книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

действовать

на

М.

Тогда

М/Т

будет

[i-листным

накрытием

для

У =

М/А,

и

из

теоремы

Римана — Роха

следует,

что

Ху(М/Т)

=

= ІіуіУ(У).

В

силу

теоремы

22.3.1

и

упомянутых

выше

равенств

%(М')=

1 и с =

х(М)

%у(М/Т)

=

Пу(У)

=

п(У)Ху(М')

где

%(У)>0,

если

п четно,

и х ( ^ ) < 0 ,

если

п

нечетно. В

частно­

сти, если М есть произведение

многообразий

из списка

(5),

то п

четно

и т ( М / Г ) =

\аі{У)х{М')>

x(Y)->0,

т ( Л І ' ) > 0 .

Этим

спосо­

бом можно строить алгебраические многообразия М/Т

со

сколь

угодно большим

индексом.

U ( 3 ) / U ( 2 ) X U ( l ) =

Р 2 ( С ) .

Первый пример получим, взяв М' =

В этом случае

%{М')=

1 и

М

совпадает

с

открытым

единичным

шаром

В 2

cz С2 . Таким

образом,

существуют

алгебраические

по­

верхности

М/Т

со

сколь

угодно

большим

индексом. Это

опровер­

гает

одну

гипотезу

Ц а ' п п ы

[1].

Подробности

можно

найти

у А. Б о р е л я

[4].

Теоремой 22.3.1 можно воспользоваться также для вычисления

целых

чисел

ПГ (М, Л). Ввиду

(3)

предположим

г ^

2.

Для

про­

стоты

пусть

М — неприводимая

ограниченная

однородная

симмет­

рическая область. Тогда

М — одно

из

многообразий,

перечислен­

ных в

(4). Значения для Ur(M,

А) были

подсчитаны

Х и р ц е б р у -

х о м

[4, 5]

с

помощью

формул

для

%(-М', (Км'У)- Последние

могут

быть

найдены

с помощью

теоремы

Римана — Роха

и

связаны

с формулами

Г. Вейля

о

степенях

неприводимых представлений

( Б о р е л ь

и

Х и р ц е б р у х

[1]).

Ответ для

каждого

случая

следующий:

I)

Tlr(M,

A) =

( - l ) /

" ? x ( W A ) n

r{p + q) — i — i

p+q-i—j

где

произведение

берется

по

всем 0 ^

і ^

р — 1,

1 ^

/ ^

q.

II)

Ur(M,

Д) =

( - 1 )

T P ( P - I >

%(М/А)П

2 (г - l ) ( p -

+ i + j

і + І

где

произведение

берется

по

всем

0 ^

і <с j ^

р — 1.

III)

ПДМ,

Д) =

і 1

Х(М/А)11

2 ( л - 1 ) ( р + 1 ) + / + /

( - 1 )

i + 1

где

произведение

берется

по

всем

0 ^

і ^

/ ^

р.

IV)

Пг

(М,

А) =

(-

If

х (М/А)

((гр

~ 1

) +

(

) ) .

V)

Пг

(М,

А) =

х (М/А)

П 1 2

( Г

~ 1

) +

^

,

Если

W есть

комплексно-аналитическое

векторное

расслоение,

q

то из теоремы Римана — Роха следует, что

ч и с л о в і

'

I ,

которое,

вообще

говоря, рационально со знаменателем

п\, являет­

для

непрерывного

векторного

расслоения

W по теоремам

целочис­

ленное™ из 26.1. Тем самым

доказана

Т е о р е м а 22.4.1

Пусть

W — непрерывное

комплексное

вектор­

ное

расслоение

над

Р„(С) с классом

Чженя

l + d , A +

••• +d4 Ai ==(l+d1 A)

. . .

(l+6sh),

где

dj є

Z, 6j e

С,

s ^

п.

Пусть r — целое

число.

Тогда

симмет­

рическая

функция

ОТ bj

( n + r + i>i\,

•••

,

( п — г +

b s \

[

п

J +

+1

п

)

является

целым

числом.

П р и м е р ы .

Рассмотрим

случай

q = 2.

Тогда

( " б ' ) +

" т - ( И " « б 2 ) является

целым числом. Это влечет следующие огра­

ничения на целые числа d\ =

бі + 62, d2

=

6i62 :

п — 2

никаких

ограничений,

п =

3

е ^ 2 э = 0

(mod 2),

л =

4

d2(d2+

1 — 3 r f i - 2 d 2 )

=

0

(mod 12).

Пусть

W — касательное

расслоение

к

Р 2 (С) . Тогда

s — 2, d\ =

а= d2 — 3 и й?іС?2 нечетно. Следовательно,

W не является

ограниче­

нием на Рг(С) никакого непрерывного

векторного

расслоения над

Р 3 ( С ) . Аналогично

можно

показать,

что для

всех

п ^ З

касатель­

ное расслоение к Р„_і(С)

не является

ограничением никакого век­

торного

расслоения

к

Р„(С).

Пример

непрерывного

векторного

ный комплекс в

Рз(С), т. е. множество прямых,

удовлетворяющих

уравнению ^ацрИ

= 0, где р0 ь Рог, Роз, Ргз,

Рзи Р\2 — плюкке-

дят через точку

Рз(С), образуют плоский

пучок. Он

опреде­

ляет алгебраическое расслоение В над Рз(С)

со слоем

Pi (С).

Имеется ассоциированное векторное расслоение W над Рз(С) со

слоем С2 и с di — d2=^2. Таким

образом, d2{d2-\-

1 — 3d[ — 2df} =

===2 (mod 12) и

W не является

ограничением никакого векторного

О п р е д е л е н и е .

Аналитический

пучок

© н а д

Хп называется

когерентным,,

если для всякой точки

х є Хп

существуют открытая

окрестность U точки

х и точная последовательность

пучков

над U

Qp\U->QQ\U^><5\U->0.

За основными -свойствами когерентных

аналитических

пучков

мы отсылаем

к Г р а у э р т у и Р е м м е р т у

[1]. Определение, дан­

выше. Однако

из

теоремы

Оки о пучке

соотношений,

определяе­

мых

системой

голоморфных

функций

(см. К а р т а н [3], сообще­

ние X I V ) , следует,

что Q когерентно

в смысле Г р а у э р т а

и Р е м -

м е р т а

[1]. Отсюда

можно

вывести,

что

два

определения

ко­

герентности

эквивалентны

(см. С е р р

[2], гл. I , пред. 7). Заметим,

что когерентность — чисто локальное

свойство.

Пучок

Q(W) ростков

голоморфных

сечений

комплексно-анали­

тического

векторного

расслоения W над Х„ со слоем С, локально

изоморфен

Qq.

Поэтому

Q(W) — когерентный

аналитический

пу­

чок. Если © — произвольный

пучок

над Хп,

то

группы

когомоло­

гий Хп с коэффициентами

в © могут быть определены с помощью

знакопеременных

коцепей

(см. С е р р [3]). Отсюда

с учетом

общих

фактов теории

размерности

следует, что Н<*(Хп,<&) = 0 для q > 2п.

Для когерентных аналитических пучков более точный

результат

был доказан М а л ь г р а н ж е м [1].

Т е о р е м а

23.1.1. Пусть

© — когерентный

аналитический

пучок

над

n-мерным

комплексным

многообразием

Хп.

Тогда

для

q>

п.

Я ' ( * „ , © ) =

0

Соответствующая

теорема

конечности

принадлежит

К а р т а ну

и С е р р у

[1]

(см. также

К а р т а н

[4]).

Т е о р е м а

23.1.2.

Пусть

© — когерентный

аналитический

пу­

чок

над

компактным

комплексным

многообразием

X.

Тогда

для

всех

q ^

0

комплексное

векторное

пространство

Нч(Х, ©)

конеч­

номерно.

Теоремы

23.1.1

и 23.1.2

обобщают

результаты,

полученные

для

частного случая

© =

Q(№) в теореме

15.4.2. Доказательство

зий (многообразий Штейна). Из теоремы

В ( С е р р [1]и

К а р т а н

[3], сообщение

XIX) вытекает, что если © — когерентный

аналити­

ческий пучок

над голоморфно полным

многообразием

X, то

многообразие,

то существует конечное покрытие Vi =

{U{}l^I

про­

странства X,

такое, что все пересечения

£ / ^ Г |

Л U{

голо­

морфно полны. Например, это будет автоматически

выполняться,

если в качестве U{ взять единичные шары

по отношению

к неко­

последовательности Лере

(см. Г о д е м а н [1], гл. I I ,

5.2.3) следует,

что

Нч(Х,©)

= № ( U , @ )

для q^O.

Это

один

из

основных

мо­

ментов в доказательстве

Картана — Серра.

23.2. Пусть

/: X—• У — голоморфное

отображение

комплексных

многообразий

и © — аналитический

пучок над X; q-й

прямой

об­

раз

пучка

© — это аналитический

пучок

f4<&

над У, определяемый

с помощью

следующего

предпучка. Для открытого

подмножества

U из У рассмотрим группу

когомологий

№ ( / - ' ( ^ ) > ® )

как модуль

над кольцом голоморфных

функций

на / _ 1 (U). Голоморфную функ­

цию

g:

U —> С можно

поднять

до

голоморфной

функции

gf:

f-l(U)-*C

и тем самым

Hi{\-l(U),<&)

можно рассматривать

как

модуль над кольцом голоморфных функций на U. Эти модули

определяют предпучок, ассоциированный с которым

пучок и

есть

/'©.

По определению /'©

будет аналитическим пучком на У.

Рассмотрим точную последовательность аналитических пучков

над X

0 - * 6 ' - > © - > © " _ > о .

По теореме 2.8.2 открытое подмножество

f~l(U)

паракомпактно

для

любого

открытого подмножества

U из У. Поэтому

по теореме

2.10.1 имеет место точная

последовательность

о^н°(гЧи),

&)-±H°(rl(U),

z)-+H°(rl(u),

©")-*

-*Hl(f-l(U),

©')-* ... -*Hq(f-l(U),

©')->яЧГ'(^> <з)-

->H"(rl(U),

&')-+Hq+i{f-l(U),

в ' ) - * . . .

и, следовательно, точная последовательность аналитических

пуч­

ков над У

0 _> f0 ©' _> # 2

/°©" -> f'©' -> . . .

. . .

-> f.<©' -> /.<© -

- f: + і © '

- * . . .

u

Т е о р е м а

23.2.1.

Пусть

f:

X-+Y—

голоморфное

отображение

комплексных

многообразий

и

© — аналитический

пучок

над X.

Предположим,

что fjZ

= 0

для всех

і > 0.

Тогда векторные

про­

странства Hq(Y,

fjZ)

и

Hq

(X, ©) изоморфны

для

всех

q ^

0.

тальных

работах Л е р е

[1, 2]. Точная последовательность

(1) и

теорема

23.2.1

являются

переформулировками результатов

Лере

о непрерывных

отображениях.

Теорема 23.2.1 следует немедленно из спектральной

последова­

тельности

Лере

(см. К а р т а н

[2]

и Г о д е м а н [1], гл.

I I , 4.17.1).

Прямое

доказательство можно найти у

Г р а у э р т а

и Р е м -

м е р т а

([1], стр. 417).

Доказательство

теоремы Римана — Роха, приведенное в

21.1,

опирается

на

один

результат

А.

Бореля

(теорему 21.2.1).

Как

казательство

теоремы Римана — Роха,

достаточно

доказать

равен­

ство 21.2(9). Мы докажем сначала лемму.

Л е м м а

23.2.2. Пусть

X — комплексно-аналитическое

расслое­

ние

над комплексным

многообразием

Y со

слоем Р П ( С ) и

с

проек­

цией

f. Пусть W — комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

над

Y. Тогда

существует

естественный

изоморфизм

между

анали­

тическими пучками

Q(W)

и f°Q (f*W). Аналитические

пучки

f^Q if*W)

равны нулю

при і >

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть U — открытое подмножество в У.

морфное сечение sf расслоения f*W над

f-xU. Так

как

каждый

слой Р П ( С )

компактен и связен, этим определяется

изоморфизм

НЦи,&(№))-»НЦ}-Ци),а(}*1)У)).

Это доказывает первую часть леммы. Вторая часть чисто ло­

кальна, поэтому можно предполагать, что

U — голоморфно

полное

открытое подмножество,

над

которым W и X тривиальны. Мы

хо­

тим доказать, что W(/-'((7),

Q(f*W))—0

для

і >

0.

Так

как

f*W\f~l(U)

есть

сумма

тривиальных

одномерных

расслоений,

то

достаточно

доказать, что

Я * ( / - 1

(<У), 1) =

0

для

і

>

0.

Теперь

Я ' ( 1 / , 1 ) = 0

для

г > 0

(23.1)

и

Я 8 ( Р П

( С ) ,

1 ) = 0

для

s

> 0

мула Кюннета (см. К а у п [1], § 7,

теорема

1)

для

аналитических

пучков, что

дает

Hlij-l{U),

l) =

Hl(UXPn(C),

l)

=

=

2

нГ{и,

І ) ® Я * ( Р „ ( С ) ,

i)

=

o

для

;>o.

r+s=i

З а м е ч а н и е .

Формула

Кюннета

для

пучков

получена

Гро-

тендиком

(см. Б о т т

[1] и

Б о р е л ь

и С е р р

[2]). Доказатель­

дробности

см. у

К а у п а [1].

Лемма

23.2.2

и теорема 23.2.1 для <$ = Q(f*W) дают следую­

щую теорему.

%(Х,&І)

определено (см. 2.10). Целое число

%(Х,

Ь)=%па(Х,

©,)

і

зависит только от элемента Ь.

Пусть

/: X—*У — собственное

голоморфное

отображение

ком­

плексных

многообразий. Если

6 е С ( Х ) ,

то

по

теоремам

23.2.4 и

23.2.5 /?©«=С(У) для

q^O

и

fq& =

0

для

q > dim

X.

Рас­

смотрим гомоморфизм fu F(X)—*F(Y),

определенный на образую­

щих группы F(X) равенством

М©) = £ ( - 1

, f.'(®),

п-dimX.

<7=0

=

(3)

Рассмотрим частный случай, когда

Y состоит

из

одной

точки,

a f — постоянное отображение. В этом случае f

собственно

тогда

и только тогда, когда X компактно.

Когерентный

аналитический

пучок над Y представляет собой конечномерное комплексное век­

торное пространство и, следовательно,

Ka,(Y) = Z. Таким образом,

=

Ь)..

(4)

' f,: H'(X,Z)->H'(Y,

Z),

(Bf). = gJ..

(5)

слоений над X

и F'{X) — свободная

абелева

группа,

порожденная

С'(Х).

Точно так

же,

как

и

23.3, мы можем

определить

группу

Гротендика

/Си (X)

комплексно-аналитических

векторных

расслое­

ний над X. Имеется естественный гомоморфизм

h:

К(а(Х)-+К«,{Х),

задаваемый

равенством

h(W)=

Q(X).

Т е о р е м а

23.4.1.

Пусть

X — алгебраическое

многообразие.

Тогда

h — изоморфизм.

Основным моментом в доказательстве теоремы 23.4.1 служит

следующая лемма.

Л е м м а

23.4.2.

Пусть

© — когерентный

аналитический

пучок

над n-мерным

алгебраическим

многообразием

X. Тогда

существуют

комплексно-аналитические

векторные

расслоения

Wo, W\,

..., Wn

над X и точная

последовательность

0->Q(lTl t )->Q(Wr l ,_1 )-> . . . - - > Q ( ^ o ) - > © - > 0

(7)

п

После этого

надо показать, что элемент

2(—1)' Wt

из

Ка>(Х),

г=0

определяемый

точной последовательностью

(7), зависит

только

от

©. Доказательство этого факта для того случая, когда

© — коге­

рентный

алгебраический

пучок над X, приведено

у Б о р е л я

и

С е р р а

[2]. Указанное

выше утверждение

следует

тогда

из соот­