книги из ГПНТБ / Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии

Тогда

%°(У, W) — x(V,

W),

%?(V,W)

= 0 для

p < 0

и для

р >

п. (11)

Для

W — 1 мы,

естественно,

будем

писать

X P ( V ,

\ ) =

t p

{ V ) = l i

{ - \ ) q

h p

' q

( V ) .

<7=0

С помощью переменной у определим многочлены

%y(V,W)=^x"(V,W)yP,

xy(V)=t%p(V)yp.

(12)

р=0

р«=0

Мы назовем

%y(V, W) %у-характеристикой

векторного

расслое­

ния W, a %y{V)

— Ху-родом

многообразия

У.

По определению

%o(V, W) — %°(V, W) — %(V,

W)

и

%o(V)

=

%°(V) =

x(V);

х(Ю = І(-іГл°-в(Ю

( 1 3 )

называется

арифметическим

родом

V.

Теорема

двойственности

Серра 15.4.3 дает

формулы

xp(v,w)

=

(-\fxn-p{v,w\

x(V,W)

=

(-l)nx(V,K®W).

Отметим еще раз, что арифметический

род

x(V)

компактного

комплексного

многообразия

V

определен

как

эйлерова

характери­

стика V с

коэффициентами

в

пучке

ростков

голоморфных

функ­

ций

Q.

ds2 =

2 2

g a p (z ,

z)dza-dz$,

g 4

=

g&a.

(15)

Всякой

эрмитовой

метрике

ds2

можно сопоставить внешнюю диф­

ференциальную

форму

і 2 gap (z. z) dza

ю =

A

dz$,

(16)

которая

в

вещественных

координатах

ха,

a =

1

2п,

za

=

= x2a~l

+

ix2a

переходит

в

вещественную

дифференциальную

форму.

Эрмитова

метрика

называется

кэлеровой,

если da =

0.

Форма

ю представляет

тогда

(в

силу естественного

изоморфизма

де

Рама)

элемент

из группы

когомологий

Я 2 (У, R),

который

на­

зывается фундаментальным

классом кэлеровой

метрики. Ниже

мы

примем

следующую

терминологию: под

многообразием с

кэлеро­

вой

метрикой

будет

пониматься

компактное

комплексное

много-

образий, необходимых для дальнейшего. Более полное

изложение

можно найти у А. В е й л я [2].

15.7. Пусть

V — многообразие

с

кэлеровой метрикой. Тогда

hP'i(V)

могут

быть

вычислены с

помощью заданной

кэлеровой

метрики.

Возьмем в

качестве W из

15.4 тривиальное

одномерное

случаю.

Комплексный

оператор

Лапласа — Бельтрами • для кэлеровой

метрики равен

, где

А — вещественный оператор Лапласа

h p ' Q (V) = h q ' p

(V),

hP'Q(V)

= dimBp-q.

(17)

По

теории

де Рама и Ходжа

имеется

естественный

изоморфизм

HR{V,

С ) ~

2 BP-Q.

(18)

P+q=r

Таким образом, для г-го числа Бетти bT{V)

имеем

b,(V)=

2

h p

' q .

(18*)

p+<7=r

При

изоморфизме

(18) BP-Q отображается

на подпространство тех

элементов

из fiR(V,

С), которые могут быть представлены

в смысле

де Рама

формой а

типа (р, q)

с da =

0. Элементы этого

подпро­

странства, которые, очевидно, не зависят от выбора

кэлеровой

метрики, называются элементами

типа

(р, q).

Элемент из HP+I(V, Z)

ИЛИ ИЗ HP+I(V, R), рассматриваемый

как

элемент

из #?+<?( V, С) типа

(р, q),

сам называется

элементом

типа

[р, q).

Формулы

(17),

(18*), вообще говоря,

неверны для

произволь­

гообразия

по

(17)

h ° ' i

— h i ' ° .

Для

произвольного

компактного

комплексного

многообразия

V

по

определению

h

i -

0

равно

dim Н°(V,%iT),

т. е. равно размерности

комплексного

векторного

пространства

голоморфных g-форм на V,

которые называют

также

формами

первого

рода

и степени

q

на

V. Положим

gq

=

°.

Т е о р е м а

15.7.1.

Арифметический

род

%(Vn)

компактного

п

комплексного

кэлерова

многообразия

V

равен

2(—1)( £ь

где

gi — число

комплексно

линейно независимых

форм

первого

рода

и степени і на V.

15.8. Компактному комплексному

многообразию V мы сопоста­

вили

в 15.5 многочлен

%y(V).

При у =

0 значение

этого

много­

члена совпадает с арифметическим родом

для V.

Следующие

две теоремы

дают значения многочлена xv(V)

для

у =

— 1 и у =

1.

Т е о р е м а

15.8.1. Для

компактного

комплексного

многообра­

зия

Vn

Х_, (Vn) = І (-1)" х р (Vn) = 2 (- 1 ) p + q

hp' q

(Vn)

p=0

p, q

равняется

обычной эйлеровой

характеристике

E(V).

Д о к а з а т е л ь с т в о

(по

С е р р у

[3], стр.

26).

Пусть

QP =

0 - > C - > Q ° - > Q ! - > . . .

->Qn->0.

E(Vn)

есть эйлерова характеристика

для когомологий с коэф­

З а м е ч а н и е . Если многообразие Vn

кэлерово, то

теорема

15.8.1 немедленно следует из (18*).

Т е о р е м а

15.8.2 (ср. Х о д ж [4]). Для

компактного

кэлерова

многообразия

Vn

Р=0

Р, я

равняется индексу

x{V„),

определенному

в 8.2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

п нечетно, то по теореме двойствен­

ности Серра

15.4.3 имеем

%" (vn) = ( - і ) я х п _ р (vn) = - %п-р (Vn)

п

и, следовательно,

2xp (V„) = 0.

С другой

Р =о

стороны, %(Vn) = 0 по определению. Таким образом,

в случае нечетных п теорема справедлива

для любого компактного

комплексного

многообразия.

Пусть

теперь

п четно. Мы должны

воспользоваться

некото­

рыми

фактами о многообразиях

с кэлерозыми метриками. (См.

по

этому

поводу

Э к м а н

и Г у г е н х а й м е р

[1, 2],

Г у г е н х а й -

м е р

[1], Х о д ж

[1] и А. В е й л ь

[2]). У Экмана и Гугенхаймера

и

у

Ходжа

на

многообразии

Vn

(с локальными

координатами

Zj =

X2j-i

+

iX2j)

используется

ориентация,

задаваемая

формой

dxl

Л dx3

Л

• • • Л dx2n-i

Л dx2

Л

• • • Л

dx,n.

ентацию, которая

задается

формой

dx{

Л dx2

Л • • • Л dx2n.

Эти

п(п-\)

две ориентации отличаются на знак

(—1) 2

.

Чтобы

упро­

стить последующие формулы, мы будем

всегда

предполагать, что

п = 2т.

Пусть BP- І — комплексное векторное

пространство

гармониче­

ских форм типа

(р,а). Фундаментальная форма со, определенная

в 15.6, является гармонической формой

типа

(1.1),

произведение

которой с любой другой гармонической

формой

снова

гармонично.

Сопоставляя форме а^Вр-i

форму

La = и а є ВР+'.

получим

гомоморфизм

ф .

др . q > gn~p>

для которого . ф a = * a =

* а. Рассмотрим

гомоморфизм

А:

Вр-"Вр~1'

определяемый

равенством

Л =

( — \ ) p + q

ф L # .

Имеем

A =

( - 1 ) P + « * L *

и

~Ка\ =

Ай.

Ядро гомоморфизма Л обозначим через Во'его

элементы назы­

ваются

эффективными

гармоническими

формами типа

(р, а).

Имеют место следующие

утверждения:

(a)

ALk: ВГ"- q~kВр~'-

q~\

p + q<n,

fe>l

равно

L k ~ \ с точ­

ностью

до отличной от нуля

константы.

(b)

L k : Во~к' q~k -> Вр' q ,

p-f-q^n

является

мономорфизмом.

(c)

Для р + q^n

имеем разложения

в прямую

сумму

Bp'q

= Bl-q®LBl-l-q-1

©

... © LrBp0~r'

q - r ,

r =

mm(p,q).

Положим

В%q = LkBl~k'q~k.

Элементы

из

Bl 4

называются

гармоническими

формами

типа (р, q)

и класса k. Следующая фор­

мула является основной для доказательства:

(d)

# ф = ( - 1 )' + *ф,

если

ф € = Я £ - в

и

p + q =

n.

(e) Hn(Vn,

С)—

2

ВЪ

p+q=n

q)

ft<min

(р,

а, р одинаковой

пол­

Напомним, что для гармонических форм

ной степени

определено

скалярное произведение

(а,

р) =

| а Л # Р -

(f) Слагаемые

в

прямой

сумме

(е)

попарно

ортогональны

отно­

сительно этого скалярного

произведения.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Скалярное произведение

может

быть

отлично от

нуля,

только

если

а Л ф

Р имеет

тип (п, п). Поэтому

В1' 4 и Bp 4

ортогональны

для

(р,

q) ф

(р\

q').

Для

а <= В\'

"

и

Р < = В £ " с

k>k'

и

p +

q =

n

имеем

(а,

0) =

(Lka0,

Lf e 'p0 ),

где

а0 , ро эффективны

(Ла0

=

Лр0

=

0).

Так

как

L

и Л

сопряжены

друг с другом (La,

<p) =

(a,

Лф),

то

по

(а)

(g)

Имеет место разложение

в

прямую

сумму

Hn(Vn,

R)=^Epk'\

p + q =

n, £ < р < ? ,

где

Ей' 4

— вещественное

векторное

пространство тех

вещественных

гармонических

форм а, которые можно записать

в виде a =

ф + ф

Ясно,

что

x(Vn)

является

индексом

(см. 8.1)

квадратичной

формы

Q (a, Р) ==

J а Л Р, а,

р <= Нп (Vn,

R). Из

(d)

и

(f)

следует,

что вещественные

векторные

пространства

в сумме

(g)

попарно

ортогональны

относительно

этой

квадратичной

формы.

Поэтому

из (d) вытекает, что форма (— \)q+k

Q (a, р),

ограниченная

на

Ef,' ">

положительно

определена. Таким

образом,

T ( ^ ) = 2 ( - l ) ' + * d i m R £ f r '

(суммирование

распространено

на

pr\-q

= n,

k^p^q).

Ясно,

что

с1ітя'Л'"

= 2dimcBpk-q

для

p<q

и

d i m R £ , r , m =

=

dim c В™'m,

n =

2m.

Поэтому

• (h)

r(Vn)=Z(-l)q+kdimcBg-q,

p +

q = n,

6 < m i n ( p ,

q).

Положим,

как

и

прежде,

hp'

q

=

d i m c 5 p ' q.

Из (b) и

(с)

следует,

что

h "

-

' -

hp~k-h

q~k-{

=

dim c Bl - q

для

p +

q^n.

(i)

k

rn

/

T,

s

< s,

r

« ft — Г,

tl—S

I

Так

как

n

=

n

=

h

, то

имеем для

p -\- q =

n

Из

(h),

(i),

(j)

следует,

наконец, что

т(У„)=2 ( _ l ) " - V " * ' ' ?

" f e +

2 ( _ l ) « + * + V + * + I '

q + k

+ l =

ft>0 fc>0

p + <?=n

p + <7=rt

= 2 ( - 1 ) ' Л Р , ' +

2

(-l)qhp-q=2i(-l)qhp-q,

P + q<ti

доказать.

p + q>n

p,

g

что и требовалось

Теорема

15.8.2

будет

использована

существенным

образом в

зия

Vn-

Одно непрямое доказательство намечено в приложении 1

(п. 25.4).

V — кэлерово

15.9. Пусть

многообразие

(15.6).

Рассмотрим

точную

последовательность

когомологий

(см.

2.5(11)

и

теорему

2.10.1), индуцированную точной

последовательностью

0 —>-Z —»• С ш - >

—> Си

> 0, Со — Q:

б1

Hl{V,

Z)->H2(V,

Q).

(19)

C)—+H2(V,

Теперь

H2(V,Q)

=

Я2 (1/,1) =

B°-*(V). Следовательно

( К о д а и р а

и С п е н с е р [2]), элемент

a^H2(V,Z)

тогда

и только

тогда

ото­

бражается

в нуль из

H2(V,

Q),

когда

а имеет

тип (1.1).

По

теореме

4.3.1

если

^ є Я ' ( У ,

См) — комплексно-аналитиче­

ское

С*-расслоение,

то 6j(!) =

c1 (g). Если

F — комплексно-аналити­

ческое

одномерное

векторное

расслоение

над

V и I — ассоцииро­

ванное

С*-расслоение, то Сі (£) называется

классом

когомологий

для

F.

Из

точности

последовательности

(19)

следует

(см.

тео­

рему

4.3.1)

Т е о р е м а

15.9.1

(Лефшец

и

Ходж,

. К о д а и р а

и С п е н ­

с е р

[2]). Элемент а из H2(V,Z),

где

V — компактное

кэлерово

мно­

гообразие,

является

классом

когомологий

комплексно-аналитиче­

ского

С*-расслоения

тогда и

только

тогда, когда а имеет тип

(1.1).

З а м е ч а н и е . Д о л ь б о

([2], теорема

2.3) доказал

эту

теорему

также и в некэлеровом случае.

15.10. Пусть

V — кэлерово

многообразие

с ЙР. 9 =

0 для

р ф q.

Тогда

в существенном %V{V)

совпадает

с

многочленом

Пуанкаре

P,(V)=2Vr

Д л я У (г Де коэффициент

при tr равен

r-му числу

Бетти для V). Точнее

X P ( V ) = 2 (-\)qhp-q

= (-\)php'p

= (-\)p

bp.

Нечетные числа

Бетти для V равны нулю,

поэтому

х^Ю--=-Р(^

П = 2

ь/.

(20)

Кэлеровыми

многообразиями

с этим

специальным

свойством

многообразия

флагов

F(n). Для F(n)

это

можно

увидеть

следую­

щим способом. Кольцо когомологий H*(F(n),Z)

порождается

эле­

ментами Ytе

H2(F(n),

Z),

которые

являются

классами

когомоло­

гий комплексно-аналитических С*-расслоений над F(n)

(см.

14.2).

По «только тогда»

части

теоремы

15.9.1

элементы

уг

имеют

тип

(1.1), а поэтому все классы

когомологий

для

F(n)

имеют

тип

(р,р).

Заметим,

что

для

комплексных

проективных

пространств и

для многообразий флагов многочлены %у и

Ту

(см. 14.4)

совпа­

дают; оба в существенном равны многочлену Пуанкаре.

15.11. Если

Vn

и

V'm — кэлеровы

многообразия, то

hp-q(VnXv'm)=

2 A M W A M W .

(2І)

r+u=p

s + D=<7

Сопоставляя

каждому

кэлерову

многообразию

V

многочлен

П у , г ( У ) ~ 2

h"'

"yPzq

от двух

переменных

у,

z,

можем

записать

(21) в

р. ч

виде

Ну, г (Vn X V'm)

= П„. г (Vn) Пу,

(V'm).

(22)

г

Полагая в (22)

z — — 1,

получим

Xy(VnXV'm)

= Xy(Vn)ly(V'm),

(23)

В этом параграфе V всегда — комплексное

многообразие.

16.1. Рассмотрим точную последовательность

0_>W'—+W—±W"-+0

(1)

Q-*Q(W') — + Щ Г ) - £ > О ( Г " ) - * - 0 .

(2)