книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

дает

О -> W®

Ах

-> W®W

-> W®

WIAX

-> О,

%(V,

W'®W)

=

x(V,

W'toAJ

+ xiV,

W'QW/Ai).

По

предположению

индукции

X(V, W'QW/AJ^xiV,

W'®A2)+

. . .

+x(V,

W'®Aq),

чем

и завершается доказательство.

16.2. Пусть

W — векторное

расслоение

над

комплексным мно­

гообразием

V

и S — неособый

дивизор в

V

(см.

15.2), который в

подходящем

покрытии

U =

^

многообразия

V задается

го­

ломорфными

функциями

Si, определенными

на

VV Тогда ^ - р а с ­

слоение [S] задается

коциклом {s,-j} =

{Si/Sj}.

С

помощью этого

ко­

ное голоморфное сечение s расслоения {S}, которое равно

0 в точ­

ках из 5 и только там. Пусть

(W®{S})S—

ограничение

вектор­

ного расслоения

W ® {S} на S

и

Q((W

® (5}) s ) — пучок

ростков

голоморфных сечений этого расслоения над S. Тривиальное расши­

рение этого пучка

на

S

до пучка

на

V обозначим через

Q ( ( W ®

L ®{5})s )

(см. теорему

2.4.3).

Имеет место следующая

Т е о р е м а 16.2.1. Пусть V — комплексное

многообразие

и S —

неособый

дивизор

на V. Пусть W — комплексно-аналитическое

век­

торное расслоение

над

V. Тогда

имеет

место

точная

последова­

тельность

0->Q(W)->Q

(W ®{S}) -> Q ((W®{S})S)

-> 0

(4)

комплексно-аналитических

пучков

над

V.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Каждому

локальному

сечению

s'

из

W

сопоставим локальное

сечение

s' ® s

из

W ® {S}. Так

как

s

яв­

ляется глобальным сечением в {5}, не равным

тождественно

нулю

ни на каком открытом подмножестве из V, то мы получаем моно­

морфизм ft': Q(W)-+Q(W

®{S}).

На дополнении

к S

в

V этот мономорфизм

h' является

изомор­

чок Q(W ® [S})/Q(W),

таким образом, обращается в 0 на

допол­

нении к 5. Из-за

единственности тривиального

расширения пуч­

ков достаточно доказать, что над S имеет место следующая

точная

последовательность

(\S

обозначает ограничение

пучка на

S):

Q-*Q{W) \s

- £ + Q (W ® {S}) \s -£> Q ((W ®(5})s ) -* 0,

(5)

где

h — гомоморфизм,

который

получается ограничением

сечения

расслоения

W®{S) над открытым множеством

U из

V

на

UC\S

[это ограничение будет

сечением расслоения

( W ® { S } ) S над

U0S].

Для доказательства точности последовательности (5)

сопоста­

вим каждой точке х є

S окрестность Ux в V,

над

которой

W

и {S}

представлены

в виде

прямого

произведения.

Выберем

некоторые

определенные

представления

Ux

X <V и

U* X С. Пусть

окрестность

Ux

выбрана

настолько малой,

что она

содержится

в ©дном из мно­

цией

sx

=

Si\Ux.

Теперь

W®{S}

можно

отождествить

над

Ux

с прямым произведением

с 7 ж Х ( С д ® С ) .

Отобразим

Сд

0

С

изо­

морфно

на

Сд

с

помощью

отображения

(zu

...,

zq)

®

z-+

-*{z\Z,..., zqz)

и

тем

самым

получим

над

Ux

представление

UxX.Cq

Для

W <8> {S}.

Локальное

голоморфное сечение

W

[соотв.

W <8> {S}]

задается

для

этого

разложения

в прямое

произведение

набором q голоморфных функций (gi,

gq)

[соотв. ( / ь

/ , ) ] ,

Гомоморфизм

Ь! задается равенством

(/]

fq)^h'{gu

....

gq) = {sxgl

sxgq).

Гомоморфизм

h

есть ограничение (fi,...,fq)

на

S;

он

является

отображением

на,

так

как

всякий

росток

голоморфных

функций

на 5 можно получить из ростка голоморфных функций на V. Огра­

ничение (f\,...,fq)

на

S равно

нулю в точности тогда,

когда

все

fi делятся

на

sx,

т. е. принадлежат

образу

h'. Тем

самым

точность

последовательности (5)

доказана.

Если V компактно, то неособый дивизор S сам является ком­

пактным

комплексным

многообразием

и

Ws

будет

комплексно-

аналитическим векторным расслоением над S. В дальнейшем мы

будем

писать

%(S, W) вместо %{S,W8),

и аналогично

для

%P(S,W)

и %V(S,W).

В

этих обозначениях если в (4) заменить W

на W &

<Э{5}_ 1 и применить теоремы 2.6.3

и 2.10.2,

то

получится

следую­

щая теорема

(см. К о д а и р а

и С п е н с е р

[3]).

Т е о р е м а

16.2.2.

Пусть

V — компактное

комплексное

много­

образие

и S —неособый

дивизор

в

V. Далее,

пусть

W

—комплекс­

но-аналитическое

векторное

расслоение

над

V.

Тогда

X(V,

W)=%(V,

W®{S}-l)

+

%(S, W).

(6)

В частности, если

W — тривиальное

одномерное

расслоение,

то

%(V) =

%{V, {S}-[)

+ %(S).

(6*)

О -> ХР Z (S) -> ХР (2 (V)S) -> ХР'1

(2 (S)) ® {S}S -> 0

(8)

и, по двойственности, для ковариантных

р-векторов

О - * Я.""' (Г (S)) <8> {5}J! -> Яр (Г (1/)5) -> Лр (Г (S)) -> 0.

(8')

Пусть №— комплексно-аналитическое

векторное расслоение над

V. Можно образовать тензорное произведение каждого члена по­

следовательности (8') с ограничением W на S. Мы получим

снова

тельности

теорему 16.1.1, получим

формулу

г (S, W ® ХР (Т (V))) = x p _ 1

(s,

w ® {5}-') - f х Р (S, W).

(9)

Заменяя

теперь

в формуле

(6)

W на W ® №(T(V))

И сравнивая

результат

с (9), приходим

к важной

четырехчленной.формуле Ко-

д а и р ы и С п е н с е р а

([3], формула

(4))

%"(V,

W) = XP(V,

WttiSy^+xriS,

W) + %»-l(S,

r ® { 5 } - ' ) .

(10p )

Эта

формула

выполняется

для

всех

р ^

0,

если только

при

р = 0 последний

член

интерпретировать

как нуль. Член %P(S, W)

равен

нулю для р =

п =

dim У,

а

для

р>

п

все четыре члена

равны

нулю. Если г/ — переменная,

то, умножая

(10р ) на

ур и

суммируя, получим

%y(V,

W) = xy{V,W®{S}-l)

+ xy(S,

W) + yXy(S,

IT ® {S}"1 ). (10*)

Х°(5,

W) =

t(V,

W)-%°(V,W®{S}-]).

(По)

Вычисляя

х'(5, Щ

по

формуле

(10i)

и подставляя

вместо

X°(S, W <8> {S}-1 )

его выражение,

вычисленное

по формуле (По),

находим

X.1 (S, W) =

X1(V, W)-%L(V,

W®{S}-])-

-X°{V,

WQiSy^

+

tfiy,

W®{S}-2).

( l l x )

Продолжая этот процесс, получим формулу

x»(s, w)= 2(-1)'Ър-'0л ^ ® { 5 Г ' ) - х " - ' ( ^

Г ® { 5 } ) ] - ( ' + 1 ) ,

1=0

(Ир)

которая

справедлива

для

любого р ^

0. Левая

часть

равенства

(lip)

равна

0 при р^п,

так как 5

имеет

комплексную размер­

ность

п—\,

в

то время как правая

часть

формально

не

сокра­

щается. Это означает,

что для любого векторного расслоения W

и одномерного

расслоения

{5}, построенного

по

неособому

диви­

зору

S,

между

членами %h(V, W <8> {S}r) существуют

определенные

соотношения. Остаются ли эти соотношения

справедливыми, если

в них {S} заменить произвольным одномерным расслоением

F"? Мы

увидим, что ответ положителен, если

V — алгебраическое

много­

образие.

%y(S, W) = 2l(-y)l[xy(V,

WQ3{S}-{)-Xy(V,

W®{S}-(W))].(U*)

!=0

ной Х у - х а Р а к т е Р и с т и к и и> кроме

того, упростит

соответствующие

вычисления.

Пусть Е — кольцо, содержащее кольцо целых

чисел

Z. Число 1

будет единицей кольца Е. Рассмотрим кольца

Z{y)

и

Е{у) фор­

мальных степенных рядов с коэффициентами в

Z (соотв. в Е).

Z{y) является подкольцом кольца Е{у). Мы назовем

отображение

A:

E{y}^Z{y}

Другими словами, Е{у} и Z{y} являются

модулями над Z{y},

и

d-гомоморфизм — это гомоморфизм 2{#}-модуля

Е{у} в 2{г/}-модуль

Z{y). Из II) следует,

что h(u) —

uh(\)

для u e Z { i / } .

Л е м м а

17.1.1.

Пусть

задан

аддитивный

гомоморфизм

h0

из

Е в Z{y). Тогда существует,

и

только

один,

d-гомоморфизм

h

из

Е{у} в Z{y}, который

на Е совпадает

с

h0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

v =

е0

+ е\у -4- е2у2 + ' . . . ,

є* Є Е,

определим

h (v) =

h0

( е 0

) +

h0(ві)

у

+

h0(е2)

у2

+

. . . ;

/ІО(ЄІ) в правой части

этого

ряда

являются

степенными рядами

по

у, и правая

часть представляет

собой

степенной

ряд по у,

так как

Легко видеть, что h является d-гомоморфизмом

и совпадает с h0

на

Е. Предполагая, что К — другой d-гомоморфизм, совпадающий

с h0 на Е из I) и I I ) , выводим, что 'h' совпадает

с h на многочленах

из Е{у}, и поэтому

h' = h, что и требовалось доказать.

Пусть заданы d-гомоморфизм h: E{y}-*Z{y}

и

фиксированный

элемент t^E{y}.

Тогда можно определить новый

d-гомоморфизм

ht

равенством

ht (и) = h (tu).

Л е м м а

17.1.2. Если

для

d-гомоморфизмов

h

и h'

из

Е{у) в

Z{y}

найдется

элемент t^E{y},

такой, что

h' (и) •— h (tu) для

всех

и<=Е,

то h' = hu

т. е. соотношение

h'(u)

=

h(tu)

выполняется

для

всех

и єн Е{у}.

В

наших

приложениях

кольцо

Е

имеет

специальный

вид.

А именно, пусть fu

fr,

w — переменные. Рассмотрим

кольцо Е,

порожденное над Z этими переменными, вместе с f~l,

/7і -

Произвольный

d-гомоморфизм

из Е{у)

в Z{y)

однозначно

опреде­

лен своими значениями на элементах

. . . f/,

где р, X, — це­

лые

числа,

р. неотрицательны,

так как эти элементы образуют

ад­

дитивный базис для Е. Приписывая этим произведениям

произ­

вольные значения в Z{y), получим один

и только один аддитивный

гомоморфизм

из Е в Z{y) и поэтому

по лемме

17.1.1 один

и только

один d-гомоморфизм из Е{у}

в Z{y},

который

принимает

эти

зна­

чения.

Пусть V — компактное комплексное

многообразие, Fh

Fr —

комплексно-аналитические одномерные векторные

расслоения

над

V и

W — комплексно-аналитическое

векторное

расслоение

над V.

Определим с помощью этих данных

два d-гомоморфизма h и Н из

Е{у} в Z{y}, где Е — построенное

выше кольцо, задав следующие

значения этих d-гомоморфизмов

на

базисных произведениях:

Пусть

и єн Е{у) — степенной

ряд

с постоянным членом и0. Тогда

/г(«) єн Z {у}.

(2)

является

.степенным

рядом

с

постоянным

членом

h(uQ).

С о г л а ш е н и е .

В случае

когда

над компактным

комплексным

многообразием V задано

конечное

число

комплексно-аналитиче­

кольцо

Е и d-гомоморфизмы

h и Я, которые мы будем также обо­

значать

через

hv

и Hv,

если

может

возникнуть неясность.

Если

5 — неособый

дивизор на

V, то заданные на V расслое­

ния

можно ограничить

на S. Мы обозначим эти ограничения теми

же

буквами,

что и- соответствующие расслоения на V. Применяя

(1) к комплексному многообразию S, определим следующим об­

разом d-гомоморфизмы

hs и fis:

k ^

f r

...fK/)

=

%y(S,W^Fxr^...0FKrr),

ks(l)=xg(S).

и по 16.2(6),

(б')

X(S,

W) hv(w(l-s-%

X(S) = M l - я - 1 ) .

17.2. Теперь мы в состоянии

определить

виртуальную

%у-харак-

теристику. Пусть

V — компактное

комплексное многообразие

ком­

плексной

размерности п. Пусть

Fu

ґ , —комплексно-аналити­

ческие одномерные расслоения над V,

W — комплексно-аналитиче­

ское векторное расслоение

над

V.

Набор

(F\,...,

Fr)

называется

виртуальным

подмногообразием

в

V

комплексной

размерности

п — г. Мы допускаем

и случай г >

п.

О п р е д е л е н и е

(ср. 17.1(4)).

Положим

b(Flt

....

F,\,W)y

=

/

t

v (

w R

- ^

y

%y(Fі,...,

Fr\,

W) у

является

бесконечным

степенным

рядом

по

у

с целыми

коэффициентами. Мы

будем

называть

его

виртуальной

^-характеристикой

векторного

расслоения

W,

ограниченного

на

виртуальное

подмногообразие

(Fu...,Fr).

Эта

характеристика,

очевидно, не зависит

от порядка

следования F^ В случае

когда

W

виртуальную ^-характеристику через

%y(Fi,...,

Fr)v

и

называем

ее виртуальным

%у-родом

виртуального подмногообразия

(F\,...

..., Fr). Положим

оо

Xy(Fu

...,Fr\,W)v

=

^Xp(Fu

Fr\,

W)vyp

и

оо

%y(Fu

....

Fr)y=^%p(Fu

Fr)vyp.

Вместо x° всегда

будем

писать

просто

%. Согласно

17.1(2)

X ( F l

f . . . . Fr\,

W)v

=

hY(wTl{l-fTl)j.

Целое число %(FU ...,

FT\,W)V

называется

виртуальной

%-ха-

рактеристикой

векторного

расслоения

W,

ограниченного

на

вир­

туальное подмногообразие (Fi,...,Fr).

Целое

число

%(F ь

...,

Fr) v

называется

виртуальным

арифметическим

родом

виртуального

подмногообразия

(Fu

Fr).

В частности, виртуальный арифметический род %(F)V

одно­

мерного векторного расслоения F над V определен равенством

X(F)V

= %{V)-%(V,

F-1).

Пусть теперь S — неособый дивизор

на

V. Тогда

xv(S,

W)

опре­

делено и является многочленом степени ^

я — 1 . Формула 17.1(4)

утверждает,

что

%„{S, w) = x,as)iwv

(40