книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

рассматривать как третье определение арифметического рода

(под­

робности см., например,

у С е в е р и

[1]). Соотношение

(1)

легко

устанавливается

при помощи

теории

пучков

( К о д а и р а

и

С п е н ­

с е р

[1]), и, следовательно,

первые три

определения

арифметиче­

ского рода эквивалентны.

gt

Вид

знакопеременной

суммы

в (1)

несколько

неудобен,

и

мы

слегка видоизменим

классическое определение. Мы будем на­

зывать

арифметическим

родом

алгебраического многообразия

Vn

число

%(Vn)=Il(-l)igi-

(2)

»=о

Целое число go в (2) равно числу линейно независимых

голоморф­

ных

функций на

Vn

и потому

совпадает

с числом

связных

компо­

нент многообразия Vn- Принято называть gn

геометрическим

родом

для

Vn,

a g\ — иррегулярностью

для

Vn.

В случае п =

1 связная

алгебраическая кривая V\ представляет собой компактную ри-

манову

поверхность,

гомеоморфную

сфере

с р ручками. В

этом

случае

gn = gi — р

и арифметический

род для

V\

равен

1—р.

Арифметический

род и геометрический род ведут

себя мультипли­

кативно:

Род

прямого

произведения

V y^W

двух

алгебраических

много­

образий

равен произведению

рода

V на род

W.

0.2. Четвертое определение

арифметического рода принадлежит

Т о д д у [1]. Он показал в 1937 г., что арифметический

род можно

выразить через канонические

классы Эгера'—Тодда

( Т о д д [3]).

воря, оно

не совпадает с гомологичностью. Например,

Ki{ = K)

является

классом канонических дивизоров на Vn.

(Дивизор на­

зывается

каноническим, если он является дивизором

мероморфной

«-формы.)

Рассматриваемое отношение эквивалентности

при t = l

дающий

с точностью

до

знака

с

классом

Чженя

ct

многообра­

зия Vn. Это совпадение

классов

Эгера — Тодда

и классов

Чженя

было

доказано

Н а к а н о

[2] (см. также

Ч ж е н ь

[2], Х о д ж

[3]

и А т ь я [3]).

З а м е ч а н и е . Знак

2і-мерного

класса

когомологий,

опреде­

ленного классом Ки зависит от ориентации

многообразия Vn. Мы

всегда будем использовать

естественную

ориентацию

в

Уп.

Если

zu

z2,

zn—

локальные

координаты

с

zh =

xh

+

iyh,

™

эта

ориентация задается упорядочением Х\, у\,

хп, уп, или,

дру­

гими

словами,

положительным

элементом

объема

dxxAdy\A

...

...

A

dxn

A dyn.

В этом

случае

Кг

определяет класс

когомологий

( - 1 ) ^ .

В

этой книге

мы

будем

пользоваться

только

классами

Чженя,

и

потому

то, что они совпадают с

классами Эгера — Тодда,

нам

не понадобится. Определение рода

Тодда

T(V„)

будет

дано

в тер­

казательство того, что %{Vn)=

Т(Уп).

0.3. Естественная ориентация многообразия Уп определяет эле­

мент из 2и-мерной группы

целочисленных гомологии H2n(Vn, Z),

Определение

Т(Уп)

дается

с

помощью

некоторого

многочлена

Тп

веса п от классов

Чженя

с,- многообразия

Уп,

произведения

рассматриваются

в

кольце

когомологий

многообразия

Уп.

Этот

многочлен определен

алгебраически

в § 1; он представляет

собой

2«-мерный рациональный класс

когомологий,

значение

которого

на фундаментальном цикле по определению совпадает с

T(Vn).

Для

малых п имеем

(п. 1.7)

T(V*)

= T c i [ 4

4 ^ )

=

tV(c? + ^ 2 ] ,

T ( V 3

) = ^ C ] C 2

[ V 3 ] . (3)

Из

определения

следует, что Т(Уп)

— рациональное

число. Из ра­

венства %(Vn) =

Т(Уп)

вытекает

нетривиальный

факт,

что

Т(Уп)

есть целое число и что Т(Уп)—бирациональный

инвариант. По­

следовательность

многочленов

{Тп}

должна

быть

выбрана

так,

вательность

{Тп} нужно, далее,

выбрать так, чтобы Т(Уп)

совпа­

дало с %(Уп)

всюду, где только

возможно. В частности,

если че­

странство, то должно быть Т(Рп(С))~

1 для всех

п. Это условие

используется в § 1, где показывается,

что оно

однозначно

опре­

деляет мультипликативную последовательность

{Тп}

(лемма

1.7.1),

При

фиксированном

п многочлен

Тп

однозначно

определяется

следующим свойством:

Tn[Vn]=\,

если

У = Р / 1 ( С ) Х • • • Х Р / / С ) —

прямое

произведение

комплексных

проективных пространств с

j l _)__,,_)_

j r = п.

Следовательно,

Т„

является

единственным

мно­

гочленом, который принимает

значение

1 на

рациональных

много­

образиях

размерности

п.

0.4.

Дивизоры

на

алгебраическом

многообразии

Vn

распа­

торные

расслоения

(со слоем С и структурной группой

С*)

над

Vn (см.

0.9). В этом введении мы будем отождествлять

изоморф­

ные расслоения. Тогда одномерные расслоения образуют

абелеву

группу

относительно

тензорного умножения ®. Единичным

эле­

слоение

X ® С. Обратное к

F расслоение будет

обозначаться че­

рез Z7 - 1 .

Группа одномерных векторных расслоений изоморфна

группе

классов

дивизоров. Всякий

дивизор определяет

одномерное

рас­

некоторым

дивизором

( К а д а и р а

и С п е н с е р

[2]).

Обозначим

через H°(Vn,D)

комплексное векторное

пространство

всех

меро-

морфных

функций

f на

Vn,

таких,

что D

+ (f)

является

дивизором

без полюсов. Это — пространство

Римана—

Роха

для

D; оно

ко­

нечномерно.

Размерность

dim #°(V„, D)

зависит

только

от

класса

дивизоров, в котором лежит D. В нахождении

dim #°(V„, D)

по

данному

дивизору

и состоит проблема Римана —Роха. Если

F —

одномерное расслоение, соответствующее D, то H°(Vn,D)

изо­

морфно

H°(Vn,F),

комплексному

векторному

пространству

голо­

морфных

сечений расслоения F.

0.5. Как уже было сказано, одна из целей этой книги —дока­

зать равенство

%(Vn) =

T(Vn).

(4)

Число Чженя cn[Vn]

совпадает

с

эйлеровой характеристикой

для

V„. Поэтому равенство (4) дает для связной алгебраической кри­

вой V], гомеоморфной

сфере с р

ручками,

X (V,) ~

Т (V,) = 1

с, [J/J =

1

(2 -

2р),

(4l)

dim Н° (Vu

D) -

dim Н° {Vu

K-D)

= d + l - p ,

(4?)

где

d — степень

дивизора

D

и

К — канонический дивизор

на

V\.

Так

как

dim Я°( Vu

К) = gu

то

при

подстановке

£> =

0

(41)

пере­

ходит в (4i). Мы покажем,

что

и для

алгебраических

многообра­

зий

произвольной

размерности

равенство

(4)

допускает обобще­

ние, совпадающее с (4Ї) в

случае

п =

1.

Это

обобщение

будет

дано в терминах векторных расслоений, а не дивизоров.

Пусть

F — одномерное

комплексно-аналитическое

расслоение,

и пусть

Н1(Уп,

F) — г-мерная группа

когомологий

многообразия

Vn

с коэффициентами

в пучке ростков голоморфных сечений для F.

В случае

F =

1—это пучок

ростков

голоморфных функций. Груп­

пы

когомологий

Я*(У„, F)

являются

комплексными

векторными

пространствами,

которые в силу

результатов К а р т а н а

й С е р р а

[1]

(см. также

К а р т а

н [4])

и

К о д а и р ы

[3] конечномерны. Век­

торное пространство H°(Vn,F)

есть не что иное, как

пространство

Римана — Роха

для

F, введенное

в

0.4. Из

теоремы

Д о л ь б о

[1]

следует,

что

dim #*(V„, 1) =

gi.

Целые

числа

dim Hl{

Vn,

F)

за­

висят только от класса изоморфизма расслоения F и равны нулю

для і > п. Следовательно,

можно

положить

%(Vn,

F) =

%{~\U\mHl(Vn,

F).

(5)

* (У*

П -

(т V2 + ^)

+ -к (ci + с2))

[v2],

х

F) = ( I /3 + т Р*. + -w f(c' + с 2 ) +

- к \ у * \

Это — обобщение

теоремы

Римана — Роха

на

алгебраические

теореме

двойственности

Серра

(15.4.2)

6imHl(V\,

F) =

= uimH°(VhK®

F-1 ) и

d i m t f 2 ( V 2 , F ) = dim#°(V 2 , K®F-'),

где

К—одномерное

векторное

расслоение,

определенное каноническим

Например, в случае п — 4 имеем

у} (V4) = hu 0 - Л1 -1 + А 1 , 2 - А1 -3 + А1 -4 =

=

4 х ( ^ ) - 1 ^ ( 2

с 4

+

СзС і )[К4 ]-

(8)

п.

Ясно, что

сумма

2

%р (Vn) равна

нулю, если

п

нечетно.

Знако-

п

переменная

сумма

2

( — l)p%p(Vn)

по теоремам

де

Рама и

Ходжа

доказал, что для четного п сумма

2 x P W равна индексу

мно-

гообразия

Vn. По

определению

индекс многообразия Vn

равен

сигнатуре

(числу

положительных собственных значений

минус

рической формы

xy[Vn](x,

у е

Hn(Vn,

R)),

определенной на

n-мер­

ной группе вещественных когомологий многообразия Vn.

Следова­

тельно, индекс

многообразия

Vп

является

многочленом

от

классов

Чженя для Vn- Фактически

этот

многочлен

выражается

через

классы Понтрягина для Vn,

и потому

он определен для

произволь­

ного ориентированного гладкого

многообразия.

0.7. Как мы только что заметили,

из основного результата этой

книги [выражения для x(Vn,

W)

в

виде

многочлена

от

классов

Чженя для

Vn

и

W] следует,

что

индекс

алгебраического

много­

образия Vn является некоторым

многочленом

от

классов

Понтря­

гина для Vn-

На

самом

деле

эта

теорема

была

исходным

пунк­

том нашего

исследования.

Пусть

M4h

— ориентированное

гладкое

многообразие

вещественной

размерности 4k.

В

этой

книге

глад­

образия Mih

определяет

некоторый фундаментальный

цикл. Зна­

чение 4^-мерного класса когомологий b на фундаментальном

цикле

обозначается

через b[M4h]. В

гл. I I с

помощью

теории

кобордиз-

мов Тома доказано, что индекс x(M4h)

представим в виде

много­

члена веса k от классов Понтрягина

для

М4к.

Например,

т{М*)=±Рі[М*\,

х(М*) =

±(7р2-р*)[М*].

(9)

Формула

для х(М4)

была

предложена

(в качестве

гипотезы)

By. Обе формулы для

х(М4)

и х(М8)

доказал

Т о м [2]. Краткое

изложение вывода формулы для %(Vn,

W)

из формулы

для

х(М4к)

можно найти

в Х и р ц е б р у х

[2].

1

ксимациях и

на алгебраической

теории гомотопий, выходят за

рамкй

книги.

В

гл. I I I

формальная теория

рода Тодда и ассоциированных

ческих замечаниях

к гл. I I I и в приложении

1.

В гл. IV теория

целых чисел %(Vn, W)

развивается, насколько

гообразий

(^-теория). Кратко описаны необходимые результаты

из теории

когомологий в

пучках,

принадлежащие

К а р т а

ну,

Д о л ь б о ,

К о д а и р е ,

С е р р у

и С п е н с е р у .

По

ходу

доказа­

тельства нужно сначала предполагать, что Vn

— кэлерово

много­

образие. В

конечном

счете,

если

Vn

— алгебраическое многообра­

зие, мы можем отождествить х-теорию с Г-теорией

(теорема

Ри­

мана— Роха для векторных

расслоений; теорема 21.1.1).

довательностях, расслоениях и характеристических

классах

собран

в гл.

1.

0.9.

Замечания

об обозначениях

и о терминологии. Следующие

обозначения

используются

во всей

книге.

Z — целые

числа;

Q — рациональные

числа; R — вещественные

числа;

С — комплексные

числа;

— векторное

пространство

над

R,

состоящее

из

наборов (хи

...,

хя) вещественных

чисел;

лексных чисел; GL(g\ R) обозначает группу обратимых

^ Х ^ - м а т -

риц {aik) с вещественными

коэффициентами aik, т.

е. группу

автомопгЬм -<мов пространства

R«:

сохраняющих ориентацию);

0{q)

обозначает

подгруппу

ортого­

нальных матриц в GL(<7, R),

a SO(^) = 0{q)

Л GL+(^, R);

анало­

гично GL(<7,C) обозначает группу обратимых

qXq-матриц

с комп­

лексными коэффициентами, a

V(q)—подгруппу

унитарных

матриц

в GL(q, С); через C * = G L ( 1 , C )

мы будем обозначать мультипли­

ности q — 1 (пространство

комплексных прямых, проходящих че­

рез начало координат в Cq).

Вещественную

размерность

мы чаще

всего обозначаем верхним индексом (например M4h,

R«),

а

комп­

лексную

размерность — нижним индексом

(например

Vn,

CQ).

Мы

пошли на одно небольшое отклонение от обычной

терми­

сплошную нумерацию по

всей

книге, за

исключением

приложе­

ния 2. Нумерация формул

своя

в каждом

параграфе.

Параграфы

4.1(5)

обозначает формулу (5) из § 4, находящуюся в 4.1; тео­

рема

4.1.1—это теорема 1 из 4.1.

классы Чженя и Понтрягина. Поскольку результаты

§ 1 впервые

используются

лишь в § 8, читателю

рекомендуется начать

прямо

с § 2 и обратиться .к § 1, только

когда в

этом возникнет

надоб­

ность.

§ 1. Мультипликативные

последовательности

1.1.

Пусть

В— коммутативное

кольцо

с

единичным

элемен­

том 1. Пусть,

далее, р0

= 1, и пусть

р ь рг,

. . . — независимые

пе­

ременные. Кольцо

23 =

В [р\, р2,

...],

получающееся

присоедине­

нием переменных РІ к кольцу В,

является,

очевидно,

не

чем

иным, как кольцом многочленов от р{

с

коэффициентами

из

кольца

В; оно градуировано следующим образом.

Одночлен

рі1ріг

• • • РІГ имеет вес /і + /2 +

. . . + j r .

Далее,

для

щую из всех

многочленов, содержащих лишь

члены веса

k

(при

k = 0 по определению полагаем 33o = j5). Группа ЗЗь есть

модуль

над кольцом В, ранг которого равен числу n{k)

разбиений

числа k.

Ясно, что

оо

(і)

a=2s*

» A < = 3 W

(2)

1.2. Пусть

{Kj} — последовательность

многочленов от

перемен­

ных РІ, для которой Ко = 1 и Kj е 53j

(/ = 0,1,2, . . . ) . Такую по­

следовательность мы будем называть мультипликативной

после­

довательностью

(или m-последовательностью),

если каждое

тож­

дество вида

1 + рхг + p2z2

+ . . . =

= (1 + P\z + P'2z* + . . . ) ( ! + p'{z +

pi* + • • • ) -

(3)