книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

Пусть © — когерентный

аналитический

пучок над

X

с

задан­

ной с помощью векторных расслоений резольвентой

(7).

Тогда,

можно определить

характер

Чженя для ©

по

формуле

ch (©) =

п

= 2 ( — l ) ' c h ( W i ) -

По теореме 23.4.1 это

не

зависит

от

выбора

1=0

резольвенты. Если

0 ^ 6 ' - > © " - * 0

— точная последовательность когерентных

аналитических

пучков,

то (см. 10.1)

ch (<S) =

ch (®') + ch (<3").

ch: Ка(Х)-+Н*(Х,

Q).

Т е о р е м а

23.4.3

(теорема Гротендика — Римана — Роха,

или

сокращенно теорема ГРР) . Пусть

X,

У— алгебраические

многооб­

разия

и f: X —> У — голоморфное

отображение.

Тогда

для всех

Ь є

є/С(о(Х)

в Я*(У,Q) выполняется

равенство

ch(flb)-td(Y)

=

ft(ch(b)-td(X)).

(8)

Пусть

/: X—*Y,

g:

Y-*Z

— голоморфные

отображения

алгеб­

раических

многообразий. Из

(3)

и (5) следует, что если теорема

ГРР

справедлива

для

f и

для g, то

она справедлива

и

для

gf:

X—*Z.

Так как X — алгебраическое

многообразие,

то

существует

голоморфное вложение X—* PJV(C)

при некотором N.

Отображение f: X—*Y

можно

разложить

тогда

в

композицию

вложения

X—• У X PJV(C)

и

проектирования

У X

PJV(C) —>• У. По­

этому

достаточно доказать теорему ГРР для

двух

случаев:

I)

/: X—• У— вложение. Для

этого случая

имеются

алгебраи­

ческое доказательство

у Б о р е л я

и С е р р а

[2] и комплексно-ана­

литическое доказательство

у ' А т ь и и

Х и р ц е б р у х а

[8]. Частный

случай, когда

X — неособый

дивизор

на У и

Ь^.К^Ка(Х)

воз­

смотрен в

23.5.

П) /:

y X P j v ( C ) — * Y — проекция

в прямом

произведении. Ал­

гебраическое доказательство дано у

Б о р е л я

и С е р р а [2].

Это

доказывает

(9)

в нашем частном случае, а также

помогает

объяснить тот факт,

почему в теореме ГР Р возникает класс

Тодда."

Рассмотрим

теперь частный случай теоремы ГРР, когда

Y со­

стоит из одной

точки, а / — постоянное отображение.. Пусть Ъ є

є і ( в

( І ) — элемент,

представленный пучком ростков

голоморфных

сечений

Q(W)

комплексно-аналитического векторного расслоения

W над

X. Ввиду

(4) левая

часть равенства

(8)

превратится в

l(X,

W).

Следовательно, теорема Римана — Роха в форме

Гротен-

дика

влечет теорему

21.1.1 ( Р Р ) :

%(X,W)^T(X,W).

23.6. Пусть

Е,

F, V — алгебраические

многообразия,

и

пусть

ф: Е—• V — голоморфное расслоение со слоем

F и связной

струк­

турной группой

(см. теорему

18.3.1*). Как

и в лемме 23.2.2,

пусть

U — голоморфно полное открытое подмножество в V, над которым

Е тривиально. Тогда

по теореме Кюннета

о когерентных

аналити­

Я Ч Ф - Ч С ) . 1)

= н°(и, і)®я'(Л

і).

Следовательно,

ф'£2(1) =

£2(№^) для некоторого комплексно-

аналитического векторного

расслоения Wt

над

V, размерность

слоя которого равна

йітНЦр,

1). Тот факт,

что структурная груп­

ch0 (ф,Q (1)) = 2

( - 1 ) ' dim Hl (F, \) — %(F) — T (F),

'

'

(10)

сЬ/

(ф,О(1))=0

для

/ > 0 .

С

другой стороны,

теорема

ГРР,

примененная

к

отображению

ф: Е—* V и к пучку

Й(1)

над Е, дает

ch (<p,Q (1)) td (V) =

ф, td (Е) =

ф. td (Є) • td

(V),

где

0 — расслоение

над

Е, состоящее

из касательных

векторов

«вдоль слоев».

Следовательно, (10) влечет

T(F)-M(V)

=

<pttd(E),

(11

7-(F).

l = V . t d ( e ) ,

(11*)

где

1 є Я ° ( У , Q) — единичный

элемент.

Формула

(11*)

выражает

строгую

мультипликативность,

изу­

ченную Б о р е л е м

и Х и р ц е б р у х о м

[1], § 21. Если

£ — непре­

рывное GL(q, С)-расслоение над V,

то, умножая

обе части

фор­

мулы (11) на ch(£), находим

Т (F) • (ch (?) • td (У)) -

Ф, (ch (ф*£) • td (£)).

Т е о р е м а

23.6.1

( Б о р е л ь

и С е р р

[2], предл.

16). Пусть

Е,

F, V — алгебраические

многообразия,

и

пусть

(р: E—*V

— голо­

морфное

расслоение

со слоем F

и со

связной структурной

группой.

Пусть

£ — непрерывное

GL(q,

С)-расслоение

над

V.

Тогда

T(F)-T(V,

I) —

Т(Е,

ф»£).

Второе приложение теоремы ГРР относится к моноидальным

преобразованиям.

Пусть

X — подмногообразие

коразмерности

q

алгебраического

многообразия,

У, і: X—• У— вложение,

v — ком­

зываемое

моноидальным

преобразованием

У вдоль

X,

вложение

у. X'—*Y'

и отображение g:

У'—» У, такие, что диаграмма

X'—-> Y'

X — >У

коммутативна. Пусть

U — открытое подмножество

в

У,

допускаю­

щее локальные аналитические координаты. Если U не пересе­

кается с X, то g~l(U)

биголоморфно

эквивалентно

U. Если

U

пе­

ресекается с X, то существуют голоморфные

функции /і, . . . ,

fq

на

U,

такие,

что

U0X

совпадает с подмногообразием

( и є

U; /,(«)

=

=

... =

fq(u)

—

0} и

дифференциалы

dfi,

dfq

линейно

неза­

висимы в

каждой

точке

из

U(]X.

В терминах однородных

коорди­

нат

z =

(z\:...:

zq)

на

P9 _i (С)

открытое

подмножество

g~l{u)

биголоморфно

эквивалентно

подмногообразию

{(и, г ) є £ / Х

X Р,-і (С); ztfj(и)

=

ZjU(и),

К

і < J < q)

в UX

P,-i (С).

Пусть

£ ,

& ' — комплексно-аналитические

касательные

вектор­

ные расслоения

к

У,

У,

и

пусть

9Ї— нормальное

векторное

рас­

слоение к X в У, ассоциированное с v. Пусть

И — одномерное рас­

слоение над У, определяемое неособым дивизором X' на Y'. Одна

лемма Портьюса [1] утверждает, что в Д'Ш (У/ )

выполняется

ра­

венство

Q (g*Z) -

Q (V) = ' / , (Q (ГЩ -

Q (/*#)).

По теореме РР

для вложений (9) класс Чженя

для

правой

части

этого равенства

равен

•

L((rch(v)-feb).f(-^f^)),

слоений над X (см. 3.5). Сумма Уитни ф

превращает С(Х)

в по­

лугруппу.

Пусть

F(X)

— свободная

абелева

группа,

порожденная

С(Х),

и

пусть R(X)—

подгруппа, порожденная

всеми

элементами

вида

W-W-W",

где

W=W'$W".

Положим

К(Х)

=

=

F(X)/R(X)..

Тензорное

произведение

векторных

расслоений

определяет

на К(Х)

кольцевую

структуру. Это

и есть

кольцо

Гро­

тендика непрерывных комплексных векторных расслоений над X.

Если

X состоит из одной точки,

то К(Х) =

Z. Если

X — комплекс­

ное многообразие, то существует гомоморфизм

Ка (X) —»• К(X),

со­

стоящий в «забывании» комплексно-аналитической

структуры.

Естественное отображение С(Х)-* F(X)

определяет

гомомор­

физм

полугрупп

і: С(Х)—*

К(Х).

Пусть G— аддитивная

группа

и

/: C(X)-+G—

гомоморфизм

полугрупп. Тогда найдется

единствен­

ный

гомоморфизм

f: K(X)~*G,

такой, что

J =

/,-. Это

универсаль­

ное свойство позволяет продолжать на К(Х)

гомоморфизмы,

за­

данные на

С(Х).

Если

X

конечномерно, то

класс

Чженя и

класс

Тодда дают

гомоморфизмы

с: K(X)->G(X,

Z),

td:

K(X)-»G{X,

Q),

где

+

G(X,A)

обозначает

множество

сумм

вида

1 +

h\ + h2 + • •

...

h{ є

Н2І(Х,

А)

с

групповой

операцией,

индуцированной

ch:

К(Х)-+Н*(Х,

Q),

(1)

а отображение /: Х-*Х'

индуцирует кольцевой

гомоморфизм

К(Х')-+К(Х),

который зависит только от гомотопического

класса отображения f.

Согласно 4.2, имеет место коммутативная

диаграмма

К(Х')

-И>

К{Х)

chj

U

(2)

Н*(Х',

Q)~*H*(X,

Q)

Если X бесконечномерно, то H*(X,Q)

следует

заменить на пря­

мое произведение Н**(Х, Q)

(разрешить бесконечные суммы).

Кольцо Гротендика

можно также

определить

для пары (X, У),

где

X — компактное

пространство,

а

У — замкнутое

подпростран­

ство. Если У пусто,

то положим К(Х,

0)

=

К(Х).

Если У состоит

из одной точки, то положим К(Х,{х0})

равным ядру гомоморфизма

г1: К(Х)—>К({х0})

=

Z,

индуцированного

вложением

і: {х0}—*Х.

В общем случае пусть XIJTY

— пространство, полученное приклеи­

ванием к X конуса с

основанием

У и

с

вершиной

z0, и пусть

К{Х,

У) = K(X[)TY,{zo}).

Имеется

каноническое

отображение

XUTY

—*X/Y, которое стягивает конус

TY

в точку

у0 и индуцирует

изоморфизм

K(XIY,{yQ})-^K(X,Y).

Характер Чженя

может

быть определен и в относительном случае.

Он является кольцевым

гомоморфизмом

ch:

К(Х,

Y)-+H'(X,

Y;

Q).

Отображение компактных пар /: (X, Y)~*(X',

Y')

индуцирует коль­

цевой гомоморфизм

fh

К(Х',

Y')^K{X,

Y),

стности,

вложения

і: (У, 0)—+(Х,

0 ) , /: (X, 0)—*(Х,

У)

определяют

последовательность

к(х, Y)-!UK(X)-^+K(Y),

(з)

которая

является

точной

последовательностью

К (X) -модулей.

Если

У является

ретрактом для X,

т. е. если существует отображе­

ние

/: X—> У, такое, что fi(y)

— у

для

всех у е

У, то можно пока­

зать, что имеется

точная последовательность

0-+КІХ,

Y)-£+K(X)~±K(Y)->0,

расщепляющаяся

с помощью

К(Х,

Определение

относительных

колец

Гротендика

У)

яв­

ляется первым шагом в построении экстраординарной

теории

ко­

гомологий

К*(Х,

У), которая

удовлетворяет всем

аксиомам'Эйлен-

берга — Стинрода,

кроме аксиомы

размерности.

Дальнейшие

по­

дробности можно

найти у А т ь и

и Х и р ц е б р у х а

[3].

24.2. Пусть

X — компактное

пространство,

У — замкнутое

под­

пространство,

Е

и

F — непрерывные комплексные

векторные

рас­

слоения над X и a: E\Y-*F\Y

— изоморфизм

между ограничения­

ми Е и F на У. В этом пункте

мы построим

некоторый

элемент

d(E,F,a)

из

К(Х,

У),

который

можно

рассматривать

как

первое

препятствие

к распространению

изоморфизма

а

на

все X. По по­

воду

первоначальной конструкции

(немного отличной от описывае*

мой здесь) см. А т ь я

и Х и р ц е б р у х

[7].

Пусть

/ — единичный

отрезок.

Образуем

подпространство

Z —

= Х Х 0 ^ ^ Х 1 ^ У Х ^

в

XXI-

На

Z

определим комплексное

векторное расслоение L , взяв Е

над XX

1, F над

Х'ХО

и

восполь­

зовавшись

а,

чтобы

соединить

их вдоль

У X I -

Точнее,

пусть

/ 0

= / - { 0 } ,

/ , = / - { 1 } ,

Z0 = XXO^YXI1,

г , = л х і и У х / о ,

EQ

=

F,

Ei=E,

и пусть

f0 : Zo-*X,

ft:

Zi—*X,

f:

Z-+X

индуцированы

проекцией

XXI

Тогда

/)( £ Л

будет

расслоением

над

открытым

множе­

ством Zj, i = l ,

2, и

а

индуцирует

изоморфизм

и

—>•/*(£0) на

открытом

множестве ZoHZi =

У X (Л)ПЛ). Это

дает

требуемое

расслоение L над Z. Элемент L — /*F из K(Z)

тривиален

при

огра­

ничении

на

X X 0- Так

как

/: Z - * X =

X X 0 — отображение

рет­

0->/C(Z,

XX0)-+K(Z)T=±K(XX0)^0.

f1

Таким

образом L — f*F

переходит

в

нуль,

и это

распадение

опре­

деляет

элемент

d(E,F,a)

из

K{Z,X

X 0) — К(Х,

У).

Элемент

d(E,F,a)

называется разностным

расслоением

для тройки

(E,F,a).

Легко

проверяются

следующие

свойства

разностного

расслоения

( А т ь я

и Х и р ц е б р у х

[7], предл.

3.3).

Т е о р е м а

24.2.1. I)

Если

f: (X, Y)-*(X',

Y') — отображение

пар,

то d(f*E\

f*F',

I*а')

= ІЩЕ',

F',

a').

II)

d(E,F,a)

зависит

только

от гомотопического

класса

ото­

бражения

а.

III)

если

Y^0,TO

d{Е,

F, а) — Е — F.

IV)

если

/': К(Х, У)—*К(Х)

то

же

самое,

что

в

(3),

то

pd(E, F,a)

=

E-F.

V)

d(E,

F, a) =

0 тогда

и только

тогда,

когда

существует

век­

торное расслоение

G над X,

такое, что а ф

1 распространяется

до

изоморфизма

£ © G - » F ®

G ка

всё

X.

VI)

d(Ei®E2,

Л © ^ ,

a , e < 0 =

d ( £ „

Fu

a1)

+

d(E2,

F2,

a2 ).

VII)

d (E,

F,

a) + d (E,

F, a"1 )

=

0.

V I I I )

Если

p: FІ У —* G \ Y — изоморфизм

над У, то

d(E,

G, pa) =

</(£,

F,

a) +

d{F,

G,

p).

сительным классом

ch d (пЕ,

nF,

а) є= Я* (В (W),

S (W);

Q).

(4)

Кольцо когомологий

для Н* (В(W),

S(W);

Q) описано Т о м о м

[1].

Оно является свободным

модулем

над H*(B(W),

Q) = Н*(Х,

Q),

порожденным

классом

U^H2«(B{W),

S(W);

Q).

Отображение

Тома

qv

Н*(Х,

Q)-*

Я'+2<з (B(W),

S( W);

Q)

опреде­

ляется равенством

q>»(x) = (л*х)

• U

и

является

изоморфизмом

для

всех і. Пусть /:

(B(W),

0 ) - > ( В ( W ) ,

S(W))

— вложение. Сравнение

с 4.11 показывает, что класс Эйлера e(W)

для

W можно

опреде­

лить равенством

}'U

=

ле

(W).

(5)

Отсюда

следует,

что

Гф.(*) =

я * ( * - е О Н )

для

x<=H*(X,Q).

(6)

Т е о р е м а

24.3.1.

Пусть

Е,

F — комплексные

векторные

рас­

слоения

над

X,

a

W — вещественное

ориентированное

векторное

расслоение

над

X.

Пусть B(W)

и

S(W)

— соответствующие

рас­

слоения

на

единичные

шары

и

единичные

сферы, я: B(W)—*Х

—

проекция

и

а:

я*Е\8С№)-+л*Р\8(№)

— некоторый

изоморфизм.

Тогда

е (W) • ф~' ch d (яЕ,

я Т , а) =

ch Е — ch F.

*

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем,

согласно 24.2.1, IV),

j*chd(n*E,

я*Р,

а) =

ch/' d (л"Е,

я*/7 ,

а) = ch л*Е — ch л*Е

ного расслоения

W

над

®+(2q,

N; R)

со слоем

R2«

(см. 4.1а). Тогда

/ индуцирует

отображение

g: (B(W),

S(W))->(B(W%

S

(W)).

Предположим,

что

E',

F' — комплексные

векторные

расслоения

над ®+(2q, N; R), такие,

что E = f*E',

F=f*F'

и что

a':

E'\S(W)-+

-*F'\S(W)

является изоморфизмом,

для

которого

а =

g*a'.

Тогда по

24.2.1, 1)

Ф;1

ch d (пЕ,

JCF,

a) =

/ > t ' " 1 c h d ( n , * £ ' , n'*F',

a').

Если N достаточно велико, то кольцо

H*®+(2q,

N; R), Q) не

имеет делителей нуля в размерностях

^ d i m Z

(Б op е л ь

[2]). По­

этому из теоремы 24.3.1 следует, что

Ф"1 ch d (пЕ,

nF,

a) =

f c h ^ (

~ ^ h / 7

,

(7)

дует

из формулы

(7),

при сделанных выше

предположениях

Ф - 1 ch d (п*Е, я F , а)

не

зависит от специального

выбора изомор­

физма

а.

pr : l r ' ] A ^ l r A ,

г > 1 ,

. (8)

такие, что pr («i Л . . . Л ur-i) = и Л

щ Л . . .

Л иг _ь Так как внеш­

определены и для

векторных

расслоений и формула

(8)

дает сле­

дующую теорему.

Т е о р е м а

24.4.1.

Пусть Е — непрерывное

комплексное

вектор­

ное расслоение

со

слоем

Сд

над

топологическим

пространством

X,

и

пусть s — сечение

в Е,

нигде

не

обращающееся

в

нуль.

Тогда

имеет место точная

последовательность

где р г — задается

внешним

умножением

на s.

Пусть

теперь

X — компактное

пространство,

В(Е)

и

S(E)

—

расслоения

на

шары

и

на

единичные

сферы,

ассоциированные

с

вещественным

векторным

расслоением Е над X, и пусть

я:

В(Е)—>Х

— проекция. Для

расслоения

л*Е

над S(E)

существует