Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

14.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2820 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

теорему

4.4.3

или

формулу

10.1

(4),

X (V,

W ® W)

[ е с '/ V і +

. . .

Л ) (є"6 ' + . . . + . е-*'г)\

= щ [ ( 1 + ^ / 2 ) ( г + < / , ) ( / • ' - # ) ] ,

что и требовалось

доказать.

Приступим теперь к доказательству теоремы

PP.

Мы должны

показать,

что

%(V, W)=

T(V, W).

Пусть g— ассо

циированное с W комплексно-аналитическое GL(q,

С)-расслоение

над

V. Рассмотрим

ассоциированное

с £ расслоение

Е с многооб

разием

флагов

F(q) = GL(q,

C)/A(q,

С)

в качестве

слоя, и

обо

значим через ф проекцию Е на V. По теореме 14.3.1

T(V,

W) = T(E,

y'W).

(2)

По одной теореме А. Бореля, которую мы приведем в следую-

щем

пункте,

X(V,W)

x(E,tfW)x(F(q)).

Так

как

арифметический

род

для

F(q)

равен

(см. 15[10]), то

X(V,

W) = x{E,

Ф * П

(3)

Расслоение ty*W комплексно-аналитически допускает треугольную группу A(q, С) в качестве структурной группы. Тем самым над Е определены q диагональных одномерных комплексно-аналитиче ских расслоений А\ Л , и по формуле 12.15 и теореме 16.1.2

Т(Е, Ф * Ю = І П £ ,		At)	и х(Е,	Ф^)-2х(£ ,	А,).	(4)
Так как Е по теореме 18.3.1* является				алгебраическим	многооб
разием, то по теореме 20.3.а
Х(Е,	At) =	T(E,	At),			(5)
Из (2) — (5) следует,	что	х(^> Ю = T(V, W), что и требовалось
доказать.

21.2. А. Борель доказал следующую теорему, которая была использована при доказательстве основной теоремы 21.1.1 и ко торая ранее не была опубликована.

Т е о р е м а

21.2.1.

Пусть

Е — комплексно-аналитическое

рас

слоение

над

компактным

комплексным

многообразием

ком

пактным

связным

кэлеровым

многообразием

F в

качестве

слоя и

со

связной

структурной

группой.

Тогда

автоматически

будет

компактным

комплексным

многообразием.

Пусть

ф — проекция

на

V. Пусть

над

задано

комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

Тогда

%y{E,4W)

xy{V,W)xu{F).

(6)

В частности, при

г/ —О

X(Е, qW)

= %(V, W)%(F),

%(Е)=%(V)%(F).

(7)

С л е д с т в и е .

Если

Е, V и F — кэлеровы

многообразия,

то для

индекса

имеем

x(E)=x(V)x(F).

(8)

По

теореме 15.8.2 следствие

есть

просто

частный случай,

когда

У — \,

тривиально.

Доказательство теоремы

21.2.1, принадле

жащее

А. Борелю,

использует

спектральную

последовательность

для (Э-когомологий комплексно-аналитического

расслоения.

Оно

приведено в приложении 2.

З а м е ч а н и я .

В случае

когда

F есть

многообразие флагов,

приведенная

выше

формула

(6) соответствует

формулам

(10),

(10*)

из 14.3

и 14.4.

работе

Ч ж е н ь ,

Х и р ц е б р у х

и С е р р

[1] показано,

что

формула

(8)

справедлива в случае,

когда

Е,

F — компактные

связные ориентированные многообразия, если только ориентация Е


индуцирована		ориентациям		V и F и если фундаментальная						группа
niV действует тривиально на когомологиях							слоя	H*(F).
2)	Теорема	20.2.1 является			частным	случаем		теоремы		21.2.1.
В теореме 20.2.1 мы доказали в точности ту часть теоремы										21.2.1,
которая нам была			нужна.
3)	Для доказательства			теоремы Р Р в предыдущем					пункте нам
достаточно знать			формулу	(7)	только	для	того	случая, когда F
есть	многообразие		флагов.	По	индукции		(см.	18.3)	достаточно
поэтому доказать			уравнение (7)		для случая, когда F есть					комп

лексное проективное пространство. В этом случае %(F)= 1, и можно показать, что

d\mHl{V,	W) = dim Н1(Е,	ф*Г),	(9)
что влечет за собой уравнение %(V,W) =		i(E,q*W).
Прямое доказательство	формулы (9)	дано в приложении	1
(23.2(2)).

21.3.Теорема Р Р позволяет полностью идентифицировать %- и Г-теории. Имеем

%(V, Г ® Я Р Г ) = Г(К, W®%PT)

и, следовательно,

XP(V, W) = Tp(V, IP).

Так как %р и Тр являются коэффициентами многочленов %у и Ту, то

%y(V, W) = Ty{V, W).

Заметим, что %P(V, W) зависит только от непрерывного вектор ного расслоения W. В случае когда W.— одномерное расслоение,

7 Ф. Хирцебрух

этот	факт можно доказать	непосредственно	[ К о д а и р а и	С п е н
с е р	[4]). Приведем явную	формулу для %P(V) (в случае		W — I)
(см.	12.2(9)):
	%P{V) =	^{-\)qhp-q{V)=*
	9=0	" ( v ' i + - + % ) її
		" ( v ' i + - + % ) її	— e-У і	(10)
				(10)

Последняя сумма распространена на все комбинации знаков, в ко торых минус встречается в точности р раз.

Из 19.4 следует, что %у и Ту совпадают также и в виртуальном случае, так что мы приходим к следующей теореме.

Т е о р е м а 21.3.1.			Пусть	V — алгебраическое			многообразие,
Fj,	Fr — комплексно-аналитические				одномерные		расслоения
над	V,	W — комплексно-аналитическое			векторное		расслоение
над	W.	Тогда
		Xy(Flt	Fr\, W)v	= Ty(Fu	Fr\, W)v.		(11)
З а м е ч а н и е . Полагая в предыдущей формуле						г = 0 (см. 19.3)
и у = 0,		получим в	точности	теорему	PP. Таким	образом, фор
мула	(11) является		наиболее общим результатом			этой главы. Од

нако эта формула не является существенным обобщением тео ремы PP. Центральным результатом является теорема PP.

	БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Теперь имеются по крайней мере четыре других доказательства				теоремы Ри
мана— Роха. А т ь я и З и н г е р [1] доказали, что равенство %(V, W) = T(V, W)
имеет место для комплексно-аналитического векторного расслоения				W над про
извольным	компактным комплексным	многообразием	V. Их метод	основан ча
стично на	доказательстве теоремы об	индексе 8.2.2	гл. 2. и описан	в § 25. Из

рассуждений п. 21.3 легко следует тогда, что %-теория и Г-теория совпадают на любом компактном комплексном многообразии, т. е. теорема 21.3.1 справедлива

для	компактного комплексного многообразия	V. В	частности, %\(V) —	=
=	т(У), так что теорема Ходжа об индексе	15.8.2	справедлива, если	V — ком
пактное комплексное многообразие.

Прямое доказательство того, что %(V) = T(V), не использующее теоремы об индексе, принадлежит Уошницеру. Доказательство проводится для того слу чая, когда V — алгебраическое многообразие или даже неособое алгебраическое многообразие, определенное над алгебраически замкнутым полем К.

Из	результатов	Чжоу	и Серра	следует, что х(^ ) и	T(V) могут		быть опре
делены	и- в этом	случае	(см. С е р р [2, 4], Б о р е л ь — С е р р			12],	Г р о т е н-
д и к [4]). Опубликованный			вариант	( У о ш н и ц е р [2])	содержит	аксиоматиче-

ское

описание арифметического рода

x W .

но> к сожалению, не

содержит

дока

зательства

того, что T(V)

удовлетворяет этим аксиомам.

Теорема

Гротендика — Римана — Роха

описана

в § 23.

Она относится

к соб

ственным

отображениям

V -»• X алгебраических

многообразий

(см. Б о р е л ь

и С е р р

[2]). Если X—точка,

то

эта

теорема

превращается

теорему

Ри

мана — Роха

для алгебраического

векторного расслоения W над неособым

проек

тивным многообразием V, определенным над алгебраически замкнутым полем К.

Если

К =

С, то из

результатов

С е р р

[4] о сравнении

аналитических и

алге

браических

пучков

следует

теорема

Римана — Роха

для

комплексно-аналитиче

ских векторных расслоений

W над алгебраическим многообразием

Другое

доказательство

теоремы

Гротендика — Римана — Роха

для

случая

К =

С дано

в А т ь я и Х и р ц е б р у х

[8]. В случае

когда

f: V->X

— вложение,

доказательство проходит для произвольных компактных комплексных многообра зий V, X. Для произвольных f нужно предполагать, что V, X — алгебраические многообразия. Этот подход дает самое короткое из известных доказательств

теоремы Римана — Роха, но, как	и в этой книге, он годится только, когда
V — (комплексное) алгебраическое	многообразие.

Приложение 1

Р.Шварценбергер

§22. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ РИМАНА—РОХА

Мы рассмотрим три типичных приложения теоремы Римана — Роха. В первом из них теорема Римана — Роха используется для вычисления инвариантов полных пересечений в проективном про странстве (22.1). Во втором—для вычисления инвариантов алгеб раических многообразий, возникающих из ограниченных однород ных симметрических областей Э. Картана (22.2—22.3). Третье при ложение относится к изучению комплексных векторных расслоений над проективным пространством (22.4).

22.1. Рассмотрим г неособых гиперповерхностей					F ( " l \	F(ar)
степеней	а.\,	аг	в комплексном	проективном	пространстве
Р„+г(С).	Пересечение		V ^ ' - ' a r ) = F(ar)C\	. . . f] F(ar)	будет	алгеб

раическим многообразием размерности п, если гиперповерхности

находятся	в общем положении. Проблема					состоит в		вычислении
^-характеристики для алгебраического многообразия								V n	U l ° Г К
Оказывается, что		она зависит		только	от целых		чисел	аи	аг,п
и не зависит от специального выбора					гиперповерхностей F ( " l \ ...
F(ar).
Пусть	Я —одномерное		расслоение		над	Р „ + Г ( С ) , ассоциирован
ное с С*-расслоением г\п+г			(см. 4.2). Тогда			Я соответствует			классу
дивизоров	гиперплоскости		P n + r _ i (C)		и имеет		класс	когомологий
Ci (r\n+r) =	h <= Я 2 ( Р П + Г ( С ) , Z). Одномерное					расслоение		II"1	соот
ветствует	классу	дивизоров		гиперповерхности			F ( a ' \		Если

/: у ( а ' а Л - » • Р п + Г (С) — вложение, то мы будем писать Я вме сто j*h и Я вместо /*Я.

Рассмотрим случай г = 1 . По 4.8.1 существует точная после довательность векторных расслоений над F ( a [ )

		O-^-Z(F)-*	j*l (Р)	- * f	Я а '	->	О,
где Z(F) и Z ( Р )		— касательные		расслоения			к F ( a , ) и Р Д + 1 ( С ) .
Следовательно,
с (X (F)) =	f	( с (Z (Р)) • с ( Я а ' ) _ ' ) -			(1 +	hf+2	(1 +. fl.ft)"1.

Теорему 4.8.1 можно применить г раз и получить полный класс

Чженя

для

алгебраического

многообразия

Vf°r

'"'

с (г

(Vn)) =

(1 +

h)n+r+1

(1 +

axh)-1 . . .

(1 +

arh)-\

(1)

Т е о р е м а

22.1.1.

Пусть

— полное

пересечение

гипер

поверхностей

степеней

аи

аГ,

находящихся

общем

положе

нии в P r t + r (C),

и пусть

z —

переменная.

Тогда

%у —

характеристика

одномерного

расслоения

над

— задается

формулой

(1+гу)

(2)

и=0

1=1

гу)

y ( \ - z ) 1

Д о к а з а т е л ь с т в о

( Х и р ц е б р у х

[3],

2.1).

По

теореме

Римана —Роха 21.3.1

%y(Vn, Hk)

Ty(Vn,

Hk).

Пусть

R(x)

[(l—e-xiv+i))-l{y+l)

— y ] ~ \

Тогда

из

(1)

сле

дует, что

Ty(Vn,

Hk)=%n

e(^kR(hR(h)-r+r+i

M-lR{atH)\

(=i

М+у)

khrn+l

n r

-'J\a7'R{aih)

h 'R(h)- -

Член степени п является кратным hn

hll[Vn]

= ala2

Поэтому Ty(Vn,

Hk)

совпадает

с коэффициентом при х~1

M+y)kx

R(xy

-n—r—\ t[R(aiX).

Этот коэффициент можно сосчитать как

вычет при

х — 0.

Под

становка z = R (х) дает

е«+У)х =

±+li_

( i + z y

) ( i - z

)

dx,

р(

\ —

0+zy)a-(i

- z ) a

Н^аХ)—

{ l +

y ) a

у (

_ г)а •

Следовательно, Ty(Vn, Hk) является вычетом для

у—П—Г—\0+zyf		п
	(1 - z ) k + i	п
	(1 - z ) k + i	Ц
при z = 0, как и	требовалось.
С л е д с т в и е .	Если у =	0, то
оо

(I + zyfi + (I - zf

2 % (Vn, Hk) zn+' = (1 - г)"* - ' П (1 ~ (1 -

zp).

n=0

<=-1


Аналогично, случаи	у ——\,	у = + 1 дают уравнения для эй
леровой характеристики	и для индекса многообразия				V ^ 1 ° т \
З а м е ч а н и е . Теорема 2 2 . 1 . 1 может быть				доказана		непосред
ственно, исходя из четырехчленной формулы				1 6 . 3 ( 1 0 ) , и это дока
зательство было получено раньше доказательства					теоремы Ри
мана— Роха. Легко показать,		что теорема	имеет место			также и
при г — 0. Следствие дает в		случаях г =	0 и г =		1 хорошо из

вестные формулы для %(Рп(С),

Нк) и %{Vn\ Hk),

которые,

напри

мер,

были

использованы

Х и р ц е б р у х а

К о д а и р ы

[1] и

у Б р и с к о р

н а [1].

Теорему 2 2 . 1 . 1 можно использовать

для вычисления чисел

АР>9

для

(см. 1 5 . 4 ) . Это возможно

в силу

следующей теоремы.

Т е о р е м а

2 2 . 1 . 2 .

Пусть

= V^1"J—полное

пересече

ние.

Тогда

hp' q

(V„) = бр , „

для

р + q Ф п

%P(Vn)

= (-l)n~Php-n-p(Vn)

+ (-l)P

для

2рФп,

уГ(Уп)

= {-\)тпт-т(Уп)

для

2т = п.

Доказательство можно

найти

у Х и р ц е б р у х а

[3], § 2 . 2 . Оно

проводится индукцией с использованием теоремы

Лефшеца

о ги

перплоских

сечениях ( Б о т т

[4]).

22.2. Пусть М — ограниченная

область

в С„, снабженная

эрми

товой

метрикой

Бергмана

( К о д а и р а

[6], стр. 4 2 ) . Эта

метрика

является кэлеровой, и она инвариантна

относительно

комплексно-

аналитических

гомеоморфизмов

многообразия

М.

Пусть

I(М) —

группа всех таких гомеоморфизмов, и пусть

У =

М / Д — фактор-

пространство

относительно

действия

подгруппы

А группы

1(М).

Каноническое

отображение

р: М — > У

является

накрытием

ком

пактного комплексного

многообразия

У, если

(a)

А действует дискретно,

т. е. любое

компактное

подмноже

ство

из М

пересекается

лишь

конечным

числом

своих

образов

относительно

А;

(b)

М/Д компактно;

(c)

А действует свободно,

т. е. только

тождественный

элемент

из А имеет неподвижные

точки.

[6],

стр. 4 1 ) , что

Из

свойств

(а) — (с)

вытекает

(см. К о д а и р а

каноническое одномерное расслоение К над

У является

положи

тельным (см. 1 8 . 1 ) . Следовательно, из теоремы

1 8 . 1 . 2

следует, что

У является

алгебраическим

многообразием.

Голоморфная функция / на М называется автоморфной

формой

относительно

А веса г, если для всех ш М , у є А

f(yX)

Jyr(x)f(x),

где Jy(x) — якобиан преобразования у в точке х. Комплексное век торное пространство всех автоморфных форм относительно А

веса г изоморфно Я 0 ( У , /Су). Размерность этого векторного про странства, т. е. число линейно независимых автоморфных форм от

носительно А веса г, обозначается через Yir(M, А). Так как

Кг

положительно,

то

теоремы

18.2.1 и 18.2.2 показывают,

что

группы

когомологий для

У с коэффициентами

пучке

ростков

голоморф

ных сечений расслоения Ку равны

нулю

во всех

размерностях

=т^0,

если

равны

нулю

во всех

размерностях

фп,

если

— 1 . Следовательно

(см. 20.5(13)),

11ДМ, Д )

для

г < - 1 ,

П 0 (М,

Д )

П , ( М, Д) = £„,

( 6 )

1\(М,

Д )

% ( У , KY)

ДЛЯ

Г > 2 .

Здесь gn

— число

линейно

независимых

голоморфных

форм

сте

пени п на

У =

М/А.

однородна,

Предположим

теперь, что

ограниченная

область

т. е. что'М допускает транзитивную группу

комплексно-аналитиче

ских гомеоморфизмов. Классы Чженя cf

для

У можно предста

вить

дифференциальными

формами,

так

что

любое

разбиение

я =

(/і, . . . , / р ) числа

определяет

дифференциальную

форму

Р(л)

степени

2п

типа

(п,п),

которая

представляет

класс кого

мологий Cj{ . . . с/

. Так

как

однородно,

то

р*Р(л)

= s(n)

• V,

где

s(jt) — вещественное число,

зависящее только от М и

от

разбие

ния

л, а

V — инвариантный

элемент

объема на

по

отношению

к метрике Бергмана

( Х и р ц е б р у х [5], §

2).

Т е о р е м а

22.2.1.

Пусть

Аі,

Аг — две

подгруппы

группы

1{М),

удовлетворяющие

условиям

(а) — (с),

о,- — объем

У,-

M/At

по от

ношению

к метрике

Бергмана

на ограниченной

однородной

обла

сти М, и пусть

с =

Vi/v2.

Тогда

%У (Yd =

с%у

( У 2 ) ,

П г

(Л*, А,) =

cTL (М,

А2)

для

г >

Д о к а з а т е л'ь с т в о. Пусть

Si (л)

— числа Чженя с/

...с,

\Y Л

для

У Г , соответствующие разбиению

п. Тогда

(я) =

s (п) и* и

s i

(п)

—

cs2(л)

Для

всех

я =

0*1» •••» /'/>)•

Следовательно, это же выполняется и для любой линейной ком бинации чисел Чженя. В частности, формулы (3) и теорема Ри

мана — Роха показывают,	что указанная пропорциональность имеет
место для %y(Yi) и для П	Г (Л1, Д Г ) , г ^ 2.

Предположим, теперь, что ограниченная однородная область М

еще и	симметрична,	т. е. что для любой точки	х є М	существует
комплексно-аналитический гомеоморфизм ох:			М-+М,	который
имеет	х в качестве	изолированной неподвижной	точки	и является

инволюцией (ох = 1). Следующий частный случай одной теоремы Бореля показывает, что при этом предположении всегда суще ствуют алгебраические многообразия вида М/А.

Т е о р е м а

22.2.2

( Б о р е л ь

[4]).

Пусть

М — ограниченная

од

нородная

симметрическая

область,

пусть I (М) —группа

комп

лексно-аналитических

гомеоморфизмов

для

М.

Тогда

1(М)

содержит

подгруппу

А,

удовлетворяющую

условиям

( а ) . - ( с ) .

II)

Если

является

подгруппой

группы

1(М),

удовлетворяю

щей

условиям

(а)

(Ь), то А

содержит

нормальную

подгруппу

конечного

индекса,

удовлетворяющую

условиям

(а) — (с).

З а м е ч а н и е .

рассматриваемом

случае

(а)

выполняется

тогда

только

тогда,

когда

Д — дискретная

подгруппа

группы

1{М),

а условие

(Ь)

эквивалентно компактности

1(М)/А ( Б о р е л ь

[4],

стр.

112).

22.3. Пусть

М — ограниченная

однородная симметрическая об

ласть в С„. Тогда М разлагается

в произведение M = N\ X • • • X Ns

неприводимых

ограниченных

однородных

симметрических

обла

стей Nh- Каждая из

областей Nk является факторпространством

N=G/H

некоторой

простой некомпактной группы Ли G с триви

альным

центром

по

максимальной компактной

связной подгруппе

Я, центр которой имеет вещественную размерность единица. Мож но сопоставить G некоторую компактную группу Ли G', которая также содержит Я. Факторпространство N' — G'/H является ком пактным неприводимым однородным эрмитовым симметрическим многообразием, которое содержит открытое подмножество, комп

лексно-аналитически гомеоморфное				N ( Б о р е л ь		[1]). Полное			опи
сание этой конструкции можно найти у Х е л г а с о н а							([1], стр. 321).
У Б о р е л я		и Х и р ц е б р у х а		([1], часть	1,	стр. 520)			пока
зано, что каноническое одномерное расслоение						для	N'	отрица
тельно в смысле Кодаиры (и,			следовательно,		N'	является		алгеб
раическим	многообразием).
Пусть	е є	N cz N' — точка,	соответствующая			единичному			эле
менту групп G, G'. По формуле Э. Картана тензор кривизны									в е,

ассоциированный с инвариантной метрикой на N', является отри цательным кратным тензора кривизны в е, ассоциированного с ин

вариантной	метрикой	на N	(см. X и р ц	е б р у х [5]).
Пусть	M' = N[X	как	XN'S и е =	(е1 . . . е в ) є	Af.	Тогда М
можно рассматривать		как	открытое подмножество		в	М', и инва

риантные дифференциальные формы, представляющие заданное число Чженя для М и М', отличаются в точке е на некоторый положительный множитель со знаком (—1)™. Это является след ствием приведенного выше свойства тензоров кривизны. Как и в теореме 22.2.1, применение теоремы Римана — Роха дает:


Т е о р е м а			22.3.1.	Пусть		М — ограниченная			однородная		сим
метрическая			область	в Сп,	и пусть		1(М) — группа		комплексно-ана
литических		гомеоморфизмов				для М. Пусть		Y =	М/А —	факторпро-
странство		по	подгруппе		AczI(M),		удовлетворяющей			условиям
(а) — (с)	п. 22.2, и пусть				М' — компактное			симметрическое			много
образие,	соответствующее				М. Тогда		существует		вещественное		чис
ло с, такое, что
%y(Y) = c%y(M%				Ur	(М,	А) = с% (ЛГ,		Км'У)	для	г > 2 .
Если п четно, то с >				0. Если		п нечетно, то с < 0.

В действительности многообразия М' полностью расклассифи цированы (см. Х е л г а с о н [1], стр. 354). Пусть M'—N'iX.• • • ХА^. Тогда каждое Л7' является одним из многообразий следующего списка:

I)U (р + q)/V (р) X U (q),

II)SO(2p)/U(p),

III)Sp(p)/U(p),

IV) SO (p + 2)/SO (p) X SO (2), p ^ 2 ,

V)E6 /Spin(10)XT1 ,

VI)	E7/E6XTl.
Тот факт, что каждое из этих N' приводит к ограниченной од
нородной	симметрической области, был доказан Э. Картаном

с помощью явной конструкции в каждом отдельном случае. Пер


вое	общее	доказательство	принадлежит Х а р и ш - Ч а н д р е		([1],
стр.	591)	(см. Х е л г а с о н	[1], стр. 312). Числа Бетти br(N')		для
N' могут быть подсчитаны с помощью формулы Хирша, и можно
показать,		что числа /г?-«(Л7 '), определенные в 15.4, равны			нулю
для	p¥=q	(см. 15.10, Б о р е л ь [2] и		Б о р е л ь и Х и р ц е б р у х [1], .
§ 14). Отсюда следует, что %(N')=				1 (на самом деле W — даже

рациональное алгебраическое многообразие). Таким образом, мы

видим,	что константа с в теореме 22.3.1 совпадает						с %(Y).	Отсюда
видно	также, что		индекс т =	r(N') =		2(—l)^&2j(^0 равен			нулю,
кроме следующих			случаев:
I)	если р — 2s и q = 2t, или				если	р = 2s _-f-1,	q — 2t,	или	если
р = 2t, q =		2s +	1; тогда т =	^	' '.
IV)	если	р — 4s; тогда т =			2;				(5)

V)т = 3.


	Пусть А —подгруппа			группы 1(М),		удовлетворяющая		условиям
(а) — (с)		п. 22.2. Такая		подгруппа	существует		по теореме		22.2.2.
По	этой	же	теореме существует		нормальная		подгруппа	Г	груп
пы	Д сколь		угодно большого индекса			р, которая будет		свободно

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2820 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ