигурирующий

в этой аксиоме гомеоморфизм g называется

допустимой

картой

гладкого

многообразия X.

Для каждого

открытого

множества

U гладкого

многообразия

X рассмотрим аддитивную группу всех комплексных дифференци­

руемых функций

в

U (комплексная

функция считается дифферен­

цируемой,

если

дифференцируемы

ее

действительная

и

мнимая