книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

§ 4. Фильтрация. Доказательство свойств 2.1,1), 3), 4)

4.1.

Назовем

открытое

подмножество

U cz Е

малым,

если

|

и

W тривиальны над я(U)

и если допустимые тривиализации £

над

n(U)

переводят

U в произведение координатных

окрестностей

для

В и F. Для всякого малого открытого множества

U и

положитель­

ного целого числа k обозначим через Lh(U)

подмножество

элемен­

тов

из

Au(W\u),

которые

в локальных

координатах

(z^)

на

В

и

(у і)

на

F выражаются

в виде

сумм

одночленов

dzj

AdSj

Adyt>

Л

Л dyy, таких, что | / | +

| / | ^ ^ ,

где

\А\ — мощность

конечного мно­

жества А. Ясно, что Lh(U)

инвариантно

относительно

замены

ко­

ординат

(хотя

множество

элементов,

для которых

| / | +

| / | =

&,

L j

= {ffls

АЕ (W); ш [ [ , є І { (U)

для всякого

малого

открытого U

из Е).

(1)

Конечно, достаточно проверить это условие для U, пробегающих

некоторое открытое покрытие многообразия Е. Имеем

L Q = AE{W),

L k = 0

( & > d i m R B ) ; Lk=>Lk+l,

dLkczLk

(& > 0 ) ,

(2)

ность (Er,dr) теоремы

2.1. Ясно,

что

L k ^ p '

4 L k , p-qLk

=

Lk(\AE-q{W),

Р,

<7

пени

1 по q и степени 0

по

р. Следовательно, эта

биградуировка

присутствует в спектральной

последовательности. Обозначим через

Р,ЧЕ1^

ИЛИ через

p,qEsr

(см. 2.2(2))

подпространство элементов

из Ет

типа (р, q),

общей

степени s - j - t

и степени s

в градуировке,

ветственно

степенью

на

базе и степенью по слою. Конечно,

P. 4Es. tв 0 j

е с л и p

+ q ¥ z

s +

t

Утверждения

2.1,1), 3)

следуют из стандартных общих фактов

о сходящихся

спектральных последовательностях, возникающих

Если W = 1—тривиальное расслоение со

слоем С, то A^(W)

бу­

дет антиком'мут'атйВНОи Дифференциальной

алгеброй; снова По

66-

последовательность, и мы имеем 2.1,4). Итак, остается

доказать

2.1,2).

4.2. Мы приведем сейчас несколько иное определение

фильтра­

ции, которое будет полезным для дальнейшего.

Пусть

Va

=

n-l(Ua).

Отождествим

Va с

UaXF

с

помощью

i|)a . Обозначим через МІь'

°'d

пространство

W форм

типа

(с, d)

на В с коэффициентами в формах

типа

(а, Ь)

для слоя

(см. д е

Р а м

[1], гл. I I , § 7). Используя

ф а , мы видим, что

мі

b - c - d ^

Тиа

(33 ® ъа-" ®

*),

(3)

AvAW\va)=

2

Mi

(4)

Тогда

а

0

a,b,c,d

L s

= {(i>(=AE(W);

a l ^ s ^ J a e ^ ) ) ,

(5)

где

=

2

Л #

(6)

c + d > s

Заметим, что, как и раньше, изоморфизм

(3) и разложение в пря­

мую

сумму

(4)

зависят

от

тривиализаций

ipa , однако

условие

со L

e l j

„ от них не зависит.

v а

ч

Е0, Е{

§

б. Члены

5.1.

Л е м м а .

Существует

канонический

изоморфизм

р- "kl: р- "Е*о~ 2

Г (2В ® Ъ"~'- q - s

+ l

® %'в *-')

(р, q, s > 0).

Сумма k0 отображений р' qkl переводит

d0

в

др.

о є " 'qLs,

Мы

сохраним

предыдущие

обозначения.

Пусть

и

пусть

й а — ограничение формы а> на я~'( £ / а ),

a e < s £ . Можно

на­

писать

(4.2):

c o a = ^ a ) r ^ - s + M ' s - ' m o d L , + I . a ,

(1)

где

а&ь-с-йе= Ml-b-e-d=r

TUa

(SB ®

® 2# %

(2)

ь

Мы утверждаем, что для всякого і формы <ара~^

t,

о

є

і ,

определяют

сечение

ю Р - < . «-«+'.'.«-«

в

зв ® gP-'.»-«+' 0

я » .

Действительно,

пусть

а и

В таковы, что иаГ\и$ф0.

Тогда

эле­

менты

соа

и

сор представляют

одну

и ту же

дифференциальную

форму, и

поэтому они

связаны преобразованием fa , g, получаю­

щимся из

координатных

преобразований т|>„р, <рар, т ц . В f a p

вхо­

дят также

производные

от t|)afj по локальным координатам

на В.

Однако, как уже было замечено в 3.4, каждый член, в который

входит

такая

производная,

имеет

строго большую степень по базе,

т.

е.

принадлежит

L s + U a

.

Таким образом, при

переходе - от

®а~1'

q ~ s + i '

s - '

к

q ~ $ +

i '

s~l

можно пренебрегать

этими про­

изводными

и

применять

только

преобразования,

определенные

вать

сечения пучка

SB ® %р~1' q~s+l

® %в-s~l

над

Ua

и

чтобы

получить сечение

над

Ua[)U&.

Сопоставим теперь форме ю сумму форм а>р~{<

І,

g T 0

определяет отображение

V : р-

-> 2 г (ав ® gp _ ''q-s+i

® ?l£

- ' ) ,

которое, очевидно, линейно и имеет ядро P'iLs+\.

Поэтому

оно

определяет инъективные линейные

отображения

qkl:

<ES0

р- qLjp'

qLs+l

-> Ц

Г (SB ® g p _ ' '

' - * + ' ® ^

' - ' ) .

і

Чтобы

вычислить

d0 (u), S є p "' £ o,

мы

должны

применить

д

к

представителю

со

элемента

й

из

L s

и

потом

редуцировать

m o d L s + i .

В локальных координатах это означает,

что

мы

можем

пренебречь дифференцированиями

по

локальным

координатам

на

В и принять во внимание только

координаты

слоя. Но

dF

именно

таким

образом и определен,

следовательно,

"•qks0(d0(b) =

dF(P'4ks0((b)).

Остается

показать, что р ' 4kl

эпиморфны. Пусть

и є

Ма'ъ'

d;

по­

ложим

р = а + с, q =

b -f- d,

s =

с +

d. Мы

должны

найти

со

є

є

р ' qLs,

такое, что р ' ' й 8

(со) =

и.

У

=

Существует

счетное

локально

конечное

покрытие

=

(Vj)

j =

i , г,... пространства £ малыми

открытыми

подмножествами

(см.

4.1),

такое,

что для

каждого / найдется а

=

а ( / ) є ^ ,

для

которого

я (V.,) с: <Уа. Так

как

Е

паракомпактно,

то

можно

найти

последовательность

открытых

покрытий

У{1)

— (V{p)l=1

2 ....

та­

кую,

что

V(P = V„VfczVri)

(Ul>\).

Положим

3 = 2 3 а Л

£ ? = 2

/ - о , і, ....

(2)

Р, я

ци проекцию

L u

a 0 то же самое, что и в 3.8(5). Обозначим

через

на EQ=LJLU+1

(ц

=

0, 1, . . . ) .

Пусть

а,

Ь, с,

d — положительные

целые

числа;

положим

р =

а +

с,

q = b +

d,

s =

c +

d. Пусть

и є

Г (2В ® £ а ' ' ( f ) ® «в d )

и

и' —элемент

из

Г (2В ® 3"' * ® 2ts' d ) ,

такой,

что

а («') =

«; такой

элемент

существует

по

3.8.

Пусть

о =

^Г1 (м)

и о ' . = /2,7'(«'). Мы

должны

показать,

что

_

kiid^

— du.

(3)

По

определению V'^Z(EO).

Следовательно,

существует

[ ) " е ! 4 ,

такое,

что

d ( e " ) s L , +

! . и J V / ' =

w ' - По предыдущему

мы имеем

и = kx

• х° • \is

(v")

=

o-k0-ns

(v").

(4)

С другой стороны, определение di дает

e?,t> = K ° H s + 1 ( 6 V ' )

и, следо­

вательно,

по

(1)

M d , о) = <т • V

(5 )

Далее,

(3)

эквивалентно

равенству

а • k0-ns+l{dv")

=

du.

(6)

Это

достаточно доказать

для

ограничения

v"

на ц - 1 (Ua)

для всех

о є і .

Мы можем

написать

(по

4.2)

•о" =

VА- Ъ< °-D +

о"-1 - *•C + I '<* +

V А - с > d

+

1

mod L s + % а ,

где

f

' g

' k

є= Г У а (SB ® 23е 'f ® %'вк)\

по

построению

іЛ *•с- d

может

быть отождествлено

с и'. Тогда мы имеем

dv"

=

ди'+Ъ

(va~l-ъ-

<* +

VА-

«•

mod L l

+ 2 t

e .

Так

как

мы

вычисляем

m o d L i + 2 , а ,

то

можно

пренебрегать чле­

нами, степень на базе которых >

с + d +

1» это означает, что

мы

также

имеем

"до" == oV +

5,

( и " 2 - 1 - ъ ' c + l - d

+

ов -ь -1 -*• d +

1 ) mod L s +

2 . а ,

*oH*+i^ ( у ") =

З " ' + <5F ( У А _ 1 ,

Ь ' С + 1

, D

+

V A ' Ь ~ И

Й + Х

)•

Второй

член

в правой

части

равенства

является

д^-кограницей

и

и потому

аннулируется

отображением а; следовательно,

ok0ns+ld

{v") =

ади'.

Но

ясно,

что

_

_

_

а

• д {и') = д{а

(и'))

=

ди,

откуда

и следует (6),

НР.

я

_^ Р. ЯЕ<У.Р+Я <_ Р. ЯЕР2, Р+Я=

НР. я{ р

) я

нр, С (

р )

совпадает

с гомоморфизмом, индуцированным

вложением

слоя.

Это опять следует

из элементарных

фактов

о спектральных по­

следовательностях.

7.5. Если

структурная группа для | связна, то

hp' q (Е,

#)< 2 hc'd (В,

W) • ha'"

(F).

а+с=р

b+d=q

Р. Я£

_

2

P-4£S,t

s,t>0

7.6. Наконец, заметим,

что если

G связно

и Г:

( £ ) - > Hg (F)

эпиморфно,

то Нд(Е) аддитивно

изоморфно

Hj{B) <8> H^(F).

Дей­

ствительно, Е2

как алгебра отождествляется

с тензорным

произ­

ведением

алгебр

Hg (F) ® 1 и

1 ® Нд (В),

которые

состоят из

универсальных

коциклов.

§ 8. Мультипликативное свойство %у-род,а.

8.1. Т е о р е м а .

Пусть

l =

(E,B,F,n)

—

комплексно-аналитиче­

ское расслоенное

пространство

со

связной

структурной

группой,

в котором

Е, В, F компактны

и связны,

a F кэлерово.

Пусть W —

комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

над В.

Тогда

Xv(E,n*W)

= %y(B,

W)-xv(F).

Е2^НЪ(В,

W)®H-d(F).

(1)

Р

Из 2.1,3) следует, что

%y(E,n'W)

= %y(EJ.

(2)

Простое

вычисление,

использующее

(1), дает

%y(E2)

= xy(B,W)-Xy(F)

(3)

Пусть ( Р )

Е Г =

2

Р' q E r (f ^

2). Это — градуированное

пространство,

<?

равна х((р)^г)

Хр

( Е г ) ; оно

эйлерова

характеристика

которого

=

инвариантно

относительно dr, а его группа гомологии

совпадает

с WEr+\.

По

хорошо

известному

и

элементарному

результату

имеем x{(v)Er)

=

х{(р)Ет+\).

Следовательно, хр(Ет) =xp(Er+i),

г^2,

что вместе с

(2)

и (3)

и завершает

доказательство.

меоморфизмов

компактного

связного

комплексного

многообразия

X . Хотя это на самом деле и не нужно для дальнейшего, напо­

мним,

что по известной

теореме Бохнера — Монтгомери

А ( Х ) яв­

ляется комплексной группой Ли. Если X является

пространством

комплексно-аналитического расслоения (X,

У , F , я ) ,

то

всякий

эле­

мент из

А ° ( Х )

коммутирует

с

я

и,

следовательно,

имеется есте­

ственный

гомоморфизм

я 0 :

А°(Х)~*Л°(У)

(см.

Б л а н ш а р

[3],

стр.

160). В частности,

если

М и

N — связные

комплексно-анали­

тические

компактные

многообразия,

то

А ° ( М X N) — А ° ( М ) X

ХА°(М)

( Б л а н ш а р

(3),

стр.

161).

9.2.

Пусть

Мм , Л " , v є

Z; и, v ^

0) — произведение

S2 u +1 XS2 l '+1 ,

снабженное одной из

комплексных

структур, введенных

К а л а б и

и Э к м а н о м

[1]. Его

можно представить

как

пространство глав­

ного

комплексно-аналитического

расслоения

„

над BUi\v

=

=

Р„ (С) X Р 0

(С)

с

одномерным

комплексным

тором

Т в

ка­

честве слоя. Мы

имеем

А° (М„. v)

=

(GL (и +

1, С) X

GL (v +

1,

С))/Г,

где

Г — бесконечная

циклическая

дискретная

центральная

под­

группа

( Б л а н ш а р

[1]), а

отображение

v„,0 :

Л 0 ( М ц , о ) - > Л 0 ( В Ц і О )

=

Р О И « + 1 ,

C ) X P G L ( u

+

l , С),

ассоциированное

с

проекцией

я и >

0 :

М„, 0 - > В Ц

і 0

(см. 9.1),

совпа­

дает с

очевидным

гомоморфизмом.

Для

и = 0

или

о =

0 Мц , 0

есть

многообразие

Хопфа. Пусть

сти, „ — отображение,

являющееся

композицией

проекции

я„, 0 и

проекции

многообразия

ВИ і „

на

первый множитель. Тогда стЦі v

является

проекцией в комплексно-аналитическом

расслоении

т]Ці 0

со

слоем

М0, D . Чтобы это увидеть,

можно воспользоваться

сле­

дующим

фактом

(Бланшар

[1]): M u ,v

является

базой

комплексно-

аналитического

главного

расслоения, пространство

которого

со-

впадает с

М„,0 X М0 , „,

слоем служит

комплексный

одномерный

тор, а

проекция

v такова,

что

я„. v ° v = я„, о X яо. „: МВ і

о X М0 , „ -> В„, „.

9.3. Л е м м а .

Группа

Л°(М„ „)

действует

тривиально

на

Наше расслоенное пространство имеет связную структурную

группу и кэлеров слой (а именно

Т); поэтому 2.1 применимо. По

9.1

Л°(М и і „) является

группой автоморфизмов всей

расслоенной

структуры,

поэтому она

действует

на

спектральной

последователь­

ности.

Это

действие тривиально

на

Е2

=

Н-д (B u , 0 ) ® Я^ (Т),

так

как

и

В и , и и Т кэлеровы (см. 1.4); поэтому

действие

тривиально и

на

Еоо. Но

Еоо =

Gv(Hg(N\.Ui„));

в силу полной приводимости лю­

бая

компактная

подгруппа

из Л°(М„, „)

действует

тривиально

на

Я § ( М И , „ ) . Таким

образом,

ядром

действия

Л ° ( М и і В )

на Я ^ ( М О і 0 )

9.4. Л е м м а .

Я 1

, 0 ( М 0 , о ) =

0 при

v ^> 1.

Эта лемма известна. Для полноты напомним ее доказательство.

Многообразие

Мо, „

может быть определено как

факторпростран-

ство C„+i — {0} по дискретной

подгруппе,

порожденной

гомотетией

у: г—+c-z,

сФ\.

со*

Пусть

со — голоморфный

дифференциал

на M0 ,„.

Его прообраз

в

C„+i — {0} может быть

записан

в

виде со* =

=

gi-dzi

•••

+

gv+i• dzv+\,

где zt

— координаты, a

gi

голоморф­

ны

в

Сг;+1 — {0}.

Форма

со* инвариантна

относительно

у;

отсюда

следует, что

gt

(сп • z) =

с~п •g i (z),

n<=Z, t =

l , 2,

. . . . o +

l ;

это

показывает, что

если

g{ Ф

0, то gi не ограничена в окрестно­

сти начала координат, что противоречит теореме

Гартогса.

d-когомологии

многообразия М и > « порождаются

элементами,

тип которых будет указан индексами.

9.5. Т е о р е м а .

Пусть

и ^

о. Тогда

(М„, о) — С [*,. , ] / № ' ) ® А ( ж в + 1 і

„

х0<

Рассмотрим

сначала случай, когда и =

0.

В

спектральной

по­

следовательности для расслоения g0, v имеем

^ « c K i J / № ' ) ® A K o .

\

где

первый

множитель

в правой

части

равенства

представляет

собой

когомологий

базы

Р„(С), а

второй — когомологий

слоя

Т,

Элемент х0, і порождает

°' 1Е2 1

и переводится отображением d2 в

°* 2 2?|'°,

что

есть

нуль;

следовательно,

^2(^о, і) =

0-

Если

бы