Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 283 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

где z, p't и р" — независимые пе-ременные, влечет тождество

оо
2 K/(Pl, р2,	Pj)z'		=
	оо			оо
= 2 К,(Р[,			р'2,...,	РОг' 2	*,К,	Р?. • • •. РЛг/.	(4)
Для краткости	положим
	/	оо	\	оо
	к	2 Р ^ (		= 2 / С / ( Р „	•••»	Р / ) ^ .
	\/=о		У	/=о

Это сокращенное обозначение мы будем использовать как в слу чае, когда Pi рассматриваются как независимые переменные, так и в случае, когда этим переменным приданы определенные зна чения.

Степенной ряд

/с(1 +	г) =	2	м ' ,
где
Ь 0 = 1 , &» =	К,(1,	0,	. . . .	0)«=Я,

мы будем называть характеристическим степенным рядом мульти пликативной последовательности {Kj}.

Нам будет удобно ввести в рассмотрение формальные разло жения вида

m
l + p l 2 + . . . + р т 2 т = П ( 1 + М ) -	( 5 J
i=\

Иными словами, переменные р,- мы будем рассматривать как эле ментарные симметрические функции некоторых новых переменных Рь . . . , pV. Тем самым кольцо 33 будет кольцом всех симметри ческих многочленов от переменных р,- с коэффициентами в В.

Следующие две леммы полностью описывают все возможные мультипликативные последовательности.

Л е м м а		1.2.1.	Мультипликативная		последовательность		{Kj}
однозначно		определяется		своим характеристическим степенным			ря
дом	Q(z) =	K(\+z).
.	Д о к а з а т е л ь с т в о .			В виду соотношений		(3) — (5) имеем
m			оо
2 / ( / ( Р і		Рі)г'+	2	КіІРи ....	pm, 0	0)г' =

= I l Q ( M ) . ( 6 J

Следовательно, при / ^ m каждый многочлен Kj однозначно опре делен (как симметрический многочлен от Pi, а потому и как мно гочлен от р\ pj). Это верно для любого пг, откуда и следует наше утверждение.

Л е м м а		1.2.2.	Для	любого	формального	степенного	ряда
	оо
Q(z) =	biz1	с b0	= 1	и ЬІ^В	существует	мультипликативная
	1=0
последовательность			{Kj},	характеристическим		степенным	рядом
которой	служит ряд		Q(z).
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Рассмотрим в произведении

коэффициент при zh Этот коэффициент симметричен по Pi и по

тому	является некоторым многочленом K{^\pv		Pj)	от	pi
(имеющим, очевидно, вес / ) . При этом ясно, что при m^j				мно
гочлен	/С/т ) не зависит от т.	Положим Ki—K^	при	т ^	/.
Легко	видеть, что {Kj} и будет	искомой мультипликативной		после

довательностью. Действительно, так как по построению имеет ме сто тождество ( 6 т ) , то свойство мультипликативности (4) выпол нено в случае, когда для больших значений і переменные р\ и р'[ заменены нулями. Но тогда оно, очевидно, выполнено и всегда. Наконец, соотношение (6 т ) при т = 1 показывает, что /C(l-J-z) =

=Q(z).

Таким образом, согласно леммам 1.2.1 и 1.2.2, между мульти пликативными последовательностями и формальными степенными рядами со свободным членом, равным единице, имеет место есте ственное взаимно однозначное соответствие. Например, мульти пликативной последовательности {pj} соответствует ряд 1 -f- z.

1.3. Удобно переформулировать результаты п. 1.1

1.2 в

дру

гих переменных. Заменим р,- на

с,,

переменную

на

х,

а корни Pi

в ( 5 т )

на

YfДве системы переменных

свяжем

между

собой

соот

ношениями

с0 =

ро =

1, z — х2

и р, =

у2г

Другими

словами,

вве

дем соотношения

оо

/ ОО

z = x\

ЪрЛ-z)1^

2 <?,( - *)'

с,*'

(7)

<=о

\/=о

\ і = о

Имеет место очевидная

Л е м м а

1.3.1. Пусть {Kj{p\,

Pj)} — произвольная

мульти

пликативная

последовательность,

пусть

Q(z)

— ее

характеристи

ческий

степенной

ряд.

Рассмотрим

мультипликативную

последова-

тельность {Rj(ch

Cj)},

отвечающую

степенному

ряду

Q(x) =

— Q(x2).Тогда

соотношение

(7)

выражается

формулами

K/(Pi,

• • •, Рі)

К2і(си

c2j),

0 = / W c >

частности, степенному

ряду

1 +

х2 отвечает

мультипликатив

ная

последовательность

0, ри

О, р2, ... .

Заметим, что

Р\ = — 2с2

с2 ,

Р2 = 2СА — 2С3С1 + 4

Рз = - 2С6 + 2С5С1 ^ 2С4С2 + 4-

ОО

1.4.

Пусть

Q (z) =

biz1

— произвольный

степенной

ряд

2=0

(с Ь0=\

и bt ^ В). Рассмотрим формальное

разложение

1 +

Ьхг

+ &2 z2

+ . . .

bmzm

(1 +

р£2 ) . . .

(1 +

И .

(8)

Пусть,

как обычно,

— симметрическая

функция

от

являющаяся суммой

всех по

парно

различных

одночленов,

получающихся

из

одночлена

(Pi)'1

(К)'2 • • • (К)1г

всевозможными

перестановками

переменных р{,

$'2,

Р,- Число

слагаемых

этой

сумме

равно

ml/h,

где h —

число перестановок

переменных

р[, Р2 , • • • > Рт» оставляющих

инва

риантным одночлен

(р[)7' (Р2 )/ 2

. . . (р'т)'г-

Из наложенных

в (9) усло

вий

на

показатели

j u

/2 ,

/ г

непосредственно

вытекает,

что

симметрическая функция

2(pQ? i ( р ^ 2 . . . (Р^)/ г является

многочле

ном

от

bt веса k с целыми коэффициентами.

Этот многочлен не

зависит

от пг, и мы будем

обозначать

его символом 2(/,, /2 ,

/ г ) .

Следующая лемМа позволяет упростить явное вычисление

многочленов

мультипликативных

последовательностей.

Л е м м а

1.4.1.

Пусть

мультипликативная

последовательность

оо

{К](ръ

р/} отвечает

степенному

ряду

Q(z) =

2 6(-2г.

Тогда

коэффициент

при PjPf2

• • • Р,- в многочлене Kk{j{

> / 2 >

•••

> Ь

21/*=*) Р«бен

/2 ,

j r

) ,

Это легко	вытекает		из соотношений (6) и (8). Провести							под
робное доказательство мы предоставляем читателю.
Например,	коэффициент			pk	в	многочлене K,k	равен	sk	=	I,(k):
s 0 = l ,	bt,	s2=	— 2b2+b2l,			s3 = 3b3~3b2bl	+	b\	и т.	д.,
а коэффициент		при	р\	в	многочлене K2k		равен	2 (A,		k)=*

Числа sA могут быть вычислены с помощью формулы Коши:

									оо
	1 -	г ±	log Q (г) =		Q (г) £		( ^ )	= J ( - 1 / S / Z ' .		(10)
								/=о
1.5.	Изучим		теперь (в	этом пункте и в следующих п. 1.6—1.8)
некоторые		специальные		мультипликативные					последовательности,
используемые ниже в этой книге.
В первую очередь рассмотрим							степенной	ряд
						сю
		Q ( z ) e j£*		=	1 +	V	( . _ !)* - !		B K Z \
		* w	th			i S		<2Й)'
где B A	— числа		Бернулли	(в тех		обозначениях,			при которых Bk	> 0

и ф -j для всех k):

6 -

Й 6 — 2730 '

7 —

6 '

8 ~

510 *

Кольцом

коэффициентов

мы

считаем здесь

поле Q рациональ

ных

чисел.

Мультипликативную

последовательность,

отвечающую

степен

ному

ряду

Q(z),

мы

будем обозначать символом

{Lj(pu

р,)}.

Используя лемму 1.4.1,

можно

вычислить

первые

несколько мно

гочленов

Lf.

L \ =

jPu

L 2 = l 5 ( 7 Р 2 - P%

L 3 = 3 ^ 1 7 f ( ^

з -

^ .

адЗ),

^4 =

з г г ^ т у ( 3 8 1 P 4 -

71p3 Pi -

19p22

22Рзр\

Зр}),

L s =

3 ».5»'.7.U (

5 1

Э 1 9 / ^

3 3 6РзР 2

2 3 7 Р з Р і +

+1 2 7 / 7 ^ - 8 3 ^ + 1 0 0 ? ) .

Согласно формуле 1.4(10), коэффициенты sk при рк в многочле нах L k удовлетворяют соотношению

Следовательно,

s0 = 1 и

_ 2 » ( 2 " - ' - 1 )

при

k ^

S K

І — B K

(")

лемма показывает,

что при значениях

переменных

р2 =

1, удовлетворяющих

соотношению

1 + р і г + р2 г2 +

. . . +P*zf t

= (l+z)2 f t + 1 (modz*+'),

многочлен Lk(ph

рА ) принимает

значение

Л е м м а

1.5.1.

Пусть Q(z) = —77==-.

Для

любого

коэффи-

thy

циент Jk

при

степенном ряде

(Q(z))2 f c + 1

равен

степенной

ряд

Q{z) является

единственным

степенным

рядом

рациональ

ными

коэффициентами,

обладающим

этим

свойством.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По интегральной

формуле

Коши

2ni		f t ]	d z -
Полагая t = th ]/z, получаем
	J ^ U dt_
2ni J (I-12)		t2k+

В обоих случаях интегралы берутся по малым окружностям с центрами в начале координат в соответствующих плоскостях z и t. Заметим, что при подстановке t = thYz однократному об ходу окружности в плоскости t соответствует двукратный обход окружности в плоскости Z.

Единственность степенного ряда Q(z) немедленно вытекает из возможности последовательно вычислить все его коэффициенты, исходя из равенств Д = 1.

Следующая лемма в этой книге не используется, хотя она и играет важную роль в приложениях многочленов L k к когомологи

ческим операциям. Ее доказательство можно		найти у	А т ь и и
Х и р ц е б р у х а [4].
Л е м м а	1.5.2. Многочлен L k единственным	образом	представ-
ляется в виде	дроби, числителем которой служит многочлен с вза~

имно простыми

целыми коэффициентами,

знаменателем

— по

ложительное

целое число

И ( £ * ) = П

« 7 ^ 1

где произведение

распространено

на

все нечетные

простые q,

удов

летворяющие

условию 3 ^

q ^

2k -f- 1 -

1.6. Мультипликативную

последовательность,

отвечающую

сте-

пенному ряду

Q (г) =

обозначать

через

- 7 = - , мы будем

sh 2V

{Ak(pu

ph)}. С помощью

леммы

1.4.1

без труда находим,

что

Аз =	з3 ~5^7 ( 1 6 ^ з ~ 44P2Pi	+ 3 1 Р \| >
З а м е ч а н и е .	Согласно А т ь е и	Х и р ц е б р у х у [2], много

член Ak единственным образом представляется в виде дроби, чис лителем которой является многочлен с взаимно простыми целыми

коэффициентами, а знаменателем — число -^щ-, где				a(k)—число
единиц в двоичном представлении		числа k.
1.7. Следующие два примера		мультипликативных		последова
тельностей нам будет удобно записывать в (cit х,			yt)-обозначениях
(см.	1.3.). Пусть сначала кольцом	коэффициентов В по-прежнему
служит поле рациональных чисел Q. Рассмотрим			мультиплика
тивную последовательность {Ти(с\,		ch)}, отвечающую степен
ному	ряду

Члены Tf t этой последовательности мы будем называть многочле нами Тодда. Для их вычисления можно воспользоваться соотно шением

				1
	X	/1	\	тг х
	X	/1	\	2
	= ехр 1-х
(где	ехра = е а ) , из которого	с помощью			леммы	1.3.1,	аналога
формулы (6 т ) для переменных		си	х,	у{	и соотношения		(7) без
труда	получаем, что
	7 * ( с „ ^ ^ S ^ r l i с ' і ) Г а * ( Р і '					P t ) '	( 1 2 )

где суммирование распространено на все неотрицательные целые числа г и s, удовлетворяющие соотношению r-\-2s = k. В част ности,

Т2 = ^(с2 + с^,

Т— 1

Г 4

( -

С 4 +

С 3 С . +

З С 1 + 4 С 2 С ?

С1)>

Г 5

1Ш

( _

С 4С 1

+ С 3С 1

З С 2 С 1

С2<1)'

Г 6

=Ш80І2С6

2С5С1

9 С 4 С 2

~ 5

С 4 С

С 3 + 1 І С 3 С 2 С , +

5с3с\

10с3, + 1 Ц с 2 - \2с2с\ + 2с«)

(ср. Т о д д [1]).

З а м е ч а н и я . 1) Из формулы (12) следует, что при нечетных k многочлен Th делится на С\.

2) Применив к мультипликативной последовательности {Th}

формулу

1.4(10),

мы немедленно

получим,

что в многочлене Тод-

да Th коэффициенты при ck и

совпадают. Как легко

показать,

последовательность

{7\} является

единственной

мультипликативной

последовательностью

с Г 1

= у С і ,

обладающей

этим

свойством.

лемма

показывает,

что при значениях переменных

d = I .

I , удовлетворяющих

соотношению

1 +

схх + ...

+ спхп

(1 + xf+t

(mod *»+>),

многочлен Тп(си

сп)

принимает значение 1.

Л е м м а

1.7.1. Пусть

Q(x) =

х _х .

Тогда для

любого k

коэффициент

при

степенном

ряде

(Q(x))h+1

равен

и сте

пенной ряд

Q(x)

является

единственным

степенным

рядом

с ра

циональными

коэффициентами,

обладающим

этим

свойством.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

применить

интегральную

формулу

Коши

(ср. с доказательством

леммы

1.5.1).

Аналогично

доказывается

Л е м м а

1.7.2.

При

значениях

переменных

cit

определяемых

соотношением

••• +

cft** =

(l -\-xf{\-х)

( m o d x ^ 1 ) ,

все многочлены

Th,

k ^

1, обращаются

нуль.

Имеет место также следующее утверждение, аналогичное лем


ме 1.5.2		(см. А т ь я			и Х и р ц е б р у х [4]).
Л е м м а			1.7.3. Многочлен Tk			единственным образом		представ
ляется	в	виде дроби,			числителем	которой	служит многочлен		с вза
имно	простыми			целыми коэффициентами,			а знаменателем	—	поло
жительное			целое	число

где произведение распространено на все простые числа q, удовле творяющие соотношению 2sSiq^k-\-\. Кроме того, \х.(Т2и+\) —

= 2ц(Г2 ^) = 22 A +V(^fe) (см. лемму 1.5.2).

1.8. Пусть теперь кольцом коэффициентов В является кольцо Q[y] многочленов от одной переменной у с рациональными коэф

фициентами.

Рассмотрим, мультипликативную

последовательность

Tj(y;

си

...,

Cj),

соответствующую

степенному

ряду

VIA х)

е _ * ( г

)

ух

—

е%

( у + 1 )

ї -

Следующее

обобщение

леммы

1.7.1

показывает,

что

при

с, —

In Л- \\

= і

имеет

место

равенство

Тп(у;

с,,

с „ ) = 1

- у

у 2

- ...

+(-\)пуп.

Л е м м а

1.8.1. Для

любого

коэффициент

при

хп

степенном

ряде

(Q (у; х))и+>

равен

ряд Q(y;x)

является

єдин

2 ( — и

ственным

степенным

ій

коэффициентами

кольце

Q[y], об

рядом

ладающим

этим

свойством.

Многочлен Тп(у\с\,...

,сп)

можно

единственным образом

запи

сать

виде

тп{У'

с ») = 2 ) 7 ' я ( с і '

•••>

СП)УР-

Покажем, что многочлены Трп(с{,

сп )

удовлетворяют

соотно

шению

K{cv

•••>

оп)={-\ТГ-р{сх,

сп).

(13)

Действительно,

Q{^\

yx^j — Q(y;

— х)

потому

ynTn(j;

Си

сп)

(-1)пТп(у;

си

сп).

Далее,

рассмотрим

формальное

разложение

1 + с ^ + . . .

+сахя

й(1+у1х),

(14)

где х — независимая переменная. Имеет место формула

								п			. (15)
			S e x p ( - V / i -		-	~	Т /	р )J'=lП 1 -	е х р ( - v , )

где суммирование			распространено			на	все уп J комбинаций				р по
парно различных			корней yh	а символ			кп	обозначает сумму			всех
однородных		(по yi) членов		степени		п	в выражении в [			]. Ввиду
тождества		(14) эта сумма		является многочленом					веса л	от пере
менных	с{.
Для	доказательства формулы				(15) обозначим				временно	ее пра
вую часть через Тп- Имеем
р = 0		П	< • + » e x p ( - v t ) ) t - e x p ' t - v , ) ;

		п	(1 + # ехр(— (1 +			у) V/))		0 + # ) Y *
				1 + 0				1 - е х р ( - ( 1 + y ) Y j )

"1 п

= И - П > ( ^ )

		• £=1		-1		р= 0
и	все доказано.
	Заметим в	заключение,			что Q(0; х)				Q(-l;x):
			X					1 - е - *
=	1 +Х И Q ( l , *) =		X	Следовательно				(см. 1.5	и лемму 1.3.1),
=	1 +Х И Q ( l , *) =		th jc	Следовательно				(см. 1.5	и лемму 1.3.1),
		сп)==тп(сі>			•••> с п )		(многочлен		Тодда),
		р =0
		S n ^ ( c „		. . . . cn) = Ln(clt				. . . . с„),	(16)
т.	е.	р=0
т.	е.			f 0,		если	п нечетно,
				f 0,		если	п нечетно,
	р=0	• • •' с п ) — { Lk(pu				...,	p k	) , если	n=2k.

1.9. Многочлены Тодда по существу совпадают с многочленами Бернулли высшего порядка в смысле Нёрлунда (см. Н ё р л у н д [1], стр. 143). Действительно, согласно Нёрлун-ду, многочлены Бер нулли определяются тождеством

Й ^ р т = £ ^ fil"(v. v.).

t=l

x ' '

/=«0

Поскольку переменные СІ являются элементарными симметриче скими функциями переменных yi» •••> Yn (см. формулу 1.8(14)), отсюда непосредственно вытекает, что при k ^ п

	Tk{cv		' » ) в ± # * ! >		і .	Y„>
Аналогичное		замечание имеет		место	и для построенных в 1.6
многочленов	Ah.	Эти	многочлены	по существу		совпадают с рас
смотренными	Нёрлундом многочленами				Du. Именно, в обозначе
ниях п. 1.3 и	1.6

при 2k ^ п.

§2. Пучки

Вэтом параграфе излагаются основные результаты теории пуч

ков, используемые в	настоящей книге	(см. также	К а р т а н [2],
С е р р [2], Г р а у э р т	и Р е м м е р т [1]	и Г о д е м а н	[1]). Послед

нюю книгу особенно рекомендуем для первоначального изучения алгебраической топологии и теории пучков.

Мы будем пользоваться следующей терминологией. Топологиче ское пространство X— это множество, в котором отмечены неко торые подмножества, называемые открытыми. При этом тре буется, чтобы пустое множество и все пространство X были от

крыты и чтобы объединение любого и пересечение конечного числа открытых множеств были открытыми множествами. Открытые множества U, содержащие данную точку х пространства X, назы

ваются открытыми окрестностями этой точки.	Семейство	откры
тых множеств топологического пространства X	называется	базой

его топологии, если любое открытое множество пространства яв ляется объединением множеств этого семейства. Пространство X называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки


обладают непересекающимися			открытыми		окрестностями.
Семейство	U = {Ui}l є	j открытых		множеств пространства J на
зывается его	открытым	покрытием,		если		объединение	множеств
этого семейства совпадает со всем пространством X. Возможность
того, что одно	и то же открытое множество несколько раз входит
в семейство	(с различными		индексами		і),	при этом	не исклю

чается. Тот факт, что множество индексов покрытия может быть совершенно произвольным, приводит при рассмотрении множества всех открытых покрытий пространства X к известным логическим

затруднениям. Во избежание этих затруднений можно ограни

читься	собственными	открытыми покрытиями U = {{/J, є /		прост
ранства	X, в которых, во-первых, различным индексам		і, / є / , от
вечают	различные	множества C/t» Uj и, во-вторых,	в	качестве

<<< < Предыдущая 1 23 / 283 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ