книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

делить сопряженные

гомоморфизмы

р*: Ff

| S (Е) ->Fr_l

15 (£).

Го­

моморфизм

р: 2

^

S ( £ ) - 2 F 2 J

+ 1

S(E),

s

s

определенный

равенством

р(f„, /2 ,

/4 ,

. . . ) = = (p,f0

— p*f2> P3f2

—

— p*f4, . . . ) , является

изоморфизмом,

и

его гомотопический

класс

не зависит от выбора эрмитовых метрик

на Fr. По теореме

24.2.1

существует однозначно определенный

элемент

d(E)

= d (%F2s,

2

/V i ,

є

Я (В (£), 5 (В)),

Т е о р е м а

24.2.2. Пусть ц—непрерывное

U(q)-расслоение над

компактным

пространством

X, Е — векторное

расслоение,

ассоци­

ированное

с ц,

и

Ф.: Н'(Х,

0_)->Я*(В(£), S(E);

Q)

Д о к а з а т е л ь с т в о

(ср.

А т ь я

и Х и р ц е б р у х

[7],

предл.

3.5). Пусть т) индуцирован

из универсального U (q) -расслое­

ния

g

над ®(q,N;C)

с

помощью

отображения

/: X—*®(q,

N; С).

Рассуждения

п. 24.3

показывают,

что

2

(-l)rchXrt

Ф Г ' с г ^ ( £ ) = Г г==°

C q l

где

правая

часть

корректно

определена при

достаточно

боль­

ших N. Искомый результат следует теперь из

теоремы 10.1.1.

24.5. Элемент d(E)

можно

использовать для определения

го­

моморфизма

К (X) -модулей

Ф,: К(Х)^К(В(Е),

S(E)).

Положим

Ф,а = (— 1 )*</(£)'

- я'а

для

а^К(Х).

Тогда

ch фі а =

ф*( (td -п)- 1

- ch а) .

На

самом

деле

ф,

является изоморфизмом,

аналогичным

изо­

Т е о р е м а

24.5.1

( Б о т т

[2], [5]). Пусть

X — компактное

про­

странство. Имеет место коммутативная

диаграмма

K(X)®K(S2)

К (XX

S2)

ch ® ch|

ch|

Н'(Х,

Q)®H*(S\

Q ) — * t f * ( * X S 2

, Q),

в

которой

р

индуцировано

тензорным

умножением

расслоений,

а

индуцировано

^-произведением

и

а

и $ являются

изоморфиз­

мами.

Элементарное доказательство теоремы 24.5.1 было дано

А т ь е й

и Б о т т о м

[1]. По поводу

соответствующей

теоремы

периодично­

сти

для кольца

Гротендика

вещественных

векторных

расслоений

см. В у д [1].

Т е о р е м а

24.5.2. Пусть

к] — непрерывное

U(q)-расслоение над

2п-мерной

сферой

S2 n . Тогда

(chn n)[S2 "]—целое

число.

Это

экви­

валентно

также тому,

что cn(i])[S2n]

делится

на

(п—1)!.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

/i<=/((S2 ) — элемент,

соответ­

ствующий

U(1)-расслоению

лі над

S 2 = P i ( C ) , определенному

в

4.2. Тогда

1 и

h — образующие

для K(S2)

и, следовательно,

(chig)[S2 ] является целым числом

для всех

g e / ( ( S 2 ) .

Из теоремы 24.5.1 следует, что (ch„/)[S2

X • • • X S2]

является

целым

для всех f є

K(S2

X • • • X S 2 ) . Представим S 2 n

как редуци­

рованное

произведение

п экземпляров

S2,

и

рассмотрим

отобра­

жение

р: S 2 X . - - X

S 2 - *S 2 n . Тогда

(ch„ р> b)[S2

X • • • X S2]

будет

целым,

а следовательно,

и

(ch„ 6)[S2 n ]

будет

целым для всех b є

eK(S2n).

Последнее утверждение

следует

из формулы

Ньютона

(см. 10.1)

«!ch„6==( — \) п - ^пс п (Ь )

-f- произведения

членов меньших

степеней.

Теорема 24.5.2 также принадлежит Ботту, который - первона­

чально

доказал ее с помощью теории

Морса

( Б о т т [3]). Из этой

теоремы следует,

что сфера

S 2 n не допускает почти

комплексной

структуры,

если

п ^

4, так как если

бы 8 было комплексно-ана­

литическим

касательным

расслоением,

то

из 4.11(16)

следовало

бы,

что

(c„8)[S2 n ] =

2.

Кервэр

и

Милнор

вывели

из

тео­

ремы 24.5.2, что S 2 r a _ 1 параллелизуема

тогда

и только

тогда,

когда

п=\,

2,

4 ( К е р в э р

[1], М и л н о р

[2]; см. также

Б о р е л ь и

Х и р ц е б р у х

[1], §

26.11,

и А т ь я

и

Х и р ц е б р у х [5]).

Рассмотрим

гомоморфизм

<р,: К(Х)-*K(B(E),S(E)),

где X —

точка.

Тогда

К(В(Е),

S ( £ ) ) = / ( ( S 4 у0)

для

некоторой

точки

i / 0 e S ! «

и <р,: Z-»/C(S2 «, уо)

является

гомоморфизмом, таким, что

(chgcp, 1)[S2«] =

1. В этом

случае можно

показать, что

ри.К(S2i)—*•

~ + / C ( S 2 X - . . X

S2 )

будет

мономорфизмом,

а

ср,: Z-+/((S2 «,у0 )-~•

изоморфизмом. Часто удобно ввести

элемент h — 1 + ф, le/((S 2 9) .

Для q = 1 этот элемент совпадает

с элементом, введенным при

остается в силе, если S2 заменить

на

S2i

для любого

q > 0.

Теорема периодичности

Ботта

является

основным

средством

для определения полной экстраординарной теории

когомологий

К*(Х,

У)

(см. 24.1), а

следовательно, для

доказательства; изомор­

физма

Тома, упомянутого

выше.

Мы

приведем

еще

одно

приложение — к

доказательству

диф­

ференцируемого

аналога

теоремы

Римана — Роха.

Пусть /: X~*Y

— вложение компактных

связных

ориентирован­

ных

гладких

многообразий, и пусть нормальное расслоение

Е для

X

в

Y

допускает

комплексную

структуру,

т. е. Е

ассоциировано

с

некоторым

U (q) -расслоением

ц,

как

в

теореме

24.4.2.

Тогда

имеется

отображение

г: Y —> В (Е) /S (Е),

при

котором

все точки

вне

B(E)czY

стягиваются

в

отмеченную

точку;

тем

самым

определен

гомоморфизм

ru. К(В(Е),

S(Е))—+K(Y),

Определим

/,:

К(Х)-+

K{Y)

равенством

/,a =

r^ia ;

тогда

ch jia =

г*ф,((ісі т])~' • ch а) — j t

((td г))- 1

• ch a),

где

/*: H*(X, Q)—»•#*( У, Q) — гомоморфизм

Гизина.

Это — диффе­

ренцируемый

аналог

теоремы

Римана — Роха

для

вложений

[23.5(9)].

Приведем два

следствия, относящихся

к

случаю,

когда

X — почти комплексное

многообразие.

Т е о р е м а

24.5.3.

Пусть

X — связное

почти

комплексное

мно­

гообразие.

Тогда

существуют

вложение

/: X —+ S2N

и

гомоморфизм

K(X)-+K(S2N),

такие, что

chy,a =

/.(td(A)-ch

а).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

0 — касательное

U(n)-расслоение

для

X.

Для

достаточно

больших

q

найдется

Li (q) -расслоение ц

над X,

такое,

что 0 + Т| будет тривиальным

U (п -f- q) -расслоением,

жения Х—*Сп+д.

Мы

можем

рассмотреть

S2N

как

одноточечную

компактификацию

для

CN,

N — п -f- q. Теорема

следует

теперь из

равенства td0 - tdn = 1.

Т е о р е м а

24.5.4.

Пусть

X — почти

комплексное

многообра­

зие,

и пусть

ц ~

U (q)-расслоение

над

X.

Тогда

Т(Х,х\)—-целое

число.

С л е д с т в и е .

Род

Тодда

для

X цел.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

j:X—*S2N

— вложение,

построен­

ное

в теореме

24.5.3. Тогда г) определяет элемент

Й Є / ( ( I ) и

Т (X,

ті) =

xN

[j, (td (X) • ch a)] =

KN

[ch j{a]

Г ( £ ) , T(F)

— соответствующие

векторные

пространства

глобаль­

ных гладких сечений. Линейное отображение

D:

T(E)-*T(F)

называется

дифференциальным

оператором

порядка

г,

если суще­

ствует

открытое

покрытие

для

X

координатными

окрестностями

Uj, такое, что Е — UjX,A,

F —

Uj^B

над Uj и D задается диф­

ференциальным

оператором Df.

C°°(Uh

А)—* C°°(Uj,

В)

порядка

г.

Рассмотрим

л*Е,

n*F

как

подпространства

в В(Х)уЕ

и

B(X)y<F,

соответственно, и определим

гомоморфизм

ar

(D):

л'Е

->

л'Е,

называемый символом

для D,

положив

ar (D)

(v, s (х0))

=

[v,-jrD

(frs)

(х0)),

(3)

где х 0 є=Х,

» є В ( 1 ) ,

л(Ь)

—

х0,

s^T(E)

и / — гладкая

функция,

такая,

что

f(x0)

— 0,

df =

v.

В

терминах

локальных

координат

Х\,

хп

в окрестности

точки

Хо

имеем

Dl(fr,

s)Ха

— О для

для

| / | =

г. Следовательно, or(D)

(v, s(xo))

зависит

только от ко­

ординат

•••>

для df и от значения

s(x0)

для s.

ох і

0Хц

Это

показывает,

что

гомоморфизм расслоений

o>(D)

корректно

•определен и что он совпадает в точке х0

с гомоморфизмом, опреде­

ленным

по формуле

(2).

Если

Е, F, G — комплексные

векторные расслоения

над X и

«ели

£>ь

T{E)-*T(F)

и

D2:

T(F)-*Г(Q)

— дифференциальные

операторы

порядков

п

и

г2, то

D2DX

будет

дифференциальным

оператором "порядка

г , | г 2 и

o r i + r j ( D 2 D , ) = = a r 2 {D2)ori

(Di).

О п р е д е л е н и е .

Дифференциальный

оператор

D

эллиптичен

порядка

г,

если

о =

or{D)

\S(X) — изоморфизм.

З а м е ч а н и е .

Если

D эллиптичен,

то

Е

и F

имеют

одинако­

мерность слоя

и если из

того,

что

s e T ( £ ) — сечение с

s(x)^0

и f — гладкая

функция

с

/(x) =

0, df{x)=£0,

следует,

что

определяет изоморфизм R9 = R9* и, следовательно,

изоморфизм

(в обозначениях п. 4.5)

я ; е

+ я* 9* s& я^9 ф я;0 ^

р (я*г|> (R 6)).

Следовательно,

GL(m, С)-расслоение

г) = я*гр(к 9)

задает на

дование этой почти

комплексной

структуры

на Т*

проведено

у Д о м б р о в с к о г о

[1].

В терминах локальных координат хи

..., хт

элемент v

из слоя

расслоения

Т*, лежащего над точкой

(0,

0),

имеет вид

YiVjuXj.

Упорядочение координат

(хх,

vu

• xm,

vm)

опреде-

H2m(B(X),S(X);Q).

Значение

класса

когомологий

H*(B(X),S(X);Q)

на

этом

фундаментальном

классе

будет

обозначаться через к2т[и].

Пусть

D: Г(Е)-+

Г ( F ) — эллиптический

дифференциальный

оператор по­

рядка

г

с

символом

or(D).

Согласно

24.2,

ограничение

о =

=

or(D)\S(X)

определяет

разностное

расслоение

d(n*E, n*F, а)

в К{В(Х),

S(X))

с характером

Чженя

с Ь й є Я ' ( В ( X ) ,

S(X); Q).

Относительную

группу

когомологий

Н*(В(Х),

S(X); Q)

можно

рассматривать

как модуль над H*(B(X),Q),

используя

относи­

тельное

-произведение.

Топологическим

индексом

для

D

назы­

вается

Y ( D ) = K 2 m [ c h D

• td ті].

(5)

Т е о р е м а

25.3.1

( А т ь я

и

З и н г е р

[1]). Пусть

Е, F —

глад­

кие

комплексные

векторные

расслоения

над

компактным

гладким

многообразием

X

и

D: T{E)-*T(F)—эллиптический

оператор.

Тогда

x(D)^y(D).

С л е д с т в и е ,

y(D) — целое

число.

Из

теоремы

Атьи —Зингера

об

индексе

вытекает

теорема

"21.1.1 (РР) для

произвольных

комплексных

компактных

многооб­

разий

V. Кроме

того,

из

нее следует

теорема

об индексе

из

гл. 2

то

(см. 4.5)

с (op (R 8)) =

П

(1 -

УЪ =

П

(1 +

У,) О ~

У,)

и

I

1

I

2

(9)

Правая

часть

равенства

является

симметрической

функцией

от у? и, следовательно, является многочленом от pj(X)

(ср. с со­

ответствующей формулой в 1.7).

25.4. В этом пункте мы наметим два важных приложения тео­

ремы

Атьи — Зингера.

Подробности

можно

найти

у П а л е

[1] и

у К. а р т а н а

и Ш в-а р ц а [1].

а)

Пусть

Vn

— компактное

комплексное

многообразие размер­

ности

п,

W — комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

над

V„

со

слоем

С„. Мы

хотим

показать,

что

из теоремы

25.3.1

сле­

дует

теорема

Римана — Роха

%(Vn, W) =

Т(Vn, W). Пусть

Т —

комплексное

ковариантное

касательное

векторное

расслоение

к

Vn.

В

обозначениях

п.

15.4

T(W

® №Т) = А°>Р(W).

Дифферен­

циальный

оператор

самосопряжен

(15.4(9)).

Так

как

д

имеет

степень

+ 1 , a f> — сте­

пень — 1,

то дифференциальный оператор д -4- f) отображает формы

нечетной

степени

в формы

четной

степени,

и наоборот. Пусть

£ = 2 г ® Л ,

F =

S

^W®I2S+1T,

S

'

D

=

d +

$:

T(E)->T{F).

Дифференциальный оператор

D имеет

порядок 1.

Разложение

А0, р

(W) =

д~А°- р-х

(W) ф ЪА°-p+1

(W) ф В 0 , р

(V, W)

из

15.4

показывает,

что

если

да + f}|3 =

0, а е

Л°> Р~1 (W),

р е

^

А0' Р+1

(W),

то да =

г>р — 0.

Следовательно,

ker

D

2 B ° ' 2 S ( F , W),

kerD*

,0, 2s+l

(V, W).

2 B'

По теореме 15.4.1

имеем

s

т (£>) =

dim ker D — dim ker D*

=

= 2 ( - I f dim H" (V, W) — % (V, W).

(10)

p..

Пусть

R2C —

комплексификация

вещественного

кокасательного

расслоения

R2* ДЛЯ X. Изоморфизм

цТс = Т®Т

(см. 4.7(12))

определяет отображение р: в%*с—>Т. Индуцированное

отображение

R£* —>• Т может

быть использовано для того, чтобы отождествить

расслоение

на

шары В (X) =

B ( R £ * )

с В(Т).

Произведем это ото­

ждествление на

время

вычисления

символа

для

дифференциаль­

ного

оператора

D.

Согласно

(3),

значение

символа

для

д: Г(кг~1Т)-*Т(1г,Т)

на

элементе

d / e f i ( R 2 c )

задается

фор­

мулой

(«і Л «2 Л

• • • Л « г - 1 є

хг~]т)

ox0)(df,

щ

Л

• • •

Л ur-x)

=

idf

Л щ

Л

•, •

Л

« г - 1 ,

а на элементе р (df)

=

df ^

В (Т) — формулой

о ,

(д) (df,

их

Л

•••

Л и г - і )

=

/ д /

Л «і Л

• • • Л

«л-1-

GX(D)\S(X)

=

ах (д) =

фг,

=

і'Р: я* 2

W ® A 2

s f | 5 (X) -> я* 2

W ® A 2 s + I T | S (X)

Согласно 24.4 р является изоморфизмом, следовательно D эллип­

тичен. Иначе можно показать явным вычислением,

что оператор

D*D

— •

строго

эллиптичен,

что опять дает эллиптичность D .

Как и в теореме 24.4.2, имеем

ср4 - 1 ch (£>) = ФГ1 ch d (п 2 W ® А2 ї Г, я* 2 W ® Я 2 ї + 1 Г , р) =

=

( - 1 ) "

ch W • (td б*)- 1 ,

где 0 — касательное U (п) -расслоение

для

Vn.

Тогда

y(D)

= Kn[(-lfnchW

• (td Є*)- 1

. tde - tde ]

=

= xn[chW-tdQ]

= T(Vn,W).

(11)

Соотношения

(10)

и

(11)

показывают, что теорема 25.3.1 вле­

чет

теорему Римана — Роха

для

произвольного

компактного ком­

плексного

многообразия

Vп.

Та

же

самая

теорема,

примененная

к векторному

расслоению

W ® №Т,

дает

Xp(Vn,W)

= T'(Vn,W)

и

%y(Vn,W)

=

Ty(Vn,W).